高等数学(微积分)课件--85高阶偏导数教学案例

《高数课件23偏导数》课件

可以使用极限定义或利用偏导数的性质来计算混合偏导数。
3. 隐函数偏导数
1 定义
隐函数是由方程表达的函数，其中的某些变量无法用其他变量来显式表示。
2 隐函数偏导数的计
算
可以使用全微分或利用偏导数链式法则来计算隐函数的偏导数。
3 隐函数定理的应用
通过隐函数定理，可以求得隐函数的导数，进一步进行相关计算。
2
几何意义
偏导数表示函数在某一点沿着坐标轴的斜率，可用于描述曲面上某点的切线方向。
3
计算
可以利用基本的导数规则，如链式法则等，计算偏导数。
2. 高阶偏导数
定义ห้องสมุดไป่ตู้
高阶偏导数是对多元函数的多个变量进行多次求导得到的导数。
混合偏导数的概念
混合偏导数指对一个多元函数的某两个变量进行连续求导得到的偏导数。
混合偏导数的计算公式
2 泰勒公式的应用
泰勒公式可用于求函数的特定阶导数、函数在某一点的近似值等。
3 泰勒展开的计算方法
可以使用泰勒公式的展开和导数来计算函数在某一点的近似值。
6. 应用实例
1
实际问题的建模
通过建立数学模型，将实际问题转化
应用偏导数解决实际问题的例
2
为数学问题，进行相关计算。
子
利用偏导数可以求解实际问题中的最
4. 最值问题
极值的定义
极值是指函数在某个特定区间上取得最大值或最小值的点。
求解极值的方法
最值问题的应用
可以使用导数测试、二阶条件、拉格朗日乘数法等方法来求解极值问题。
最值问题可应用于现实生活中的优化场景，如最大化收益、最小化成本等。
5. 泰勒公式
1 定义

大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx

高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法或莱布尼茨公式等方法进行求解。需要注意的是，在计算过程中要遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。例如，在物理学中，加速度是速度的一阶导数，而速度是位移的一阶导数；在工程学中，梁的挠度是荷载的一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在该点有定义，且左右极限相等并等于函数值。连续性是函数的基本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在该点的切线斜率存在，即函数在该点有导数。可微性反映了函数局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连续。即函数的连续性是可微性的必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼茨独立发展。经过数百年的完善，已成为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了有效方法。

第7讲高阶偏导数

两个混合偏导数相等
这里的两个混合偏导数均连续
例
例
xy(x2 y2 )
设
f
(
x,
y)

x2 y2
,
x2 y2 0

0,
x2 y2 0
求 f xy(0, 0) , f yx(0, 0) .
解需按定义求函数在点(0, 0) 处的偏导数:
fx(0, 0) lim f (x, 0) f (0, 0) 0
xy
解 u
x
f1(
x
y x

z)

f
2

( xyz x
)

f1 yz f2
2u xy

y
(
f1
yz
f 2)
此时, 2u 2u . yx xy

f11
(x y y
z)

f12

( xyz ) y

z
f 2
x0
x
f y(0, 0)

lim
y 0
f
(0, y) y
f
(0, 0)

0
f xy (0, 0) lim y0
fx(0, y) y
fx(0, 0)
lim y y0 y

1
f yx(0, 0) lim f y(x, 0) f y(0, 0) lim x 1

yz

f21

(x y y

z)

f22

( xyz)
y

f11 (x y)z f12 xyz2 f22 z f 2

7：高阶偏导数

定理
若 z f (x, y) 的二阶混合偏导数在
U(( x0 , y0 )) 内存在且在点 (x0 , y0 ) 处连续,
则必有
2
f
(x0 ,
y0 )
2
f
(x0 ,
y0 )
.
xy
yx
废话! 求出偏导数才能判断连续性, 这时一眼就可看出混合偏导数是否相等了, 还要定理干什么.
有些函数不必求出其导数,就可知道它的导函数是否连续. 懂吗！
例
例
求 z ex2y 的二阶偏导数.
解
z x
2xyex2 y
z x2e x2 y y
2z x 2
z x x
x
(2xyex2y )
(2y 4x2 y2 )ex2y
2z y 2
y
z y
(x2ex2y ) y
x 4e x2 y
2 z 2 z (x2ex2y ) (2x 2x3 y)ex2y
一切记号才回复到导数和微分的意义.
3. 称 dx dy k 为k阶微分算子. x y
它本质上是一个映射. 它将 Ck 中的元素 z 映成 dk z . 4. 若 x, y 不是自变量, dk z 一般不具有上述形式(即高阶微分不具有形式不变性).
完
三、泰勒(Taylor)公式
一元函数 f (x) 的泰勒公式(在一点附近用一个多
2
x
x x
2 x 2
,
2 y
y
y
2 y 2
,
2 2 2 2 . xy xy xy
a
x
b
y
ab
2 xy
,
a
x

高阶导数PPT

y′ = f ′(x ) 仍然可导，则我们把 y′ = f ′(x ) 的导数叫做
d y y = f (x) 的二阶导数 y′′, f ′′( x)或 , 即二阶导数，记作函数二阶导数 dx
2 2
d y d dy ′′ = ( y′)′, f ′′( x) = [ f ′( x)]′, y = dx dx dx
y′′ = cos( x + ) = sin( x + 2 ⋅ ), 2 2
π
π
y′′′ = cos( x + 2 ⋅ ) = sin( x + 3 ⋅ ), 2 2 一般地，可得 ( sin x ) 类似地，可得 ( cos x )
湖南对
Foreign
π
π
(n)
= sin( x + n ⋅ ) 2 = cos( x + n ⋅ ). 2
L2′ (1) > 0,
L2′′ (1) > 0 ，所以利润的增长率在加速所以利润的增长率在加速.
结论：由于建设周期至少要3 结论：由于建设周期至少要3年，因此该公司应选择第二个模型. 第二个模型
湖南对
Foreign
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
Relations
College
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
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高等数学：第五讲高阶偏导数

2z xy
fxy (x, y);
( z ) x y
2z
yx
f yx(x, y);
( z ) y y
2z y 2
f yy (x, y).
混合偏导数
混合偏导数
高阶偏导数
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z f (x, y) 关于 x 的三阶偏导数为
3z 2z x3 x ( x2 )
z f (x, y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数，再关于 y 的一阶偏导数为
1 x
2z x 1 xy xy y
3z x2y 0
3z xy 2
-
1 y2
内容小结
高阶偏导数
二阶偏导数
( z ) x x
2z x 2
fxx(x, y);
( z ) x y
2z
yx
f yx(x, y);
பைடு நூலகம்
y
( z ) x
2z xy
f xy (x, y);
( z ) y y
2z y 2
f yy (x, y).
谢谢
例题1中，两个二阶混合偏导数相等，即 2 z 2 z . xy yx
这是由于多项式函数在其定义区域内都是连续的函数.
例题2：
设
z x ln(xy),
求
2z , 2z , 3z , 3z . x2 xy x2y xy2
解
z ln( xy) x y ln(xy) 1
x
xy
2z x 2
y xy
y
n1z ( xn1
)
nz x n 1y
二阶及二阶以上的偏导数统称为函数的高阶偏导数.
z ，z x y

高阶偏导数、方向导数与梯度PPT课件

有
而初等说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,
函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序. (与求导次序无关. )
7/30
二、方向导数
f ( x, y, z ) 在点 P( x, y, z ) 处定义: 若函数
沿方向
0
l
, , ) 存在下列极 l (方向角为
6/30
r2
定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 ) f y x ( x0 , y0 )
(证明在P29-30)
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 例如, 对三元函数 u = f (x , 当三阶混合偏导数 y , (z 在点 x) ,, y , z) 连续时,
n
3/3
3 例1. 求函 z x2y . ze 的二阶偏导数及 2 数 y x z z 解 : 2 e x2y e x2y y x
z x2y e 2 x 2 2 z z x2y x2y 4e 2e 2 y x y 3 2 z z x2y ( ) 2 e y x 2 x y x 2z 2z , 但这一结论并不总成立. 注意:此处 x y y x
导数: z 2z z 2 z ( ) f x y ( x, y ) ( ) 2 f x x ( x, y ); y x y x x x x
2 z z ( ) f y x ( x, y) f 21 ( x, y); x y x y 2 z z ( ) f y y ( x, y) f 22 ( x, y) 2 y y y
5/30

8.4 偏导数与全微分

z
2 x 6x 4 y 2
先代后求
z x (1, 2)
z
2 1 3 y y x 1
《微积分》(第三版) 教学课件
z y (1, 2)
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偏导数的求法根据偏导数的定义求多元函数对一个自变量的偏导数只需将其他自变量看成常数用一元函数求导法即可求得
§8.4 偏导数与全微分
一、偏导数
二、高阶偏导数
三、全微分
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结束
一、偏导数
回顾
一元函数y=f (x)在x0处的导数
f ( x0 ) lim f ( x0 x) f ( x0 ) y lim x 0 x x 0 x
多元函数的变化率如何研究? 将y看作常量，研究z对x的变化率
混合偏导数
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结束
例6 求zx3y33xy2的各二阶偏导数
2 2 2 解 z 3 y 6 xy 3 x 3 y z y x
6x z 6 y zyx 6 y zyy 6 y 6x z xx xy
f y( x0 , y0 ) lim
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f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 )
y
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y 0
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
(x, y) f yx (x, y) 但这个等在上面两个例题中都有 f xy