高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数(1)学案 新人教A版选修2-2
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.3 1.3.2 函数的极值与导数
跟 踪 训 练
1．已知函数 f(x)＝ln x－2x，求函数 f(x)的极值．
1 解析：函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－2. 1 1 令 f′(x)＝x－2＝0，解得 x＝ . 2 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表： 1 1 1 x 0， ，＋∞ 2 2 2 0 f′(x) ＋ － 1 f(x ) ↗ ↘ 极大值 ln 2e
解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，∴f(x)的单调递增区间为 (－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)，∴f(x)在 x＝2 处取 得极小值． 答案：2
栏 目 链 接
自 测 自 评
1．函数 f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知 f(x)在 x＝－3 时 取得极值，则 a 等于( A．2 B．3 ) C．4 D．5
栏 目 链 接
1 ∴当 x＝1 时，f(x)有极大值，且极大值为 f(1)＝－ ； 6 1 当 x＝2 时，f(x)有极小值，且极小值为 f(2)＝－ . 3 点评：求可导函数 f(x)的极值的方法： (1)求导数 f′(x)； (2)求方程 f′(x)＝0 的所有实数根；
栏 目 链 接
栏 目 链 接
题型1
求函数的极值
例1 求函数 f(x)＝1x3－3x2＋2x－1 的极值． 3 2
解析：f′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)． 令 f′(x)＝0，解得 x＝1 或 x＝2. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表： x y′ y (－∞，1) ＋ ↗ 1 0 1 极大值－ 6 (1,2) － ↘ 2 0 1 极小值－ 3 (2，＋∞) ＋ ↗
第一章
【金版学案】高中数学(选修2-2)配套课件第一章 1.3 1.3.2 函数的极值与导数
目
极小值，且极大值不一定比极小值大．
链 接
3．函数 y＝f(x)的极值与导数的关系：解方程
f′(x0)＝0，当 f′(x0)＝0 时：
基础 梳理
(1)如果在 x0 附近的左侧_f_′_(_x_)_＞___，0右侧__f′_(_x__)_＜__，0那
么 f(x0)是极大值；
(2)如果在 x0 附近的左侧_f_′(_x__)_＜____0，右侧_f_′_(_x_)_＞___，0那
1．函数 f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知 f(x)在 x＝－3 时
取得极值，则 a 等于( )
A．2
B．3
C．4
D．5
栏 目
链
接
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由 f′(－3)＝0 得
a＝5.故选 D.
答案：D
自测 自 评 2．设函数 f(x)＝x2＋ln x，则( )
A．x＝12为 f(x)的极大值点
0
－
f(x)
↗
极大值 ln21e
↘
∴当 x＝12时，函数 f(x)有极大值，且极大值为 f12＝ln12－1＝ln21e.
题型2 已知函数的极值求参数值
例2 已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x 在x＝±1处取得极值，讨论f(1)和 栏
目 链
f(－解1析)是：f′函(x)数＝3fa(xx2＋)的2bx－极3，大值还是极小 接 值．所以 f′(1)＝f′(－1)＝0，即33aa＋－22bb－－33＝＝00，，
题型3 函数极值的应用
例3 已知a为实数，函数f(x)＝－
x3＋3x＋a.
栏
目
链
接
(1)求函数f(x)的极值；
解析：(1)由 f(x)＝－x3＋3x＋a，得 f′(x)＝－3x2＋3，
2021学年高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数课件1新人教A版选修2_2
因此，当 x＝－13时，y 有极大值，并且 y 极大值＝191. 而当 x＝13时，y 有极小值，并且 y 极小值＝79.
规律总结 利用导数求函数极值的步骤： (1)确定函数的定义域． (2)求导数f ′(x)． (3)解方程f ′(x)＝0得方程的根． (4)利用方程f ′(x)＝0的根将定义域分成假设干个小 开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号． (5)确定函数的极值，如果f ′(x)的符号在x0处由正 (负)变负(正)，那么f(x)在x0处取得极大(小)值．
【解析】 由 f ′(x)的图象可见在－∞，－32和(2,4)上 f ′(x)<0，f(x)单调减，在－32，2和(4，＋∞)上 f ′(x)>0， f(x)单调增，∴只有③正确．
规律总结 有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x) 的图象还是f ′(x)的图象，假设给的是f(x)的图象，应 先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f ′(x)的图象，应先找出f ′(x)的正负区间及由正变负 还是由负f ′(－2)＝0，f ′(1)＝0， f ′(2)＝0，并且当x＜－2时，f ′(x)＞0，当－2＜x＜1， f ′(x)＜0，函数f(x)有极大值f(－2)． 又当1＜x＜2时，f ′(x)＜0，当x＞2时，f ′(x)＞0，故函 数f(x)有极小值f(2)． 应选D．
x (－∞，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞)
y′
＋
0
－
0－0
＋
y
递增 极大值 递减 无极值 递减 极小值 递增
由表可知：40＝＝ff((－1)＝1)a＝－－ba＋＋c.b＋c， 又 5a＝3b，解之得：a＝3，b＝5，c＝2. (2)当 a＜0 时，同理可得 a＝－3，b＝－5，c＝2.
高中数学选修2《函数的最值与导数(1)》导学案
第一章导数及其应用1.3.3函数的最值与导数（第1课时）一、学习目标1.理解函数最大值和最小值的概念.2.掌握求在闭区间[a ,b ]上连续函数f (x )的最大值和最小值的思想方法和步骤.3.掌握函数极值与最值的区别与联系.【重点、难点】求在闭区间[a ,b ]上连续函数f (x )的最大值和最小值的思想方法和步骤；二、学习过程【情景创设】观察下面函数()y f x =在区间[],a b 上的图象, 回答:(1) 在哪一点处函数()y f x =有极大值和极小值?(2) 函数()y f x = 在[],a b 上有最大值和最小值吗?如果有, 最大值和最小值分别是什么?【导入新课】问题1:函数的最值函数的最值分为函数的最大值与最小值,函数的最大值和最小值是一个整体性概念, 最大值 必须是整个区间上所有函数值中的最大者, 最小值 必须是整个区间上的所有函数值中的最小者.问题2:函数的最值与极值的区别(1)函数的最大值、最小值是比较整个定义域内的函数值得出的,极大值、极小值是比较 极值点 附近的函数值得出的;(2)函数的极值可以有多个,但最值只能有 一 个;(3)极值只能在区间内取得,最值可以在 端点 处取得;(4)有极值未必有最值,有最值也未必有极值;(5)极值有可能成为最值,最值只要不在端点处取得,那么最值必定是 极值 .问题3:求函数f (x )在[a ,b ]上的最值的步骤:(1)求f (x )在开区间(a ,b )内所有使 f'(x )=0 的点.(2)计算函数f (x )在区间内使f'(x )=0的所有点及 端点 的函数值,其中最大的一个为 最大值 ,最小的一个为 最小值 .【典例分析】例1．求下列函数的最值：（1）26)(2++=x x x f （2）3126)(x x x f +-=]3,2[-∈x例2．求函数1431)(3+-=x x x f 在[0,3]上的最大值与最小值。
高中数学 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修2
因此对于可导函数，导数为0是点为极值点的必 要而不充分条件．
(2)函数的导数不存在的点也可能是极值点． 如函数f(x)＝|x|，在x＝0处，左侧(x＜0时)f′(x)＝ －1＜0，右侧(x＞0时)f′(x)＝1＞0，当x＝0时f(x) ＝0是f(x)的极小值点，但f′(0)不存在．
．
• 极小值点、极大值点统称为极值点，> 极大值和极小值统
称为极值．极值反映了函数在某一点附近的大小情况，
刻画的是函数的局部性质．
<
减
• 2．求可导函数y＝f(x)的极值的方法是：
• 解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时： • (1)如果在x0附近的左侧
，那么f(x0)是极大值； • (2)f′如(x)果＜在0 x0附近的左侧
，那么f(x0)是极小值．
，右侧 f′(x)＞0
，右侧 f′(x)＜0
f′(x)＞0
• [例1] 判断函数y＝x3在x＝0处能否取得极值． • [分析] 可由极值的定义来判断，也可由导数来判断． • [解析] 解法1：当x＝0时，f(x)＝0，在x＝0的附近区域
内，f(x)有正有负，不存在f(0)>f(x)(或f(0)<f(x))，因此y＝ x3在x＝0处取不到极值． • 解法2：y′＝3x2，当x≠0时，y′>0， • 当y＝0时，f(x)＝0，因此y＝x3在(－∞，＋∞)上是增函数， 因为单调函数没有极值，所以y＝x3在x＝0处取不到极 值．
• 设函数y＝f(x)在点x0及其附近可导，且f′(x0)＝0. • (1)如果f′(x)的符号在点x0的左右由正变负，则f(x0)
为函数f(x)的极大值．
• (2)如果f′(x)的符号在点x0的左右由负变正，则f(x0) 为函数f(x)的极小值．
人教a版数学【选修2-2】1.3.2《函数的极值与导数》ppt课件
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章
导数及其应用
第一章
1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.2 函数的极值与导数
1
自主预习学案
2
Hale Waihona Puke 典例探究学案3巩固提高学案
4
备 选 练 习
自主预习学案
1.掌握极值的概念，了解函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件． 2．会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值 ，及其他简单函数的极值．
2．一般地，已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于包含 x0在内的开区间内的所有点x，如果都有__________，则称函 f(x)<f(xf0()x)的一个 数f(x)在点x0处取得__________，并把x0称为函数 __________；如果都有 __________，则称函数f(x)在点x0处取 极大值 得________，并把x0称为函数f(x)的一个__________．极大值 f(，极大值点与极小值点统称为 x)>f(x0) 极大值点 与极小值统称为______ 极小值 极小值点 ________． 极值 极值点
重点：函数极值的概念与求法． 难点：函数的单调性与极值的综合应用．
函数的极值与导数的关系 思维导航 在函数的图象上，有的点左、右两侧函数的单调性相同，有 的点左、右两侧的单调性相反，有些情形下左增右减，在些 情况下左减右增，这些点对研究函数有何特殊意义？
新知导学
1．如图是函数y＝f(x)的图象，在x＝a邻近 的左侧f(x)单调 ．．
极大值 极小值 － 0 4e 2 由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0. 4 当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝e2.
高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.2函数的极值与导数课件新人教A版选修2_2
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1．极值点与极值 (1)极小值与极小值点 如图，若 a 为极小值点，f(a)为极小值，则必须满足：
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①f(a) □01 < f(x0)，f(x0)表示 f(x)在 x＝a 附近的函数值；
②f′(a)＝ □02 0 ； ③在 x＝a 附近的左侧，f′(x) □03 < 0，函数单调递 □04 减 ； 在 x＝a 附近的右侧，f′(x) □05 > 0，函数单调递 □06 增．
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(2)极大值与极大值点
如图，若 b 为极大值点，f(b)为极大值，则必须满足：
①f(b) □07 > f(x0)，f(x0)表示 f(x)在 x＝b 附近的函数值； ②f′(b)＝ □08 0 ； ③在 x＝b 附近的左侧，f′(x) □09 > 0，函数单调递 □10 增 ； 在 x＝b 附近的右侧，f′(x) □11 < 0，函数单调递 □12 减．
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课后课时精练
注意：如果在 x0 附近的两侧 f′(x)符号相同，则 x0 不是函数 f(x)的极值 点．例如，对于函数 f(x)＝x3，我们有 f′(x)＝3x2.虽然 f′(0)＝0，但由于无 论是 x>0，还是 x<0，恒有 f′(x)>0，即函数 f(x)＝x3 是单调递增的，所以 x ＝0 不是函数 f(x)＝x3 的极值点．一般地，函数 y＝f(x)在一点的导数值为 0 是 函数 y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件．
高中数学 1.3.2函数的极值与导数教案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学教案
1.3.2 函数的极值与导数教学建议1.教材分析本节让学生结合实际,探索函数的极值与导数之间的关系,并用大量的函数图象,让学生直观感受函数在某些特殊点(极值点)的函数值与附近点函数值大小的关系,以及在这些点附近函数的增减情况和导数值的关系.本节的重点是求函数极值的方法,难点是函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.主要问题及教学建议(1)从函数的单调性到极值.建议教师利用实例并结合大量的函数图象,让学生观察,并感受在导数为0的点的两侧导数值与函数增减性的关系,并具体说明,给出极大值和极小值的概念.要强调极值反映的是函数在某点附近的性质,是局部性质,而且极大值不一定大于极小值.(2)函数极值的求法.建议教师在学生掌握极值的概念的基础上,建立极值和导数的联系,通过例子讲解归纳出求函数极值的方法和步骤.备选习题1.如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:(1)函数y=f(x)在区间内单调递增;(2)函数y=f(x)在区间内单调递减;(3)函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;(4)当x=2时,函数y=f(x)有极小值;(5)当x=-时,函数y=f (x)有极大值.则上述判断中正确的是.解析:由导函数的图象知:当x∈(-∞,-2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-2,2)时,f'(x) >0,f(x)单调递增;当x∈(2,4)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;在x=-2时,f(x)取极小值;在x=2时,f(x)取极大值;在x=4时,f(x)取极小值;所以只有(3)正确.答案:(3)2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2处取得极值,并且它的图象与直线y=-3x+3在点(1,0)处相切,求a,b,c的值.解:因为f'(x)=3x2+2ax+b,所以f'(-2)=3×(-2)2+2a(-2)+b=0.所以12-4a+b=0.又f'(1)=3+2a+b=-3,所以a=1,b=-8.又f(x)过(1,0)点,所以13+a×12+b×1+c=0,所以c=6.3.已知a∈R,讨论函数f(x)=e x(x2+ax+a+1)的极值点的个数.解:f'(x)=e x(x2+ax+a+1)+e x(2x+a)=e x[x2+(a+2)x+(2a+1)].令f'(x)=0,得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.(1)当Δ=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0,即a<0或a>4时,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个不同的实根x1,x2,不妨设x1<x2,∴f'(x)=e x(x-x1)(x-x2).当x变化时,f'(x),f(x)即此时f(x)有两个极值点.(2)当Δ=0,即a=0或a=4时,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个相同的实根x1=x2, ∴f'(x)=e x(x-x1)2.∴当x<x1时,f'(x)>0;当x>x1时,f'(x)>0.∴f(x)无极值点.(3)当Δ<0,即0<a<4时,x2+(a+2)x+(2a+1)>0,f'(x)=e x[x2+(a+2)x+(2a+1)]>0,∴f(x)为增函数,此时f(x)无极值点.综上所述,当a>4或a<0时,f(x)有两个极值点;当0≤a≤4时,f(x)无极值点.。
2021_2022学年高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数课件新人教A版选修2_2
y′
＋
0
－
y
1 e
由表可知，当x＝e时，函数有极大值1e.
[类题通法] 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)求函数的定义域； (2)求函数的导数f′(x)； (3)令f′(x)＝0，求出全部的根x0； (4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，
f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内； (5)判断得结论：若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大
值；若左负右正，则取得极小值．
[针对训练]
1．求下列函数的极值：
(1)f(x)＝13x3－x2－3x＋3；(2)f(x)＝x22＋x 1－2. 解：(1)函数的定义域为R ，f′(x)＝x2－2x－3. 令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3
f′(x)
－
0＋
2 (2，＋∞)
0
－
f(x)
0
4e－2
由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0. 当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝e42.
(2)函数y＝lnxx的定义域为(0，＋∞)，
y′＝1－xl2n x.令y′＝0，即1－xl2n x＝0，得x＝e.
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
解：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c， (1)法一：∵x＝±1 是函数的极值点， ∴x＝±1 是方程 3ax2＋2bx＋c＝0 的两根．
由根与系数的关系知－3ca23＝ba＝－01，，
① ②
又 f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，
③
由①②③解得 a＝12，b＝0，c＝－32.
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1.3.2函数的极值与导数（1）
一、学习要求
1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；
2．理解极大值和极小值的概念；
3．掌握求可导函数极大值和极小值的方法与步骤。
二、先学后讲
1．函数的极值与极值点
设函数在点附近有定义，
如果对附近的所有点，都有
，我们就说是函数
的一个极大值，记作，点叫做函数的极大值点。
设函数在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有，
我们就说是函数()fx的一个极小值，记作，点叫做函数的极小值点。
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为函数的极值点。
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，该画的是函数的局部性质。
2．函数的极值与导数
如果函数在点满足，而且在点附近的左侧，右
侧，那么把叫做函数的极大值，点叫做函数的极大
值点。
如果函数在点满足，而且在点附近的左侧，右
侧，那么把叫做函数的极小值，点叫做函数的极小
值点。
如果函数在点满足，而且在点附近的左右两侧
符号不变，那么不是函数的极值。
【要点说明】可导函数的极值点一定是导数为零的点（即：若是函数的一
y=f(x)
b
a
O
x
y
个极值点，则）；但导数为零的点不一定是函数的极值点（即：若满足
，则点不一定是函数的极值点）。
3．求函数极值的方法步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求函数的导数；
（3）解方程，求出使导数为零的点（即导数的零点）；
（4）以方程的根为端点，顺次把函数的定义域划分为若干个区间，并
列表；
（5）判断在方程的根左右两侧的符号，作出结论：
“左正右负”是极大值点； “左负右正”是极小值点。
三、问题探究
■合作探究
例1．求函数的极值。
解：∵，∴,
令，解得，。
当变化时，，的变化情况如下表：
0 0
递增 递减 递增
∴当时，函数有极大值，极大值为；
当时，函数有极小值，极小值为。
■自主探究
1．求函数的极值。
解：∵，∴,
令，解得，。
当变化时，，的变化情况如下表：
0 0
递增 递减 递增
∴当时，函数有极大值，极大值为；
当时，函数有极小值，极小值为。
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1. 函数的极大值为，极小值为。
解：，
令，解得或，
当时，；当时，；
当时，,
∴当时，函数有极大值，极大值为；
当时，函数有极小值，极小值为。
2. 若函数的导函数图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）。
．函数在区间上单调递增
．函数在区间上单调递减
－1 －2 －3 1 2 3 4 5 x y=f’ (x) 0
1
2
．函数在区间(4,5)上单调递增
．当3x时，有极小值
解：导函数大于零，则所对应区间上原函数单调增，导函数小于零，则所对应区间上原
函数单调减。因此C正确。
3.下列函数中，既是奇函数又存在极值的函数是（ ）。 (答案：选)
． ． ． ．