第二章 矩阵和矩阵的初等变换

第二章 矩阵和矩阵的初等变换矩阵是线性代数的主要研究对象之一，它在数学和其他自然科学、工程技术和经济领域中都有着广泛的应用. 本章的中心议题为矩阵，围绕这个议题，先给出矩阵的定义、矩阵的运算和求方阵的逆、初等变换以及求矩阵的秩，最后介绍矩阵的分块运算.§2.1 矩阵的定义一、 矩阵的基本概念定义1 由n m ⨯个数ij a (1,2,,;1,2,,)i m j n ==排成的m 行n 列的数表（常用括弧将数表括起）111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦称为m 行n 列矩阵，简称m n ⨯阶矩阵，其中ij a 叫做矩阵A 的元素，i 为行标，j 为列标，表明ij a 位于矩阵A 的第i 行第j 列. 为简单起见，记m n ⨯阶矩阵A 为()ij m n a ⨯或m n A ⨯.特别地，当m n =时，则称矩阵A 为n 阶矩阵或n 阶方阵，记为n A . 对于m n ⨯矩阵A ，当1m =时，有12()n A a a a =.称矩阵A 为行矩阵，或行向量. 为避免元素间的混淆，行矩阵也可写为12(,,,)n A a a a =.当1n =时，有12m a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.称矩阵A 为列矩阵，或列向量.当1m n ==时，有11()A a a ==.这里把矩阵A 看成是数.两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵.所有元素均为零的矩阵，称为零矩阵，记作O . 注意不同型的零矩阵是不同的.定义2 如果()ij A a =与()ij B b =是同型矩阵，且它们的对应元素均相等，即(1,2,,;1,2,,)ij ij a b i m j n ===，则称矩阵A 与矩阵B 相等，记作A B =.下面举几个关于矩阵应用的例子.例1 3个产地与4个销地之间的里程（单位：千米）可列为矩阵A ：120180758575125354513019085100A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 其中ij a 为第i 产地到第j 销地的里程数.例2 4个城市间的单向航线如图1所示. 若令01ij a ⎧=⎨⎩，， 则图1可用矩阵表示为00011001()01001110ij A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦一般地，若干个点之间的单向通道都可用这样的矩阵表示. 例3 n 个变量12,,,n x x x 与m 个变量12,,,m y y y 之间的关系式11111221221122221122,,n n n n m m m mn ny a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x =+++=+++⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩=+++ (1)表示一个从变量12,,,n x x x 到变量12,,,m y y y 的线性变换，其中ij a 为常数.线性变换(1)的系数ij a 构成矩阵()ij m n A a ⨯=.给定了线性变换(1)，它的系数所构成的矩阵(称为系数矩阵)也就确定.反之，如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定.在这个意义上，线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系.二、几类特殊的矩阵1）对角矩阵n 阶方阵A 的元素1122,,,nn a a a 称为A 的主对角元素.例如，矩阵3491A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的主对角元素为3和1.定义3 若n 阶方阵()ij A a =中的元素满足条件 0,(,1,2,,ij a i j i j n =≠= 则称A 为n 阶对角矩阵或对角阵，即1122nn a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（此记法表示对角线以外未标明的元素均为0）.简记为1122(,,,)nn A diag a a a =.例如， 100030005A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为对角阵.特别地，当(1,2,,)ii a a i n ==，则称对角阵A 为n 阶数量矩阵.即a aA a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例如， 300030003A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为数量矩阵. 又当1a =时，称A 为n 阶单位矩阵或单位阵，记作n E ，有时简记为E ，即111n E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 例如线性变换1122,,n ny x y x y x =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩叫做恒等变换，它对应的系数矩阵就是一个n 阶单位矩阵.2）三角形矩阵定义4 若n 阶方阵()ij A a =中的元素满足条件 0,()(,1,2,ij a i j i j n =>=则称A 为n 阶上三角形矩阵或上三角矩阵，即11121222n n nn a a a a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 若n 阶方阵()ij B b =中的元素满足条件0,()(,1,2,ij b i j i j n =<=则称B 为n 阶下三角形矩阵或下三角矩阵，即11212212n n nn b b b B b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 例如，123045006A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为上三角矩阵，100230456B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为下三角矩阵. 3）对称矩阵定义5 若n 阶方阵()ij A a =中的元素满足,(,1,2,,i j j i a a i j n == 则称A 为对称矩阵.例如，110250311125A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦为对称矩阵.4）阶梯形矩阵定义6 若矩阵()ij A a =满足：(i)若A 有零行(元素全为零的行)，全部在矩阵的下方；(ii)各非零行的第一个不为零的元素(称为首非零元)的列标随行标的增大而严格增大.则称矩阵A 为行阶梯形矩阵.例如，矩阵11214021100003300000A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦为行阶梯形矩阵，而矩阵112101110213B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭不是行阶梯形矩阵.进一步，若行阶梯形矩阵满足： (i)行首非零元等于1；(ii)所有首非零元所在列的其余元素全为零.则称A 为行最简形矩阵.上例行阶梯形矩阵A 对应的行最简形为110104011030001300000A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，而矩阵211104011030001300000A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦不是行最简形矩阵.§2.1 矩阵的运算一、 矩阵的加法与数乘矩阵定义1 两个m n ⨯阶矩阵()ij A a =和()ij B b =对应位置元素相加得到的矩阵，称为矩阵A 与B 的和，记作A B +，即 ()()()i j m n i j m ni j i jm nA B a b a b ⨯⨯⨯+=+=+. 注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例1 两种物资（单位：吨）同时从3个产地运往4个销地，其调运方案分别为矩阵A 和矩阵B ：203453272103A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，312040861257B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 则从各产地运往各销地的物资总调运量（单位：吨）为20343120532740862103125723013240515454302876931013.2112053733510A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦⎣⎦定义2 以数λ乘m n ⨯阶矩阵()ij A a =的每一个元素得到的矩阵，称为数λ与矩阵A 的积，记作A λ，即()().i j m n i j mn A a a λλλ⨯⨯== 若取1λ=-，则有()ij m n A a ⨯-=-.称A -为矩阵A 的负矩阵.显然有 ()A A O +-=, 由此规定矩阵的减法为().A B A B -=+- 即若()ij m n A a ⨯=，()ij m n B b ⨯=，则 ()()()()i j mni j m ni ji jm nA B A B a b ab ⨯⨯⨯-=+-=+-=- 例2 设3个产地与4个销地之间的里程（单位：千米）为例1中的矩阵0.已知货物每吨公里的运费为1.50元，则各产地与各销地之间每吨货物的运费（单位：元／吨）可以记为矩阵形式：12018075851.5 1.5751253545130190851001.5120 1.5180 1.575 1.585180270112.5127.51.575 1.5125 1.535 1.545112.5187.552.567.5.1.5130 1.5190 1.585 1.5100195285127.5150A ⎡⎤⎢⎥=⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⨯⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⨯⨯⨯⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⨯⨯⨯⎣⎦⎣⎦矩阵相加与数乘矩阵的运算，统称为矩阵的线性运算.矩阵的线性运算满足下面的运算律：设A 、B 、C 、O 都是m n ⨯阶矩阵，,λμ是数，则 (i) ;A B B A +=+(ii) ()();A B C A B C ++=++ (iii) ();A B A B λλλ+=+ (iv) ();A A A λμλμ+=+ (v) ()().A A λμλμ=例3 已知123103214032A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，312015792316B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦且2A X B +=，求X .解：由矩阵的加法和数乘运算律有431111()129822234431122221914.2231222X B A ---⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦二、 矩阵的乘法设有两个线性变换11111221332211222233,,x a y a y a y x a y a y a y =++⎧⎨=++⎩111112222112223311322,,,y b z b z y b z b z y b z b z =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩ 则变量12,z z 与变量12,x x 的关系为111111221133111112122213322221112221233112112222223322()()()()x a b a b a b z a b a b a b z x a b a b a b z a b a b a b z =+++++⎧⎨=+++++⎩ (1)定义3 设矩阵()ij m s A a ⨯=，()ij s n B b ⨯=.令11221,(1,2,,;1,2,,)sij i j i j is sj ik kj k c a b a b a b a b i m j n ==+++===∑则称矩阵()ij m n C c ⨯=是矩阵A 与矩阵B 的乘积，记作C AB =. 对于矩阵的乘法由定义注意到以下三点：(1)只有矩阵A 的列数等于B 的行数时，AB 才有意义. (2) 乘积矩阵AB 的第i 行第j 列元素ij c 就是A 的第i 行上各元素与B 的第j列上的各对应元素的乘积之和.即12123j j i i i ijjsjjb b i a a ac i b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭(3) 乘积矩阵C 的行数等于矩阵A 的行数，列数等于矩阵B 的列数. 线性变换(1)用矩阵乘法表示即为1112111213112122212223223132b b a a a x z b b aa a x zb b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.这种矩阵的表示显然比(1)式表示要简单得多.例4 设矩阵1312140012,1134131402A B -⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪--⎝⎭⎪-⎝⎭，求AB .解 因为A 是24⨯矩阵，B 是43⨯矩阵，即A 的列数等于B 的行数，故A 和B 可相乘，其乘积AB 应是个23⨯矩阵.131********13413142AB ⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪-⎝⎭()()()()()()()()211041042311430021124102111031441311334011123142⎛⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯-+⨯⨯+⨯⨯⨯⎫= ⎪⨯+-⨯+⨯+⨯⨯+-⨯-+⨯-+⨯⨯+-⨯+⨯+⨯-⎝⎭＋＋（－） 6782056-⎛⎫= ⎪--⎝⎭. 例5 设2412A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2436B ⎛⎫= ⎪--⎝⎭，求AB 及BA 。