高等代数第二章矩阵

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线性代数第二章

其中，
s
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj (i 1，2 ，，m ；j 1，2 ，，n) ．
k 1
注：（1）只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，否则 AB
没有意义．
（2）矩阵 C 中元素 cij 等于左矩阵 A 的第 i 行与右矩阵 B 的第 j 列对应元素乘积之和．
（3）矩阵加减法与矩阵数乘统称为矩阵的线性运算．
2.2.2 数与矩阵相乘
矩阵数乘的性质
（1）分配律： k( A B) kA kB，(k l)A kA lA ；（2）结合律： (kl) A k(lA) ；（3）1A A，0A O ．
2.2.2 数与矩阵相乘
例题
3 1 2
7 5 4
a11 a12
a21
a22
am1 am2
a1n a11 a12
a2n
或
a21
a22
amn
am1
am 2
a1n
a2n
，
amn
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵．通常用大写字母 A，B ，C ，表示矩阵， aij 表示
矩阵中第 i 行、第 j 列的元素，一个 m n 矩阵可以简记为 A=Am×n=(aij) m×n
a11
只有一列的矩阵
A
a21
称为列矩阵或列向量。
am1
注：列矩阵也可记为 A a11 ，a12 ，，a1n 。
2.1.2 几种特殊形式的矩阵
3．零矩阵
所有元素全为零的矩阵称为零矩阵， m n 零矩阵记为 Omn 或简记为 O ． 4．方阵
对于矩阵 Amn ，当 m n 时，称为 n 阶方阵，记作 Ann 或 An ，即

2.4矩阵的秩第二章矩阵的初等变换与线性方程组线性代数课件

r3 5 r4 r3
1 2 2 1 1 0 0 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
R ( A ) 2 , R ( B ) 3 .
三、小结
1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); (2)初等变换法
(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).
1.5、矩阵秩的概念
任何矩A阵 mn ,总可经过有限次变初换等把它变为梯行形阶，行梯阶形矩阵中非零行数是唯一确. 定的
定义1 在mn矩阵A中任取k行k列（km, kn），位于这些行列交叉处的k2 个元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式.
m n矩A 阵的 k阶子C m k 式 •C n k个共 .
例1
求矩阵 A12
2 3
35的秩 .
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又 A的 3阶子式只 A，且有A一 0，个
R (A )2.
Байду номын сангаас另解
对矩A 阵
1 0
3 2
2 1
32做初等变换
2 0 1 5
1 3 2 2 1 3 2 2 0 2 1 3~0 2 1 3,
2 0 1 5 0 0 0 0
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
1 6 4 1 4
r3 3r2
0
4
3
1 1
r4 4r2
0 0
0 0
0 0
4 8 4 8
r4 r3

线性代数课件_第二章_矩阵及其运算——4

求AB, AB . A
2019/7/23
课件
20
解将A, B分块
a
A

0 0
0
1 a 0 0
0 0 b 1
0
0 1 b
A1 0
0 , A2
其中
A1

a 0
A2

b 1
1, a 1; b
a
B

1 0
A
.
As1 Asr
2019/7/23
课件
9
例
2,
1 A3
2 2
3 1
4 5 6
1 2 2 2 3 2 2A3 2 2 2 1 2
4 2 5 2 6 2 4 4 6 6 4 2 . 8 10 12
2019/7/23
课件
33
A1B1A1 0 0 A2B2A2
a3 a 2a2 1 0
0

a2 0 0
a3 a 0 0
0 b3 2b
3b2
b23b2021b.
2019/7/23
课件
25
5 0 0

例3 设 A 0 3 1 , 求A1.
0 2 1
课件
5
a 1 0 0
A

0 1
0
a 0 1
0 b 1
0 1 b
C1 C3
C2 , C4
a 1 0 0
即
A

0 1 0
a 0 1
0 b
0 1

矩阵分析第二章

0 1 0 c c c c c c 0 ( 1) 0 0 ( 1)
例 3：
A( )
( 1) ( 1) c c c 2 2 ( 1 ) ( 1 ) 公因子1 ( 1) r ( 2) r r ( 2) 1
1 1 3
42 3 7 3 3 2 3 4 2 r r r 2 4 3 5 3 2 3 4 2 4 2 1 2 1 0 2 2 4 3 5 3 2 3 4 2 4 2 1
1 ( 1) , 2 ( 1 )
例 4：
公因子1
32 2 3 2 1 2 2 3 2 2 A( ) 4 3 5 3 2 3 4 2 4 2 1
证明思路：构造性。把A()变换为a11()能整除所有其它元素（a11()为A()所有元素的公因子）且首项系数等于1的形式，并令d1() a11()，则
d 1 ( ) A( )
, 其中d1 ( )能整除 A1 ( )所有元素 A1 ( )
然后再对A1()进行上述类似操作，如此反复，即可把A() 化成所需形式
1 2 2 2 1 2 2 1
1 2 1 ( a ) c c a 0 1 a 1 r r ( a ) r 1 c c ( a ) c ( a ) 3 1 公因子1 a 1 1 c c 1 ( a ) 3 a 0

矩阵第二章内积空间

第二章内积空间目的：在线性空间中引入向量的长度、向量之间夹角等度量概念，深化对线性空间、线性变换等的研究。

§1 内积空间的概念定义2－1 设V 是实数域R 上的线性空间。

如果对于V 中任意两个向量βα,，都有一个实数（记为()βα,）与它们对应，并且满足下列条件(1)-(4)，则实数()βα,称为向量βα,的内积。

(1) ()()αββα,,=；（2）),(),(βαβαk k =，（R k ∈）（3）),(),(),(γβγαγβα+=+，（V ∈γ）（4）()0,≥αα，当且仅当θα=时，等号成立。

此时线性空间V 称为实内积空间，简称为内积空间。

例2－1 对于nR 中的任二向量()n x x x X ,,,21 =，()n y y y Y ,,,21 =，定义内积()∑==ni i i y x Y X 1,，n R 成为一个内积空间。

内积空间n R 称为欧几里得（Euclid ）空间，简称为欧氏空间。

由于n 维实内积空间都与nR 同构，所以也称有限维的实内积空间为欧氏空间。

例2－2 如果对于nn RB A ⨯∈∀,，定义内积为()∑==nj i ij ij b a B A 1,,，则n n R ⨯成为一个内积空间。

例2－3 ],[b a R 定义dx x g x f x g x f ba⎰=)()())(),((，则可以验证))(),((x g x f 满足内积的条件，从而],[b a R 构成内积空间。

内积()βα,具有下列基本性质(1) ()()βαβα,,k k =，（R k ∈）；(2) ()()()γαβαγβα,,,+=+；(3) ()()0,,==βθθα。

定理2－1（Cauchy-Schwarz 不等式）设V 是内积空间，则V ∈∀βα,，有()()()ββααβα,,,2≤，并且当且仅当βα,线性相关时等号成立。

定义2－2 设α是内积空间V 的任一向量，则非负实数()αα,称为向量α的长度，记为α。

第二章矩阵2

几何与代数主讲: 关秀翠东南大学数学系第二章矩阵教学内容和学时分配教学内容学时数§2.1 矩阵的代数运算2§2.2 可逆矩阵2§2.3 分块矩阵1§2.4 矩阵的秩1§2.5 初等矩阵2§2.6 用Matlab解题1思考题：行列式与矩阵的区别m×n矩阵n阶行列式定义加法数乘乘法符号m ×n 矩阵n 阶行列式定义加法数乘乘法符号行列式与矩阵的区别m nA R ×∈()ij ij A B a b ±=±()12122i i n A A A A =+L L ()()1211ininA A A A A A −L L L L ()1200iiA A =−L L 1211in inA A A A A A ±L L L L ()ij A a =λλnA Aλλ=()()1211ininA A A A A A +L L L L n nA RR×→:A B A B±±121i inA A A A =±L L ≠| |,初等变换时用=[ ]或( ),初等变换时用→第二章矩阵§2.1 矩阵的代数运算一. 矩阵的线性运算二. 矩阵的乘法三. 矩阵的转置kA ±lB = (ka ij ±lb ij )m ×nAB = (A i* B *j )=1sik kj k a b =⎛⎞⎜⎟⎝⎠∑AB BA ≠•矩阵乘法是否有意义，乘积矩阵的行数列数•交换率一般不成立•ΛΤ=ΤΛ•(a E m ) A m ×n =a A m ×n = A m ×n (a E n ) •E m A m ×n =A m ×n = A m ×n E n注6: 方阵的正整数幂：A 2=AA ,A k +1=A k A =AA k ,AA k A l = A k +l =A l A k ,(A k )l = A kl ,(AB )k A k B k≠(A+B )2A 2+ B 2+2AB ,≠只有AB=BA 时等式成立(AB )k = AB AB …AB((A+B A+B ))2= (A+B )(A+B )= A 2+ B 2+AB+BA(A+B )(A −B ) = A2−B2−AB+BA ≠A 2−B2A k Bk ≠注意!AB BA≠设1111,1111A B −⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦⎣⎦则00,00A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦注意:(1)AB 与BA 是同阶方阵，但AB不等于BA .(2) 虽然A, B 都是非零矩阵, 但是AB = 0.例42222B A ⎡⎤=⎢⎥−−⎣⎦设121371,,,242112A B C −−⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦求AB 及AC .解12132421AB −⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦12712412AC −⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦注意:虽然A 不是零矩阵, 而且AB =AC ,但是B 不等于C . 这说明消去律不成立!55,1010−⎡⎤⎢⎥−⎣⎦55.1010−⎡⎤⎢⎥−⎣⎦例5注7: 消去率一般不成立.AB O A O or B O=⇒==100000001100AB ⎛⎞⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠AB AC A O ,=≠B C⇒=比如: 注意!AB BA≠•注6：交换率一般不成立(AB )k A k Bk ≠(A+B )2A 2+ B 2+2AB≠(A+B )(A −B ) ≠A2−B2注8：方阵的多项式设A 为一个方阵, f (x )为一个多项式称之为方阵A 的一个多项式.f (x ) = a s x s + a s −1x s −1+ …+ a 1x + a 0f (A ) = a s A s + a s −1A s −1+ …+ a 1A + a 0E1212A ⎛⎞=⎜⎟−−⎝⎠()23f x x x =++()23f A A A E=++例6：1212123121212E ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=++⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−−−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠3E =注意!第二章矩阵§2.1 矩阵的代数运算三. 矩阵的转置1. 设矩阵A = (a ij )m ×n ,则矩阵A 的转置为()TTijA a =()ji n ma ×=11121n a a a M 21222n a a a M L L ML 12m m mn a a a M 2. 性质：(1) ((1) (A A T )T = A , n ×m(4) 证明：()()()1sTTTTijikkjk BABA ==∑()()()Tji ijAB AB =1s jk kik a b ==∑1ski jkk b a ==∑(2) (A +B )T = AT + B T ,(4) (AB )T = B T A T .(3) (kA )T = kA T , =第二章矩阵§2.1 矩阵的代数运算穿脱原理3. 对称矩阵满足A AT = A . A = (a ij )m ×n 为对称矩阵⇔m = n 且a ij = a ji (i , j = 1, 2, …, n ). 反对称矩阵A ：满足AT = −A .A = (a ij )m ×n 为反对称矩阵⇔A 为方阵且a ij = −a ji (i , j = 1, 2, …, n ). 比如：123240305A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠为对称矩阵；0110B ⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠为反对称矩阵.•反对称矩阵对角线元素全为0第二章矩阵§2.1 矩阵的代数运算§2.1 矩阵及其运算二. 矩阵的线性运算三. 矩阵的乘法五. 矩阵的转置kA ±lB = (ka ij ±lb ij )m ×nAB = ( A i* B *j )=1sik kj k a b =⎛⎞⎜⎟⎝⎠∑AB BA ≠AB O A O or B O=⇒==()TTijA a =()ji n ma ×=对称矩阵→对角矩阵(λi δij )→数量矩阵λE n→单位阵E n(AB )T = B T A TA m ×n = (a ij )m ×n 行阶梯矩阵→行最简形矩阵一. 几种特殊矩阵方阵三角矩阵一般矩阵：§2.2 可逆矩阵及其性质D=a11 (1)a m1 …a mm……b11 (1)b n1 …b nn......a11 ...a1m0 0……………………=a m1...a mm 0 0c11 ...c1m b11 (1)c n1 …c nm b n1 …b nnA 0 C B0 AB C= |A| |B|= (−1)mn|A| |B|A,B为m,n阶矩阵≠|A| |B| −|C| |D|A D C BA C0B==C AB 0问题：能否利用这些结果证明|AB|=|A||B|？(其中A,B为n阶矩阵)第二章矩阵§2.2 可逆矩阵证.设D= a11 a120 0 a21a220 0−10b11b12 0−1b21 b22证明：|AB|=|A| |B| (以A,B为2阶方阵为例证明)A 0−E B== |A| |B|D0000−10b11b120−1b21 b22 11131242213224r a r a rr a r a r++++a11b11+a12b21a11b12+a12b22a21b11+a22b21a21b12+a22b220AB−E B==(−1)4+2|AB|=|AB|AB0B−E=(−1)4=(−1)n(n+1)|AB| =|AB|第二章矩阵§2.2 可逆矩阵定理2.1(乘法定理) A,B 为n 阶方阵,|AB |=|A | |B |A 0 −EB = |A | |B |0AB −E B=AB 0B −E =(−1)n n =(−1)n (n+1)|AB |=|AB |第二章矩阵§2.2 可逆矩阵证明：AB BA ≠•注6：矩阵乘积的交换率一般不成立A,B 为n 阶方阵,|AB |=|BA | ?|AB |= |A | |B | = |B | |A | = |BA |√注7: 矩阵乘法的消去率一般不成立.AB O A O or B O=⇒==n nA B RAB O A O or B O ,,×∈===⇒？√m ×n 矩阵n 阶行列式定义加法数乘乘法符号行列式与矩阵的区别m nA R ×∈()ij ij A B a b ±=±()12122i i n A A A A =+L L ()()1211ininA A A A A A −L L L L ()1200iiA A =−L L 1211in inA A A A A A ±L L L L ()ij A a =λλnA Aλλ=1nik kj k AB a b =⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑AB BA≠000AB A or B =⇒==AB A B BA==000AB A or B =⇔==()()1211ininA A A A A A +L L L L n nA RR×→:A B A B±±121i inA A A A =±L L ≠| |,初等变换时用=[ ]或( ),初等变换时用→在解方程ax=b 的时候,如果a ≠0,等式两边同乘以a -1,得x=a -1b .线性方程组Ax=b ,能否在一定条件下引进A -1的概念,使得解为x = A -1b ?由a -1a=1想到A -1A= E.但矩阵乘法不满足交换律，但矩阵乘法不满足交换律，AAAA -1= E ？问题的提出:A 应是什么矩阵?如何定义如何定义A -1 ??A -1A =EA 应是方阵.A -1A = AA -1= E.第二章矩阵§2.2 可逆矩阵§2.2 可逆矩阵一. 可逆矩阵1. 定义:设A为方阵, 若存在方阵B, 使得AB = BA = E. 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵.注1. 可逆矩阵只是定义在n阶方阵上的.注2.定义中矩阵A 与B的地位是相同的,如果A可逆,且B是A的逆,则B也可逆,且A 也是B的逆,即A与B互逆.问题:你学过的方阵中,哪些是可逆阵?问题:你学过的方阵中,哪些是可逆阵?1.E -1=E2.当k 1k 2…k n ≠0时,有:112n k k k −⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠O 12111n k k k ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠O1. 定义:设A 为方阵, 若存在方阵B , 使得AB = BA = E . 则称A 可逆, 并称B 为A 的逆矩阵. 问题:逆矩阵是唯一的吗?一. 可逆矩阵1. 定义:设A 为方阵, 若存在方阵B , 使得AB = BA = E . 则称A 可逆, 并称B 为A 的逆矩阵. 注1. 逆矩阵只是定义在n 阶方阵上的.第二章矩阵§2.2 可逆矩阵注2. A 与B 互逆.事实上, 若A B =B A =E , A C =C A =E ,则B = B E = B (A C ) = (B A )C = E C = C .今后我们把可逆矩阵A 的逆矩阵记为A −1.注3.若方阵A 可逆，则其逆矩阵是唯一的.☺结合律妙用之二问题:你学过的方阵中,哪些是可逆阵?1.E -1=E2.当k 1k 2…k n≠0时,有:112n k k k −⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠O 12111nk k k ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠O 1. 定义:设A 为方阵, 若存在方阵B , 使得AB = BA = E . 则称A 可逆, 并称B 为A 的逆矩阵. 问题:可逆阵是什么样的方阵呢?A ≠0？|A ||B |= |E ||A ||B |= 1|A|≠0⇐若A 可逆,则|A|≠0.反之，若|A|≠0，则A 一定可逆吗？只需验证|A|≠0时，是否存在方阵B 满足AB = BA = E.2. 方阵A 的伴随矩阵引理2.1. 设A 为方阵,则AA * = A *A = |A |E .()()()*T ij ji ij A A a===()δn ik kj ij k AB a b E 1=⎛⎞===⎜⎟⎝⎠∑,,10i j i j =⎧=⎨≠⎩δn ik kj ij k a b 1=∴=∑n ik jk k a A 1=∑Q 1kj jk b A A =()jk B A A 1=()T kj A A 1=*1A A =n n ik kj ik jk k k AA a a a A **11==⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑()ij A A E δ==A A A E*=同理，验证|A|≠0时是否存在方阵B 满足AB = BA = E.,,A i j i j0=⎧=⎨≠⎩A * =A 11A 21…A n 1A 12A 22…A n 2…………A 1n A 2n …A nn ⎛⎜⎜⎜⎝⎞⎠由A 可逆知，存在A −1使得AA −1 = A −1A = E,|A A −1| = |A ||A −1| = |E | = 1 . 所以|A | ≠0.定理2.2. 方阵A 可逆的充分必要条件是|A | ≠0.当n ≥2, |A | ≠0时, 有A −1=|A |1A *.证明：⇒充分性：()**A A AA A E E A A A 111⎛⎞===⎜⎟⎝⎠()**A A A A A E E A A A111⎛⎞===⎜⎟⎝⎠引理2.1. 设A 为方阵, 则AA * = A *A = |A |E .()()()*T ij ji ij A A A a ∗===2. 方阵A 的伴随矩阵定理2.2. 方阵A 可逆的充分必要条件是|A | ≠0.当n ≥2, |A | ≠0时, 有A −1=|A |1A *.引理2.1. 设A 为方阵, 则AA * = A *A = |A |E .()()()*T ij ji ij A A A a ∗===2. 方阵A 的伴随矩阵推论. 设A ,B 为方阵, 若AB = E (或BA = E ), 则B =A −1.事实上, AB = E ⇒|A | ≠0⇒A 可逆⇒B = EB = (A −1A )B = A −1(AB ) = A −1E = A −1.推论的作用. 若A ,B 为方阵, 只需检查AB = E 或BA = E , 即可判别A 的可逆性.定理2.2. 方阵A可逆的充分必要条件是|A| ≠0.1A*.当n≥2, |A| ≠0时, 有A−1=|A|推论. 设A,B为方阵, 若AB= E(或BA= E), 则B=A−1.例7. 设方阵A满足A2−2A−3E= 0.证明: (1) A及A−4E可逆, 并求它们的逆矩阵.√证明: (2) A+E及A−3E不同时可逆.证(1)：A2−2A=3E ⇒A (A−2E) = 3E⇒A−1 = (A−2E)/3(A−4E)(A+2E)+5E=0⇒(A−4E)−1 = −(A+2E) /5证(2)：(A−3E)(A+E)=0∴|A−3E||A+E|=0二. 逆矩阵的运算性质设A , B 为同阶可逆方阵, 数k ≠0. 则(1) (A −1)−1 = A , |A −1| = |A |−1.(2) (A T )−1 = (A −1)T . (3) (k A )−1 = k −1A −1.(4) (4) ((A A B B ))−1 = B −1AA −1.例8. 设A 与E −A 都可逆, G = (E −A )−1−E , 求证G 也可逆, 并求G −1.证明: G = (E −A )−1−(E −A )−1(E −A )= (E −A )−1(E −(E −A )) = (E −A )−1AG −1 = A −1(E −A ) = A −1−E . (5) (A B …G )−1 = G −1…B −1A −1. 穿脱原理例9. 求下列方阵的逆矩阵.(1) A =123 4,1232 2 13 4 3(2) B =.解: (1)A −1=|A |1A *= −21.(2) |B | = 2 ≠0, B −1=|B |1B *B 11= (−1)1+12 14 3= 2,B 21=6, B 22= −6, B 23= 2,B 31= −4, B 32= 5, B 33= −2.2−32=21. B 12= −3,B 13= 2,4−2−31−45−26−62A −1=|A |1A *.当n ≥2, |A | ≠0时, 有()T ij A A ∗=主换位,副变号第二章矩阵二. 逆矩阵的运算性质一. 可逆矩阵1. 定义§2.2 逆矩阵定义在n 阶方阵上A 可逆，若∃方阵B 使得AB =BA =E .()()*T ij ji A A A ==**AA A A A E==A 可逆⇔|A | ≠0*A A A −=11|A −1| = |A |−1.(A T )−1 = (A −1)T .(A B )−1 = B −1A −1. 2. 伴随矩阵推论. 设A ,B 为方阵, 若AB = E (或BA = E ), 则B =A −1.穿脱原理(A)填空题选择题：作为课下练习(B)留作业每周三交作业(C)课下提高题：有时间的话尽量做一.(A) 1(1,2),2(1)(B)3(1-6,10),4(1),9二. (A) 1(3,4,5,6,7,),2(2,3,4)(B)5,6(3),7,8,10(1,3,4),11,12*,13*,14(1,2),15,16三. (A) 二. 1,2, 3 (B)17,18,19,21四. (A) 一. 4-7 二. 4-7 (B)22(1),23,25,27,30,31*思考题：（学会归纳总结）矩阵上的哪些运算是只定义在方阵上的？矩阵乘积的交换律一般情况下不成立，但有一些特殊情况是成立的，此时称A,B是可交换的。

北京工业大学线性代数第二章第七节矩阵的秩

r3 2r1 0 0 r4 3r1 0
r2 2r1 1
2 0 0 0
1 1 4 2 0 2 1 5 6 3 1 2
15
r2 2 r3 r2
r4 3r2
1 2 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0
的秩。
4 0
又矩阵A的所有的4阶子式均为零， ∴ R(A)=3 注：阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数。
6
由矩阵秩的定义很容易得到：定理：一个矩阵的秩是 r 能找到一个不为 0 的 r 阶子式 D ,同时所有 r + 1 阶子式(若存在的话)全为 0.
证明: 必要性: 显然成立.
计算B的前三行构成的子式
3
2
5
3 2
5
2 0 5 2 0 5 3 2 6 6 0 11
2
2
5
6 11
16 0.
则这个子式便是 A 的一个最高阶非零子式.
13
例4
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 设A ,b 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4
21
第八节解线性方程组的消元法
一、消元法解线性方程组二、解线性方程组有解的判别定理
22
一、消元法解线性方程组
引例求解线性方程组
x1 3 x 2 x 3 2, 3 x 4 x 2 x 9, 1 2 3 x1 5 x 2 4 x 3 10, 2 x1 7 x 2 x3 1,
1 2
3
4 1 2
24 3 22 4 52

线性代数第二章矩阵及其运算

线性代数第二章矩阵及其运算$1.矩阵定义1 由m*n个数a_{ij}(i=1,2,3...,n)排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称mn矩阵。

为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示，记作这mn个数称为矩阵A的元素，简称为元，数位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的（i,j）元。

以数. 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵，本书中的矩阵除特别说明者外，都指实矩阵。

行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。

n阶矩阵A也记作An。

只有一行的矩阵 . 只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量。

两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。

如果那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作 A=B 元素都为零的矩阵称为零矩阵，记作O。

注意不同型的零矩阵是不同的。

矩阵的应用非常广泛，下面仅举几例。

例1工厂三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵其中这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵其中。

例2一般的，若干个点之间的单向通道都可以用这样的矩阵表示。

例3n个变量x_1,x_2,...,x_n与m个变量y_1,y_2,...,y_m之间的关系式表示一个从变量给定了线性变换（2），它的系数所构成的矩阵（称为系数矩阵）也就确定。

反之，如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定。

在这个意义上，线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系。

例如线性变换叫做恒等变换，它对应的一个n阶方阵叫做n阶单位矩阵，简称单位阵。

这个方阵的特点是：从左上角到右下角的直线（叫做（主）对角线上的元素都是1，其他元素都是0.即单位阵E的（i,j）元为）又如线性变换对应n阶方阵这个方阵的特点是：不在对角线上的元素都是0.这种方阵为对角矩阵，简称对角阵。

对角阵也记作$2.矩阵的运算一、矩阵的加法定义2 设有两个m*n矩阵A=(a_{ij})和B={b_{ij}},那么矩阵A和B的和记作A+B，规定为应该注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。

同济大学线性代数课件__第二章矩阵及其运算

j
)
元素。
4
同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等。
矩阵相等：设矩阵A与B是同型矩阵，
A(a ) , B (b )
ij
ij
若 a b ( i, j 1,2,,n)
ij ij
则称矩阵 A与 B相等，记作 A B.
x 0
1 y
48
3 0
1 2
4z x 3, y 2, z 8
5
一些特殊的矩阵零矩阵(Zero Matrix):
第二章矩阵及其运算
1
§1 矩阵
2x1 x2 x3 x4 2
4
x1 x1
x2 6x2
2x3 2x3
x4 2x4
4 4
3x1 6x2 9x3 7 x4 9
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
4 3
6 6
2 9
2 7
4 9
线性方程组与矩阵的对应关系
2
定义1 由m n 个数 aij (i 1,2,, m; j 1,2,, n) 排成的m行n列的数表，
那末矩阵 A与B 的和记作A+B，规定为
a11 b11
A
B
a b
21
21
a12 b12
a b
22
22
a1n b1n
a 2n
b 2n
a m1
b m1
a b
m2
m2
a mn
b mn
14
注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.
12 3 5 1 8 9 1 9 0 6 5 4 3 6 8 3 2 1 12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4. 3 3 6 2 8 1 6 8 9

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第二章矩阵习题精解1.设1）311212123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111210101B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭2）111a b c A c b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111a c B b b c a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭计算AB ，AB BA -.解 1）622610812AB -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 400410434BA ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭222200442AB BA -⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪--⎝⎭2）22222222223a b c a b c ac b AB a b c ac b a b c a b c a b c ⎛⎫+++++⎪=+++++ ⎪ ⎪++++⎝⎭222222a ac c b ab c c a BA a ac c b b c ab b a c b bc c c ac a ⎛⎫+++++ ⎪=+++++ ⎪ ⎪+++++⎝⎭33()ij AB BA a ⨯-= 其中11a b ac =-， 22212a a b c b ab c =++---，221322a b ac a c =+--21a c bc =-， 2222a ac b =-， 32223a a b c ab b c =++---23132a c a =--， 32a c bc =-， 33a b ab =-2.计算22111)310012⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭5322)42⎛⎫ ⎪--⎝⎭113)01n⎛⎫ ⎪⎝⎭ cos sin 4)sin cos nϕϕϕϕ-⎛⎫⎪⎝⎭()15)2,3,111⎛⎫⎪-- ⎪⎪-⎝⎭，()112,3,11⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭()1112132122313132336),,11a a a x x y a a a y a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2111111117)11111111---⎛⎫ ⎪---⎪ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭，1111111111111111n---⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭108)0100nλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解 22117441)310943012334⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭532322)4248-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭3)采用数学归纳法，可证1110101nn ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭事实上，当2n =时，有211120101⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结论成立.当1n k =-时，归纳假设结论成立，即111110101k k --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是当n k =时，有111111111111010101010101k k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即证1110101nn ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立.4）采用数学归纳法，可证cos sin cos sin sin cos sin cos nn n n n ϕϕϕϕϕϕϕϕ--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭事实上，当2n =时，有22222cos sin cos sin cos sin sin cos 2cos sin cos sin ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ-⎛⎫--⎛⎫=⎪⎪-⎝⎭⎝⎭cos 2sin 2sin 2cos 2ϕϕϕϕ-⎛⎫=⎪⎝⎭结论成立.当1n k =-时，归纳假设结论成立，即1cos sin cos(1)sin(1)sin cos sin(1)cos(1)k k k k k ϕϕϕϕϕϕϕϕ-----⎛⎫⎛⎫=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭于是当n k =时，有1cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos kk ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos(1)sin(1)cos sin sin(1)cos(1)sin cos k k k k ϕϕϕϕϕϕϕϕ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1234x x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中1cos(1)cos sin(1)sin cos x k k k ϕϕϕϕϕ=---=同理可得2sin x k ϕ=-， 3sin x k ϕ=， 4cos x k ϕ=因而有cos sin cos sin sin cos sin cos nn n n n ϕϕϕϕϕϕϕϕ--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭5）()12,3,1101⎛⎫ ⎪--= ⎪ ⎪-⎝⎭()123112,3,12311231-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭6）()111211222212,,1a a b x y a a b b b c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111211222212(,,)1x a x a y b a x a y b b x b y c y ⎛⎫ ⎪=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭2211122212222a x a xy a y b x b y c =+++++7）注意到221111400010001111040001002111100400010111100040001---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪--- ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭这意味着，若令1111111111111111A ---⎛⎫⎪---⎪= ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭则222A E =.下面对1111111111111111nn A ---⎛⎫ ⎪---⎪= ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭分两种情形讨论①n 为偶数，即2n k =，于是222()22n k k k n A A A E E ====②n 为奇数，即21n k =+，于是2122()22n k k k n A A A A EA A +====故12,22,21n nn E n kA A n k -⎧==⎨=+⎩8）采用数学归纳法，可证121(1)1020100000nn n nnn nn n n n λλλλλλλλλ----⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭事实上，当1n =时，结论显然成立，现在归纳假设1231121(1)(2)(1)102010(1)0000n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλ---------⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭于是123121(1)(2)(1)10102010(1)01000000n n n nn n n n n n n λλλλλλλλλλλλ--------⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭121(1)2000n n n nn nn n n n λλλλλλ----⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即证结论成立.3.设1011()m m m m f a a a a λλλλ--=++++，A 是一个n n ⨯矩阵，定义1011()m m m m f A a A a A a A a E --=++++1）2()1f λλλ=--，211312110A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭2）2()53f λλλ=-+，2133A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭试求()f A . 解 1）2211211100()312312010110110001f A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭8242111001125312010101110001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 513803212⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭2）212110()53333301f A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭75105301512151503--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0000⎛⎫= ⎪⎝⎭4.如果AB BA =，矩阵B 就称为A 与可交换，设1）1101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2）100012312A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭3）010001000A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求所有与A 可交换的矩阵.解 1）若记0100A E ⎛⎫=+⎪⎝⎭，并设a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭与A 可交换，即01010000a b a b E E c d c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是01010000a b a b c d c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以00000c d a ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故0,,c a d b ==任意，从而所有与A 可交换的矩阵为0a b B a ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中,a b 为任意常数.2）同理，记000002321A E ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭并设111222a b c B a b c a b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 与A 可交换，即111111222222000000002002311311a b c ab c E a b c a b c E a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是111111222222000000002002311311a b c ab c a b c a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以22211111212122222000322223233332cc b c a b c c c b c a a ab b bc c c c c b c +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭比较对应的(,)i j 元，可得1113a b a =-， 0b =， 0c =2123a c =，2112b c =，21112c b c =+于是所有与A 可交换的矩阵为1111111111003311222b a B a b c c c b c ⎛⎫- ⎪⎪= ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭ 其中111,,a b c 为任意常数.3）设111222a b c B a b c a b c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与A 可交换，即 111111222222010010001001000000ab c ab c a b c a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是11111122222200000a b c a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故得1220a a b ===,12a b c ==,1b c =所以所有与A 可交换的矩阵为000a b c B a b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中,,a b c 为任意常数. 5.设12000000n a a A a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中i j a a ≠（当i j ≠时）（,1,2,,i j n =），证明：与A 可交换的矩阵只能是对角矩阵.证设111212122212n n n n nn x x x x x x B x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与A 可交换，于是由 111112111111121122122222221222221212n n n n n n n n n nn n n n n n nn a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x AB BA a xa x a x a x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有(,1,,)i j j ij a x a x i j n ==即()0i j ij a a x -=（当i j a a ≠时）.有因为i j a a ≠，所以0()ij x i j =≠.于是，与A 可交换的矩阵B 只能是对角矩阵1122nn a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 6.设1122r r a E a E A a E ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中i j a a ≠（当i j ≠时）（,1,2,,i j r =），i E 是i n 阶单位矩阵，证明：与A 可交换的矩阵只能是准对角矩阵12r A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中i A 是i n 阶矩阵（,1,2,,i j r =）．证设111212122212r r r r rr B B B B B B B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与A 可交换（其中ij B 是i j n n ⨯阶矩阵），则由AB BA =，可得(,1,)i i ij ij i i a E B B a E i j r ==当i j ≠时，由i ij ij i a B B a =及i j a a ≠，因而必有0ij B =．于是，与A 可交换的矩阵B 只能是准对角矩阵1122rr B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中ii B 是i n 阶矩阵（,1,2,,i j r =）． 7.用ij E 表示i 行j 列的元素（即(,)i j 元）为1，而其余元素全为零的n n ⨯矩阵，而()ij n n A a ⨯=．证明：1）如果1212AE E A =，那么当1k ≠时10k a =，当2k ≠时20k a =； 2）如果ij ij AE E A =，那么当k i ≠时0ki a =，当k j ≠时0jk a =，且ii jj a a =；3）如果A 与所有的n 阶矩阵可交换，那么A 一定是数量矩阵，即A aE =．证 1）因为12212222112121000000000000n n a a a a a AE E A a⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以212320n a a a ====，213110n a a a ====即当1k ≠时10k a =，当2k ≠时20k a =．2）因为j 列1212000000000000000i i ij ij j j jn nia a AE E A i a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭行所以当k i ≠时0ki a =，当k j ≠时0jk a =且ii jj a a =．3）A 与任何矩阵相乘可交换，必与ij E 相乘可交换，于是由ij ij AE E A =得ii jj a a =（,1,2,,i j n =），0()ij a i j =≠ 因此A 是数量矩阵．8.如果,AB BA AC CA ==，证明：()(),A B C B C A +=+()()A BC BC A =．证 ()()A B C AB AC BA CA B C A +=+=+=+()()()()()()A BC AB C BA C B AC B CA BC A =====9.如果1()2A B E =+，证明：2A A =当且仅当2B E =．证充分性.若2B E =，因为22211[()](2)24A B E B B E =+=++11(22)()42B E B E =+=+ A =所以2A A =必要性.若2A A =，则11(22)()42B E B E +=+ 即2111442B E E += 即证2B E =．10.矩阵称A 为对称的，如果A A '=.证明：如果A 是实对称矩阵，且20A =，那么0A =．证设111211222212n n n n nn a a a a a a A aa a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则2221112122221222222212******nnn n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫+++⎪+++⎪= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭由20A =有2222212,10(1,2,,)i i ii i i in a a a a a i n +++++++==因而必有12,10(1,2,,)i i ii i i in a a a a a i n +++++++==即证0A =11.设,A B 都是n n ⨯对称矩阵，证明：AB 也对称当且仅当,A B 可交换.证当AB BA =时，有()()AB A B BA AB ''''===所以AB 是对称矩阵反之，当()AB AB '=时，有()AB AB B A BA '''===12.矩阵A 称为反对称的，如果A A '=-，证明：任一n n ⨯矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和.证设A 是任一n n ⨯矩阵，因为111111()()222222A A A A A A A A A ''''=++-=++-且1()2A A '+是对称矩阵，1()2A A '-是反对称矩阵，所以结论成立. 13.设12(0,1,2)k k k k n s x x x k =+++=2ij i j a s +-=(,1,2,)i j n =.证明：证由题设知01112122n n ij n n n s s s s s s a s s s ---=11112211111222111n n nnn n nnnn n n n n n n nnnn x x x x x x x x x x x x x x x x ------++++++++++=++++++11111222111112111111n n n n n n n n nnx x x x x x x x x x x x ------=2()()()j i j i i j i ji ji jx x x x x x <<<=--=-∏∏∏14.设A 是n n ⨯矩阵，证明：存在一个n n ⨯非零矩阵B 使0AB =的充分必要条件是0A =.证充分性.若0A =，则齐次方程组0AX =有非零解12(,,,)n X b b b '=只要取120000000nb b B b ⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即可.必要性.设12(,,,)0n B B B B =≠，使0AB =，这里12,,,n B B B 是B的列向量.不失一般性，设10B ≠，则由0AB =，得12(,,,)0n AB AB AB =因此，10AB =，即0AX =有非零解，从而0A =15.设A 是n n ⨯矩阵，如果对任一n 维向量12(,,,)n X x x x '=都有0AX =，那么0A =.证证法 1 由题设知，n 维向量空间中的所有向量都是齐次线性方程组0AX =的解，故方程组的基础解系含有n 个线性无关的解向量，所以()0rank A =，即证0A =16设B 为一r r ⨯矩阵，C 为r n ⨯矩阵，且()rank C r =.证明： 1）如果0BC =，那么0B =；2）如果BC C =，那么B E =证 1）若0BC =，设()ij r r B b ⨯=，()ij r n C c ⨯=，因()rank C r =，不失一般性，可设11110rr rrc c c c ≠ 由0BC =，得11122111122222112200(1,2,,)i i ir r i i ir r i r i r ir rr b c b c b c b c b c b c i r b c b c b c +++=⎧⎪+++=⎪⎨=⎪⎪+++=⎩因为该齐次方程组的系数行列式不等于零，故它只有惟一零解，即120(1,2,)i i ir b b b i r =====因而0B =.2）若BC C =，则()0BC EC B E C -=-=由1）知0B E -=，因此B E =. 17.证明：()()()rank A B rank A rank B +≤+证设12(,,,)n A A A A =，12(,,,)n B B B B =，则 1122()(,,,)n n A B A B A B A B +=+++若121,,,r i i i A A A 与122,,,r j j j B B B 分别是A 与B 的列向量组的极大线性无关组，则有112211112222r rr rt t i t i t i t t j t j t j A k A k A k A B l B l B l B =+++=+++ (1,2,,)t n =于是11111122r r r r t t t i t i t j t j A B k A k A l B l B +=+++++(,1,2,,)i j n =即A B +的列向量组可由1112,,,,,r r i i j j A A B B 线性表出，故()()()rank A B rank A rank B +≤+18.设,A B 为n n ⨯矩阵，证明：如果0AB =，那么()()rank A rank B n +≤证设B 的列向量组为12,,,n B B B ，则1212(,,,)(,,,)0n n AB A B B B AB AB AB ===故有120n AB AB AB ====即方程组0AX =有n 组解12,,,n B B B .若()rank A r =，则12,,,n B B B 可由n r -个线性无关的解向量线性表出，于是()rank B n r =-.因此()()()rank A rank B r n r n +≤+-=.19.证明：如果0kA =，那么121()k E A E A A A ---=++++证21()()k E A A A E A -++++-212k k E A A A A A A -=++++----2211()()()k k k E A A A A A A A --=+-+-++--E =即证121()k E A E A A A ---=++++20.求1A -，设1)a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1ad bc -= 1112)210110A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭2233)110121A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 123423124)11111026A ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎪--⎝⎭ 111111115)11111111A ⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭ 334306116)54212332A --⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭135701237)0012001A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 2120032008)57181316A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭001103149)27611221A -⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ 210000210010)002100002100002A ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭解 1）1d b A c a --⎛⎫=⎪-⎝⎭2）对(|)A E 作行初等变换，有111100111100210010012210110001021101--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭111000331011101101221001003300332121001133⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪→--→- ⎪⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎪-- ⎪⎝⎭所以1110331103321133A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭3）对(|)A E 作行初等变换，可得223100043120110010110010121001011011-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 101021100143011011010153001164001164--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭所以1143153164A ---⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭4）对(|)A E 作行初等变换，可得12341000231201001111001010260001⎛⎫⎪⎪⎪- ⎪⎪--⎝⎭11110010012510100114012001350011-⎛⎫⎪-⎪→ ⎪-- ⎪⎪----⎝⎭10161020012510100031111000101021---⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪---- ⎪⎪--⎝⎭1062441010535520001455300101021---⎛⎫⎪-- ⎪→ ⎪--- ⎪⎪--⎝⎭10002261617010017520130010102100014153--⎛⎫ ⎪-- ⎪→ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭所以12261617175201310214153A ---⎛⎫⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭5）对(|)A E 作行初等变换，有11111000111101001111001011110001⎛⎫⎪-- ⎪⎪-- ⎪⎪--⎝⎭11111000002211000202101002201001⎛⎫⎪--- ⎪→⎪--- ⎪⎪---⎝⎭1110100022110101002211001100221100110022⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ --⎪⎝⎭111001002211010100221100110022111100022222⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ---⎪⎝⎭ 111110004444111101004444111100104444111100014444⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ --⎪⎝⎭所以11111444411114444A 1111444411114444-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪=⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎪ ⎝⎭6）对(|)A E 作行初等变换，有3443100010007512190611010001003258542100100010413069111233200010001594399158----⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭所以17512193258413069111594399159A ---⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭7）因为1A =，所以1*13338012700120001A A ----⎛⎫⎪-⎪== ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭8）对(|)A E 作行初等变换，有100021002100100001003200320001000010573457180010111316000100012222-⎛⎫⎛⎫⎪-⎪⎪ ⎪→ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪----- ⎪⎝⎭⎝⎭1210032005734112222A --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪--- ⎪⎪- ⎪⎝⎭9）因为11213141122232421323334314243444137207351093363336A A A A A A A A A A A A A A A A ==-==-===-==-=-==-=-=-==-且6A =-，所以11171062637155626331112221111222A -⎛⎫---⎪ ⎪ ⎪---⎪=⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭10）因为21000100000210001000002100010000021000100000200001⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭1111110000248163211110100002481611100100002481100010000241000012⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所以111111248163211110248161110024811000241002A -⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭21.设00A X C⎛⎫=⎪⎝⎭已知11,A C --存在，求1X -.解设111212122B B XB B -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则 11122122212211120000B B AB AB A EB B CB CB CE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因此21AB E =， 220AB =左乘1A -，得121B A -=， 220B =又由于110CB =， 12CB E =左乘1C -得110B =， 112B C -=故11100C XA ---⎛⎫= ⎪⎝⎭22.设1210000000000n na a X a a -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中0(1,2,,)i a i n ≠=，求1A -.解记00n A X a ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中 121000000n a a A a -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则11100n a XA---⎛⎫= ⎪⎝⎭而1111211000000n a a A a -----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭故111100010000001000n n a a X a --⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭23.求矩阵X ，设25461)1321X -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111112)022*********X --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭210001111121000111012003)001100021000100012X ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭1111114)022*********X --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭解 1）12546354613211221X ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22308-⎛⎫= ⎪⎝⎭2）1111111022110110211X ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭112363111111110363211111333⎛⎫⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭1111621110622103⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3）121000111112100011101200001100021000100012X -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭ 210001100012100011000120011000010002100012⎛⎫⎪-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭111000111100000011000012--⎛⎫⎪-- ⎪⎪=⎪- ⎪ ⎪⎝⎭4）1111111110022211110X ---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭11211121100012111012⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭11411123242⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭24.证明：1）如果A 可逆对称（反对称），那么1A -也对称（反对称）； 2）不存在奇数阶的可逆反对称矩阵。

高等代数 第二章 矩阵