等可能概型古典概型
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第1章§3古典概型
第一章 随机事件与概率
§3 古典概型 某接待站在某周接待了12次来访,已知这12次来访 都是在周二和周四进行的.问是否可以推断接待站的接待时 间是有规定的？ 假设接待站的接待时间没有规定, 且认为来访者每 周任一天到达是等可能的. 则 212 P{12次来访都在周二和周四 } 12 7 0.0000003 概率非常小的事件，称为小概率事件
15/20+2
§3 古典概型 将 4 把能打开四间不同房门的钥匙随机发 给 4 个人,试求 A {至少有一人能打开门 } 的概率. P( A) P( A1 A2 A3 A4 ) 1 1 1 1 2! 3! 4! 0.625
16/20+2
P( A) P( A1 A2 An ) 1 1 1 1 (1) n1 1 n! 2! 3! 4! 1e 1 0.632
碉堡面积 p 区域总面积
10 0.001 10000
第一章 随机事件与概率
§3 古典概型
19/20+2
向平面有界区域 投掷一个点 可测量面积的平面区域 A
A 的面积 P( A) 的面积 则称上述试验为几何概型.
事件 A 发生的概率与位置无关,只与 A的面积有关， 这体现了某种“等可能性” 如果样本空间为有界区间、空间有界区域，则 “面积” 改为“长度”、“体积”
第一章
随机事件与概率
§3 古典概型 设事件 A 含 k 个样本点，即 A {i1 , i 2 ,, i k } {i1 } {i 2 } {i k } P( A) P{i1 } P{i 2 } P{i k } 1 1 1 n n n k n
(1)n 1 P( A1 A2 An )
§3 古典概型 某接待站在某周接待了12次来访,已知这12次来访 都是在周二和周四进行的.问是否可以推断接待站的接待时 间是有规定的？ 假设接待站的接待时间没有规定, 且认为来访者每 周任一天到达是等可能的. 则 212 P{12次来访都在周二和周四 } 12 7 0.0000003 概率非常小的事件，称为小概率事件
15/20+2
§3 古典概型 将 4 把能打开四间不同房门的钥匙随机发 给 4 个人,试求 A {至少有一人能打开门 } 的概率. P( A) P( A1 A2 A3 A4 ) 1 1 1 1 2! 3! 4! 0.625
16/20+2
P( A) P( A1 A2 An ) 1 1 1 1 (1) n1 1 n! 2! 3! 4! 1e 1 0.632
碉堡面积 p 区域总面积
10 0.001 10000
第一章 随机事件与概率
§3 古典概型
19/20+2
向平面有界区域 投掷一个点 可测量面积的平面区域 A
A 的面积 P( A) 的面积 则称上述试验为几何概型.
事件 A 发生的概率与位置无关,只与 A的面积有关， 这体现了某种“等可能性” 如果样本空间为有界区间、空间有界区域，则 “面积” 改为“长度”、“体积”
第一章
随机事件与概率
§3 古典概型 设事件 A 含 k 个样本点，即 A {i1 , i 2 ,, i k } {i1 } {i 2 } {i k } P( A) P{i1 } P{i 2 } P{i k } 1 1 1 n n n k n
(1)n 1 P( A1 A2 An )
概率论与数理统计 第一章 1.3等可能概型
C1C1 + C1C1 = 9⋅ 3 + 3⋅ 9 = 54 . 9 3 3 9
概率论
54 3 P(C) = 2 = . 所以 8 12 (2) 采取不放回抽样.
从箱子中任取两件产品,每次取一件,取法总数为12⋅ 11 . ⋅
⋅ 即样本空间中所含有的基本事件总数为 12⋅ 11 . 1 1 事件A 事件 中所含有的基本事件数为 C9C8 = 9⋅ 8 . 9⋅ 8 6 = . 所以 P( A) = 12⋅ 11 11 事件B 事件 中所含有的基本事件数为 C1C1 = 9⋅ 3 . 9 3 9⋅ 3 9 所以 P( B) = = . 12⋅ 11 44
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
概率论
我们用 i 表示取到 i 号球， 号球， i =1,2,…,10 . 则该试验的样本空间
如i =2
2
S={1,2,…,10} ,
且每个样本点(或者说基本 且每个样本点 或者说基本 事件)出现的可能性相同 事件 出现的可能性相同 . 称这样一类随机试验为古 称这样一类随机试验为古 典概型. 典概型
乘法原理
概率论
完成某件事情需先后分成m个步骤 做第一步有 完成某件事情需先后分成 个步骤,做第一步有 1 个步骤 做第一步有n 种方法,第二步有 种方法,依次类推 第二步有n 依次类推,第 步有 步有n 种方法 第二步有 2种方法 依次类推 第m步有 m种方 特点是各个步骤连续完成. 法,特点是各个步骤连续完成 特点是各个步骤连续完成 则完成这件事共有N=n1×n2×…×nm种不同的方法 则完成这件事共有 × 种不同的方法,
即样本空间中所含的基本事件数为122 . C1C1 = 92 . 事件A 事件 中所含有的基本事件数为 9 9 92 9 = 2 = . 所以 P( A) 12 16 C1C1 = 9⋅ 3 . 事件B 事件 中所含有的基本事件数为 9 3 9⋅ 3 3 所以 P( B) = 2 = . 16 12 事件C 事件 中所含有的基本事件数为
概率论
54 3 P(C) = 2 = . 所以 8 12 (2) 采取不放回抽样.
从箱子中任取两件产品,每次取一件,取法总数为12⋅ 11 . ⋅
⋅ 即样本空间中所含有的基本事件总数为 12⋅ 11 . 1 1 事件A 事件 中所含有的基本事件数为 C9C8 = 9⋅ 8 . 9⋅ 8 6 = . 所以 P( A) = 12⋅ 11 11 事件B 事件 中所含有的基本事件数为 C1C1 = 9⋅ 3 . 9 3 9⋅ 3 9 所以 P( B) = = . 12⋅ 11 44
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
概率论
我们用 i 表示取到 i 号球， 号球， i =1,2,…,10 . 则该试验的样本空间
如i =2
2
S={1,2,…,10} ,
且每个样本点(或者说基本 且每个样本点 或者说基本 事件)出现的可能性相同 事件 出现的可能性相同 . 称这样一类随机试验为古 称这样一类随机试验为古 典概型. 典概型
乘法原理
概率论
完成某件事情需先后分成m个步骤 做第一步有 完成某件事情需先后分成 个步骤,做第一步有 1 个步骤 做第一步有n 种方法,第二步有 种方法,依次类推 第二步有n 依次类推,第 步有 步有n 种方法 第二步有 2种方法 依次类推 第m步有 m种方 特点是各个步骤连续完成. 法,特点是各个步骤连续完成 特点是各个步骤连续完成 则完成这件事共有N=n1×n2×…×nm种不同的方法 则完成这件事共有 × 种不同的方法,
即样本空间中所含的基本事件数为122 . C1C1 = 92 . 事件A 事件 中所含有的基本事件数为 9 9 92 9 = 2 = . 所以 P( A) 12 16 C1C1 = 9⋅ 3 . 事件B 事件 中所含有的基本事件数为 9 3 9⋅ 3 3 所以 P( B) = 2 = . 16 12 事件C 事件 中所含有的基本事件数为
1.3 等可能概型、几何概型
2013年7月29日星期一 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第一章 第三节 --第26页--
人们在长期的实践中总结得到“概率 很小的事件在一次实验中几乎是不发生的” （称之为实际推断原理）。这样小概率的 事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们 有比较大的把握怀疑这是魔术. 具体地说，可以99.9%的把 握怀疑这是魔术.
2013年7月29日星期一
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
第一章 第三节 --第3页--
例如，一个袋子中装有 10个大小、形状完全相同 的球. 将球编号为1－10 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从 中任取一球.
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
2013年7月29日星期一
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
i 1, 2,, n .
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
其中
2013年7月29日星期一
n
第一章 第三节 --第6页--
古典概型的概率计算（概率的古典定义）
确定试验的基本事件总数
设试验结果共有n个基本事件ω1，ω2，...，ωn ， 而且这些事件的发生具有相同的可能性
确定事件A包含的基本事件数
P ( A1 A2 Ak ) P ( A1) P ( A2 ) P ( Ak ) 可列可加性
排列组合是计算古典概率的重要工具 .
2013年7月29日星期一 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第一章 第三节 --第8页--
“等可能性”是一种假设，在实际应用中， 需要根据实际情况去判断。在许多场合， 由对称性和均衡性，我们就可以认为基本 事件是等可能的并在此基础上计算事件的 概率.
2013年7月29日星期一 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第一章 第三节 --第10页--
人们在长期的实践中总结得到“概率 很小的事件在一次实验中几乎是不发生的” （称之为实际推断原理）。这样小概率的 事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们 有比较大的把握怀疑这是魔术. 具体地说，可以99.9%的把 握怀疑这是魔术.
2013年7月29日星期一
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
第一章 第三节 --第3页--
例如，一个袋子中装有 10个大小、形状完全相同 的球. 将球编号为1－10 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从 中任取一球.
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
2013年7月29日星期一
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
i 1, 2,, n .
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
其中
2013年7月29日星期一
n
第一章 第三节 --第6页--
古典概型的概率计算（概率的古典定义）
确定试验的基本事件总数
设试验结果共有n个基本事件ω1，ω2，...，ωn ， 而且这些事件的发生具有相同的可能性
确定事件A包含的基本事件数
P ( A1 A2 Ak ) P ( A1) P ( A2 ) P ( Ak ) 可列可加性
排列组合是计算古典概率的重要工具 .
2013年7月29日星期一 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第一章 第三节 --第8页--
“等可能性”是一种假设，在实际应用中， 需要根据实际情况去判断。在许多场合， 由对称性和均衡性，我们就可以认为基本 事件是等可能的并在此基础上计算事件的 概率.
2013年7月29日星期一 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第一章 第三节 --第10页--
1-4古典概型
解：以分钟为单位, 则上一次报时时刻为下一次报时时刻长为60，
10 P ( A) 60
例9：(会面问题) 甲、乙两人相约在7点到8点之间在某地会面, 先到者等候另一人20分钟, 过时就离开. 如果每个人可在指定 的一小时内任意时刻到达, 试计算二人能够会面的概率. 记7点为计算时刻的0时, 以分钟为单位, 用 x , y 分别记表 解： 示甲、乙两人到达指定地点的时刻, 显然
A 表示“n 个人的生日均不相同”, 这相当于每间房子至
多做一个人，
于是由例4有： P( A)
Cn 365 n ! 365n
Cn 365 n ! 365
50
n
P( A) 1 P( A) 1
经计算可得下述结果： N 20 23 30 40
.
64
100
p 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997
0 x 60,0 y 60
则样本空间为：
S {( x, y) | 0 x 60,0 y 60}
用字母A表示事件“两人能会面”, 则
A {( x, y ) | ( x, y) S , | x y | 20}
P(A) = 阴影部分的面积/正方形的面积
( A) 602 402 5 . 2 (S ) 60 9
1 Cm (n 1)! m n! n
练习: 一个八位数的电话号码，记住了前5位，而后三位只记 的是0、5、6三个数，而具体排列记不住，问试拨一次就拨 对的可能性有多大？
解：用A来表示“试拨一次就拨对”，
3 总的基本事件总数： P 3
3! 6
A所包含的基本事件数： 1
古 典 概 型 课件
不是古典概型.虽然试验的所有可能 结果只有7个,但命中10环、命中9环…… 命中5环和不中环的出现不是等可能的， 即不满足古典概型的第二个条件。
在古典概型下,每个基本事件 出现的概率是多少？
在掷一颗骰子的实验中： 基本事件有“出现1点”, “出现2 点” ．．．共6个. P(“出现1点”)=P(“出现2
答：
5
(1)摸出两个球都是红球的概率为 14 3
(2)摸出的两个球都是黄球的概率为 28
(3)摸出的两个球一红一黄的概率为 15
28 (4)摸出的两个球中有黄球的概率为
9/14.
变式拓展：袋中有大小、形状 相同的红、黑球各一个，现一 次有放回地随机摸取3次，每次 摸取一个球。
（1）试问：一共有多少种不同的结果？ 请列出所有可能的结果；
（红、黑、红）、（黑、红、红）
事件A包含的基本事件数为3由
（I）可知，基本事件总数为8，
所以事件A的概率为
3 8
答:(1)一共有36种不同的结果. (2)向上的点数之和是5的结果有4种. (3)向上的点数之和是5的概率是1/9.
例4（无放回摸球问题）：一个口袋内 装有大小相同的5个红球和3个黄球， 从中一次摸出两个球. (1)求摸出两个球都是红球的概率； (2)求摸出的两个球都是黄球的概率； (3)求摸出的两个球一红一黄的概率； (4)求摸出的两个球中有黄球的概率。
P("答对") "答对"所包含的基本事件的个数 4
1 0.25 4
问题1：假设有20道单选题，每题四 个选项,如果有一个考生答对了17道 题，他是随机选择的可能性大，还是他 掌握了一定知识的可能性大？
问题2：在标准化考试中既有单选题 又有多选题，多选题是从A，B，C， D四个选项中选出所有正确的答案，同学 们可能有一种感觉，如果不知道正确答 案，多选题更难猜对，这是为什么？
在古典概型下,每个基本事件 出现的概率是多少？
在掷一颗骰子的实验中： 基本事件有“出现1点”, “出现2 点” ．．．共6个. P(“出现1点”)=P(“出现2
答：
5
(1)摸出两个球都是红球的概率为 14 3
(2)摸出的两个球都是黄球的概率为 28
(3)摸出的两个球一红一黄的概率为 15
28 (4)摸出的两个球中有黄球的概率为
9/14.
变式拓展：袋中有大小、形状 相同的红、黑球各一个，现一 次有放回地随机摸取3次，每次 摸取一个球。
（1）试问：一共有多少种不同的结果？ 请列出所有可能的结果；
（红、黑、红）、（黑、红、红）
事件A包含的基本事件数为3由
（I）可知，基本事件总数为8，
所以事件A的概率为
3 8
答:(1)一共有36种不同的结果. (2)向上的点数之和是5的结果有4种. (3)向上的点数之和是5的概率是1/9.
例4（无放回摸球问题）：一个口袋内 装有大小相同的5个红球和3个黄球， 从中一次摸出两个球. (1)求摸出两个球都是红球的概率； (2)求摸出的两个球都是黄球的概率； (3)求摸出的两个球一红一黄的概率； (4)求摸出的两个球中有黄球的概率。
P("答对") "答对"所包含的基本事件的个数 4
1 0.25 4
问题1：假设有20道单选题，每题四 个选项,如果有一个考生答对了17道 题，他是随机选择的可能性大，还是他 掌握了一定知识的可能性大？
问题2：在标准化考试中既有单选题 又有多选题，多选题是从A，B，C， D四个选项中选出所有正确的答案，同学 们可能有一种感觉，如果不知道正确答 案，多选题更难猜对，这是为什么？
古典概型
解:有放回的连取两次取得两件,其一切可能的结 果组成的 有放回的连取两次取得两件, 基本事件是
={ (a,a),(a,b),(a,c), (b,a), (b,b),(b,c),(c,a), (c,b),(c,c) } ∴n=9 表示" 用B表示"恰有一件次品"这一事件, 表示 恰有一件次品"这一事件, 则 (a,c), (b,c), (c,a), (c,b) } B={ ∴m=4 ∴P(B) = 4
9
练 习 巩 固
从含有两件正品a,b和一件次品 的三件产品中任取2 和一件次品c的三件产品中任取 1 从含有两件正品 和一件次品 的三件产品中任取 求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 件,求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 解:试验的样本空间 ={ab,ac,bc} ∴n = 3 设事件A={取出的两件中恰好有一件次品 ,则 取出的两件中恰好有一件次品}, 设事件 取出的两件中恰好有一件次品 A={ac,bc} ∴m=2 ∴P(A)=
∴n = 1000000
表示" 用A表示"能取到钱"这一事件,它包 表示 能取到钱"这一事件, 含的基本事件的总数只有一个. 含的基本事件的总数只有一个.
∴m=1 ∴P(A) =
1 = 0 .0 0 0 0 0 1 1000000
和一件次品c的三件产品 例5,从含有两件正品 和一件次品 的三件产品 ,从含有两件正品a,b和一件次品 中每次任取1件 每次取出后不放回, 中每次任取 件,每次取出后不放回,连续取两 求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 次,求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 每次取一个, 解:每次取一个,取后不放回连续取 两次, 两次,其基本事件是
小 结
={ (a,a),(a,b),(a,c), (b,a), (b,b),(b,c),(c,a), (c,b),(c,c) } ∴n=9 表示" 用B表示"恰有一件次品"这一事件, 表示 恰有一件次品"这一事件, 则 (a,c), (b,c), (c,a), (c,b) } B={ ∴m=4 ∴P(B) = 4
9
练 习 巩 固
从含有两件正品a,b和一件次品 的三件产品中任取2 和一件次品c的三件产品中任取 1 从含有两件正品 和一件次品 的三件产品中任取 求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 件,求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 解:试验的样本空间 ={ab,ac,bc} ∴n = 3 设事件A={取出的两件中恰好有一件次品 ,则 取出的两件中恰好有一件次品}, 设事件 取出的两件中恰好有一件次品 A={ac,bc} ∴m=2 ∴P(A)=
∴n = 1000000
表示" 用A表示"能取到钱"这一事件,它包 表示 能取到钱"这一事件, 含的基本事件的总数只有一个. 含的基本事件的总数只有一个.
∴m=1 ∴P(A) =
1 = 0 .0 0 0 0 0 1 1000000
和一件次品c的三件产品 例5,从含有两件正品 和一件次品 的三件产品 ,从含有两件正品a,b和一件次品 中每次任取1件 每次取出后不放回, 中每次任取 件,每次取出后不放回,连续取两 求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 次,求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 每次取一个, 解:每次取一个,取后不放回连续取 两次, 两次,其基本事件是
小 结
第1.3节 等可能概型
定义:
概率论所讨论的问题中,有一类问题最简单直观,这类问题
所涉及到的试验具有下面两个特征：
1)(有限性)试验的样本空间的元素只有有限个; 2)(等可能性)试验中每个基本事件发生的可能性相同. 把具有上述两个特征的试验称为等可能概型或古典概型.
例如,抛一枚质地均匀的硬币,或者出现正面或者出现反面,只
方法２ （利用对立事件的概率关系）
P ( A ) 1 P ( A ) 1 P ( A0 ) 1 C 20
甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率
为 0.85 ，乙击中的概率为 0.8 ．两人都击中的概率为
0.68 ．求目标被击中的概率．
解
设Ａ表示甲击中目标，Ｂ表示乙击中目标，
有两种结果,且每种结果出现的可能性相同.又如抛一颗骰子, 观察出现的点数,则共有6种结果,且每一种结果出现的可能性 相同.
设古典概率 E 的样本空间为 S e1 , e2 , , en .
由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同 , 即
P e1 P e 2 P e n
得 P(A1)
m A1 n
3 8
.
( 2 ) A 2 { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH }.
因此
P(A2)
m A2 n
7 8
.
例 2 一口袋装有 6 只球,其中 4 只白球、 只红球. 从 2 袋中取球两次,每次随机地取一只.考虑有放回和无放 回两种抽样,试分别就这两种情况求:(1) 取到的两只 球都是白球的概率,(2) 取到的两只球颜色相同的概 率,(3) 取到的两只球中至少有一只是白球的概率.
古典概型满足的条件
古典概型满足的条件古典概型是概率论中的一个基本概念，它指的是在某种实验中，样本空间中的每个样本点具有相同的概率。
在古典概型中，满足以下条件：1. 有限性：样本空间中的样本点是有限个数的。
这意味着实验的结果是可以列举出来的，而不是无限多的。
2. 等可能性：每个样本点发生的概率是相等的。
也就是说，在没有其他信息的情况下，每个样本点发生的可能性是相同的。
古典概型的一个典型例子是掷硬币。
当我们掷一枚硬币时，其样本空间为{正面，反面}，而正面和反面出现的概率都是1/2。
因为硬币只有两面，而且在没有其他信息的情况下，每个面出现的可能性是相同的。
古典概型还可以用来解决排列组合的问题。
例如，在一副扑克牌中，从中随机抽取5张牌，问有多少种可能的抽法？我们可以使用古典概型来解决这个问题。
首先，我们需要确定样本空间，也就是所有可能的抽牌结果。
然后，我们需要确定每个样本点发生的概率，即每种抽牌结果发生的可能性。
在这个例子中，样本空间的大小是52张牌中抽取5张的组合数，而每个样本点发生的概率是相等的，即1/组合数。
通过计算，我们可以得到答案。
古典概型虽然简单，但在概率论的发展历程中起到了重要的作用。
它为我们提供了一种简单而直观的思维框架，帮助我们解决实际问题。
古典概型的条件简明清晰，使得我们能够准确地计算概率，从而做出合理的决策。
除了满足条件的古典概型，还存在其他类型的概型，如几何概型和条件概型。
几何概型适用于具有几何结构的问题，例如在平面上随机抛掷一个点落在某个区域内的概率。
条件概型则适用于已知某些条件下发生事件的概率。
这些概型在实际问题中也有广泛的应用。
古典概型是概率论中的一个重要概念，它具有简单清晰的条件，可以帮助我们计算概率并解决实际问题。
通过了解古典概型的条件和应用，我们可以更好地理解概率论的基本概念和方法，提高我们的数学思维能力和问题解决能力。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择合适的概型，并利用概率论的知识进行计算和分析，从而做出合理的决策。
古典概型 课件
(1)甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是多少?
(2)甲,乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是 多少? 答案:(1) 4
15 13 (2) 15
题型三 借助排列组合知识计数,解较复杂的古典 概型题
例 乘3,积.从是13,2的,3倍, …数,的10概这率十为个数字中任8取两个数相 15
练习:一个口袋装有大小相同的2个白球和3个黑球. (1)从中摸出两个球,求两球恰好颜色不同的概率.
一、事件的关系：
（1）对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发 生，这时称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）记作：
B A 或 AB
不可能事件记作：
（任何事件都包含不可能事件）
例如：书本探究中的事件C1={出现1点}发生，则事件 H={出现点数为奇数}一定发生。这时我们说事件H包含
例1同时掷两颗不同的骰子,求所得的点数之和为6 的概率.
解: 掷两颗骰子共有36种基本事件,且是等可能的
其中点数和为6的有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)共
5种.故所得的点数之和为6的概率为
5 36
题型二 借助于互斥事ຫໍສະໝຸດ ,对立事件的公式求概率例2:甲,乙两人参加法律知识竞答,共有10道不同 的题目,其中选择题6道,判断题4道,甲,乙两人依次 各抽一题.
(2)从中摸出一个球,放回后再摸出一个球,求两球
恰好颜色不同的概率.
答案:(1) 3 5
答案:(2) 12 25
练习2从4名男生和2名女生中任选3人参加演 讲比赛.
(1)所选3人都是男生的概率为
1
5
(2)所选3人中恰有1名女生的概率为的概率为 3 5
4 (3)所选3人至少有1名女生的概率为 5
(2)甲,乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是 多少? 答案:(1) 4
15 13 (2) 15
题型三 借助排列组合知识计数,解较复杂的古典 概型题
例 乘3,积.从是13,2的,3倍, …数,的10概这率十为个数字中任8取两个数相 15
练习:一个口袋装有大小相同的2个白球和3个黑球. (1)从中摸出两个球,求两球恰好颜色不同的概率.
一、事件的关系：
（1）对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发 生，这时称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）记作：
B A 或 AB
不可能事件记作：
（任何事件都包含不可能事件）
例如：书本探究中的事件C1={出现1点}发生，则事件 H={出现点数为奇数}一定发生。这时我们说事件H包含
例1同时掷两颗不同的骰子,求所得的点数之和为6 的概率.
解: 掷两颗骰子共有36种基本事件,且是等可能的
其中点数和为6的有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)共
5种.故所得的点数之和为6的概率为
5 36
题型二 借助于互斥事ຫໍສະໝຸດ ,对立事件的公式求概率例2:甲,乙两人参加法律知识竞答,共有10道不同 的题目,其中选择题6道,判断题4道,甲,乙两人依次 各抽一题.
(2)从中摸出一个球,放回后再摸出一个球,求两球
恰好颜色不同的概率.
答案:(1) 3 5
答案:(2) 12 25
练习2从4名男生和2名女生中任选3人参加演 讲比赛.
(1)所选3人都是男生的概率为
1
5
(2)所选3人中恰有1名女生的概率为的概率为 3 5
4 (3)所选3人至少有1名女生的概率为 5
古典概型
计算公式是：P（A）+ P(B)＝１；P( A )=1－P(A)；
（二）分布列 1．分布列：设离散型随机变量 ξ 可能取得值为 x1，x2，…，x3，…，ξ 取每一个值 xi（i=1，2，…）的概率为
P(
xi )
pi ，则称表为随机变量 ξ
的概率分布，简称 ξ
的分布列
新疆 王新敞
奎屯
ξ
x1
x2
…
8．两点分布列: 随机变量 X 的分布列是：
ξ
0
1
P 1 p
p
像上面这样的分布列称为两点分布列．
[全面解读] 古典概型这一模块内容分两个部分，一个是古典概型，一个是离散型随机变量的概率分布。古典概型的问题 基本是数个数，它本质是排列组合问题，分布列问题主要应掌握期望与方差的公式，对二项分布问题应重点关注。 [难度系数]★★☆☆☆
知识点分析：
（一） 古典概型
１．随机事件 A 的概率： 0 P( A) 1，其中当 P( A) 1时称为必然事件；当 P( A) 0 时称为不可能事件；
2．等可能事件的概率（古典概型）： P(A)= m 。理解这里 m、ｎ的意义。 n
3．互斥事件：A、B 互斥，即事件 A、B 不可能同时发生。计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。 4．对立事件：A、B 对立，即事件 A、B 不可能同时发生，但 A、B 中必然有一个发生。
6.方差的性质： Da b a2D ；
7．二项分布：在 一 次随机 试 验 中 ，某事 件 可能发 生 也 可能 不 发生 ，在 n 次独立重复试验中这个事件发生的 次数 ξ 是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件 恰好发生 k 次的概率是
（二）分布列 1．分布列：设离散型随机变量 ξ 可能取得值为 x1，x2，…，x3，…，ξ 取每一个值 xi（i=1，2，…）的概率为
P(
xi )
pi ，则称表为随机变量 ξ
的概率分布，简称 ξ
的分布列
新疆 王新敞
奎屯
ξ
x1
x2
…
8．两点分布列: 随机变量 X 的分布列是：
ξ
0
1
P 1 p
p
像上面这样的分布列称为两点分布列．
[全面解读] 古典概型这一模块内容分两个部分，一个是古典概型，一个是离散型随机变量的概率分布。古典概型的问题 基本是数个数，它本质是排列组合问题，分布列问题主要应掌握期望与方差的公式，对二项分布问题应重点关注。 [难度系数]★★☆☆☆
知识点分析：
（一） 古典概型
１．随机事件 A 的概率： 0 P( A) 1，其中当 P( A) 1时称为必然事件；当 P( A) 0 时称为不可能事件；
2．等可能事件的概率（古典概型）： P(A)= m 。理解这里 m、ｎ的意义。 n
3．互斥事件：A、B 互斥，即事件 A、B 不可能同时发生。计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。 4．对立事件：A、B 对立，即事件 A、B 不可能同时发生，但 A、B 中必然有一个发生。
6.方差的性质： Da b a2D ；
7．二项分布：在 一 次随机 试 验 中 ，某事 件 可能发 生 也 可能 不 发生 ，在 n 次独立重复试验中这个事件发生的 次数 ξ 是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件 恰好发生 k 次的概率是
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3
3
3
3
共3 3 3 3 34种
第1、2个杯子中各有两个球的放法
4种 2
2种 2
2个
2个
共
4 2
22种
因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为
p 2422
摸球方式
不同结果总数
从n个 可分 辨的 球中 任取m 个球
无放 回
有放 回
计序 不计序
计序 不计序
Anm (排列数)
Cnm (组合数)
nm (排列数)
C
m nm1
组合
数)
复习排列组合的有关公式
许多古典概型问题可以转化为摸 球模型．
２.典型例题
例２ 设袋中有10只球，编号分别为1,2,…,10. 从中任取３只球,求
..
A {只产品中恰有1只是次品},
与(1)类似有：
p(
A0
)
.
p( A) .
于是所求的概率为
p( A) 1 P( A) 1 P( A A1)
k n
A
所包含基本事件的个数 基本事件总数
.
称此为概率的古典定义 . 也可记为P( A) N ( A) N(S)
例 将一枚硬币抛掷三次. (1) 设事件 A1 为 “恰有一次出现正面”, 求 P( A1). (2) 设事件 A2
为“至少有一次出现正面”, 求 P( A2 ).
解 (1) 设 H 为出现正面 , T 为出现反面.
在 100件产品中抽取15件,其中恰有2 件次品的取法
共有 种, 于是所求的概率为
p
.
(2) 设 A {只产品中至少有两只是次品},
A {只产品中没有次品},
(1) 取出的球最大号码为５的概率. (2) 取出的球最小号码为５的概率. (3) 取出的球最大号码小于５的概率.
解 设 A {取出的球最大号码为5},
B {取出的球最小号码为 5}, C {取出的球最大号码小于5},
基本事件总数为
N
(
S
)
,
(1)
A 所包含基本事件的个数为
答案
p
1
365 364 (365 365n
n
1) ).
利用软件包进行数值计算.
例 设有件产品, 其中有 件次品, ()从中任
取 件, 求其中至少有 件次品的概率.
解 (1) 在100件产品中抽取15件的所有可能取 法共有 种,
34 2 .
27
课堂思考
1) 分房问题 n个人随机地住入n个房间中，
求无空房的概率. (答案 : n! nn )
2) 生日问题 (1) n个人生日各不相同的概率；
答案
p
Pn 365
365 n
365 364
(365 365 n
n 1)).
(2)n个人中至少有两个人生日相同的概率.
1.4 古典概型(等可能概型)
1.古典概型 ２.典型例题 ３. 小结
1.古典概率模型(等可能概型)
（1）定义
1) 试 验 的样 本 空 间 只 包含有 限 个样 本 点; 2) 试 验 中每 个 基 本 事 件发生 的 可能 性 相 同. 具 有 以上 两 个 特 点 的试验 称 为古 典 概 型 或 等 可 能概 型. 古典概型的样本空间可以表示为
互不相容的情况：最大号码为４或最大号码为３．
C 所包含基本事件的个数为 N (C) ,
故 P(C ) N (C ) . N(S) 2 2
例３ 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球 的概率. 解 设 A {前 2次摸到黑球 , 第3次摸到红球 } 第3次摸到红球 4种 第12次摸到黑球 6种
N
(
A)
,
故
P(
A)
N( N(
A) S)
4 2
. 20
(2) 由于 N (B) ,
故 P(B) N (B) 5 . N(S) 2
(3) 由于取出的三只球中，最大号码小于５，有两种
S {e1, e2,..., en} 其中每一个基本事件发生的概率均为
n
（2） 古典概型中事件概率的计算公式
设试验 E 的样本空间由n 个样本点(基本事 件)构成， A为 E 的任意一个事件，且包含 k个 样本点(基本事件)，则事件 A 出现的概率记为:
P( A)
第123次摸球 10种
基本事件总数为 101010 103,
A 所包含基本事件的个数为 6 6 4,
故
P( A)
664 103
0.144.
例５ 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.
解 4个球放到3个杯子的所有放法
则 S {HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT }.
而 A1 {HTT , THT , TTH }.
得
P( A1 )
N ( A1 ) N(S)
.
(2) A2 {HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT ,TTH }.
因此
P( A )
N ( A ) N(S)
.
（3 ）古典概型的基本模型:摸球模型
摸球模型是指从n个可辨认的球中按照不 同的要求(是否放回，是否计序),一个一个地从 中任取m个，从而得到不同的样本空间，然后 在各自的样本空间中计算某事件的概率.
摸球模型一般可分为四种情况，各种情 况的基本事件数如下表：