基本不等式人教A版高中数学必修五课件
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3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
2.基本不等式（均值不等式） 3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课件 如果a 0, b 0，那么 a b ab 2 (当且仅当a b时，取""号)
使用均值不等式应注意三个条件：
(1)a、b均为正数; (2)a+b与ab有一个为定值; (3)等号必须取到。 以上三个条件缺一不可
练习 3、已知a, b, c, d是正数，求证 (ab cd )(ac bd ) 4abcd
4、已知a、b、c都是正数，a + b + c = 1, 求证：(1 – a)(1 – b)(1 – c)≥ 8abc。
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
例5、已知a、b、c都是正数，证明： 3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课件 a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c)
则a 2 b 2 2ab (当且仅当a b时取等号)
二、新课探究
1.重要不等式 如果a, b R，那么a 2 b2 2ab (当且仅当a b时，取""号)
2.基本不等式（均值不等式） 如果a 0, b 0，那么 a b ab 2 (当且仅当a b时，取""号)
证明:基本不等式：a
3.4 基本不等式
一、问题引入
如图是在北京召开的第24届国 际数学家大会的会标，会标是根据 中国古代数学家赵爽的弦图设计的， 颜色的明暗使它看上去象一个风车， 代表中国人民热情好客。
思考：这会标中含有怎样的几何图形？ 你能在图中找出一些相等关系或不等关系吗？
S四个三角形 2ab S大正方形 a 2 b 2
如果a 0, b 0，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时，取""号)
我们把 a b 叫做正数a, b的算术平均数， 2
把 ab叫做正数a, b的几何平均数。
此定理又可叙述为：
1.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
1.重要不等式 3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课件 如果a, b R，那么a 2 b2 2ab (当且仅当a b时，取""号)
2.基本不等式（均值不等式） 如果a 0, b 0，那么 a b ab（ a b 2 ab） 2 (当且仅当a b时，取""号)
注意：
1.定理成立的条件不同： 前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数. 2.取等号时的条件相同：当且仅当a =b时，取等号。
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
练习
1、若x 0，求f ( x) 12 3x的最小值 x
2、已知x 0，y 0，求证 x y 2 yx
证明：∵ x 0，y 0， x 0，y 0, yx
由基本不等式有 x y 2 x y 2,
yx
yx
当且仅当 x y 即x y时，等号成立. yx
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
例3、求函数y sin
4 其中 (0, ]的最小值.
sin
2
解：y sin 4 2 sin 4 4，
sin
sin
函数的最小值为 4.
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
例2、若x 2，函数y
x
3， x2
当x为何值时，函数有最值 ，并求其最值.
解： x 2， x 2 0
y x 3 ( x 2) 3 2
x2
x2
2 ( x 2) 3 2 2 3 2 x2
当且仅当x 2 3 ，即x 2 3时, x2
函数有最小值是 2 3 2
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
例2、若x 2，函数y
x
3， x2
当x为何值时，函数有最值 ，并求其最值.
解： y x 3 2 x 3
x2
x2
当且仅当
x
x
x
2 3
，即x 2
3时,函数有最小值是 6
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件．
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
简记：“一正”、“二定”、“三相等”。
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
三、例题讲解
例1、已知x 0，求x 1 的最值
解：∵ x 0
x
x 1 2 x 1 2
x
x
当且仅当x 1 ,即x 1时，原式有最小值 2 x
变式、已知x 0，求x 1 的最值 x
设 AC = a , BC = b 。
过点C作垂直于AB的弦DE，
Βιβλιοθήκη Baidu连接AD、BD。
E
Rt三角形ACD与Rt三角形DCB相似
a CD CD b
CD2 ab CD ab
a b ab (当且仅当a b时，取" "号)
2 基本不等式的几何意义是：“半径不小于半弦。”
2.基本不等式 3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课件 （均值定理）
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
所以 x y 2 yx
例4、已知x、y都是正数，求证： 3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课件 ( x y)( x 2 y 2 )( x 3 y 3 ) 8 x 3 y 3
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
解：∵ x 0， x 0
x 1 [( x) 1 ] 2 ( x) 1 2
x
( x)
( x)
运用均当且值仅不当等式x 的1过,程即x中，1时a、，b原必式须有最为大“正值 数 2”．
x
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
2
b
ab (a 0, b 0)
要证： a b ab ① 2
只要证：a b 2 ab ②
要证②，只要证: a b 2 ab 0 ③
要证③，只要证: ( a b )2 0 ④
④式显然成立.当且仅当a=b时， ④中的等号 成立.
基本不等式的几何解释
在右图中，AB是圆的直径，
点C是AB上的一点，
2.基本不等式（均值不等式） 3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课件 如果a 0, b 0，那么 a b ab 2 (当且仅当a b时，取""号)
使用均值不等式应注意三个条件：
(1)a、b均为正数; (2)a+b与ab有一个为定值; (3)等号必须取到。 以上三个条件缺一不可
练习 3、已知a, b, c, d是正数，求证 (ab cd )(ac bd ) 4abcd
4、已知a、b、c都是正数，a + b + c = 1, 求证：(1 – a)(1 – b)(1 – c)≥ 8abc。
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
例5、已知a、b、c都是正数，证明： 3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课件 a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c)
则a 2 b 2 2ab (当且仅当a b时取等号)
二、新课探究
1.重要不等式 如果a, b R，那么a 2 b2 2ab (当且仅当a b时，取""号)
2.基本不等式（均值不等式） 如果a 0, b 0，那么 a b ab 2 (当且仅当a b时，取""号)
证明:基本不等式：a
3.4 基本不等式
一、问题引入
如图是在北京召开的第24届国 际数学家大会的会标，会标是根据 中国古代数学家赵爽的弦图设计的， 颜色的明暗使它看上去象一个风车， 代表中国人民热情好客。
思考：这会标中含有怎样的几何图形？ 你能在图中找出一些相等关系或不等关系吗？
S四个三角形 2ab S大正方形 a 2 b 2
如果a 0, b 0，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时，取""号)
我们把 a b 叫做正数a, b的算术平均数， 2
把 ab叫做正数a, b的几何平均数。
此定理又可叙述为：
1.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
1.重要不等式 3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课件 如果a, b R，那么a 2 b2 2ab (当且仅当a b时，取""号)
2.基本不等式（均值不等式） 如果a 0, b 0，那么 a b ab（ a b 2 ab） 2 (当且仅当a b时，取""号)
注意：
1.定理成立的条件不同： 前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数. 2.取等号时的条件相同：当且仅当a =b时，取等号。
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
练习
1、若x 0，求f ( x) 12 3x的最小值 x
2、已知x 0，y 0，求证 x y 2 yx
证明：∵ x 0，y 0， x 0，y 0, yx
由基本不等式有 x y 2 x y 2,
yx
yx
当且仅当 x y 即x y时，等号成立. yx
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
例3、求函数y sin
4 其中 (0, ]的最小值.
sin
2
解：y sin 4 2 sin 4 4，
sin
sin
函数的最小值为 4.
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
例2、若x 2，函数y
x
3， x2
当x为何值时，函数有最值 ，并求其最值.
解： x 2， x 2 0
y x 3 ( x 2) 3 2
x2
x2
2 ( x 2) 3 2 2 3 2 x2
当且仅当x 2 3 ，即x 2 3时, x2
函数有最小值是 2 3 2
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
例2、若x 2，函数y
x
3， x2
当x为何值时，函数有最值 ，并求其最值.
解： y x 3 2 x 3
x2
x2
当且仅当
x
x
x
2 3
，即x 2
3时,函数有最小值是 6
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件．
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
简记：“一正”、“二定”、“三相等”。
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
三、例题讲解
例1、已知x 0，求x 1 的最值
解：∵ x 0
x
x 1 2 x 1 2
x
x
当且仅当x 1 ,即x 1时，原式有最小值 2 x
变式、已知x 0，求x 1 的最值 x
设 AC = a , BC = b 。
过点C作垂直于AB的弦DE，
Βιβλιοθήκη Baidu连接AD、BD。
E
Rt三角形ACD与Rt三角形DCB相似
a CD CD b
CD2 ab CD ab
a b ab (当且仅当a b时，取" "号)
2 基本不等式的几何意义是：“半径不小于半弦。”
2.基本不等式 3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课件 （均值定理）
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
所以 x y 2 yx
例4、已知x、y都是正数，求证： 3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课件 ( x y)( x 2 y 2 )( x 3 y 3 ) 8 x 3 y 3
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
解：∵ x 0， x 0
x 1 [( x) 1 ] 2 ( x) 1 2
x
( x)
( x)
运用均当且值仅不当等式x 的1过,程即x中，1时a、，b原必式须有最为大“正值 数 2”．
x
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课 件
2
b
ab (a 0, b 0)
要证： a b ab ① 2
只要证：a b 2 ab ②
要证②，只要证: a b 2 ab 0 ③
要证③，只要证: ( a b )2 0 ④
④式显然成立.当且仅当a=b时， ④中的等号 成立.
基本不等式的几何解释
在右图中，AB是圆的直径，
点C是AB上的一点，