2020年上海杨浦区高三一模数学试卷

2020年上海杨浦区高三一模数学试卷

一、填空题（本大题共12题，1-6题每小题4分，7-12题每小题5分，共54分）

1.函数的定义域为 ．

2.关于、的方程组的增广矩阵为 ．

3.已知函数的反函数，则 ．

4.设，为纯虚数（为虚数单位），则 ．

5.已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则母线与底面所成角的大小为 ．

6.已知二项展开式中的系数为，则实数 ．

7.椭圆焦点为、，为椭圆上一点，若，则 ．

8.8.已知数列是通项公式为，是数列的前项和．则 ．

9.在直角坐标平面中，，，动点在圆：上，则的取值范围为 ．

10.已知六个函数：①；②；③；④；⑤；⑥

．从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法有 种．

11.已知函数，若关于的方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围为 ．

12.

向量集合，对于任意，，以及任意，都有

，则称为“类集”．现有四个命题：

①若为“类集”，则集合也是“类集”；

②若、都是“类集”，则集合也是“类集”；

③若、都是“类集”，则也是“类集”；

④若、都是“类集”，且交集非空，则也是“类集”．

其中正确的命题有 ．

二、选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分）

13.已知实数，满足，则下列不等式中恒成立的是（ ）．

A.

B.

C.

D.

14.要得到函数的图象，只要将的图象（ ）．

A.向左平移个单位

B.向右平移个单位

C.向左平移个单位

D.向右平移个单位

15.设、为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）．

A.如果，那么

B.如果，那么

C.如果，那么

D.如果，那么

16.对于全集的子集，定义函数为的特征函数．设、为全集的子

集，下列结论中错误的是（ ）．

A.若，则

B.C.

D.

三、解答题（本大题共5题，共76分）

（1）（2）17.如图，四棱锥

中，底面为矩形，

底面

，

，

，

、分别为棱

、

的中点．

求证：、、、四点共面．求异面直线

与

所成的角．

（1）（2）18.

已知函数，其中为实常数．

若，解关于

的方程

．

判断函数

的奇偶性，并说明理由．

（1）（2）19.东西向的铁路上有两个道口

、，铁路两侧的公路分布如图，位于的南偏西

，且位于

的南偏东

方向，

位于的正北方向，

，处一辆救护车欲通过道口前往

处的

医院送病人，发现北偏东方向的处（火车头位置）有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道

口都需要分钟，救护车和火车的速度均为

．

北

东

判断救护车通过道口是否会受到火车影响，并说明理由．

为了尽快将病人送到医院，救护车应选择、中的哪个道口？通过计算说明．

【答案】解析:因为函数，要使

有意义，则需

，

所以的定义域为

．

解析:∵

，

（1）（2）（3）20.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线

的焦点为，点是第一象限内抛物线

上的一点，点

的坐标为

，

．

若，求点的坐标．若为等腰直角三角形，且，求点

的坐标．

弦

经过点

，过弦

上一点作直线

的垂线，垂足为点

，求证：“直线

与抛

物线相切”的一个充要条件是“为弦

的中点”．

（1）（2）（3）21.已知无穷数列

的前项和为，若对于任意的正整数，均有，，则称数列

具有性质．

判断首项为，公比为的无穷等比数列是否具有性质，并说明理由．

已知无穷数列具有性质，且任意相邻四项之和都相等，求证：．已知，

，数列

是等差数列，

，若无穷数列

具

有性质，求

的取值范围．

为奇数为偶数

1.2.

∴其增广矩阵为．

解析:因为函数的反函数为，

则，．

故答案为．

解析:因为为纯虚数，

所以需满足，

解得或．

解析:

如图，由圆锥底面半径

，

则底面周长为，

∵侧面积为，

∴，

则

，则母线长为，

，

母线

与底面所成角为

，

，

所以

，

故母线与底面所成角大小为

．3.或

4.

5.

6.

解析:

二项展开式，

通项，

，

令，则，

，

∵二项展开式的系数为，

∴，，

∴，故实数．

7.

解析:

椭圆，焦点为，，

∵为椭圆上一点，，

由椭圆定义，知，，

，

，

，

．

∴．

8.

解析:

数列的通项公式，前几项和，