最新24矩阵幂级数汇总
矩阵指数函数
(5) e
e e；
e；
(6) det e e , 其中
αα
证明 (1) 由定理 2.1.1 知
eµ
α 是 的迹．
λµ k!
若命k m l，则
eµ
但由于C
!，于是有
!!
eµ
∑
∑Cλ λ ．
!
C
λ
µ
1， l m!
λ
λ
e e µ．
m!
l!
反之亦然． (2) 由定理 2.1.1 知
i e
k!
i
i
!
!
!
6
中国矿业大学（北京）2011 届本科生毕业设计（论文）
d e
dt
dt dt k!
kt k 1!
t
t
l!
l!
e eA ．
(6) 设 所以
diag , , … ,
，其中 是 的 Jordan 标准型，则
e
é êe
li
eli
ê
ê
e ji
ê =ê
eli
ê
ê
ê
ê
êë
diag e , e , , … , e , ，
1 el eli
(di -1)!
现在矩阵经过两个多世纪的发展，已成为一门数学分支——矩阵论。矩阵 的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技方面都有广 泛的应用．
1.2 本文所做工作
矩阵函数是矩阵理论的重要内容，矩阵函数中最简单的是矩阵多项式，是 研究其他矩阵函数的基础．本文讨论的是矩阵函数中的一类函数——矩阵指数 函数，阐述它的定义、一般基本性质、几种计算方法及这几种方法的比较，同 时阐述一下矩阵指数函数的一些应用．
级数展开式常用公式
级数展开式常用公式
级数展开常用公式是fx=1/2+x-x的平方。
1、一个有穷或无穷的序列uo，u1，u2的元素形式和S称为级数。
序列中的项称作级数的通项。
级数的通项可以是实数、矩阵或向量等常量，也可以是关于其他变量的函数，不一定是一个数。
如果级数的通项是常量，则称之为常数项级数，如果级数的通项是函数，则称之为函数项级数。
2、求解幂级数和函数时，常通过幂级数的有关运算把待求级数化为易求和的级数，求出转化后的幂级数和函数后，再利用上述运算的逆运算，求出待求幂级数的和函数。
求通项为Pnx^n的和函数，其中Pn为n的多项式解法用先逐项积分，再逐项求导的方法求其和函数。
3、幂级数的收敛域与收敛区间的区别是区间开闭不同、求法不同。
收敛域是可以是开区间也可以是闭区间，收敛区间是开区间，收敛域是求幂级数收敛域时，考虑区间端点，收敛区间是求幂级数收敛区间时，不考虑区间端点。
高等代数几个重要定理的证明-毕业论文
---文档均为word文档，下载后可直接编辑使用亦可打印--- 摘要代数是学学的心础课程，是其它课程的要提.本文共分三大部分，第一大部分主要介绍了高等代数课程的七个重要定理的内容、证明.因高等代数中提出了许多新概念、新定义、新定理，譬如多项式、数域、线性空间、映射等，且都是较为抽象的内容，故此将其中各章节中的重要定理列举出来，并寻找多个定理证明来加深对其的理解及认识.第二大部分主要介绍了在高等代数学习中遇到的问题及解决的方法.第三大部分则主要讲了高等代数在实际问题中的应用中的两种应用方法，即矩阵密码与保密通讯和情报信息检索模型.关键词：定理证明；矩阵；行列式；线性空间；高等代数应用AbstractHigher algebra is the core curriculum of university mathematics,and it is an important prerequisite for learning other courses. This paper is divided into three parts,and the first part mainly introduces the seven important theorems in advanced algebra course content. Because of Higher Algebra put forward many new concepts and new definition, theorems, such as polynomial, the number of domain, linear space mapping, etc., which are more abstract content.Therefore one of the important theorem of various sections of the list, and to find a proof of the theorem to deepen understanding and understanding of these.The second part mainly introduces the problems and solutions in the study of higher algebra. The third part focuses on the application of advanced algebra in the practical application of the two methods, namely, matrix cryptography and secure communications and information retrieval model.Key words：Theorem proving;matrix;determinant;application of Advanced algebra目录TOC \o "1-2" \u 前言11 定理阐述及证明21.1因式分解及唯一性定理21.2最大公因式存在定理41.3最小数原理51.4替换定理61.5哈密尔顿-凯莱定理81.6带余除法101.7行列式计算定理121.8定理：在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵132 高等代数的重要定理在相关的对应理论中的作用、地位与应用132.1因式分解及唯一性定理142.2 最大公因式存在定理142.3 最小数定理142.4 替换定理142.5 哈密尔顿-凯莱定理152.6 带余除法152.7 行列式计算定理152.8 对称矩阵合同于对角矩阵153 高等代数的学习15结束语17参考文献18引言高代数是范学校学业的学生所学习的一门主要，是学的继与高.它的内容由多项式理论、解理论、线性空间理论三大部分组成.这三大部分的特殊性在于其中的定理和概念较多，具体的模型稀少，，可引导用的例题较少，计算性弱，逻辑性强.在对高等代数几个重要定理的证明方法的探索中，能够改变我们的思维，增强大家都思维能力，辑思维能力和代数计算.此外，高等代数已经是从事科学研究的科技人员必备的数学基础知识，因它是理论化学与理论物理的不可替代的代数基础知识，也已经渗透到了管理、经济、科学技术等多项领域，除此以外，矩阵又有了新的意，尤其是对矩阵的数值分析方面的贡献.由是对于本文探索高等代数的定理新证明又有了重大意义.1 定理阐述及证明1.1因式分解及唯一性定理：理容：数上有的多式都可一地解为域，一些可多项的积，所说的性是说，如有个分式，则，同在当排因的次后有，，且是些零数.证法一：首先要证明的式分解式是否存在，我们对的次数作数学归纳法.因为一次性多项式都是不可约的，所以当时结论成立.先，同设此论对于数的多项式已成立.如果，那么然论成，不是约的，，其的次数都.由归纳假和都可以分解成数上一些多式的积.把，的分式来就可以得到的一个式.由归纳法原理，可知结论普遍成立.下证它的一性.设可以解成约项式的积.如果还有另一个分解，其中都可约多项式，于是. （1）我们对作归纳法.当，是不可约多项式，由定义一定有且现在设可约式的时性已证.由（1）因此，能尽中的一个，.因为也可多式，，（2）在（1）式两边消去，就有.由归纳假设，有，即，（3）并且适当排列次序之后有，，（4）即（2）,（3），（4)三式加起来就是我们所要证得，即证明了分解的唯一性.[1]证法二：可以对因式的用数学归纳法.对于可多式，也是对于的情来说，理成立.假定对于能分解成个不可约因式的乘积的多项式来说，定理成立.们明对于能可因的积的多项来说也立.等(1)表明，积可以被可多式整.性，若项与的积能被可多式，则有一能被的，且某一能被.适当调整的次序，可以假定即.但不是可约多项式，而的次数是零，所以必须是一个多项式：（2）, 把的表示式代入式（1）的右端，得:，等端除为的多项式，得出式,令那么是一个能分解成不约多项式乘积的多项式.于是由归纳假定得，亦即，并且可以假定（3）其及都是次多式.令，由（2）及（3）得，这样得到明1.2最大公因式存在定理：如果中意个项在中存一个大因，且表示为的一个合，即中项式使.证法一：数学归纳法证明：将定理证明过程中会用到的引理列出：引理[1]:如有式成，和有同的因式.下面用归纳证明大因式在定理.（种形证）证明当或时，的最大公因式为或，显然有或当且时，不妨设，令，下面对n实行归纳法：.当时设，则（非零常数）或，当时，，于是的最大公因式为，有. 当（非零常数）时，由于，故的最大公因式为，由引理，的最大公因式也为，且有定理成立..假对于的自然，定都成.看n时情形设，则或，⑴时，，于是的最大公因式为，有.⑵时，设，则或⑶时，的最大公因式为，由引理，的最大公因式也为，且有.⑷当时，由归纳假设，存在最大公因式，且由引理，的最大公因式也为，进而的最大公因式也是.所以，对于一切都存在最大公因式.由于所以,取,,则有.[3]1.3最小数原理：负整数集合的任意一个非空子集一定含一个最小数，接下来通过构造的方法证明最大公因式存在定理.证明：分成两种情况当或时，的最大公因式为或，显然有或当且时，令,记,由于，所以，则是非负整数集的一个非空子集.由最小数原理，中存在最小数，故存在，且，即是中最小次数多项式.于是，有中多项式使由带余除法或或’若则，但,即，于是，与是中最小次数多项式矛盾.因此，从而.同理可证：.于是是与的公因式.设是与的任一公因式，则，，由得：，所以是与的最大公因式，且有.1.4替换定理：设无关的量组（1）可由组（2）线表，则，且（2）中个量使得向组，（3）与量（2）.证法1.由可知性无的向组由量（2）表示，则有:可由向量组线性表示.从而，由可向量线性表示，得（3）性关.那么根据前面所提供的定理，可知至少有一个向量能用其前个向量线性表示.在向量组（3）中将除去，剩下个向量为（4）这时向量组（4）与（2）等价.同理可得（6）如果线性无关向量组的元素个数，则进行次可得向量组（7）则这个组（7）不含向，但量组（7）与向组（2）价.此又于可由，则可由性出.这与性关，故.由以上的证明过程可以的知向量组同向量组（2）等价. [4]证法2.运极无组的性质证，之后过扩极大关组来证明向量的价.设向组的极大无关组（8），然，因（1）可由线性表示，所也是的一个大无关，又因为性无关，因，又，故.因为的秩为,然，当选，可以把（1）为的一个极无关.因为，均是的极无关组，因此和等价，因此是极1.5哈密尔顿-凯莱定理：设是数上一个阵，是的，则：.证法一：是.因为矩阵都是的多项式，次数不超过，故此由矩阵的运算性质，可以写成.其中都是数字矩阵.设（6）而（7）比较（6）和（7）得（8）以依次从右边乘以（8）的第一式，第二式，…，第式，第式，得（9）把的个式子一块儿起来，就成了，右边，故.证法二:幂级数证法对于，由行列的拉普公式可得标准方程其中表示的伴随矩阵，的系数取自于的形式幂级数.因为所以可逆且为其逆矩阵，因此：将写成的次数取自于的形式幂级数，可得可以注意到中的元素都是的次数不超过的多项式，因此是零矩阵，等式两的系数，可得：，即. [5]1.6带余除法：对于中两个多项，其中，中的项存在，使（1）成立，其中，并且这样是唯一决定的.证法一：（1）中的存在性可以由高等代数北师大第四版课本上第八页所提及的除法直接得出，如果.下面设.令的次数分别为.对的次数作第二数学归纳法.当时，显然取，（1）式成立接下来讨论的情形，假设当次数时，的存在已证，现在看当次数等于时的情形.令的项，然有同的，因多项的数或为0.7对于者，取对于者，由归假，对在使其中，于是，也就是说，有,使成立.由归纳法原理，对的存在性就证明了.下面明性，设另有项使，其中，于是，即如果，又，那么,且有,但,所以不可能立，这就，因此证法二：用限维性来证明的带除法理.引理1：数上的任何线性关向量组构的一基；引理2：上一元多项式中，小于的组成的是上的；引理3：在中，一个互相同的项式组都是无关的.叙述：设是一元多项式环中的任意两个多项式，并且，那么存在唯一一对多项式满足：（1）（2）证明：设先证存在性，如果，那么就是满足定理条件（1）和（2）的唯一,如果，那么由引理2可知，中的个多项式组成的集合是线性空间的一组基.事实上，由引理3知，是一个线性无关集合，再由引理1和引理2的结论可知，它构成了的一组基.因为，所以在数域中存在唯一的一组数令，，于是满足定理的条件.再证唯一性：由于数域中的数是唯一的，所以也是唯一的1.7行列式计算定理：1.首先给出一个上三角行列式行列其实于主对线上素乘积即行列式计算定理.2.定义：数域上列式转化为三角行列式i ；ii ，；iii 换列式中的.比如把行列式的-2倍加到，得到再把第一行加到第三行，得到-2，我们将形如，，其分为三行列式和.1.8定理：在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵对角矩阵：形式为的矩阵，其中是数，通常称为对角矩阵.对称矩阵：矩阵称为对称矩阵，如果：数域上矩阵之，如果有上的矩阵，使.合同是间的一个关系，具备下列三个特点：1）自反性：；2）对称性：由即得;3) 传递性：由和即得.2 高等代数的重要定理在相关的对应理论中的作用、地位与应用2.1因式分解及唯一性定理，我们前把它成几个能再，只是续分解这个是由于我们，并它不能，实际上这是相对于系数的数域而言的，并不是绝对的.因式分解及唯一性定理是对我们初中多项式分解知识有更深刻更宽广的认知，可是该并给出能够解多项式的以上便是多项式理论中的地位与局限.此外，初阶的因式分解定理常应用于初中考试题中.2.2 最大公因式存在定理我们在维纳的经典控制论等学科里常常会用到最大公因式，这说明最大公因式不仅是数学中的重要概念，而且在多个学科里都占据着不可替代的地位，因此在求解两个多项式之间的最大公因式时所用的辗转相除法是最大公因式定理的核心内容，它又被称为欧几里得算法，历史源远流长，是现代人们已得知的最古老的算法，这就是最大公因式存在定理的地位.辗转相除法是证明与计算最大公因式的核心，并且应用范围十分广泛.当需要寻找剩余定理的数时，它会被用来解丢翻图方程；在现代密码学里，RSA的主要构成部分就是它……这些都是辗转相除法应用里的沧海一粟.2.3 最小数定理，它等故此在解决许多存在性问题时常会用到最小数定理，证法与之结合解题常有2.4 替换定理替换定理是高等代数量空间理论的又.它应用广泛，可以被，也可被用于比较大无关量组向量的；亦；也可被用于证明基的扩充性，替换定理可以使这些问题可以得到更好的解决.2.5 哈密尔顿-凯莱定理哈密尔顿-凯莱定理是线性代数中的，是式所具备的一个，它揭示了和它式之间的关系，并且在解决.哈密尔顿-凯莱定理的应用可谓十分广泛，在计算方面可以辅助证明方阵的幂与方阵的逆阵，在证明方面即矩阵多项式等于零的有关问题中，可以使问难快速的得到解决.2.6 带余除法高等代数课程中占有重要地位的多项式的整除理论的基础就是带余除法，它是初等代数中最最基础，最最重要也是最直白的定理及工具.带余除法在初等代数中常被用到，常在小学初中的试卷中以应用题的形式出现，而在做这一类题的时候，就需要把题目外面包裹的各种各样的情境忽略掉而直接注意题目的本2.7 行列式计算定理，计算理，学习行列式的计算是学好高等代数的重要基石.，也很要，学会行列式的，我们可以应用它，还可以应用它求.2.8 对称矩阵合同于对角矩阵矩阵概念在高等代数课程的应用与内容中占据了非常广泛且重要的地位.首先，线性方程组的重要性质里就包含了矩阵的知识，例如它的系数矩阵和增广矩阵，除了线性方程组之外，许多问题的研究也常常会用到矩阵，甚至会研究有关于矩阵的方面.此外，对称矩阵、对角矩阵也是矩阵理论的重要研究对象.矩阵的应用方面包括，保密通讯技术时常会用到矩阵，信息的解码和编码也是需要用到矩阵密码这个技巧的.3 高等代数的学习《等代数》与相同，是学习的大学生要学习的核心课程之，是数学在，通过对高等代数的学习，我们可以加强自身的数学素养.在对高等代数的学习过程中，我们应该注意以下几点要求，可以让我们对这门课程的学习领悟更加深刻，更加透彻.高等代数里的抽象概念非常多，学生理解起来就有困难，譬如数域，映射，线性空间等概念，这些概念的特点就在于它们从很多具体的例子中被抽象出来的，总的来说学习高等代数时首要的是注意解相关.一方面，等代数这门课程的理与概念基本属于学专业的，由此，学生首先应注重对课程义的领会和运用，在充分理解定义定理后，我们对这门课的理解也就更深刻，在面对一些复杂的题目时更容易领会解答，从而使学生解高等代数象的内容，也会使学生对这门课程产生，唯有这样，才能对数学学习有正的度.另一方面，寻求正确的学习策略是在以培养学习的兴趣，端正学习的态度的条件下所进行的十足紧要的学习步骤.有些同学学习刻苦努力，但是成绩不算太好，就把原因归结为自己太笨，自暴自弃，其实这不是计算能力的问题，而是因为概念理解能力不行，即习对大家来说，要从、象的高等代数思维蛮困难的，故此我们在学习过程中，不应只是一味努力，也要注重学习方法，课前预习，课后复习，借力于具体的例子来理解抽象的定义定理，加深对定理的理解和掌握，寻找正确的途径学习高等代数.总而言之，学习高等代数，基本上就是在熟练掌握代数方法的同时尝试深入理解几何意义.结束语在完成这篇论文的近一百天的过程中，我再次复习了OFFICE的使用方法，对此更加熟练；阅读了许多关于高等代数重要定理的书本与论文，使我对高等代数的理解变得深刻，兴趣愈发浓厚，这也是我在大学真真正正用心去做，独立思考的稚嫩的成果，希望写论文的这段人生体验能让我在以后的学习生活中乘风破浪，积极进取.参考文献[1]王萼芳，石生明.高等代数[M].第四版.北京：高等教育出版社，2013：18.[2]张禾瑞，郝鈵新.高等代数上[M].第二版.北京人民教育出版社，1979：58.[3]苏白云，张瑞.最大公因式存在定理的两个新证法[D].河南郑州：河南财经政法大学数学与信息科学系，2013.[4]杜奕秋.替换定理的若干证明方法[D].吉林四平：吉林师范大学数学学院，2006.[5]邓勇.关于Cayley-Hamilton定理的新证明[D].新疆喀什：喀什师范学院数学系，2015.[6]王萼芳，石生明.高等代数[M].第四版高等教育出版社2013:8.[7]邓勇.多项式带余除法定理的一种新证明[D].新疆喀什：喀什大学数学与统计学院，[8]韦城东，尹长明，何世榕，庞伟才.大学数学学习成败的原因的成败分析[D].广西：广西师范学院学报，2006.[9]王喜建.高等代数课程教学中的几点体会[D].广东：广东五邑大学数学物理系[10]白永成，郑亚林.数学中的基本元素[D].陕西：安康师专学报,1998.[11]欧阳伦群，欧阳伦键.高等代数学习中的困惑与解决对策[D].湖南:当代教育理论与实践，2015.[12]熊斌，周瑶.最小数原理[D].数学通讯：教师阅读，2017.[13]李丽花.哈密尔顿-凯莱定理的应用[D].上海电力学院学报，2008.[14]侯波，郭艳红.高等代数教学的几点探索[D].学园，2015.[15]张爱萍.可逆矩阵的判定及求法[D].赤峰学院学报(自然科学版)，2011.。
控制理论lesson15-状态转移矩阵的求法
结
束
i
1 i
则
J=QAQ-1
e Jt e Q
1
AQt
e J1t Q 1e At Q 0
e J2t
0 J Lt e
e At Qe Jt Q1
其中：若Ji为J的约当块，则eJit为Φ （t）中对应的约当块。
2.求特征矢量： 即
(1 I A) P1 0
1 1 1 P11 6 10 6 P 0 21 6 11 6 P31
P21 0
1 P1 0 1
解出：
P11 P31 1 (任取）
1 P 1 AP A 0
2
0 nt
e 1t P 1e At P 0
e 2 t
0 n t e
e At
e 1t 0 P 1 P n t e 0
2e 3e e 2 t 3 t 6e 6e t 2 t 3 t 2e 12e 9e
t 2 t 3 t
t 2 t 3 t 3 e 3 e e 6e 2 t 6e 3 t t 3e 12e 2 t 9e 3 t
3.求P，P-1：
1 1 1 , P 0 2 6 1 4 9
P 1 5 3 2 2 adj 3 4 3 P 3 1 1 2
4.求
eAt
e
At
：
At
Pe P 1
e 1t P 0
(3 I A) P3 0
矩阵分析
k − d +1
. .
1 ak Ck λi ∑k =0 m k −1
∑k =0 ak λi
m
k
p(λi ) p' (λi ) p′′(λi ) / 2! p(λi ) ... = ...
... ... ... ...
p(d −1) (λi ) . . p' (λi ) p(λi ) d×d
p( J 2 )
∑m ak λi k k =0 p(J p(Ji)= ‖ Σk=0makJik
1 ak Ck λi ∑k =0 m
k −1
... ... ... ... ... ... ...
1 (d −1)!
∑k =0 ak λi
m
k
ak Ckd −1λi ∑k =0 .
=PAP (PAP-1)k=PAP-1PAP-1. A=diag(J1,J2,J3)= A2=diag(J
1,J2,J3
. .PAP-1PAP-1=PAkP-1 PAP
J3
J1
J2
)2
=
J1 J2
J1 J2 J 3
0 1 1 1 0 0 1 0 −1
.用初等 .用初等 P -1=
0 1 0 1 −1 1 0 1 − 1
A-2E=
0 0 0 2 0 0 2 2 = 1 −1 1 1 1 1 − 1 −1 3 2 1 −1 1 0 1 1 0 0 1 0 − 1 1 0 = 1 − 1 1 0 1
谱半径与矩阵范数
谱半径是矩阵的一个重要特征参数，它是指矩阵所有特征值的绝对值的最大值，也就是矩阵的最大特征值的模长。
谱半径可以用来描述矩阵的稳定性和行为特征，例如矩阵的幂级数收敛性、矩阵的稳定性等。
矩阵范数是矩阵的一种度量方式，它是用来衡量矩阵大小的一种方法。
常见的矩阵范数有线性代数范数、无穷范数、最大范数等。
线性代数范数是指矩阵的每一列上的元素绝对值之和的最大值，它在线性代数中具有重要的应用。
谱半径和矩阵范数都是描述矩阵大小和性质的参数，但它们的概念和计算方法有所不同。
谱半径是针对矩阵的特征值而言的，而矩阵范数则是针对矩阵的各个元素而言的。
谱半径可以用来描述矩阵的稳定性和行为特征，而矩阵范数可以用来衡量矩阵的大小和形状。
在实际应用中，需要根据具体问题来选择合适的参数。
求矩阵次方根的公式
求矩阵次方根的公式矩阵的次方根是指对于一个矩阵A，寻找另一个矩阵B，使得B的一些非负整数幂等于A。
换句话说，对于给定的矩阵A和整数n，我们要找到一个矩阵B，使得B的n次幂等于A。
寻找矩阵的次方根在数学和工程应用中非常重要，例如在线性代数、数值分析、概率论等领域中广泛应用。
然而，一般情况下，矩阵的次方根并不总是存在或者唯一在接下来的讨论中，我们将探讨矩阵的次方根的定义、性质以及一些常见的求解方法。
定义：设A是一个n阶矩阵。
矩阵B是A的次方根，如果它满足B的n次幂等于A，即B^n=A。
性质：1.如果矩阵B是矩阵A的次方根，那么对于任意非0整数k，kB也是A的次方根。
求解方法：对于特定的矩阵A，寻找其次方根可以采用多种不同的方法。
以下是一些常见的求解方法：1.特征值和特征向量法：如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量，那么可以将矩阵A对角化为对角矩阵D，并得到相应的特征向量矩阵P。
此时，有A=PDP^(-1)，其中D是对角矩阵，元素为A的特征值。
然后，可以对D中的每个对角元素求平方根，得到D的次方根。
最后，将P和D的次方根代入公式，得到矩阵A的次方根。
2.幂级数展开法：对于一些特殊形式的矩阵，可以通过幂级数展开来求解矩阵的次方根。
幂级数展开是使用泰勒级数将函数表达为无穷级数的形式，然后通过截断级数求得一个近似解。
通过将矩阵A代入幂级数展开的公式，可以得到矩阵A的次方根的近似解。
3.方程迭代法：方程迭代法是一种迭代算法，通过不断迭代求解方程组来逼近方程的解。
对于矩阵A，可以通过迭代计算来逼近其次方根。
根据迭代公式，初始矩阵B0被指定为一个初始矩阵（如单位矩阵），然后通过迭代计算矩阵B的下一个矩阵，直到收敛到次方根。
4.线性分式法：线性分式法是一种基于线性分式的求解方法，它可以将矩阵的次方根表示为一个线性分式的形式。
通过确定分式的系数，可以将矩阵的次方根表示为一个有限项的表达式。
需要注意的是，求解矩阵的次方根通常是一个复杂且困难的问题。
e的矩阵指数的计算方法
e的矩阵指数的计算方法我们来了解什么是矩阵指数。
在数学中，矩阵是由数个数按照一定规律排列而成的矩形阵列。
而矩阵指数则是将一个矩阵作为底数，以e为底的指数函数应用于该矩阵的运算。
那么，如何计算矩阵指数呢？一种常用的方法是使用矩阵的幂级数展开。
对于一个n阶方阵A，其矩阵指数可以通过以下公式来计算：e^A = I + A + A^2/2! + A^3/3! + ...其中，I是单位矩阵，A^k表示矩阵A的k次幂，k!表示k的阶乘。
利用该公式，我们可以通过逐项相加的方式来计算矩阵指数，直到达到所需的精度。
对于某些特殊的矩阵，我们还可以使用其他方法来计算其指数。
例如，对于对角矩阵，其指数等于每个对角元素取指数后的对角矩阵。
对于可对角化的矩阵，可以通过对角化后的形式来计算指数。
而对于不可对角化的矩阵，可以使用特征分解等方法进行计算。
矩阵指数在数学中有广泛的应用。
例如，在微分方程的求解中，矩阵指数可以用于求解线性系统的解。
在动力系统和控制论中，矩阵指数可以用于描述系统的稳定性和响应。
在量子力学中，矩阵指数可以用于描述时间演化。
矩阵指数还在实际问题中得到了广泛的应用。
例如，在图像处理中，矩阵指数可以用于图像的模糊和去噪。
在机器学习中，矩阵指数可以用于降维和特征提取。
在金融领域，矩阵指数可以用于建立风险模型和预测模型。
矩阵指数是一种重要的数学工具，它可以描述矩阵的指数函数运算，可以通过幂级数展开或其他方法进行计算。
矩阵指数在数学和实际问题中都有广泛的应用，可以用于求解微分方程、描述系统的稳定性和响应，以及在图像处理、机器学习和金融等领域中的应用。
通过研究和应用矩阵指数，我们可以深入理解矩阵运算的性质，以及将其应用于解决实际问题。
Cauchy-Hadamard定理中关于“幂级数收敛半径确定”充分性的分析
Cauchy-Hadamard 定理中关于“幂级数收敛半径确定”充分性的分析李占勇（喀什大学数学与统计学院，新疆喀什844000）摘要：针对华东师范大学数学系编著的《数学分析（下册）》第三版第十四章第一节Cauchy-Hadamard定理中利用上极限确定幂级数收敛半径的条件“当0<ρ<+∞时，收敛半径R =1ρ”，给出了一个反例说明该条件充分性不足，并通过分析应对幂级数系数集{a n }的有界性加以限制，得到了Cauchy-Hadamard 定理的最优充分性条件.关键词：Cauchy-Hadamard 定理；幂级数收敛半径；充分性；上极限；下极限中图分类号：O173.1文献标志码：A文章编号：2096-2134（2020）06-0017-040引言幂级数是函数项级数中最基本的一类.它的特点是在其收敛区间绝对收敛，且幂级数在收敛区间内可逐项微分和积分，由此得到了一种函数的无限形式的表达式（即幂级数展开式）.将函数展为幂级数，无论在理论研究方面还是在应用方面都有着重大的意义.收敛级数有许多重要的应用[1-6].一般级数不是在任一点处都是收敛的，它们有一定的收敛域，需要讨论它们的收敛半径[7-9].对于幂级数+∞n=0∑a n x n中系数集是否满足“limn →+∞a n n√存在”，可以将幂级数+∞n =0∑a n x n 收敛半径的确定分为两个阶段.第一个阶段是当lim n →+∞a n n√存在时，有如下基本定理.定理1[10]已知幂级数+∞n=0∑a n x n，设limn →+∞a nn√=ρ，则：（1）当0<ρ<+∞时，幂级数+∞n=0∑a n x n 的收敛半径为1ρ；（2）当ρ=0时，幂级数+∞n =0∑a n x n 的收敛半径为+∞；（3）当ρ=+∞时，幂级数+∞n =0∑a n x n 的收敛半径为0.第二个阶段是当limn →+∞a n n√不存在时，可以利用上极限确定幂级数的收敛半径，即下面的Cauchy-Hadamard 定理.定理2[10]（Cauchy-Hadamard 定理）已知幂级数+∞n =0∑a n x n ，设limn →+∞a n n√=ρ，则：（1）当0<ρ<+∞时，幂级数+∞n=0∑a n x n 的收敛半径为1ρ；收稿日期：2020-11-11作者简介：李占勇（1986-），男，河南省驻马店人，硕士，主要从事常微分方程与动力系统研究.E-mail ：*******************DOI ：10.13933/ki.2096-2134.2020.06.005喀什大学学报Vol.41No.6第41卷第6期（2）当ρ=0时，幂级数+∞n=0∑a n x n的收敛半径为+∞；（3）当ρ=+∞时，幂级数+∞n=0∑a n x n 的收敛半径为0.对于定理2中的（1），我们提出一个反例：设幂级数+∞n =0∑a n x n ，其中a n =n n ，当n 为奇数时；（122，当n =2时；（12+12n 2）n，当n 为不小于4的偶数时.⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐容易看出a n n√{}=1，12，3，（12+122），5，（12+123），6，…{}，它只有一个聚点12，因此，lim n →+∞a n n√=ρ=12，由Cauchy-Hadamard 定理知收敛半径R =1ρ=2，那么幂级数+∞n=0∑a n x n 必在x =1处收敛；但是当我们把1带入幂级数+∞n=0∑a n x n中得到级数+∞n=0∑a n ，而级数∑a n=11+（12）2+33+（12+122）4+55+（12+123）6+67+…≥11+33+55+…=∑（2n -1）2n -1，显然+∞n =0∑a n x n 在x =1处发散，这就产生了矛盾.由此可见，上述定理2中的条件（1）还缺少限制条件，这个限制条件就是“a n n√{}是有界的”.添加该限制条件后即为下面的Cauchy -Hadamard 定理.定理3（Cauchy-Hadamard 定理）已知幂级数+∞n =0∑a n x n，设limn →+∞a n n√=ρ，则：（1）当a n n√{}有界，0<ρ<+∞时，幂级数+∞n=0∑a n x n 的收敛半径为1ρ；（2）当ρ=0时，幂级数+∞n =0∑a n x n 的收敛半径为+∞；（3）当ρ=+∞时，幂级数+∞n =0∑a n x n 的收敛半径为0.2Cauchy-Hadamard 定理3的证明证明我们先看a nn √{}与ρ的之间的关系性质：因为ρ是a n n√{}的所有聚点的上确界，所以对于任意小的正数ε，则存在a n n√{}的一个聚点a ∈（ρ-ε，ρ+ε）.现取一个正数δ=min {（ρ-ε）-a ，（ρ+ε）-a }，由a 是a n n√{}的一个聚点可知（a -δ，a +δ）中含有a n n√{}的无数个项；再由（a -δ，a +δ）⊂（ρ-ε，ρ+ε）可知（ρ-ε，ρ+ε）中含有a n n√{}的无数个项，从而ρ是a n n√{}的一个聚点.其次，再来证明：满足大于等于ρ+ε的a n n√{}中的项的个数是有限的.假设满足大于等于ρ+ε的a n n√{}中的项的个数是无限的，并用A 表示由这无数个项组成的数集.根据添加的限制条件“a n n√{}是有界数列”可知数列A中又存在聚点b ，不妨设其中一个聚点为b ，显然b ≥ρ+ε（否则，就有b <ρ+ε，此时取正数δ′=（ρ+ε）-b ，则（b -δ′，b +δ′）中不含数列A 中的项，但这与b 是数列A 的一个聚点产生矛盾），进而有b >ρ，又因为b 是数列A 的一个聚点，那么它必是a n n√{}的一个聚点，但这与ρ是a n n√{}的所有聚点的上确界产生矛盾，所以假设不成立，满足大于等于ρ+ε的a n n√{}中的项的个数是有限的.注1：设limn →+∞a n n√=l ，同理可证l 是a nn√{}的一个聚点，且满足小于等于l -ε的a n n√{}中的项的个数是有限的.有了这些结论，我们就很容易得到如下正项级数收敛判定定理：引理1已知正项级数+∞n=1∑u n ，若满足：（1）当u n +1u n{}有界（显然lim n →+∞u n +1un，lim n →+∞u n +1u n均存在且均不小于0），且lim n →+∞u n +1u n =ρ<1时，则正项级数+∞n =1∑u n 收敛；喀什大学学报第41卷18··李占勇：Cauchy-Hadamard 定理中关于“幂级数收敛半径确定”充分性的分析第6期（2）当lim n →+∞u n +1u n =l >1时，则正项级数+∞n =1∑u n发散.注2：lim n →+∞u n +1u n=l >1并不能证明{u n }中有无穷个项大于1，它只能证明有无穷个比值项大于1，只有这无穷个比值项是依次衔接的才能证明正项级数+∞n =1∑u n 发散.引理2已知正项级数+∞n=1∑u n ，若满足：（1）当{u n }有界（显然limn →+∞u nn√存在且不小于0）且lim n →+∞u n n√ρ<1时，则正项级数+∞n=1∑u n 收敛；（2）当lim n →+∞u n n√ρ<1（ρ≠+∞）时，则正项级数+∞n=1∑u n 发散；（3）当lim n →+∞u n n√ρ=+∞时，正项级数+∞n=1∑u n发散.引理证明我们只给出引理2的证明，引理1的证明类似.（1）因为lim n →+∞u n n√=ρ<1，所以可取正数ε=1-ρ2，那么大于等于ρ+ε的u n n √{}中的项是有限个.设这有限个项的最大下标为N ，则当n>N时，总有u n n√<ρ+ε<1，根据正项级数收敛的柯西判别法可证得+∞n =1∑u n 收敛.（2）因为lim n →+∞u n n√=ρ>1，所以可取正数ε=ρ-12，那么（ρ-ε，ρ+ε）中含有u n n√{}的无数个项；由ρ-ε>1可知u n n√{}中有无数个项大于1，从而u n {}中有无数个项大于1，这样我们得到+∞n=0∑u n →+∞，即正项级数+∞n=1∑u n 发散.（3）因为lim n →+∞u n n√=+∞，所以存在u nn√{}的一个聚点u n 1n 1√，取正数ε=u n 1n 1√-12，则区间u n 1n 1√-ε，u n 1n 1√ε()含有u n n√{}中的无穷多个项，又因为1<u n 1n 1√-ε，所以这无穷多个项均大于1，进而对应的中的无穷多个项也大于1，这样我们得到正项级数+∞n =1∑u n 是发散的.现在继续回到定理的证明：（1）任取x ∈1ρ，1ρ()，则lim n →+∞a n x n n√=lim n →+∞a n n√·x ()=ρx <1（lim n →+∞ku n =k lim n →+∞u n ，k >0），从而+∞n =0∑a n x n 收敛，即+∞n =0∑a n x n 在-1ρ，1ρ()上绝对收敛，再由级数绝对收敛必收敛可知+∞n =0∑a n x n在-1ρ，1ρ()上是收敛的.任取x ∈-∞，-1ρ()∪1ρ，+∞()，则lim n →+∞a n x n n √=lim n →+∞a n n √·x ()=ρx >1，根据引理2可知+∞n=0∑a n x n 发散，即+∞n =0∑a n x n 在-∞，-1ρ()∪1ρ，+∞()上不绝对收敛.假设x ∈-∞，-1ρ()∪1ρ，+∞()使+∞n =0∑a nx n收敛，取1ρ<x⎺<x ，类比阿贝耳定理的证明可知：+∞n=0∑a n x n 在x ⎺处绝对收敛，又因为1ρ<x ⎺，所以根据前面的结论可知+∞n =0∑a n x n 在x ⎺处不绝对收敛，这就产生了矛盾，即+∞n =0∑a n x n 在-∞，-1ρ()∪1ρ，+∞()上发散，这说明幂级数+∞n =0∑a n x n 的收敛半径为1ρ.（2）任取x ∈（-∞，+∞），则lim n →+∞a n x n n√=limn →+∞a n n√·x()=ρx =0<1，根据引理2可知+∞n =0∑a n x n 收敛，从而+∞n =0∑a n x n 在（-∞，+∞）上绝对收敛且收敛，即幂级数+∞n =0∑a n x n 的收敛半径为+∞.（3）因为ρ=+∞，所以当x ≠0时，lim n →+∞a n x nn√19··Analysis on the Sufficiency of Determining the Convergence Radius of PowerSeries in Theorem Cauchy-HadamardLI Zhan-yong（School of Mathematics and Statistics，Kashi University，Kashi 844000，Xinjiang，China）Abstract：According to the Cauchy-Hadamard theorem in the first section of Chapter 14in the third edition ofmathematical analysis （Volume II ）edited by the Department of mathematics of East China Normal University,the condition of using upper limit to determine the convergence radius of power series “when 0<ρ<+∞，the radius of convergence R =1ρ”，this paper gives a counter example to show that the condition is insufficient ，The boundedness of coefficient seta nn√{}of power series should be restricted by analysis.Finally,the optimalsufficient conditions of Cauchy-Hadamard theorem are obtained.Key words：Cauchy-Hadamard theorem；the radius of convergence of power series；sufficiency；upper limit；lower limit=lim n →+∞a n n√·x ()=ρx =+∞，从而有当x ≠0时，+∞n =0∑a nxn在（-∞，+∞）上不绝对收敛.假设存在x ≠0使幂级数+∞n=0∑a n x n 收敛，那么取一个正数x ⎺满足0<x ⎺<x ，类比阿贝耳定理的证明可知幂级数+∞n =0∑a n x n 在x ⎺处绝对收敛.但由前面的结论可知，幂级数+∞n =0∑a n x n 在x ⎺处不绝对收敛，所以假设失败，即幂级数+∞n =0∑a n x n 的收敛半径为0.定理3得证.3结论本文经过Cauchy -Hadamard 定理充分性的分析，增加了幂级数系数集a n n√{}的有界性，并且通过定理的证明过程得知系数集a n n√{}有界是必须的，从而增加的条件是最优的.在引理2中，我们知道{u n }有界必能推出u n n√{}有界，而u n n√{}有界则未必推出{u n }有界，所以会使人误认为“{u n }有界”换作“u n n√{}有界”后，条件（1）拓宽了.其实不然，换后的条件（1）除了有u n n√{}有界，还有0<ρ<1，这两个条件结合起来能证明{u n }有界，因此换后的条件与换前的条件是对等的，但对于给定的幂级数考察{u n }有界是直接能看到的，不需要经过变换.参考文献：[1]唐荣荣.渐近级数与收敛级数的比较[J].大学数学，2009，25（3）：181-184.[2]朱明星.幂级数的应用[J].中国科技信息，2011，（10）：60-61.[3]赵青波.不等式证明中幂级数的应用分析[J].当代旅游，2018，（11）：1-2.[4]初文昌.形式幂级数技巧的应用:Ⅰ.李善兰恒等式的初等证明[J].数学的实践与认识，1990，（1）：82-84.[5]张建军，宋业新，瞿勇.从两道竞赛题看幂级数展开式的应用[J].科技创新导报，2017，（30）：224-225.[6]孙延彬.矩阵幂级数的收敛性质和应用[J].和田师范专科学校学报，2010，29（3）：198-201.[7]蒋国强.一类幂级数收敛半径的统一求法[J].高等函授学报（自然科学版），2003，16（3）：20-21.[8]蔡道西.关于二元幂级数收敛半径的计算公式[J].数学学习与研究，2009，（5）：111-112.[9]Shapovalovska L O ，Skaskiv O B.On the radius of conve-rgence of random gap power series [J ].International Journal of Mathematical Analysis ，2015：1889-1893.[10]华东师范大学数学系.数学分析：下册[M].北京：高等教育出版社，2006.喀什大学学报第41卷20··。
求矩阵次方根的公式
求矩阵次方根的公式要求解一个矩阵的次方根，首先我们需要明确矩阵的次方根是什么。
设A为一个n阶矩阵，k为正整数，若满足B^k=A，那么B被称为A的k次方根。
矩阵的次方根在许多应用中是非常有用的，比如在矩阵的数值计算、线性代数和微分方程等领域都有广泛的应用。
在下面的文章中，我将介绍两种求解矩阵次方根的方法：矩阵对角化和矩阵的幂级数展开法。
一、矩阵的对角化法对于一个n阶矩阵A，如果它满足对角化条件，即存在可逆矩阵P和对角阵D，使得A=PDP^(-1)，则可以很容易地求出它的次方根。
为了求解A的k次方根，我们先对A进行对角化，得到A = PDP^(-1)，其中P是可逆矩阵，D是对角阵，D = diag(d1, d2, ..., dn)。
那么A的k次方根可以表示为B = Pdiag(sqrt(d1), sqrt(d2), ...,sqrt(dn))P^(-1)。
这里我们需要注意的是，矩阵的对角化并不是任意矩阵都可以进行的，只有当矩阵A满足一定条件时，才能对其进行对角化。
常见的对角化条件包括矩阵A有n个线性无关的特征向量，以及矩阵A具有n个不同的特征值等。
二、矩阵的幂级数展开法对于无法通过对角化求解次方根的矩阵，我们可以利用幂级数展开法来求解。
我们先考虑一个简单的情况，对于对角阵D = diag(d1,d2, ..., dn)，它的次方根可以通过对各个对角元素取平方根得到：sqrt(D) = diag(sqrt(d1), sqrt(d2), ..., sqrt(dn))。
现在我们考虑一个一般的矩阵A，可以将它写成A=PDP^(-1)，其中P 是可逆矩阵，D是对角阵。
我们希望求解矩阵A的次方根。
假设B是A的k次方根，即B^k=A。
将A写成对角阵的形式，我们有(BP)^(k)(P^(-1)B^(-1))^(k)=PDP^(-1)。
令C=BP，则上式可以进一步化简为C^(k)(C^(-1))^(k)=D。
现在我们只需要求解对角阵D的次方根。
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24矩阵幂级数 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢20 §4. 矩阵的幂级数 在研究矩阵幂级数之前先研究一下矩阵（主要是方阵）级数。 一、矩阵级数 1.Df1.：若给定«Skip Record If...»中的一方阵序列，«Skip Record If...»
则和式 «Skip Record If...» «Skip Record If...»
称为方阵级数，记为«Skip Record If...»。其中«Skip Record If...»为通项，m—求和变量。
«Skip Record If...»称为（1）的前N项部分和序列（矩阵序列） 若«Skip Record If...»，则称（1）收敛，且其和为S 说明：若记«Skip Record If...» 表示的 «Skip Record If...»第i行第j列位置上的元素，根据定义1 精品资料
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢21 显然有，«Skip Record If...»收敛«Skip Record If...»个数项级数«Skip Record If...»收敛。
Df2.若«Skip Record If...»个数项级数«Skip Record If...»绝对收敛，则称«Skip Record If...»绝对收敛。
2.收敛方阵级数的性质： ①若方阵级数«Skip Record If...»绝对收敛，则它一定收敛，且任意交换各项的次序，所得新级数仍收敛且和不变。
②方阵级数«Skip Record If...»收敛«Skip Record If...»对任一方阵范数«Skip Record If...»，正项级数«Skip Record If...»收敛。
下面研究矩阵（方阵）幂级数 二、矩阵幂级数 Df1.设«Skip Record If...»，称«Skip Record If...»为矩阵A的幂级数，其中«Skip Record If...»为一复数序列，称«Skip Record If...»为幂级数«Skip Record If...»的部分和，若«Skip Record If...»，称«Skip Record If...»收敛于S，并称S为幂级数«Skip Record If...»的和矩阵。 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢22 注：若令«Skip Record If...»，则矩阵幂级数«Skip Record If...»矩阵级数的形式。因此，矩阵级数的结论对矩阵幂级数的形式是适用的。即：
Th1.矩阵幂级数«Skip Record If...»收敛于«Skip Record If...»
其中，«Skip Record If...»,«Skip Record If...»分别表示«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的第i行，第j列元素。
Th2.矩阵幂级数«Skip Record If...»绝对收敛«Skip Record If...»对任一范数«Skip Record If...»，正向级数级数«Skip Record If...»收敛。
Proof:«Skip Record If...»若«Skip Record If...»收敛，考虑«Skip Record If...»的敛散性，
由矩阵范数的等价性，«Skip Record If...»与«Skip Record If...»等价，即«Skip Record If...»
使«Skip Record If...»（由比较审敛法）
«Skip Record If...»收敛。
又 «Skip Record If...» 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢23 «Skip Record If...»«Skip Record If...»收敛，因此，«Skip Record If...»绝对收敛。
«Skip Record If...»若«Skip Record If...»绝对收敛«Skip Record If...»收敛
«Skip Record If...»收敛，即«Skip Record If...»收敛。
由矩阵范数的等价性«Skip Record If...»对任一矩阵范数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»使«Skip Record If...»，«Skip Record If...»有«Skip Record If...»收敛。
推论1.若«Skip Record If...»绝对收敛（收敛），则«Skip Record If...»绝对收敛（收敛）
其中P,Q为给定的n阶方阵，且有 «Skip Record If...» Proof：«Skip Record If...»绝对收敛«Skip Record If...»«Skip Record If...»绝对收敛。
又«Skip Record If...» 由比较审敛法，«Skip Record If...»«Skip Record If...»绝对收敛。 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢24 下面给出判断矩阵幂级数收敛与发散的方法：
Th3.设复变数幂级数«Skip Record If...»的收敛半径为R，A的谱半径为«Skip Record If...»，则：
①当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»绝对收敛。
②当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»发散。 Proof：①若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»（如取«Skip Record If...»）
«Skip Record If...» «Skip Record If...»收敛 存在矩阵«Skip Record If...»,«Skip Record If...» ②若«Skip Record If...»，设«Skip Record If...»，其中x为单位向量，«Skip Record If...»
若«Skip Record If...»收敛，则由推论1.知： «Skip Record If...» «Skip Record If...» 也收敛，但«Skip Record If...»在收敛域之外而发散，矛盾， 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢25 故，«Skip Record If...»发散。
应该注意：«Skip Record If...»时，无法确定。 推论2.若«Skip Record If...»的收敛半径«Skip Record If...»，则对«Skip Record If...»，«Skip Record If...»绝对收敛，即复变数幂级数«Skip Record If...»在整个复平面上收敛。
eg1.«Skip Record If...»的收敛半径«Skip Record If...»，对«Skip Record If...»,有«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»且绝对收敛。
eg2.设«Skip Record If...»，试证明«Skip Record If...»绝对收敛。
Proof：«Skip Record If...»的收敛半径«Skip Record If...»。
则只要证«Skip Record If...»即可。 «Skip Record If...» 对任意的矩阵范数，都相互等价，不妨取«Skip Record If...»，有：
«Skip Record If...» 由Th3，«Skip Record If...»绝对收敛。 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢26 eg3.若«Skip Record If...»，«Skip Record If...» 证明：«Skip Record If...»
Proof:«Skip Record If...» 即 «Skip Record If...» 两边取极限 左边＝«Skip Record If...» 右边＝«Skip Record If...»
（由上节Th5. «Skip Record If...»,«Skip Record If...»） 所以有«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»
eg4.设«Skip Record If...» ① 试判断«Skip Record If...»的敛散性 ② 试证明：0!)1(mmmAm绝对收敛。 解：①«Skip Record If...»,设«Skip Record If...»的收敛半径为R。