新人教版初中数学七年级数学下册第二单元《实数》检测(含答案解析)
洛阳市七年级数学下册第二单元《实数》检测(包含答案解析)
一、选择题1．下列各式计算正确的是（ ）A B = ±2 C = ±2 D ．2．观察下列各等式： 231-+=-5-6+7+8=4-10-l1-12+13+14+15=9-17-18-19-20+21+22+23+24=16……根据以上规律可知第11行左起第11个数是（ ）A ．-130B ．-131C ．-132D ．-1333．若a =b =-，c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．c b a >> 4．下列说法中，正确的是（ ）A ．正数的算术平方根一定是正数B ．如果a 表示一个实数，那么－a 一定是负数C ．和数轴上的点一一对应的数是有理数D ．1的平方根是15．下列实数31,7π-，3.14，1.010010001…（从左到右，每两个1之间依次增加一个0）中，其中无理数有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个6．下列选项中，属于无理数的是（ ）A ．πB ．227- C D ．0 7．下列说法中，错误的有（ ）①符号相反的数与为相反数； ②当0a ≠时，0a >；③如果a b >，那么22a b >；④数轴上表示两个有理数的点，较大的数表示的点离原点较远；⑤数轴上的点不都表示有理数．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．已知无理数m 5π-的整数部分相同，则m 为（ ）A B C 1 D ．π-9．在223.14,, 5.12112111227π+--……中，无理数的个数为 （ ）A．5B．2C．3D．410．若将2-，7，11分别表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（）A．2-B．7C ．11D．无法确定11．在 -1.414，2，16，π，2+3，3.212212221…，227，3.14这些数中，无理数的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．512．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③﹣2π不仅是有理数，而且是分数；④237是无限不循环小数，所以不是有理数；⑤无限小数不一定都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；⑦非负数就是正数；⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；其中错误的说法的个数为（）A．7个B．6个C．5个D．4个二、填空题13．把下列各数在数轴上表示出来，并把它们按从小到大的顺序用“＜”连接：1.5-，38，0，13-，4-14．先化简，再求值：()222233a ab a ab⎛⎫---⎪⎝⎭，其中|2|a+与3b-互为相反数．15．()1116353cos302-⎛⎫+-+--︒⎪⎝⎭16．对于有理数a，b，定义一种新运算“”，规定a b a b a b=++-．（1）计算()23-的值；（2）①当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简a b；②当a b a c=时，是否一定有b c=或者b c=-？若是，则说明理由；若不是，则举例说明．17．请你写出一个比3大且比4小的无理数，该无理数可以是：____．18．把下列各数填入相应的集合里：﹣3，|﹣5|，+（13-），﹣3.14，0，﹣1.2121121112…，﹣（﹣2.5），34，﹣|45-|，3π正数集合：{_____________…}；整数集合：{_____________…}；负分数集合：{_____________…}；无理数集合：{_____________…}．19．比较大小，填“＞”或“＜”号：12_________1220．设a ，b是一个无理数，若a b <<，是，则a b ＝____． 三、解答题21．求下列各式中x 的值．（1）2(1)2x +=； （2）329203x +=． 22．对于结论：当a +b ＝0时，a 3+b 3＝0也成立．若将a 看成a 3的立方根，b 看成是b 3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”．（1）试举一个例子来判断上述结论的猜测是否成立？（21-的值．23．定义一种新运算，观察下列式子：212122128=⨯+⨯⨯=★；2232322330=⨯+⨯⨯=★；()()()221212212-=⨯-+⨯⨯-=-★； ()()213132133-=-⨯+⨯-⨯=★；；（1）计算：()32-★的值；（2）猜想：a b =★________； （3）若12162a +=-★，求a 的值． 24．求下列各式中x 的值 （1）()328x -=（2）21(3)753x -= 25)10152-⎛⎫-+︒ ⎪⎝⎭26．求下列各式中的x 的值．（1）4x 2＝9； （2）（2x ﹣1）3＝﹣27．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据平方根和立方根分别对四个选项进行计算即可．【详解】解：∵-1= 2= 2，，故只有A计算正确；故选:A．【点睛】本题考查的是平方根、算术平方根和立方根，计算的时候需要注意审题是求平方根还是算术平方根．2．C解析：C【分析】通过观察发现：每一行等式右边的数就是行数的平方，故第n行右边的数就是n的平方，而左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．【详解】解：第一行：211=；第二行：224=；=；第三行：239=；第四行：2416……第n行：2n；∴第11行：2=．11121∵左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．∴第11行左起第1个数是-122，第11个数是-132．故选：C．【点睛】此题主要考查探索数与式的规律，正确找出规律是解题关键．3．D解析：D【分析】根据乘方运算，可得平方根、立方根，根据绝对值，可得绝对值表示的数，根据正数大于负数，可得答案．【详解】c==--=，解：∵3a==-，b=，()22>>，∴c b a故选：D．【点睛】本题考查了实数比较大小，先化简，再比较，解题的关键是掌握乘方运算，绝对值的化简．4．A解析：A【分析】根据算术平方根、实数与数轴上的点是一一对应关系、实数、平方根，即可解答．【详解】A、正数的算术平方根一定是正数，故选项正确；B、如果a表示一个实数，那么-a不一定是负数，例如a=0，故选项错误；C、和数轴上的点一一对应的数是实数，故选项错误；D、1的平方根是±1，故选项错误；故选：A．【点睛】本题主要考查了实数，实数与数轴，解决本题的关键是熟记实数的有关性质．5．C解析：C【分析】根据无理数的定义、算术平方根与立方根逐个判断即可得．【详解】314.428571=小数点后的428571是无限循环的，属于有理数，7=-属于有理数，3=-⋯，共有3个，则无理数为π故选：C．【点睛】本题考查了无理数、算术平方根与立方根，熟记各定义是解题关键．6．A解析：A【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【详解】解：A.π是无理数；B.227-是分数，属于有理数；是整数，属于有理数；D.0是整数，属于有理数．故选：A．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．7．D解析：D【分析】根据相反数、绝对值、数轴表示数以及有理数的乘法运算等知识综合进行判断即可．【详解】解：符号相反，但绝对值不等的两个数就不是相反数，例如5和-3，因此①不正确；a≠0，即a＞0或a＜0，也就是a是正数或负数，因此|a|＞0，所以②正确；例如-1＞-3，而（-1）2＜（-3）2，因此③不正确；例如-5表示的点到原点的距离比1表示的点到原点的距离远，但-5＜1，因此④不正确；数轴上的点与实数一一对应，而实数包括有理数和无理数，因此⑤正确；综上所述，错误的结论有：①③④，故选：D．【点睛】本题考查相反数、绝对值、数轴表示数，对每个选项进行判断是得出正确答案的前提．8．C解析：C【分析】m的整数部分与小数部分，进而可得答案．【详解】解：因为23， 3.14π≈，2，5π-的整数部分为1，所以无理数m的整数部分是12，所以121m=+=．故选：C．【点睛】m的整数部分与小数部分是解9．D解析：D【分析】根据无理数的概念逐一判断即可，其中无限不循环小数是无理数．【详解】3.14是有理数，2π是无理数，===是无理数，0.1=-是有理数，2+227-是有理数， 5.121121112-……是无理数；故选D ．【点睛】本题考查了无理数的概念，熟记无限不循环小数为无理数是本题的关键．10．B解析：B【分析】首先利用估算的方法分别得到间），从而可判断出被覆盖的数．【详解】 ∵221，23<<，34<<而墨迹覆盖的范围是1-3∴故选B.【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力．11．C解析：C【分析】先计算算术平方根，再根据无理数的定义即可得．【详解】4=，22 3.1428577=小数点后的142857是无限循环的，,2π+⋯，共4个，【点睛】本题考查了算术平方根、无理数，熟记无理数的定义是解题关键．12．B解析：B【分析】根据有理数的分类依此作出判断，即可得出答案．【详解】解：①没有最小的整数，所以原说法错误；②有理数包括正数、0和负数，所以原说法错误；③﹣2π是无理数，所以原说法错误； ④237是无限循环小数，是分数，所以是有理数，所以原说法错误； ⑤无限小数不都是有理数，所以原说法正确；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，所以原说法正确；⑦非负数就是正数和0，所以原说法错误；⑧正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，所以原说法错误；故其中错误的说法的个数为6个．故选：B ．【点睛】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．二、填空题13．数轴见解析＜＜0＜＜【分析】根据用数轴表示数的方法在数轴上先表示出各数再由数轴上右边的数总比左边的数大把这些数用＜连接即可【详解】解：在数轴上表示各数如图：∴＜＜0＜＜【点睛】本题主要考查了实数的大 解析：数轴见解析，13-＜ 1.5-＜0＜38＜4-．【分析】根据用数轴表示数的方法，在数轴上先表示出各数，再由“数轴上右边的数总比左边的数大”把这些数用“＜”连接即可．【详解】解：在数轴上表示各数如图：∴ 1.5-＜04-．【点睛】本题主要考查了实数的大小比较的方法，掌握利用数轴比较实数的大小是解题的关键． 14．ab ；-6【分析】原式去括号合并得到最简结果利用相反数及非负数的性质求出a 与b 的值代入计算即可求出值【详解】解：原式=2a2-2ab-（2a2-3ab ）=2a2-2ab-2a2+3ab=ab ∵与互为解析：ab ；-6．【分析】原式去括号合并得到最简结果，利用相反数及非负数的性质求出a 与b 的值，代入计算即可求出值．【详解】解：原式=2a 2-2ab-（2a 2-3ab ）=2a 2-2ab-2a 2+3ab= ab ， ∵2a +∴，∴a+2=0，30b -=，解得：a=-2，3b =，当a=-2，b=3时，原式=-6．【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，以及算术平方根的非负性，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．【分析】根据平方根定义负指数幂零指数幂特殊角的三角函数值计算即可；【详解】解：原式【点睛】本题主要考查了实数的运算结合负整数指数幂零指数幂特殊角的三角函数值计算是解题的关键 解析：32【分析】根据平方根定义、负指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值计算即可；【详解】解：原式33421421222=-+-=-+-=． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，结合负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值计算是解题的关键． 16．（1）6；（2）①；②不一定理由见解析【分析】（1）根据新定义可得然后按有理数的运算法则计算即可；（2）①首先根据数轴可得 然后根据新定义可得去掉绝对值符号之后按整式加减运算法则化简即可；②举反例： 解析：（1）6；（2）①2b -；②不一定，理由见解析．【分析】（1）根据新定义可得()()()232323-=+-+--☉，然后按有理数的运算法则计算即可；（2）①首先根据数轴可得0a b +<，0a b -> ，然后根据新定义可得a b a b a b =++-☉，去掉绝对值符号之后按整式加减运算法则化简即可； ②举反例：当5a =-，4b =，3c =时，a b a c =☉☉成立；【详解】（1）()23-☉()()2323=+-+--15=-+15=+6=； （2）①从a ，b 在数轴上的位置可得0a b +<，0a b -> ，()()2a b a b a b a b a b a b b ∴==++-=-++-=-；②不一定有b c =或者b c =-，举反例如下，当5a =-，4b =，3c =时，10ab a b a b =++-=☉，10ac a c a c =++-=☉， 此时a b a c =☉☉成立，但b c ≠且b c ≠-．【点睛】本题考查新定义运算，解答的关键是根据新定义，转化成有理数的运算，整式的运算． 17．答案不唯一如：【分析】无限不循环小数是无理数根据无理数的三种形式解答即可【详解】设该无理数是x 由题意得∴x=10或11或12或13或14或15该无理数可以是：答案不唯一如：故答案为：答案不唯一如：【解析：【分析】无限不循环小数是无理数，根据无理数的三种形式解答即可．【详解】设该无理数是x x <<∴x=10或11或12或13或14或15，【点睛】此题考查无理数的定义，熟记定义并掌握无理数的三种形式是解题的关键． 18．|﹣5|﹣（﹣25）3π﹣3|﹣5|0+（）﹣314﹣||﹣12121121112…3π【分析】先根据绝对值的定义及化简符号的法则去掉绝对值的符号及多重符号再根据正数整数负分数无理数的定义求解即可【解析：|﹣5|，﹣（﹣2.5），34，3π ﹣3，|﹣5|，0 +（13-），﹣3.14，﹣|45-| ﹣1.2121121112 (3)【分析】 先根据绝对值的定义及化简符号的法则去掉绝对值的符号及多重符号，再根据正数、整数、负分数、无理数的定义求解即可．【详解】解：|﹣5|＝5，+（13-）13=-，﹣（﹣2.5）＝2.5，﹣|45-|45=-， 19．＜【分析】根据-1＞1即可进行比较【详解】∵-1＞1∴＞即＜故答案为：＜【点睛】此题主要考查了实数大小比较解析：＜【分析】＞1，即可进行比较．【详解】 ∵＞1，∴＞12，即12． 故答案为：＜．【点睛】此题主要考查了实数大小比较．20．9【分析】求出的范围求出ab 的值代入求出即可【详解】∵2＜＜3∴a ＝2b ＝3∴ba ＝32＝9故答案为：9【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用关键是求出ab 的值解析：9【分析】a 、b 的值，代入求出即可．【详解】∵23，∴a ＝2，b ＝3，∴b a ＝32＝9．故答案为：9．【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是求出a 、b 的值．三、解答题21．（1）11x =，21x =；（2）23x =-． 【分析】（1）根据平方根的意义求解即可；（2）变形后根据立方根的意义求解即可．【详解】（1）2(1)2x +=，1x +=11x =，21x =．（2）329203x +=， 32923x =-， 3827x =-， 23x =-． 【点睛】本题考查了利用平方根和立方根的意义解方程，熟练掌握平方根和立方根的意义是解答本题的关键．22．（1）见解析；（2）13-=-【分析】（10=，则2与﹣2互为相反数进行说明.（2）利用（1）的结论，列出方程（3﹣2x ）+（x +5）＝0，从而解出x 的值，代入可得出答案．【详解】解：（10=，则2与﹣2互为相反数；（2）由已知，得（3﹣2x ）+（x +5）＝0，解得x ＝8，∴1=1=1﹣4＝﹣3．【点睛】本题考查立方根的知识，难度一般，注意一个数的立方根有一个，它和这个数正负一致，本题的结论同学们可以记住，以后可直接运用．23．（1）0；（2）22ab ab +；（3）5a =-【分析】（1）利用规定的运算方法直接代入计算即可；（2）利用规定的运算方法求解即可；（3）利用规定的运算方法得到方程，再进一步解方程即可．【详解】解：（1）∵212122128=⨯+⨯⨯=★；2232322330=⨯+⨯⨯=★；()()()221212212-=⨯-+⨯⨯-=-★； ()()213132133-=-⨯+⨯-⨯=★；； ∴()()()232322320-=⨯-+⨯⨯-=★；（2）由（1）可得：22a b ab ab =+★．故答案为：22ab ab +．（3）2111222216222a a a +++=⨯+⨯⨯=-★， 解得：5a =-．【点睛】此题考查有理数的混合运算以及解一元一次方程，理解运算方法是解决问题的关键． 24．（1）4x =；（2）18x =或12x =-．【分析】（1）利用立方根的定义得到22x -=，然后解一次方程即可；（2）先变形为()23225x -=，然后利用平方根的定义得到x 的值．【详解】（1）∵()328x -=，∴22x -=，∴4x =；（2）21(3)753x -=，整理得：()23225x -=，∴315x -=或315x -=-，∴18x =或12x =-．【点睛】本题考查了解一元一次方程，平方根和立方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 25．32【分析】根据平方根定义、负指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值计算即可；【详解】解：原式33421421222=-+-=-+-=．【点睛】本题主要考查了实数的运算，结合负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值计算是解题的关键．26．（1）x＝32±；（2）x＝﹣1．【分析】（1）先变形为x2＝94，然后利用平方根的定义得到x的值；（2）先利用立方根的定义得到2x﹣1＝﹣3，然后解一次方程即可．【详解】解：（1）4x2＝9∴x2＝94，∴x＝±32；（2）（2x﹣1）3＝﹣27，∴2x﹣1＝﹣3，∴x＝﹣1．【点睛】本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a。
深圳平安里学校初中部七年级数学下册第二单元《实数》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．下列各数中，无理数有（ ）3.14125，8，127，0.321，π，2.32232223（相邻两个3之间的2的个数逐次增加1）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．在实数3-，-3.14，0，π，364中，无理数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．下列说法正确的是（ ） A ．2-是4-的平方根B ．2是()22-的算术平方根C ．()22-的平方根是2D ．8的平方根是44．数轴上有O 、A 、B 、C 四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数线上有一点D ，D 点所表示的数为d ，且|d ﹣5|＝|d ﹣c |，则关于D 点的位置，下列叙述正确的是？（ ）A ．在A 的左边B ．介于O 、B 之间C ．介于C 、O 之间D ．介于A 、C 之间 5．81的平方根是（ ）A ．9B ．-9C ．9和9-D ．816．如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若0n q +=，则m ，n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的一个是（ ）A ．pB ．qC ．mD ．n764 ）A ．8B ．8-C ．22D ．22± 8．已知：m 、n 为两个连续的整数，且5m n <<，以下判断正确的是（ ） A 545 B ．3m =C 50.236D ．9m n += 9．在1.414，3213，5π，23中，无理数的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．已知下列结论：①2；②无理数是无限小数；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的结论是（ ） A ．① ③ B ．②③ C ．③④ D ．②④11．下列说法正确的有（ ）（1）带根号的数都是无理数；（2）立方根等于本身的数是0和1；（3）a -一定没有平方根；（4）实数与数轴上的点是一一对应的；（5）两个无理数的差还是无理数；（6）若面积为3的正方形的边长为a ，a 一定是一个无理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 12．在0，3π，5，227，9-，6.1010010001…（相邻两个1之间0的个数在递增）中，无理数有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．进位数是一种计数方法，可以用有限的数学符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n 个则称为n 进制，现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9作为基数，特点是满十进1，对于任意一个(210)n n ≤≤进制表示的数通常使用n 个阿拉伯数字()01--n 作为基数，特点是逢n 进一，我们可以通过下列方式把它转化为十进制．例如：五进制数 ()252342535469=⨯+⨯+=，则()523469=，七进制数()271361737676=⨯+⨯+=（1）请将以下两个数转化为十进制：()5333= ，（746)= ．（2）若一个正数可以用7进制表示为()7abc ，也可用五进制表示为()5cba ，求出这个数并用十进制表示．14．如图，数轴上点A ，B ，C 所对应的实数分别为a ，b ，c ，试化简()323|-|b a c a b -++．15．对于有理数,a b ，我们规定*a b b ab =-（1）求(2)*1-的值．（2）若有理数x 满足(2)*36x -=，求x 的值．16．“*”是规定的一种运算法则：a*b=a 2－3b ．（1）求2*5的值为 ；（2）若（-3）*x=6，求x 的值；17．设26+x 、y ，试求x 、y 的值与1x -的立方根． 18．一个正数的两个平方根分别为27a -与34a -+，则这个正数为_______． 19．2(1)10a b -+=，则20132014a b +=___________．20．比较大小：_______ -1.5三、解答题21．计算：（1）7|2|--（2）2 311 5422⎛⎫⎛⎫⨯-÷-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22．阅读下列信息材料信息1：因为尤理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确；信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.52-得来的；信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如23<<，是因为<；根据上述信息，回答下列问题：（1___________，小数部分是______________；（2）若2122a<<，则a的整数部分是___________；小数部分可以表示为_______；（3）10+10a b<则a b+=______；（43x y=+，其中x是整数，且01y<<，请求x y-的相反数．23．求满足条件的x值：（1）()23112x-=（2）235x-=24)1152-⎛⎫-+︒⎪⎝⎭25．(2226．观察下列各式：112⨯=1－12，123⨯=12－13，134⨯=13－14．（1）请根据以上式子填空：①189⨯=，②1(1)n n⨯+=（n是正整数）（2）由以上几个式子及你找到的规律计算：112⨯+123⨯+134⨯+．．．．．．．．．．．．+120152016⨯【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】直接根据无理数的定义直接判断得出即可．【详解】π，2.32232223共3个．故选D．【点睛】本题考查了无理数的定义，正确把握无理数的定义：无限不循环小数是无理数进而得出是解题关键．2．B解析：B【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，进行判断即可．【详解】=4，所给数据中无理数有：π，共2个．故选：B．【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式．3．B解析：B【分析】根据平方根、算术平方根，即可解答．【详解】A选项：4-没有平方根，故A错误；-=，4的算术平方根为2，故B正确；B选项：()224-=，4的平方根为2±，故C错误；C选项：()224D选项：8的平方根为±，故D错误故选B．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根的概念．4．B解析：B【分析】借助O 、A 、B 、C 的位置以及绝对值的定义解答即可．【详解】解：-5＜c<0，b=5，|d ﹣5|＝|d ﹣c |∴BD=CD ，∴D 点介于O 、B 之间．故答案为B ．【点睛】本题考查了实数、绝对值和数轴等相关知识，掌握实数和数轴上的点一一对应是解答本题的关键．5．C解析：C【分析】根据平方根的定义即可求出答案．【详解】解：2(9)81±=， 81的平方根是9±．故选：C【点睛】本题考查平方根的定义，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型． 6．A解析：A【分析】根据题意可判断0在线段NQ 的中点处，再根据绝对值的意义即可进行判断．【详解】解：因为0n q +=，所以n 、q 互为相反数，0在线段NQ 的中点处，所以点P 距离原点的距离最远，即m ，n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的一个是p ． 故选：A ．【点睛】本题考查了实数与数轴以及线段的中点，正确理解题意、确定数轴上原点的位置是解题关键．7．D解析：D【分析】8=，再根据平方根的定义，即可解答．【详解】8=，8的平方根是±故选：D ．【点睛】8=．8．A解析：A【分析】根据无理数的估算、实数的运算即可得．【详解】459<<，<<23<<，22，则选项C 错误；∴)224-=A 正确；又m 、n 为两个连续的整数，且m n <<，2,3m n ==∴，则选项B 错误；235m n ∴+=+=，则选项D 错误；故选：A ．【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的运算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． 9．C解析：C【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：1.414是有限小数，属于有理数；213是分数，属于有理数； 5π是无理数；2是无理数，∴无理数的个数是3个，故选：C ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…等有这样规律的数．10．B解析：B【分析】根据实数与数轴、无理数与有理数的定义逐个判断即可得．【详解】①，此结论错误；②无理数是无限小数，此结论正确；③实数与数轴上的点一一对应，此结论正确；④有理数有无限个，无理数有无限个，此结论错误；综上，正确的结论是②③，故选：B ．【点睛】本题考查了实数与数轴、无理数与有理数的定义，掌握理解实数的相关概念是解题关键． 11．B解析：B【分析】根据无理数的定义、立方根与平方根、实数与数轴的关系逐个判断即可得．【详解】（12=是有理数，说法错误；（2）立方根等于本身的数是0和±1，说法错误；（3）当a -为非负数时，a -有平方根，说法错误；（4）实数与数轴上的点是一一对应的，说法正确；（50=，说法错误；（6）由正方形的面积公式得：a =是无理数，说法正确；综上，说法正确的有2个，故选：B ．【点睛】本题考查了无理数、实数的运算、立方根与平方根，掌握理解各概念和运算法则是解题关键． 12．C解析：C【分析】先计算算术平方根，再根据无理数的定义即可得．【详解】22 3.1428577=小数点后142857是无限循环的，则227是有理数，3=-，则因此，题中的无理数有3π 6.1010010001（相邻两个1之间0的个数在递增），共有3个，故选：C ．【点睛】本题考查了无理数、算术平方根，熟记无理数的定义是解题关键．二、填空题13．（1）9334；（2）这个数用十进制表示为51或102【分析】（1）根据进制的规则列式计算即可；（2）根据题意列得化简成24a+b=12c 根据abc 的取值范围分别将a 从1开始取值验证即可得到答案【详解析：（1）93，34；（2）这个数用十进制表示为51或102．【分析】（1）根据进制的规则列式计算即可；（2）根据题意列得227755a b c c b a ++=++，化简成24a+b=12c ，根据a 、b 、c 的取值范围分别将a 从1开始取值验证，即可得到答案．【详解】（1）()253333535393=⨯+⨯+=，7(46)47634=⨯+=，故答案为：93，34；（2）根据题意得：227755a b c c b a ++=++，∴24a+b=12c ， ∴212b c a =+， ∵a 、b 、c 均为整数，且04b ≤≤，∴b=0，c=2a ，∵04a <≤，04c <≤，∴12a c =⎧⎨=⎩或24a c =⎧⎨=⎩， ∵27(102)170251=⨯++=，27(204)2704102=⨯++=．∴这个数用十进制表示为51或102．【点睛】此题考查新定义运算，有理数的混合运算，列代数式，正确理解题意是解题的关键． 14．2a-c 【分析】根据数轴得到a<b<0<c 由此得到a-c<0a+b<0依此化简各式再合并同类项即可【详解】由数轴得a<b<0<c ∴a-c<0a+b<0∴=-b-（c-a ）+(a+b)=-b-c+a+解析：2a-c【分析】根据数轴得到a<b<0<c ，由此得到a-c<0，a+b<0，依此化简各式，再合并同类项即可.【详解】由数轴得a<b<0<c ，∴a-c<0，a+b<0，∴|-|a c =-b-（c-a ）+(a+b)=-b-c+a+a+b=2a-c.【点睛】此题考查数轴上的点表示数，利用数轴比较数的大小，绝对值的性质，立方根的化简，整式的加减法计算法则，解题的关键是依据数轴确定各式子的符号由此化简各式. 15．（1）3；（2）【分析】（1）由新定义的运算法则进行计算即可得到答案；（2）由新定义列出方程解方程即可得到答案【详解】解：∵∴；（2）由题意则∵∴解得：【点睛】本题考查了一元一次方程新定义的运算法则 解析：（1）3；（2）1x =．【分析】（1）由新定义的运算法则进行计算，即可得到答案；（2）由新定义列出方程，解方程即可得到答案．【详解】解：∵*a b b ab =-，∴(2)*11(2)1123-=--⨯=+=；（2）由题意，则∵(2)*36x -=，∴(2)*333(2)6x x -=--=，解得：1x =．【点睛】本题考查了一元一次方程，新定义的运算法则，解题的关键是掌握运算法则进行解题． 16．（1）-11；（2）x=1【分析】（1）根据新运算的规则把新运算转化成普通有理数的计算再按有理数相关计算法则计算即可；（2）根据新运算的规则把等式左边的新运算转化成普通有理数运算从而把等式转化成一元解析：（1）-11；（2）x=1．【分析】（1）根据新运算的规则，把新运算转化成普通有理数的计算，再按有理数相关计算法则计算即可；（2）根据新运算的规则，把等式左边的新运算转化成普通有理数运算，从而把等式转化成一元一次方程，再解一元一次方程即可．【详解】（1）∵ a ∗b= 23a b -，∴ 2∗5=223541511-⨯=-=- ；（2）∵ a ∗b=23a b -，∴ (−3)∗x=()23393x x --=- 即936x -=解此方程得：1x =．【点睛】本题考察有关新运算的问题，首先要弄清把新运算转化为普通运算的规则，然后根据规则把新运算部分转化为普通运算，再按普通运算的相关计算法则计算即可．17．的立方根为【分析】根据无理数的估算立方根的定义即可得【详解】因为所以所以即所以的整数部分是4小数部分是即所以【点睛】本题考查了无理数的估算立方根熟练掌握无理数的估算方法是解题关键解析：4x =，2y =，1x - 【分析】根据无理数的估算、立方根的定义即可得．【详解】因为469<<，所以23<<，所以22223+<++，即425<+，所以24，小数部分是242+=，即4x =，2y =，==【点睛】本题考查了无理数的估算、立方根，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． 18．169【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数求出a 的值就可以算出这个正数【详解】解：解得∴这个正数是故答案是：169【点睛】本题考查平方根解题的关键是掌握平方根的性质解析：169【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，求出a 的值，就可以算出这个正数．【详解】解：()27340a a -+-+=，解得3a =-，()23713⨯--=-，∴这个正数是()213169-=． 故答案是：169．【点睛】本题考查平方根，解题的关键是掌握平方根的性质．19．2【分析】先根据算术平方根的非负性绝对值的非负性求出ab 的值再代入计算有理数的乘方运算即可得【详解】由算术平方根的非负性绝对值的非负性得：解得则故答案为：2【点睛】本题考查了算术平方根的非负性绝对值 解析：2【分析】先根据算术平方根的非负性、绝对值的非负性求出a 、b 的值，再代入计算有理数的乘方运算即可得．【详解】由算术平方根的非负性、绝对值的非负性得：10a -=，10b +=，解得1a =，1b =-，则()201420132014201311112a b +=+-=+=，故答案为：2．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方，熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题关键． 20．＜【分析】正实数都大于0负实数都小于0正实数大于一切负实数两个负实数绝对值大的反而小据此判断即可【详解】解：(−)2=3（-15）2=225∵3＞225∴-＜-15故答案为：＜此题主要考查了实数大小解析：＜．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】解：)2=3，（-1.5）2=2.25，∵3＞2.25，∴-1.5．故答案为：＜．此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小，两个负数平方大的反而小．三、解答题21．（1）2；（2）5【分析】(1)先计算绝对值及开立方，再计算加减法；(2)先计算括号中的减法及乘方，再按顺序计算乘除法．【详解】解：（1）7|2|--=2；（2）23115422⎛⎫⎛⎫⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=15144⨯÷ =5．【点睛】 此题考查实数的混合运算，掌握运算法则及运算顺序是解题的关键．22．（1）33；（2）21；21a -；（3）23；（47．【分析】（1）先找到91316<<，可找到34<< （2）根据因为2122a <<，即可找出a 的整数部分与小数部分（3）找到12<<在哪两个整数之间,再加10即可.（4）先确定56<<，找到233<<，由01y <<，x 是整数，即可确定x=2，5，再求7x y -=，即可求出【详解】（1）91316<< ∴34<<33故答案为：33；（2）因为2122a <<,故则a 的整数部分是21，a 的小数部分可以表示为21a -. 故答案为：21；21a -；（3）因为12<<， ∴10110102+<+<+，即111012<+<，所以=11a ,=12b ，故23a b +=，故答案为：23；（4）5306<<，23033<<，∵01y <<，x 是整数，∴x=2， ∴325-=，∴)257x y -=-=， ∴x y -7．本题考查的是无理数的整数部分与小数部分，掌握估值法确定无理数的范围，即无限不循环小数知识的拓展延伸,理解题意,按照题目所给的表示方法去解答是关键．23．（1）13x =，21x =-；（2）1x =2x =-【分析】（1）方程两边同除以3，再运用直接开平方法求解即可；（2）方程移项后，再运用直接开平方法求解即可．【详解】解：（1）()23112x -= ()214x -=12x -=±解得，13x =，21x =-；（2）235x -=28x = ∴x =±∴1x =2x =-【点睛】本题考查了平方根的应用，解决本题的关键是熟记平方根的定义．24．32【分析】根据平方根定义、负指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值计算即可；【详解】解：原式33421421222=-+-=-+-=． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，结合负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值计算是解题的关键． 25．8-【分析】先化简绝对值、立方根、算术平方根，然后进行加减运算即可．【详解】(22=2243--⨯+（）=412-=8-此题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解本题的关键．26．（1）①1189-，②111n n-+；（2）20152016【分析】（1）仔细观察所给式子的结构，发现规律111=(1)1n n n n-⨯++，即可解答；（2）根据发现的规律变形原式，进行合并化简即可解答．【详解】（1）仔细观察，发现111=(1)1n n n n-⨯++，则1118989=-⨯，故答案为：①1189-，②111n n-+；（2）根据111=(1)1 n n n n-⨯++，则112⨯+123⨯+134⨯+．．．．．．．．．．．．+120152016⨯=1111111 (1)()()()2233420152016 -+-+-++-=1 12016 -=2015 2016．【点睛】本题考查数字规律的探索、有理数的混合运算，解答的关键是发现式子的变化规律，根据规律变形原式，从而使计算简单化．。
深圳宝安区景山实验学校七年级数学下册第二单元《实数》测试(含答案解析)
一、选择题1．对于任意不相等的两个实数a ，b ，定义运算：a ※b ＝a 2﹣b 2+1，例如3※2＝32﹣22+1＝6，那么（﹣5）※4的值为（ ）A ．﹣40B ．﹣32C ．18D ．102．下列说法中错误的有（ ）①实数和数轴上的点是一一对应的；②负数没有立方根；③算术平方根和立方根均等于其本身的数只有0；④49的平方根是7±，用式子表示是497=±．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．观察下列运算：81＝8，82＝64，83＝512，84＝4 096，85＝32 768，86＝262 144，…，则81＋82＋83＋84＋…＋82 017的和的个位数字是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 4．下列说法正确的是（ ） A ．2-是4-的平方根B ．2是()22-的算术平方根C ．()22-的平方根是2D ．8的平方根是45．下列说法中，正确的是（ ）A ．正数的算术平方根一定是正数B ．如果a 表示一个实数，那么－a 一定是负数C ．和数轴上的点一一对应的数是有理数D ．1的平方根是1 6．81的算术平方根是（ ）A ．3B ．﹣3C ．±3D ．67．数轴上有O 、A 、B 、C 四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数线上有一点D ，D 点所表示的数为d ，且|d ﹣5|＝|d ﹣c |，则关于D 点的位置，下列叙述正确的是？（ ）A ．在A 的左边B ．介于O 、B 之间C ．介于C 、O 之间D ．介于A 、C 之间 8．在 1.4144-，2-，227，3π，23，0.3•，2.121112*********...中，无理数的个数（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．32.37323.732370 ）A ．287.2B ．28.72C ．13.33D ．133.310．85- ）A ．4B ．5C ．6D ．711．已知无理数m 的小数部分与5的小数部分相同，它的整数部分与5π-的整数部分相同，则m 为（ ） A ．5B ．10C ．51-D ．5π- 12．在3223.14,,0.4,0.001,23,, 5.12112111227π-+--……中，无理数的个数为 （ ） A ．5 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题13．计算：201()( 3.14)20|25|.2π---+--14．求下列各式中x 的值．（1）4（x ﹣3）2＝9；（2）（x +10）3+125＝0．15．先化简，再求值：()222233a ab a ab ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，其中|2|a +与3b -互为相反数． 16．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米．（提示：182＝324）（1）求正方形纸板的边长；（2）若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为343立方厘米的正方体，求剩余的正方形纸板的面积．17．小明定义了一种新的运算，取名为⊗运算，按这种运算进行运算的算式举例如下：①（+4）⊗（+2）＝+6；②（﹣4）⊗（﹣3）＝+7；③（﹣5）⊗（+3）＝﹣8；④（+6）⊗（﹣4）＝﹣10；⑤（+8）⊗0＝8；⑥0⊗（﹣9）＝9．问题：（1）请归纳⊗运算的运算法则：两数进行⊗运算时， ；特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算， ．（2）计算：[（﹣2）⊗（+3）]⊗[（﹣12）⊗0]； （3）我们都知道乘法有结合律，这种运算律在有理数的⊗运算中还适用吗？请判断是否适用，并举例验证．18．计算：（1）20193(1)816|22|-（2）[（x ﹣2y ）2+（x ﹣2y ）（x +2y ）﹣2x （2x ﹣y ）]÷2x19．已知4a +1的平方根是±3，3a +b ﹣1的立方根为2．（1）求a 与b 的值；（2）求2a +4b 的平方根．20．若2(1)10a b -++=，则20132014a b +=___________．三、解答题21．计算：（1）37|2|27--+-（2）23115422⎛⎫⎛⎫⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B ，点A 表示2-，设点B 所表示的数为m ．（1）求11m m ++-的值； （2）在数轴上还有C 、D 两点分别表示实数c 和d ，且有2c d +4d +数，求23c d -的平方根．23．2 1.414≈，于是我们说：2的整数部分为1，小数部分则可记为21”．则：（121的整数部分是__________，小数部分可以表示为__________；（232的小数部分是a ，73-b ，那么a b +=__________； （311x 11的小数部分为y ，求1(11)x y --的平方根． 24．求下列各式中x 的值（1）()328x -=（2）21(3)753x -=25．把下列各数的序号填入相应的括号内①-3，②π，327-，④-3.14，2，⑥0，⑦227，⑧-1，⑨1.3，⑩1.8080080008…（两个“8”之间依次多一个“0”）． 整数集合{ …}，负分数集合{ …}，正有理数集合{ …}，无理数集合{ …}．26．把下列各数填在相应的横线上 1.4，2020，2-，32-，0.31，038-π-，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）（1）整数：______（2）分数：______（3）无理数：______【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】直接利用题中的新定义给出的运算公式计算得出答案．【详解】解：(-5)※4＝(﹣5)2﹣42+1＝10．故选：D．【点睛】本题主要考查了实数运算，以及定义新运算，正确运用新定义给出的运算公式是解题关键．2．D解析：D【分析】利用实数和数轴的关系，算术平方根，立方根及平方根定义判断即可．【详解】①实数和数轴上的点是一一对应的，正确；②负数有立方根，错误；③算术平方根和立方根均等于其本身的数有0和1，错误；④49的平方根是7±7=，错误．综上，错误的个数有3个．故选：D．【点睛】本题考查了实数和数轴，平方根，算术平方根及立方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．D解析：D【分析】根据规律可得底数为8的幂的个位数字依次为8，4，2，6，以4个为周期，个位数字相加为0． 2017除以4余数是1，故得到和的个位数字是8．【详解】解：2017÷4＝504…1，循环了504次，还有1个个位数字为8，所以81+82+83+84+…+82017的和的个位数字是504×0+8＝8．故选：D．【点睛】本题主要考查了数字的变化类，尾数的特征，得到底数为8的幂的个位数字的循环规律是解决本题的突破点．4．B解析：B【分析】根据平方根、算术平方根，即可解答．【详解】A选项：4-没有平方根，故A错误；-=，4的算术平方根为2，故B正确；B选项：()224-=，4的平方根为2±，故C错误；C选项：()224D选项：8的平方根为±，故D错误故选B．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根的概念．5．A解析：A【分析】根据算术平方根、实数与数轴上的点是一一对应关系、实数、平方根，即可解答．【详解】A、正数的算术平方根一定是正数，故选项正确；B、如果a表示一个实数，那么-a不一定是负数，例如a=0，故选项错误；C、和数轴上的点一一对应的数是实数，故选项错误；D、1的平方根是±1，故选项错误；故选：A．【点睛】本题主要考查了实数，实数与数轴，解决本题的关键是熟记实数的有关性质．6．A解析：A【分析】9，再利用算术平方根的定义求出答案.【详解】∵9，∴3，故选：A .【点睛】. 7．B解析：B【分析】借助O 、A 、B 、C 的位置以及绝对值的定义解答即可．【详解】解：-5＜c<0，b=5，|d ﹣5|＝|d ﹣c |∴BD=CD ，∴D 点介于O 、B 之间．故答案为B ．【点睛】本题考查了实数、绝对值和数轴等相关知识，掌握实数和数轴上的点一一对应是解答本题的关键．8．D解析：D【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【详解】1.4144-，有限小数，是有理数，不是无理数；227，分数，是有理数，不是无理数； 0.3•，无限循环小数，是有理数，不是无理数；， 3π，2-， 2.121112*********...是无理数，共4个， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了无理数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．9．C解析：C【分析】【详解】1.3331013.33==≈⨯=．故答案为：C ．【点睛】本题考查了立方根的定义，正确变形、熟练掌握立方根的概念是关键．10．B解析：B【分析】直接利用估算无理数的大小的方法得出23<<，进而得出答案． 【详解】解：459<<，<<23<<，83882∴-<<-，586∴<，8∴5．故选：B ．【点睛】11．C解析：C【分析】m 的整数部分与小数部分，进而可得答案．【详解】解：因为23， 3.14π≈，2，5π-的整数部分为1，所以无理数m 的整数部分是12，所以121m =+=．故选：C ．【点睛】m 的整数部分与小数部分是解题的关键．12．D解析：D【分析】根据无理数的概念逐一判断即可，其中无限不循环小数是无理数．【详解】3.14是有理数，2π是无理数，===是无理数，0.1=-是有理数，2+227-是有理数，5.121121112-……是无理数；故选D．【点睛】本题考查了无理数的概念，熟记无限不循环小数为无理数是本题的关键．二、填空题13．+5【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案【详解】解：原式＝4﹣1++2=+5【点睛】此题主要考查了负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质正确化简各数．【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式＝4﹣1+．【点睛】此题主要考查了负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．14．（1）x＝或；（2）x＝﹣15【分析】（1）利用平方根解方程即可；（2）利用立方根解方程即可【详解】解：（1）4（x﹣3）2＝9（x﹣3）2＝x﹣3＝x ﹣3＝或x﹣3＝解得：x＝或；（2）（x+10解析：（1）x＝92或32；（2）x＝﹣15【分析】（1）利用平方根解方程即可；（2）利用立方根解方程即可．【详解】解：（1）4（x﹣3）2＝9，（x﹣3）2＝94，x﹣3＝32±，x﹣3＝32或x﹣3＝32-，解得：x ＝92或32； （2）（x +10）3+125＝0，（x +10）3＝﹣125，x +10x +10＝﹣5，解得x ＝﹣15．【点睛】本题主要考查利用平方根解方程、利用立方根解方程，熟练掌握解方程的方法和步骤是解答的关键，注意平方根有两个．15．ab ；-6【分析】原式去括号合并得到最简结果利用相反数及非负数的性质求出a 与b 的值代入计算即可求出值【详解】解：原式=2a2-2ab-（2a2-3ab ）=2a2-2ab-2a2+3ab=ab ∵与互为解析：ab ；-6．【分析】原式去括号合并得到最简结果，利用相反数及非负数的性质求出a 与b 的值，代入计算即可求出值．【详解】解：原式=2a 2-2ab-（2a 2-3ab ）=2a 2-2ab-2a 2+3ab= ab ， ∵2a +∴，∴a+2=0，30b -=，解得：a=-2，3b =，当a=-2，b=3时，原式=-6．【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，以及算术平方根的非负性，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（1）正方形纸板的边长为18厘米；（2）剩余的正方形纸板的面积为30平方厘米【分析】（1）根据正方形的面积公式进行解答；（2）由正方体的体积公式求得正方体的边长然后由正方形的面积公式进行解答【详解】解析：（1）正方形纸板的边长为18厘米；（2）剩余的正方形纸板的面积为30平方厘米【分析】（1）根据正方形的面积公式进行解答；（2）由正方体的体积公式求得正方体的边长，然后由正方形的面积公式进行解答．【详解】解：（1=18（cm），答：正方形纸板的边长为18厘米；（2=7（cm），则剪切纸板的面积＝7×7×6＝294（cm2），剩余纸板的面积＝324﹣294＝30（cm2）答：剩余的正方形纸板的面积为30平方厘米．【点睛】本题考查了立方根，算术平方根，解题的关键是熟悉正方形的面积公式和立方体的体积公式，属于基础题．17．（1）同号得正异号得负并把绝对值相加；都得这个数的绝对值；（2）﹣17；（3）适用举例验证见解析【分析】（1）根据示例得出两数进行⊗运算时同号得正异号得负并把绝对值相加特别地0和任何数进行⊗运算或任解析：（1）同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值；（2）﹣17；（3）适用，举例验证见解析【分析】（1）根据示例得出，两数进行⊗运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算，都得这个数的绝对值；（2）根据⊗运算的运算法则进行计算即可；（3）举例即可做出结论．【详解】解：（1）根据示例得出，两数进行⊗运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算，都得这个数的绝对值．故答案为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值；（2）[（﹣2）⊗（+3）]⊗[（﹣12）⊗0]＝（﹣5）⊗（+12）＝﹣17；（3）结合律仍然适用．例如[（﹣3）⊗（﹣5）]⊗（+4）＝（+8）⊗（+4）＝+12，（﹣3）⊗[（﹣5）⊗（+4）]＝（﹣3）⊗（﹣9）＝+12，所以[（﹣3）⊗（﹣5）]⊗（+4）＝12＝（﹣3）⊗[（﹣5）⊗（+4）．故结合律仍然适用．【点睛】本题考查了新定义下的有理数的加减运算，正确理解新定义运算法则是解题的关键．18．（1）（2）【分析】（1）先根据正整数指数幂立方根平方根去绝对值化简各项再进行加减运算即可；（2）先去括号根据完全平方公式和平方差公式计算后合并同类项再计算除法即可求解【详解】（1）原式＝（2）原式--解析：（1）1--2）y x【分析】（1）先根据正整数指数幂、立方根、平方根、去绝对值化简各项，再进行加减运算即可；（2）先去括号，根据完全平方公式和平方差公式计算后合并同类项，再计算除法即可求解．【详解】（1）原式＝ 1242-+-+1=-（2）原式＝22222444422x xy y x y x xy x ⎡⎤-++-⎣⎦÷-+ ()2222xy x x =-÷-y x =--．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握立方根、平方根、绝对值及多项式与单项式的除法法则．19．（1）a=2b=3；（2）±4【分析】（1）首先根据4a+1的平方根是±3可得：4a+1=9据此求出a 的值是多少；然后根据3a+b ﹣1的立方根为2可得：3a+b ﹣1=8据此求出b 的值是多少即可（2）解析：（1）a=2，b=3；（2）±4．【分析】（1）首先根据4a+1的平方根是±3，可得：4a+1=9，据此求出a 的值是多少；然后根据3a +b ﹣1的立方根为2，可得：3a +b ﹣1=8，据此求出b 的值是多少即可．（2）把（1）中求出的a 与b 的值代入2a +4b ，求出它的值，然后根据平方根的定义即可得出答案．【详解】解：（1）∵4a+1的平方根是±3，∴4a+1=9，解得a=2，∵3a +b ﹣1的立方根为2，∴3a +b ﹣1=8，解得：b=3；（2）由（1）得a=2，b=3，∴24224316a b +=⨯+⨯=．它的平方根为：±4．【点睛】本题考查了平方根，立方根，列式求出a 、b 的值是解题的关键．20．2【分析】先根据算术平方根的非负性绝对值的非负性求出ab 的值再代入计算有理数的乘方运算即可得【详解】由算术平方根的非负性绝对值的非负性得：解得则故答案为：2【点睛】本题考查了算术平方根的非负性绝对值 解析：2【分析】先根据算术平方根的非负性、绝对值的非负性求出a 、b 的值，再代入计算有理数的乘方运算即可得．【详解】由算术平方根的非负性、绝对值的非负性得：10a -=，10b +=，解得1a =，1b =-，则()201420132014201311112a b +=+-=+=，故答案为：2．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方，熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题关键． 三、解答题21．（1）2；（2）5【分析】(1)先计算绝对值及开立方，再计算加减法；(2)先计算括号中的减法及乘方，再按顺序计算乘除法．【详解】解：（1）7|2|--=7-2-3=2；（2）23115422⎛⎫⎛⎫⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=15144⨯÷ =5．【点睛】 此题考查实数的混合运算，掌握运算法则及运算顺序是解题的关键．22．（1）2；（2）±4【分析】（1）先求出m ＝2，进而化简|m ＋1|＋|m−1|，即可；（2）根据相反数和非负数的意义，列方程求出c 、d 的值，进而求出2c−3d 的值，再求出2c−3d 的平方根．【详解】（1）由题意得：m ＝2，则m ＋1＞0，m−1＜0，∴|m ＋1|＋|m−1|＝m ＋1＋1−m ＝2；（2）∵2c d + ∴2c d +，∴|2c ＋d|＝00，解得：c ＝2，d ＝−4，∴2c−3d ＝16，∴2c−3d 的平方根为±4．【点睛】本题主要考查数轴、相反数的定义，求绝对值，掌握求绝对值的法则以及绝对值与算术平方根的非负性，是解题的关键．23．（1）21-；（2）1；（3）3±．【分析】（11的整数部分和小数部分；（22和7-a 与b 的值，最后代入代数式计算即可；（3的取值范围，再确定x 、y 的值，最后代入代数式计算即可．【详解】解：（1）∵1＜2＜4∴1＜2 ∴1， ∴1的整数部分为212+-1故答案为21；（2）∵1＜3＜4∴12∴1，∴2的整数部分为3，小数部分为21-；7-的整数部分为5，小数部分为b=75--=2∴1+2=1故答案为1；（3）∵9＜11＜16∴3＜4 ∴x=3，小数部分为-3∴()3211(3==3=9x y --- ∵3±．故答案为3±．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，掌握运用逼近法比较无理数的大小成为解答本题的关键．24．（1）4x =；（2）18x =或12x =-．【分析】（1）利用立方根的定义得到22x -=，然后解一次方程即可；（2）先变形为()23225x -=，然后利用平方根的定义得到x 的值．【详解】（1）∵()328x -=，∴22x -=，∴4x =；（2）21(3)753x -=，整理得：()23225x -=，∴315x -=或315x -=-，∴18x =或12x =-．【点睛】本题考查了解一元一次方程，平方根和立方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 25．见解析．【分析】先求出立方根，再根据整数、负分数、正有理数、无理数的定义即可得．【详解】3=-，26．（1）2020，02）1.4，32-，0.31；（3），π-，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）【分析】根据实数的分类进行填空即可．【详解】，（1）整数：2020，0（2）分数：1.4，32-，0.31（3）无理数：π-，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）故答案为：2020，0 1.4，32-，0.31；π-，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）【点睛】本题考查了实数的分类，掌握实数的分类是解题的关键．。
上海金山区教师进修学院附属中学七年级数学下册第二单元《实数》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．下列各式计算正确的是（ ）A B = ±2 C = ±2 D ．2．有下列说法：①在1和2②实数与数轴上的点一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④2π是分数．其中正确的为（ ） A ．①②③④ B ．①②④ C ．②④ D ．②3．下列各组数中，互为相反数的是（ ）A ．B ．2-与12-C ．()23-与23- D4．下列命题中，①81的平方根是9；±2；③−0.003没有立方根；④−64的立方根为±4； ）A ．1B ．2C ．3D ．45．在一列数：1a ，2a ，3a ，…，n a 中，1=7a ，2=1a 从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这列数中的第2020个数是（ ）A ．1B ．3C ．7D ．96．若“！”是一种运算符号，且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，…，则计算2015!2014!正确的是（ ） A ．2015 B ．2014 C ．20152014 D ．2015×2014 7．已知实数a 的一个平方根是2-，则此实数的算术平方根是（ ）A ．2±B ．2-C ．2D ．48．若3a =，则a 在（ ） A ．3-和2-之间 B ．2-和1-之间 C ．1-和0之间 D ．0和1之间 9．下列命题中真命题的个数（ ）①无理数包括正无理数、零和负无理数；②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③和为180°的两个角互为邻补角；的算术平方根是7；⑤有理数和数轴上的点一一对应；⑥垂直于同一条直线的两条直线互相平行．A ．4B ．3C ．2D ．1 10．估计50的立方根在哪两个整数之间（ ） A ．2与3B ．3与4C ．4与5D ．5与611．已知无理数m 5π-的整数部分相同，则m 为（ ）A B C 1 D ．π-12．如图，四个有理数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n+p=0，则m ，n ，p ，q 四个有理数中，绝对值最大的一个是（ ）A ．pB ．qC ．mD ．n二、填空题13．求下列x 的值．（1） 27x 3＝－8 （2） （3x －1）2＝914．解方程：（1）24(1)90--=x（2）31(1)7x +-=-15．计算：（1223168(2)(3)--（2）22(2)8x -=16．一个正方体的木块的体积是3343cm ，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的表面积是________．17．27-的立方根是___________81___________；| 3.14|π-的绝对值是___________．18．（1223143)8-； （2）求 (x －1)2－36＝0中x 的值． 19．计算：（1）(1)|2|3-⨯-+ （2）2111(3)162⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭20．8的相反数是_______，平方得9的数是________．三、解答题21．已知21a -的平方根是1731a b +-的算术平方根是6，求4a b +的平方根． 22．若()22210b a b -++-=，求()2020a b +的值． 23．已知2x +1的算术平方根是0y =4，z 是﹣27的立方根，求2x +y +z 的平方根． 24．观察下列各式：322111124==⨯⨯，33221129234+==⨯⨯，33322112336344++==⨯⨯，33332211234100454+++==⨯⨯；… 回答下面的问题：（1）猜想：33333123(1)n n ++++-+=_________；（直接写出你的结果）（2）根据（1）中的结论，直接写出13+23+33+．．．．．．+93+103的值是_________； （3）计算：213+223+233+．．．．．．+293+303的值．25．求下列各式中x 的值（1）21(1)64x +-=；（2）3(1)125x -=．26．阅读下面的文字，解答问题：无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如π、等，而常用“……”或者“≈”1的小数部分，你同意小刚的表示方法吗？的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．<<，即23<<，22也就是说，任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间．根据上述信息，请回答下列问题：（1______，小数部分是_______；（2）10+10a b <+<，则a b +=_____；（34x y =+，其中x 是整数，且01y <<．求：x y -的相反数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据平方根和立方根分别对四个选项进行计算即可．【详解】解：∵-1= 2= 2，，故只有A 计算正确；故选:A ．【点睛】本题考查的是平方根、算术平方根和立方根，计算的时候需要注意审题是求平方根还是算术平方根．2．D解析：D【分析】根据无理数的定义与运算、实数与数轴逐个判断即可得．【详解】①在1和2之间的无理数有无限个，此说法错误；②实数与数轴上的点一一对应，此说法正确；③两个无理数的积不一定是无理数，如2=-，此说法错误； ④2π是无理数，不是分数，此说法错误； 综上，说法正确的为②，故选：D ．【点睛】 本题考查了无理数的定义与运算、实数与数轴，熟练掌握运算法则和定义是解题关键． 3．C解析：C【分析】根据绝对值运算、有理数的乘方运算、立方根、相反数的定义逐项判断即可得．【详解】A 、=不是相反数，此项不符题意；B 、2-与12-不是相反数，此项不符题意； C 、()223399,--=-=，则()23-与23-互为相反数，此项符合题意；D 2,2=-=-故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值运算、有理数的乘方运算、立方根、相反数的定义，熟记各运算法则和定义是解题关键．4．A解析：A【分析】根据平方根的定义对①②进行判断；根据立方根的定义对③④进行判断；根据命题的定义对⑤进行判断．【详解】解：81的平方根是±9，所以①错误；±2，所以②正确；-0.003有立方根，所以③错误；−64的立方根为-4，所以④错误；⑤正错误．故选：A ．【点睛】本题考查了立方根和平方根的应用，主要考查学生的辨析能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．5．C解析：C【分析】根据题意可以写出这列数的前几个数，从而可以发现数字的变化特点，进而可以得到这一列数中的第2020个数．【详解】解：由题意可得：a 1＝7，a 2＝1，a 3＝7，a 4＝7，a 5＝9，a 6＝3，a 7＝7，a 8＝1，…，∵2020÷6＝336…4，∴这一列数中的第2020个数是7．故选：C ．【点睛】本题考查数字的变化类、尾数特征，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化的特点，求出相应的数据．6．A解析：A【分析】根据题意列出实数混合运算的式子，进而可得出结论；【详解】∵ 1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1⋅⋅⋅⋅⋅⋅，∴ 可得规律为：()()12!321n n n n =⨯-⨯-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯，∴2015!2014!=201520142013120152014201320121⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯ ， 故选：A ．【点睛】 本题考查了实数的混合运算，熟知实数混合运算的法则是解答此题的关键．7．C解析：C【分析】根据平方根的概念从而得出a 的值，再利用算术平方根的定义求解即可．【详解】∵-2是实数a的一个平方根，a=，∴4∴4的算术平方根是2，故选：C．【点睛】本题主要考查了平方根以及算术平方根，在解题时要注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．一个正数的算术平方根是它的正的平方根．8．C解析：C【分析】案．【详解】解：∵4＜5＜9，∴23．∴-1＜0．故选：C．【点睛】9．D解析：D【分析】根据无理数、平行公理、邻补角、算术平方根、实数与数轴、平行线的判定逐个判断即可得．【详解】①无理数包括正无理数和负无理数，此命题是假命题；②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，此命题是真命题；③和为180︒的两个角不一定互为邻补角，此命题是假命题；=，此命题是假命题；7⑤实数和数轴上的点一一对应，此命题是假命题；⑥在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，此命题是假命题；综上，真命题的个数是1个，故选：D．【点睛】本题考查了无理数、平行公理、邻补角、实数与数轴等知识点，熟练掌握各定义与公理是解题关键．10．B解析：B【分析】，可得答案．【详解】，得34，所以，50的立方根在3与4之间故选：B．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用了正数的被开方数越大立方根越大的关系．11．C解析：C【分析】m的整数部分与小数部分，进而可得答案．【详解】π≈，解：因为23， 3.14-的整数部分为1，2，5π所以无理数m的整数部分是12，m=+=．所以121故选：C．【点睛】m的整数部分与小数部分是解题的关键．12．B解析：B【分析】根据n+p=0可以得到n和p互为相反数，原点在线段PN的中点处，从而可以得到绝对值最大的数．【详解】解：∵n+p=0，∴n和p互为相反数，∴原点在线段PN的中点处，∴绝对值最大的一个是Q点对应的q．故选B．【点睛】本题考查了实数与数轴及绝对值．解题的关键是明确数轴的特点．二、填空题13．（1）x ＝；（2）x ＝或x ＝【分析】（1）利用立方根的定义求解；（2）利用平方根的定义求解【详解】（1）解：；（2）解：或或【点睛】本题考查解方程熟练掌握立方根平方根的定义是关键解析：（1）x ＝23-；（2）x ＝43或x ＝23- 【分析】（1）利用立方根的定义求解；（2）利用平方根的定义求解．【详解】（1）解：3827x =， 23x =； （2）解：313x -=±，34x =或32x =-，43x =或23x =-． 【点睛】本题考查解方程，熟练掌握立方根、平方根的定义是关键．14．（1）；（2）x ＝﹣1【分析】（1）方程整理后利用平方根性质计算即可求出解；（2）方程整理后利用立方根性质计算即可求出解【详解】解：（1）方程整理得：开方得：解得；（2）方程整理得：（x ﹣1）3＝﹣解析：（1）152x =，212x =-；（2）x ＝﹣1． 【分析】（1）方程整理后，利用平方根性质计算即可求出解；（2）方程整理后，利用立方根性质计算即可求出解．【详解】解：（1）24(1)90--=x 方程整理得：2(1)9=4x -， 开方得：321=x -±解得，152x =，212x =-；（2）31(1)7x +-=-方程整理得：（x ﹣1）3＝﹣8，开立方得：x ﹣1＝﹣2，解得：x ＝﹣1．【点睛】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．15．（1）1；（2）【分析】（1）实数的混合运算利用算术平方根和立方根的概念逐个进行化简计算；（2）直接用平方根的概念求解【详解】解：（1）===1（2）∴【点睛】本题考查实数的混合运算及利用平方根解方解析：（1）1；（2）124,0x x ==【分析】（1）实数的混合运算，利用算术平方根和立方根的概念逐个进行化简计算；（2）直接用平方根的概念求解．【详解】解：（12=4(2)23----=4+223--=1（2）22(2)8x -=2(2)4x -=22x -=±22x =±∴124,0x x ==．【点睛】本题考查实数的混合运算及利用平方根解方程，掌握相关概念和性质正确计算是解题关键．16．5cm3【分析】先根据正方体的体积求出正方体的边长要使它锯成8块同样大小的小正方体木块只需要将正方体的每条棱长平均分为两份即可得到小正方体的棱长即可求出表面积【详解】解：∵一个正方体的木块的体积是∴ 解析：5cm 3．【分析】先根据正方体的体积求出正方体的边长，要使它锯成8块同样大小的小正方体木块，只需要将正方体的每条棱长平均分为两份即可，得到小正方体的棱长，即可求出表面积．【详解】解：∵一个正方体的木块的体积是3343cm ，∴（cm 3），要将它锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体的棱长为7÷2=3.5（cm 3）， ∴每个小正方体的表面积为6×3.52=73.5（cm 3）．故答案为73.5cm 3．【点睛】本题考查了立方根．解题的关键是能够通过空间想象得出如何将正方体分成8块同样大小的小正方体木块．17．-3±3π-314【分析】直接利用立方根以及平方根绝对值的性质分别分析得出答案【详解】解：∵∴-27的立方根是：-3；∵9的平方根是：±3；∴的平方根是：±3；∵|π-314|=π-314π-314解析：-3 ±3 π-3.14．【分析】直接利用立方根以及平方根、绝对值的性质分别分析得出答案．【详解】解：∵3(3)27-=-∴-27的立方根是：-3； ∵9的平方根是：±3； ∴±3；∵|π-3.14|=π-3.14，π-3.14的绝对值是：π-3.14∴|π-3.14|的绝对值是：π-3.14．故答案为：-3；±3；π-3.14．【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．18．（1）；（2）x 的值为7或﹣5【分析】（1）分别进行算术平方根运算立方根运算算术平方根的定义即可解答；（2）利用平方根解方程的方法求解即可【详解】解：（1）=4﹣﹣3=1﹣=；（2）(x －1)2－3解析：（1）12；（2）x 的值为7或﹣5 【分析】（1）分别进行算术平方根运算、立方根运算、算术平方根的定义即可解答；（2）利用平方根解方程的方法求解即可．【详解】解：（12 =4﹣12﹣3=1﹣12 =12； （2）(x －1)2－36＝0，移项得：(x －1)2=36，开平方得：x －1＝±6，解得：x 1=7，x 2=﹣5，即(x －1)2－36＝0中的x 值为7或﹣5．【点睛】本题考查算术平方根、立方根、利用平方根解方程，熟练掌握运算法则，会运用平方根解方程是解答的关键．19．（1）1；（2）【分析】(1)先计算绝对值再计算乘法最后计算加法；(2)先同时计算乘方减法化简算术平方根再计算乘法最后计算加减法【详解】（1）==-2+3=1；（2）===【点睛】此题考查有理数的混解析：（1）1；（2）1112．【分析】(1)先计算绝对值，再计算乘法，最后计算加法；(2)先同时计算乘方、减法、化简算术平方根，再计算乘法，最后计算加减法．【详解】（1）(1)|2|3-⨯-+=(1)23-⨯+=-2+3=1；（2）2111(3)2⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭=11(3)42-+--⨯ =1122-+ =1112． 【点睛】此题考查有理数的混合运算，掌握绝对值的化简，乘方法则，求数的算术平方根，有理数的加减法计算法则，乘除法计算法则是解题的关键．20．﹣8±3【分析】根据相反数和平方根的定义及性质解答即可【详解】解：8的相反数是-8；∵∴平方得9的数是±3【点睛】本题考查了相反数和平方根的定义及性质解题关键是理解相反数和平方根的定义及性质解析：﹣8 ±3．【分析】根据相反数和平方根的定义及性质解答即可．【详解】解：8的相反数是-8；∵23=9 ，()2-3=9∴平方得9的数是±3．【点睛】本题考查了相反数和平方根的定义及性质，解题关键是理解相反数和平方根的定义及性质． 三、解答题21．7±【分析】根据算术平方根和平方根的定义列式求出a 、b 的值，然后代入代数式求出4a b +的值，再根据平方根的定义解答即可．【详解】解：根据题意，得2117a -=，2316a b +-=，解得9a =，10b =，所以，4941094049a b +=+⨯=+=，∵()2749±=， ∴4a b +的平方根是7±．【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的定义，能够熟记概念并列式求出a 、b 的值是解题的关键．22．1【分析】根据平方的非负性、开平方的非负性求出a 、b 的值，代入计算即可．【详解】解：∵()220b -+=，∴20b -+=，210a b +-=，解得：2b =，3a =-，∴()()20202020321a b +=-+=．【点睛】此题考查平方的非负性、开平方的非负性，有理数的混合运算，正确理解平方的非负性、开平方的非负性是解题的关键．23．【分析】先根据算术平方根的定义求得2x 的值，再根据算术平方根的定义求出y ，根据立方根的定义求z ，然后代入要求的式子进行计算，最后根据平方根的定义即可得出答案．【详解】解：∵2x +1的算术平方根是0，∴2x +1＝0，∴2x ＝﹣1，∵=4，∴y ＝16，∵z 是﹣27的立方根，∴z ＝﹣3，∴2x +y +z ＝﹣1+16﹣3＝12，∴2x +y +z 的平方根是=【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根、立方根的定义．24．（1）221(1)4n n ⨯⨯+；（2）3025；（3）172125【分析】（1）根据题中所给各式可直接进行分析求解；（2）由（1）可直接代入求值即可；（3）根据（1）可直接进行求解．【详解】解：（1）根据题意可得出：33333123(1)n n ++++-+=221(1)4n n ⨯⨯+； （2）将n =10代入221(1)4n n ⨯⨯+， 原式221×1010130254=⨯+=（）； （3）原式=22221130(301)20(201)44⨯⨯+-⨯⨯+=172125．【点睛】本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的运算是解题的关键．25．（1）132x =，272x =-；（2）6x = 【分析】（1）方程整理后，利用平方根的性质开平方即可求解；（2）方程直接利用立方根的性质开立方即可求解；【详解】（1）21(1)64x +-= 225(1)4x += 512x +=± 解得：32x =或72x =-； （2）3(1)125x -=15x -=解得：6x =．【点睛】本题主要考查解方程，涉及到立方根、平方根，解题的关键是熟练掌握开平方、开立方根的方法．26．（1）3 3；（2）25；（3）()8x y --=．【分析】（1）由34可得答案；（2）由2＜3知12＜＜13，可求出a ，b 的值，据此求解可得；（3）得出243<-<，即可得出x ，y ，从而得出结论． 【详解】解：（1）∵9＜13＜16∴34，∴3；故答案为：3．（2）∵4＜7＜9，∴2＜3∴12＜＜13∴a=12，b=13∴a+b=12+13=25，故答案为：25；（3<<67<<所以64474-<<-即243<-<4的整数部分为2，即2x =，426y =-=--=-+=-+=8x y x y()26=【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是熟记估算无理数的大小．。
深圳文锦中学七年级数学下册第二单元《实数》检测卷(答案解析)
一、选择题1．对于任意不相等的两个实数a ，b ，定义运算：a ※b ＝a 2﹣b 2+1，例如3※2＝32﹣22+1＝6，那么（﹣5）※4的值为（ ） A ．﹣40B ．﹣32C ．18D ．102．下列各数中，无理数有（ ）3.14125127，0.321，π，2.32232223（相邻两个3之间的2的个数逐次增加1） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．观察下列各等式：231-+=-5-6+7+8=4-10-l1-12+13+14+15=9 -17-18-19-20+21+22+23+24=16 ……根据以上规律可知第11行左起第11个数是（ ） A ．-130B ．-131C ．-132D ．-1334．在0、0.536227-、π、-0.1616616661……（它的位数无限，相邻两个“1”之间“6”的个数依次增加1个）这些数中，无理数的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．65．下列各数中比( ) A ．2-B ．1-C ．12-D ．06．下列实数220.010*******；； (相邻两个1之依次多一个0)；2，其中无理数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7．在一列数：1a ，2a ，3a ，…，n a 中，1=7a ，2=1a 从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这列数中的第2020个数是（ ） A ．1B ．3C ．7D ．98．下列各式中,正确的是( )A B ．C 3=-D 4=- 9．下列实数是无理数的是（ ）A ． 5.1-B ．0C ．1D ．π10．若将分别表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）A ．2-B ．7C ．11D ．无法确定 11．一个正方体的体积为16，那么它的棱长在（ ）之间 A ．1和2 B ．2和3 C ．3和4 D ．4和5 12．下列等式成立的是（ ）A ．1±＝±1B ．4＝±2C ．3216-＝6D ．39＝3二、填空题13．把下列各数在数轴上表示出来，并把它们按从小到大的顺序用“＜”连接：1.5-，38，0，13-，4-14．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1）2=1.414，200=14.14，20000=141.4…0.03=0.1732，3=1.732，300=17.32…由此可见，被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向 移动 位；（2）已知5=2.236，50=7.071，则0.5= ，500= ； （3）31=1，31000=10，31000000=100…小数点变化的规律是： ．（4）已知310=2.154，3100=4.642，则310000= ，30.1-= ． 15．﹣8的立方根与16的平方根之和是_____． 16．计算：2(3)216--⨯． 17．比较大小：72-______33-．18．对于有理数x 、y ，当x ≥y 时，规定x ※y =y x ；而当x <y 时，规定x ※y =y -x ，那么4※（-2）=_______；如果[（-1）※1]※m=36，则m 的值为______． 19．25的平方根是______；34-的相反数是_____，1-12π的绝对值是 __． 20．实数a 在数轴上的位置如图所示，则()()233210a a -+-化简后为___________．三、解答题21．已知(253|530x y -++-=．（1）求x ，y 的值； （2）求xy 的算术平方根．22．已知一个正数的平方根是3a +和215a -． （1）求这个正数．（2）求12a +的平方根和立方根． 23．（1）计算：22314(3)8+--； （2）求 (x －1)2－36＝0中x 的值． 24．定义一种新运算，观察下列式子：212122128=⨯+⨯⨯=★； 2232322330=⨯+⨯⨯=★；()()()221212212-=⨯-+⨯⨯-=-★；()()213132133-=-⨯+⨯-⨯=★；；（1）计算：()32-★的值； （2）猜想：a b =★________； （3）若12162a +=-★，求a 的值． 25．把下列各数表示在数轴上，并把这些数按从大到小的顺序用“＞”连接起来． 0，327-，()2--，1--，9，22-26．求下列各式中x 的值： （1）()214x -=； （2）3381x =-．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】直接利用题中的新定义给出的运算公式计算得出答案． 【详解】解：(-5)※4＝(﹣5)2﹣42+1＝10． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了实数运算，以及定义新运算，正确运用新定义给出的运算公式是解题关键．2．D【分析】直接根据无理数的定义直接判断得出即可．【详解】π，2.32232223共3个．故选D．【点睛】本题考查了无理数的定义，正确把握无理数的定义：无限不循环小数是无理数进而得出是解题关键．3．C解析：C【分析】通过观察发现：每一行等式右边的数就是行数的平方，故第n行右边的数就是n的平方，而左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．【详解】解：第一行：211=；第二行：224=；第三行：239=；第四行：2416=；……第n行：2n；∴第11行：211121=．∵左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．∴第11行左起第1个数是-122，第11个数是-132．故选：C．【点睛】此题主要考查探索数与式的规律，正确找出规律是解题关键．4．B解析：B【分析】根据无理数的定义逐一判断即可．【详解】解：0、0.536、227-是有理数，π，0.1616616661-（它的位数无限，相邻两个“1”之间“6”的个数依次增加1个）是无理数，【点睛】本题考查无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键．5．A解析：A 【分析】根据实数比较大小的方法分析得出答案即可． 【详解】A ．|2|2-=，|= ∴2>2∴-<B ．|1|1-=，|= ∴1<，1∴->C ．1122-=，|=， 1∴->２D ．0> 故选：A ． 【点睛】此题主要考查了实数的大小比较，正确掌握比较方法是解题的关键．6．B解析：B 【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【详解】4=-，是有理数；3.14是有限小数，是有理数； 227是分数，是有理数；，0.010010001(相邻两个1之依次多一个0)2，是无理数，共3个，故选：B ． 【点睛】本题考查了无理数的定义，注意无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．7．C解析：C【分析】根据题意可以写出这列数的前几个数，从而可以发现数字的变化特点，进而可以得到这一列数中的第2020个数．【详解】解：由题意可得：a1＝7，a2＝1，a3＝7，a4＝7，a5＝9，a6＝3，a7＝7，a8＝1，…，∵2020÷6＝336…4，∴这一列数中的第2020个数是7．故选：C．【点睛】本题考查数字的变化类、尾数特征，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化的特点，求出相应的数据．8．C解析：C【分析】根据算术平方根与平方根、立方根的定义逐项判断即可得．【详解】A4=，此项错误；B、4=±，此项错误；C3=-，此项正确；D4==，此项错误；故选：C．【点睛】本题考查了算术平方根与平方根、立方根，熟记各定义是解题关键．9．D解析：D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A 、 5.1-是分数，是有理数，故选项不符合题意； B 、0是整数，是有理数，故选项不符合题意； C 、1是整数，是有理数，故选项不符合题意； D 、π是无理数，故选项符合题意． 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．10．B解析：B 【分析】首先利用估算的方法分别得到间），从而可判断出被覆盖的数． 【详解】 ∵221，23<<，34<<而墨迹覆盖的范围是1-3 ∴故选B. 【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力．11．B解析：B 【分析】可以利用方程先求正方体的棱长，然后再估算棱长的近似值即可解决问题． 【详解】设正方体的棱长为x ， 由题意可知316x =，解得x =， ∵332163<<， ∴23<，那么它的棱长在2和3之间． 故选：B ． 【点睛】的范围．12．A解析：A 【分析】分别根据算术平方根、立方根的定义逐一判断即可． 【详解】A ．书写规范，故本选项符合题意；B.算术平方根只能是正数不能是负数，故本选项不合题意；C.立方根与被开方数符号一致，故本选项符合题意；D.33=27，27的立方根才等于3，故本选项不合题意． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了算术平方根与立方根的定义，熟练掌握算术平方根的性质是解答本题的关键．二、填空题13．数轴见解析＜＜0＜＜【分析】根据用数轴表示数的方法在数轴上先表示出各数再由数轴上右边的数总比左边的数大把这些数用＜连接即可【详解】解：在数轴上表示各数如图：∴＜＜0＜＜【点睛】本题主要考查了实数的大解析：数轴见解析，13-＜ 1.5-＜0＜38＜4-． 【分析】根据用数轴表示数的方法，在数轴上先表示出各数，再由“数轴上右边的数总比左边的数大”把这些数用“＜”连接即可． 【详解】解：在数轴上表示各数如图：∴13 1.5-＜0384-． 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较的方法，掌握利用数轴比较实数的大小是解题的关键．14．（1）两右一；（2）070712236；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）2154﹣04642【分析】（1）观察已知等式得到一般性规律写出即可；（2）利解析：（1）两，右，一；（2）0.7071，22.36；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）21.54，﹣0.4642 【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律计算即可得到结果；（3）归纳总结得到规律，写出即可；（4）利用得出的规律计算即可得到结果．【详解】（1=1.414=14=141.4…=0.1732=1.732=17.32…由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位，（2=2.236=7.071=0.7071=22.36，（3=1=10=100…小数点变化的规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）∵=2.154=4.642，∴=21.54，=-0.4642．故答案为：（1）两；一；（2）0.7071；22.36；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）21.54；﹣0.4642【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．15．0或﹣4【分析】根据算术平方根和立方根的定义求解得到答案即可【详解】解：∵﹣8的立方根为﹣2的平方根为2或﹣2∴﹣8的立方根与的平方根之和是﹣2+2＝0或﹣2﹣2＝﹣4故答案为：0或﹣4【点睛】本题解析：0或﹣4【分析】根据算术平方根和立方根的定义求解，得到答案即可.【详解】解：∵﹣8的立方根为﹣22或﹣2，∴﹣82+2＝0或﹣2﹣2＝﹣4，故答案为：0或﹣4．【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.16．1【分析】先计算乘方算术平方根然后计算乘法和减法即可得到答案【详解】解：【点睛】本题考查了算术平方根乘方有理数的加减乘除混合运算解题的关键是掌握运算法则进行计算解析：1【分析】先计算乘方、算术平方根，然后计算乘法和减法，即可得到答案．【详解】解：2(3)2--924=-⨯98=- 1=．【点睛】本题考查了算术平方根、乘方、有理数的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则进行计算．17．＜【分析】根据负数的偶次幂越大负数越小可得答案【详解】∵∴故答案为：【点睛】本题考查了实数比较大小负数的偶次幂越大负数越小先比较偶次幂再比较负数的大小解析：＜ 【分析】根据负数的偶次幂越大，负数越小，可得答案． 【详解】 ∵(228-=，(227-=，2827>，∴-- 故答案为：<． 【点睛】本题考查了实数比较大小，负数的偶次幂越大，负数越小，先比较偶次幂，再比较负数的大小．18．或【分析】根据新定义规定的式子将数值代入再计算即可；先根据新定义的式子将数值代入分情况讨论列方程求解即可【详解】解：4※（-2）=；（-1）※1=（-1）※1※m=2※m=36当时原式可化为解得：；解析：6m =-或38m =． 【分析】根据新定义规定的式子将数值代入再计算即可；先根据新定义的式子将数值代入分情况讨论列方程求解即可． 【详解】 解：42>-∴4※（-2）=()42=16-；11-<∴（-1）※1=()11=2-- ∴[（-1）※1]※m=2※m=36当2m ≥时，原式可化为236m = 解得：6m =±6m ∴=-；当2m <时，原式可化为：236m -=解得：38m =；综上所述，m 的值为：6m =-或38m =；故答案为：16；6m =-或38m =．【点睛】本题考查了新定义的运算，读懂新定义的式子，将值正确代入是解题的关键．19．【分析】（１）的平方根首先计算的是＝５然后计算５的平方根需要注意平方根有两个；（２）判断相反数需要先判断原数的正负然后求出相反数；（３）求绝对值需要先判断原数的正负然后求出绝对值正数的绝对值是它本身解析：212π- 【分析】两个；（２）判断相反数需要先判断原数的正负，然后求出相反数；（３）求绝对值需要先判断原数的正负，然后求出绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，０的绝对值是零．【详解】解：（1，5的平方根为：（2）∵， ∴， ∴-=-2）=2．（3）∵1-12π<0， ∴112π-=112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭=12π-． 【点睛】本题考查实数的基础运算，重要的是先判断出原数的正负，然后再求出相反数、绝对值，求平方根需要注意原数，有可能需要先进行一步计算．20．8【分析】先根据数轴的定义可得从而可得再计算算术平方根和立方根即可得【详解】由数轴的定义得：则所以故答案为：8【点睛】本题考查了数轴算术平方根和立方根熟练掌握算术平方根和立方根是解题关键解析：8【分析】先根据数轴的定义可得48a <<，从而可得20,100a a -<->，再计算算术平方根和立方根即可得．【详解】由数轴的定义得：48a <<，则20,100a a -<->，2108a a =-+-=， 故答案为：8．【点睛】本题考查了数轴、算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根是解题关键．三、解答题21．（1）5x =5y =+2【分析】（1）根据非负数的性质求解即可；（2）先求出xy 的值，再根据算术平方根的定义求解．【详解】解：（1）(250x -+≥，50y -≥，(2550x y -++--=，50x ∴-=，50y --=，解得：5x =5y =+（2）(5525322xy =-=-=， xy ∴．【点睛】本题考查了非负数的性质，以及算术平方根的定义，根据非负数的性质求出x ，y 的值是解答本题的关键．22．（1）441或49；（2）2±【分析】（1）分情况讨论，这两个平方根相等或互为相反数，求出a 的值，在算出这个正数； （2）由（1）的结果分情况讨论，根据平方根和立方根的定义算出结果．【详解】解：（1）若这两个平方根相等，则3215a a +=-，解得18a =，这个正数是：()2218321441+==；若这两个平方根互为相反数，则32150a a ++-=，解得4a =，这个正数是：()2243749+==；（2）若18a ==若4a =4==，4的平方根是2±．【点睛】本题考查平方根和立方根，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义以及计算方法． 23．（1）12；（2）x 的值为7或﹣5 【分析】（1）分别进行算术平方根运算、立方根运算、算术平方根的定义即可解答；（2）利用平方根解方程的方法求解即可．【详解】解：（12 =4﹣12﹣3 =1﹣12 =12； （2）(x －1)2－36＝0，移项得：(x －1)2=36，开平方得：x －1＝±6，解得：x 1=7，x 2=﹣5，即(x －1)2－36＝0中的x 值为7或﹣5．【点睛】本题考查算术平方根、立方根、利用平方根解方程，熟练掌握运算法则，会运用平方根解方程是解答的关键．24．（1）0；（2）22ab ab +；（3）5a =-【分析】（1）利用规定的运算方法直接代入计算即可；（2）利用规定的运算方法求解即可；（3）利用规定的运算方法得到方程，再进一步解方程即可．【详解】解：（1）∵212122128=⨯+⨯⨯=★；2232322330=⨯+⨯⨯=★；()()()221212212-=⨯-+⨯⨯-=-★； ()()213132133-=-⨯+⨯-⨯=★；； ∴()()()232322320-=⨯-+⨯⨯-=★；（2）由（1）可得：22a b ab ab =+★．故答案为：22ab ab +．（3）2111222216222a a a +++=⨯+⨯⨯=-★， 解得：5a =-．【点睛】此题考查有理数的混合运算以及解一元一次方程，理解运算方法是解决问题的关键． 25．画图见解析，()239201272>-->>-->->- 【分析】先把各数化简，在数轴上表示出各数，再根据“在数轴上，右边的数总比左边的数大”把这些数按从大到小的顺序用“＞”连接起来．【详解】解：3273-=-，()22--=，11--=-，93=，224-=-，在数轴上表示为：按从大到小的顺序用>()239201272>-->>-->->-． 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是准确在数轴上表示实数，并利用数轴对实数的大小进行比较．26．（1）x=3或x=-1；（2）x=-3．【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用立方根的定义求解即可．【详解】（1）()214x -=直接开平方得：12x -=±，解得：13x =，21x =-（2）3381x =-两边同时除以3得：327x =-，开立方得：3x =-．【点睛】本题考查了平方根和立方根的性质，解题的关键是利用平方根和立方根的性质求解方程．。
人教版初一数学下册名校实数检测卷含答案
一、选择题1．已知{}min ,,a b c 表示取三个数中最小的那个数．例如：当2x =-时，()(){}23min 2,2,28---=-，当{}21min ,,16x x x =时，则x 的值为（ ） A ．116 B ．18C ．14D ．122．若9﹣13的整数部分为a ，小数部分为b ，则2a +b 等于（ ） A ．12﹣13B ．13﹣13C ．14﹣13D ．15﹣133．已知a ，b 为两个连续的整数，且18a b <<，则a b +的值等于（ ） A ．4B ．3C ．5D ．104．数轴上A ，B ，C ，D 四点中，两点之间的距离最接近于6的是（ ）A ．点C 和点DB ．点B 和点C C ．点A 和点CD ．点A 和点B 5．估算193+的值应在（ ）A ．5和6之间B ．6和7之间C ．7和8之间D ．8和9之间6．如图，A 、B 、C 、D 是数轴上的四个点，其中最适合表示10的点是（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D7．下列说法中，错误的有（ ） ①符号相反的数与为相反数； ②当0a ≠时，0a >； ③如果a b >，那么22a b >；④数轴上表示两个有理数的点，较大的数表示的点离原点较远； ⑤数轴上的点不都表示有理数． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．观察下列各等式：231-+=-5-6+7+8=4-10-l1-12+13+14+15=9 -17-18-19-20+21+22+23+24=16……根据以上规律可知第11行左起第11个数是（ ） A ．-130B ．-131C ．-132D ．-1339．如图，数轴上,A B 两点表示的数分别为1,2--，点B 关于点A 的对称点为点C ，则点C 所表示的数是（ ）A ．12-B ．21-C ．22-D ．22-10．在求234567891666666666+++++++++的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：234567891666666666S =+++++++++……① 然后在①式的两边都乘以6，得：234567891066666666666S =+++++++++……② ②-①得10661S S -=-，即10561S =-，所以10615S -=.得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”(a≠0且a≠1)，能否求出23420181...a a a a a ++++++的值?你的答案是 A ．201811a a --B ．201911a a --C ．20181a a-D ．20191a -二、填空题11．新定义一种运算，其法则为32a ca d bcb d =÷，则223x x xx--=__________ 12．对于任意有理数a ，b ，规定一种新的运算a ⊙b ＝a （a +b ）﹣1，例如，2⊙5＝2×（2+5）﹣1＝13．则（﹣2）⊙6的值为_____13．对于三个数a ，b ，c ，用M{a ，b ，c}表示这三个数的平均数，用min{a ，b ，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{－1，2，3}＝123433-++=，min{－1，2，3}＝－1，如果M{3，2x ＋1，4x －1}＝min{2，－x ＋3，5x}，那么x ＝_______.14．对于实数x ，y ，定义一种运算“×”如下，x ×y ＝ax －by 2，已知2×3＝10，4×(－3)＝6，那么(－2)×(327)2＝________；15．对于数x ，符号[x]表示不大于x 的最大整数，例如[3.14]=3，[﹣7.59]=﹣8，则关于x 的方程[347x -]=2的整数解为_____． 16．在求1+3+32+33+34+35+36+37+38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①， 然后在①式的两边都乘以3，得：3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39②， ②-①得，3S-S=39-1，即2S=39-1， 所以S=．得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m （m ≠0且m ≠1），能否求出1+m +m 2+m 3+m 4+…+m 2016的值？如能求出，其正确答案是 ______ ． 17．1x -（y +1）2＝0，则（x +y ）3＝_____． 18．31y -312x -xy的值是____． 19．定义：如果将一个正整数a 写在每一个正整数的右边，所得到的新的正整数能被a 整除，则这个正整数a 称为“魔术数”．例如：将2写在1的右边得到12，写在2的右边得到22，……，所得到的新的正整数的个位数字均为2，即为偶数，由于偶数能被2整除，所以2是“魔术数”．根据定义，在正整数3，4，5中，“魔术数”为____________；若“魔术数”是一个两位数，我们可设这个两位数的“魔术数”为x ，将这个数写在正整数n 的右边，得到的新的正整数可表示为()100n x +，请你找出所有的两位数中的“魔术数”是_____________． 20．材料：一般地，n 个相同因数a 相乘：n a a a a a⋅⋅⋅⋅⋅个记为n a ．如328=，此时3叫做以2为底的8的对数，记为2log 8（即2log 83=）．那么3log 9=_____，()2231log 16log 813+=_____． 三、解答题21．观察下列两个等式：5532321,44133+=⨯-+=⨯-，给出定义如下：我们称使等式1a b ab +=-成立的一对有理数,a b 为“白马有理数对”，记为(,)a b ，如：数对5(3,2),4,3⎛⎫⎪⎝⎭都是“白马有理数对”．（1）数对3(2,1),5,2⎛⎫- ⎪⎝⎭中是“白马有理数对”的是_________；（2）若(,3)a 是“白马有理数对”，求a 的值；（3）若(,)m n 是“白马有理数对”，则(,)n m --是“白马有理数对”吗？请说明理由． （4）请再写出一对符合条件的“白马有理数对”_________（注意：不能与题目中已有的“白马有理数对”重复） 22．（阅读材料）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：第一步：∵10=100，1000593191000000<<，∴10100<<．∴能确定59319的立方根是个两位数． 第二步：∵59319的个位数是9，39729= ∴能确定59319的立方根的个位数是9．第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，34<<，可得3040<<， 由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． （解答问题）根据上面材料，解答下面的问题 （1）求110592的立方根，写出步骤．（2=__________．23．规定：求若干个相同的有理数（均不等于 0）的除法运算叫做除方，如 2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈 3 次方，”（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作：“（﹣3）的圈 4 次方”．一般地，把个记作 aⓝ，读作“a 的圈 n次方”（初步探究）（1）直接写出计算结果：2③，（﹣12）③．（深入思考）2④2 111111 2222222⎛⎫=⨯⨯⨯=⨯= ⎪⎝⎭我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（2）试一试，仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．5⑥；（﹣12）⑩．（3）猜想：有理数 a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式等于多少．(4)应用：求（-3）8×（-3）⑨-（﹣12）9×（﹣12）⑧24．（概念学习）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把n个a（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．（初步探究）（1）直接写出计算结果：2③＝，（﹣12）⑤＝；（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式．（﹣3）④＝；5⑥＝；（﹣12）⑩＝．（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方的形式等于；25．若一个四位数t的前两位数字相同且各位数字均不为0，则称这个数为“前介数”；若把这个数的个位数字放到前三位数字组成的数的前面组成一个新的四位数，则称这个新的四位数为“中介数”；记一个“前介数”t与它的“中介数”的差为P（t）．例如，5536前两位数字相同，所以5536为“前介数”；则6553就为它的“中介数”，P（5536）＝5536﹣6553＝-1017．（1）P（2215）＝，P（6655）＝．（2）求证：任意一个“前介数”t，P（t）一定能被9整除．（3）若一个千位数字为2的“前介数”t能被6整除，它的“中介数”能被2整除，请求出满足条件的P（t）的最大值．26．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．（1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________；（2）请你参照上面的方法：①把图3中51⨯的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长a=___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及3a-．（图中标出必要线段的长）27．阅读材料，回答问题：（1）对于任意实数x，符号[]x表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，[]x 就是x，当x不是整数时，[]x是点x左侧的第一个整数点，如[]33=，[]22-=-，[]2.52=，[]1.52-=-，则[]3.4=________，[]5.7-=________．（2）2015年11月24日，杭州地铁1号线下沙延伸段开通运营，极大的方便了下沙江滨居住区居民的出行，杭州地铁收费采用里程分段计价，起步价为2元/人次，最高价为8元/人次，不足1元按1元计算，具体权费标准如下：里程范围4公里以内（含4公里）4-12公里以内（含12公里）12-24公里以内（含24公里）24公里以上收费标准2元4公里/元6公里/元8公里/元①若从下沙江滨站到文海南路站的里程是3.07公里，车费________元，下沙江滨站到金沙湖站里程是7.93公里，车费________元，下沙江滨站到杭州火东站里程是19.17公里，车费________元；②若某人乘地铁花了7元，则他乘地铁行驶的路程范围（不考虑实际站点下车里程情28．阅读下列解题过程：为了求23501222...2+++++的值，可设23501222...2S =+++++，则2345122222...2S =+++++，所以得51221S S -=-，所以5123505121:1222...221S =-+++++=-，即； 仿照以上方法计算：（1）2320191222...2+++++= . （2）计算：2320191333...3+++++ （3）计算：101102103200555...5++++29．我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n p q =⨯（p ，q 是正整数，且p q ≤），在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的完美分解．并规定：()p F n q=． 例如18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18－1＞9－2＞6－3，所以3×6是18的完美分解，所以F （18）＝3162=． （1）F （13）＝ ，F （24）＝ ；（2）如果一个两位正整数t ，其个位数字是a ，十位数字为1b -，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数为“和谐数”，求所有“和谐数”；（3）在（2）所得“和谐数”中，求F （t ）的最大值．30．据说，我国著名数学家华罗庚在一次访问途中，看到飞机邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数32768，它是一个正数的立方，希望求它的立方根，华罗庚不假思索给出了答案，邻座乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘，你知道华罗庚是怎样准确计算出的吗？请按照下面的问题试一试：（1）由33101000,1001000000==，因为1000327681000000<<______位数；（2）由32768的个位上的数是8________，划去32768后面的三位数768得到32，因为333=27,4=64_____________；(3)已知13824和110592-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C【分析】2111161616x x ===，，的x 值，找到满足条件的x 值即可． 【详解】116=时，1256x =，x <当2116x =时，14x =±，当14x =-时，2x x <，不合题意；当14x =12=，2x x << 当116x =时，21256x =，2x x <，不合题意， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用．2．C解析：C 【分析】9a 、b 的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵34， ∴﹣43，∴5＜96，又∵9a ，小数部分为b ， ∴a ＝5，b ＝95＝4∴2a +b ＝10+（414故选：C ． 【点睛】本题考查估算无理数，掌握无理数估算的方法是解决问题的前提，理解无理数的整数部分和小数部分的表示方法是得出正确答案的关键．3．B解析：B 【分析】“夹逼法”求得a 、b 的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵16＜18＜25， ∴45．∵a，b为两个连续的整数，且a b，∴a=4，b=5，∴．故选：B．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟知估算无理数的大小要用逼近法是解答此题的关键．4．A解析：A【分析】的范围，结合数轴可得答案．【详解】解：∵4＜6＜9，∴2＜3，∴的是点C和点D．故选：A．【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．5．C解析：C【分析】先根据19位于两个相邻平方数16和25【详解】解：由于16＜19＜25，所以45<<，因此738<<，故选：C．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小的能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．6．D解析：D【分析】根据<4即可得到答案．【详解】∵9<10<16，∴<4，∴的点是点D，【点睛】此题考查利用数轴表示实数，实数的大小比较，正确比较实数是解题的关键．7．D解析：D【分析】根据相反数、绝对值、数轴表示数以及有理数的乘法运算等知识综合进行判断即可．【详解】解：符号相反，但绝对值不等的两个数就不是相反数，例如5和-3，因此①不正确；a≠0，即a＞0或a＜0，也就是a是正数或负数，因此|a|＞0，所以②正确；例如-1＞-3，而（-1）2＜（-3）2，因此③不正确；例如-5表示的点到原点的距离比1表示的点到原点的距离远，但-5＜1，因此④不正确；数轴上的点与实数一一对应，而实数包括有理数和无理数，因此⑤正确；综上所述，错误的结论有：①③④，故选：D．【点睛】本题考查相反数、绝对值、数轴表示数，对每个选项进行判断是得出正确答案的前提．8．C解析：C【分析】通过观察发现：每一行等式右边的数就是行数的平方，故第n行右边的数就是n的平方，而左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．【详解】解：第一行：211=；第二行：224=；第三行：239=；第四行：2416=；……第n行：2n；∴第11行：211121=．∵左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．∴第11行左起第1个数是-122，第11个数是-132．故选：C．【点睛】此题主要考查探索数与式的规律，正确找出规律是解题关键．9．D解析：D设点C 的坐标是x ，根据题意列得12x=-，求解即可. 【详解】解：∵点A 是B ，C 的中点． ∴设点C 的坐标是x ，1=-，则2x =-∴点C 表示的数是2-．故选：D. 【点睛】此题考查数轴上两点的中点的计算公式：两点的中点所表示的数等于两点所表示的数的平均数，正确掌握计算公式是解题的关键.10．B解析：B 【分析】首先根据题意，设M=1+a+a 2+a 3+a 4+…+a 2014，求出aM 的值是多少，然后求出aM-M 的值，即可求出M 的值，据此求出1+a+a 2+a 3+a 4+…+a 2019的值是多少即可． 【详解】∵M=1+a+a 2+a 3+a 4+…+a 2018①， ∴aM=a+a 2+a 3+a 4+…+a 2014+a 2019②， ②-①，可得aM-M=a 2019-1， 即（a-1）M=a 2019-1， ∴M= 201911a a --.故选B. 【点睛】考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．二、填空题11．【分析】按照题干定义的运算法则，列出算式，再按照同底幂除法运算法则计算可得． 【详解】故答案为： 【点睛】本题考查定义新运算，解题关键是根据题干定义的运算规则，转化为我们熟知的形式进行求解 解析：3x【分析】按照题干定义的运算法则，列出算式，再按照同底幂除法运算法则计算可得． 【详解】222322333()()x x x x x x x x x--=-⋅÷-⋅= 故答案为：3x 【点睛】本题考查定义新运算，解题关键是根据题干定义的运算规则，转化为我们熟知的形式进行求解．12．-9 【分析】直接利用已知运算法则计算得出答案． 【详解】 （﹣2）⊙6＝﹣2×（﹣2+6）﹣1 ＝﹣2×4﹣1 ＝﹣8﹣1 ＝﹣9． 故答案为﹣9． 【点睛】此题考察新定义形式的有理数计算，解析：-9 【分析】直接利用已知运算法则计算得出答案． 【详解】 （﹣2）⊙6 ＝﹣2×（﹣2+6）﹣1 ＝﹣2×4﹣1 ＝﹣8﹣1 ＝﹣9． 故答案为﹣9． 【点睛】此题考察新定义形式的有理数计算，正确理解题意是解题的关键，依据题意正确列代数式计算即可.13．或【详解】【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.【详解】M{3，2x＋1，4x－1}==2x+1解析：12或13【详解】【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.【详解】M{3，2x＋1，4x－1}=321413x x+++-=2x+1，∵M{3，2x＋1，4x－1}＝min{2，－x＋3，5x}，∴有如下三种情况：①2x+1=2，x=12，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，52，52}=2，成立；②2x+1=-x+3，x=23，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，73，103}=2，不成立；③2x+1=5x，x=13，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，83，53}=53，成立，∴x=12或13，故答案为12或13.【点睛】本题考查了阅读理解题，一元一次方程的应用，分类讨论思想的运用等，解决问题的关键是读懂题意，依题意分情况列出一元一次方程进行求解．14．130【解析】【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出a与b的值，即可确定出原式的值．【详解】根据题中的新定义得：解得 ,所以，==130故答案为：130【点睛】本解析：130【解析】【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出a 与b 的值，即可确定出原式的值． 【详解】根据题中的新定义得：2910496a b a b -=⎧⎨-=⎩解得2149a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,所以，()()22222a b ⎡⎤-⨯=--⎣⎦=()22142(2)()9⎡⎤-⨯---⨯⎣⎦ =130 故答案为：130【点睛】本题考核知识点：实数运算. 解题关键点：理解新定义运算规则，根据法则列出方程组，解出a,b 的值，再次应用规则，求出式子的值.15．6，7，8 【解析】【分析】根据已知可得，解不等式组，并求整数解可得. 【详解】因为，, 所以，依题意得， 所以，， 解得,所以，x 的正数值为6，7，8. 故答案为：6，7，8. 【点睛】此题解析：6，7，8 【解析】【分析】根据已知可得34237x -≤，解不等式组，并求整数解可得.【详解】因为，3427x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 所以，依题意得34237x -≤，所以，34273437x x -⎧≤⎪⎪⎨-⎪⎪⎩，解得1683x≤, 所以，x 的正数值为6，7，8.故答案为：6，7，8.【点睛】此题属于特殊定义运算题，解题关键在于正确理解题意，列出不等式组，求出解集，并确定整数解.16．.【解析】试题分析：设S＝1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016…………………①，在①式的两边都乘以m，得：mS＝m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016＋m2017…………………②②一①得：解析：.【解析】试题分析：设S＝1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016…………………①，在①式的两边都乘以m，得：mS＝m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016＋m2017…………………②②一①得：mS―S＝m2017－1.∴S＝.考点：阅读理解题；规律探究题.17．0【分析】根据非负数的性质列式求出x、y，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：∵+（y+1）2＝0∴x﹣1＝0，y+1＝0，解得x＝1，y＝﹣1，所以，（x+y）3＝（1﹣1）解析：0【分析】根据非负数的性质列式求出x、y，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：∵1x （y+1）2＝0∴x﹣1＝0，y+1＝0，解得x＝1，y＝﹣1，所以，（x+y）3＝（1﹣1）3＝0．故答案为：0．【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．18．【分析】首先根据与互为相反数，可得+=0，进而得出，然后用含的代数式表示，再代入求值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴+=0， ∴ ∴ ∴．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数 解析：12【分析】，进而得出1120-+-=y x ，然后用含x 的代数式表示y ，再代入求值即可． 【详解】解：∵∴，∴1120-+-=y x ∴2y x = ∴1=22x x y x =． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了实数的运算以及相反数，根据相反数的概念求得y 与x 之间的关系是解题关键．19．10、20、25、50． 【分析】①由“魔术数”的定义，分别对3、4、5三个数进行判断，即可得到5为“魔术数”；②由题意，根据“魔术数”的定义通过分析，即可得到答案． 【详解】 解：根据解析：10、20、25、50．【分析】①由“魔术数”的定义，分别对3、4、5三个数进行判断，即可得到5为“魔术数”； ②由题意，根据“魔术数”的定义通过分析，即可得到答案． 【详解】 解：根据题意，①把3写在1的右边，得13，由于13不能被3整除，故3不是魔术数； 把4写在1的右边，得14，由于14不能被4整除，故4不是魔术数； 把5写在1的右边，得15，写在2的右边得25，…… 由于个位上是5的数都能被5整除，故5是魔术数； 故答案为：5；②根据题意，这个两位数的“魔术数”为x ，则 1001001n x nx x+=+， ∴100nx为整数， ∵n 为整数，∴100x为整数， ∴x 的可能值为：10、20、25、50； 故答案为：10、20、25、50． 【点睛】本题考查了新定义的应用和整数的特点，解题的关键是熟练掌握新定义进行解题．20．3； ． 【分析】由可求出，由，可分别求出，，继而可计算出结果． 【详解】解：（1）由题意可知：， 则，（2）由题意可知： ，， 则，， ∴，故答案为：3；． 【点睛】 本题主解析：3； 1173．【分析】由239=可求出2log 93=，由4216=，43=81可分别求出2log 164=，3log 814=，继而可计算出结果． 【详解】解：（1）由题意可知：239=， 则2log 93=， （2）由题意可知：4216=，43=81， 则2log 164=，3log 814=，∴223141(log 16)log 811617333+=+=，故答案为：3；1173．【点睛】本题主要考查定义新运算，读懂题意，掌握运算方法是解题关键．三、解答题21．（1）35,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）2；（3）不是；（4）（6，75）【分析】（1）根据“白马有理数对”的定义，把数对3(2,1),5,2⎛⎫- ⎪⎝⎭分别代入1a b ab +=-计算即可判断；（2）根据“白马有理数对”的定义，构建方程即可解决问题； （3）根据“白马有理数对”的定义即可判断； （4）根据“白马有理数对”的定义即可解决问题． 【详解】（1）∵-2+1=-1，而-2×1-1=-3， ∴-2+1≠-3，∴（-2，1）不是“白马有理数对”，∵5+32=132，5×32-1=132，∴5+32=5×32-1，∴35,2⎛⎫⎪⎝⎭是“白马有理数对”， 故答案为：35,2⎛⎫⎪⎝⎭；（2）若(,3)a 是“白马有理数对”，则 a+3=3a-1， 解得：a=2，（3）若(,)m n 是“白马有理数对”，则m+n=mn-1， 那么-n+（-m ）=-（m+n ）=-（mn-1）=-mn+1， ∵-mn+1≠ mn-1∴（-n ，-m ）不是“白马有理数对”， 故答案为：不是； （4）取m=6，则6+x=6x-1， ∴x=75，∴（6，75）是“白马有理数对”， 故答案为：（6，75）． 【点睛】本题考查了“白马有理数对”的定义，有理数的加减运算，一次方程的列式求解，理解“白马有理数对”的定义是解题的关键． 22．（1）48；（2）28 【分析】（1）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．（2）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可． 【详解】解：（1）第一步：10100=，11059210100000000<<，10100∴，∴能确定110592的立方根是个两位数．第二步：110592的个位数是2，38512=， ∴能确定110592的立方根的个位数是8．第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，45，可得4050，由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48；（2）第一步：10=100=，1000219521000000<<，10100∴<，∴能确定21952的立方根是个两位数．第二步：21952的个位数是2，38512=， ∴能确定21952的立方根的个位数是8．第三步：如果划去21952后面的三位952得到数21，23<，可得2030，由此能确定21952的立方根的十位数是2，因此21952的立方根是28．28，【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．23．（1）12，-2；（2）（15）4，（﹣2）8；（3）n-21a⎛⎫⎪⎝⎭；（4）7-28.【分析】（1）分别按公式进行计算即可；（2）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；（3）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为1a ，则aⓝ=a×(1a)n-1；（4）将第二问的规律代入计算，注意运算顺序．【详解】解：（1）2③=2÷2÷2=12，（﹣12）③=﹣12÷（﹣12）÷（﹣12）=﹣2；（2）5⑥=5×15×15×15×15×15=（15）4，同理得；（﹣12）⑩=（﹣2）8；（3）aⓝ=a×1a×1a×…×n-211a a⎛⎫= ⎪⎝⎭；(4)（-3）8×（-3）⑨-（﹣12）9×（﹣12）⑧=（-3）8×（1-3）7 -（﹣12）9×（-2）6=-3-(-12)3=-3+1 8=7 -28.【点睛】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．24．初步探究：（1）12，-8；深入思考：（1）(−13)2，(15)4，82；（2）21na-⎛⎫⎪⎝⎭【分析】初步探究：（1）分别按公式进行计算即可；深入思考：（1）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；（2）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为1a，则11n a a a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭ⓝ；【详解】解：初步探究：（1）2③=2÷2÷2=12，111111-=-----222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷÷÷÷ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑤111=1---222⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷÷÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()11-2--22⎛⎫⎛⎫÷÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-8；深入思考：（1）（-3）④=（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）=1×(−13)2=(−13)2；5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=(15)4；同理可得：（﹣12）⑩＝82；（2）21n a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭ⓝ【点睛】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．25．（1）-3006，990；（2）见解析；（3）P （t ）的最大值是P （2262）=36． 【分析】（1）根据“前介数”t 与它的“中介数”的差为P （t ）的定义求解即可；（2）设“前介数”为t aabc =且a 、b 、c 均不为0的整数，即1≤a 、b 、c 9≤，根据定义得到P （t ）=()9110111aabc caab a b c -=+-，则P （t ）一定能被9整除；（3）设“前介数”为22220010t ab a b ==++，根据题意得到4a b ++能被3整除，且b 只能取2，4，6，8中的其中一个数；t 对应的“中介数”是221000220b a b a =++，得到a 只能取2，4，6，8中的其中一个数，计算P （t ）19809999a b =+-，推出要求P （t ）的最大值，即a 要尽量的大，b 要尽量的小，再分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：2215是“前介数”，其对应的“中介数”是5221， ∴P （2215）=2215-5221=-3006；6655是“前介数”，其对应的“中介数”是5665， ∴P （6655）=6655-5665=990；故答案为：-3006，990；（2）证明：设“前介数”为t aabc =且a 、b 、c 均为不为0的整数，即1≤a 、b 、c 9≤， ∴100010010110010t a a b c a b c =+++=++，又t 对应的“中介数”是1000100101000110caab c a a b c a b =+++=++，∴P （t ）=()1100101000110aabc caab a b c c a b -=++-++1100101000110a b c c a b =++---9909999a b c =+-()9110111a b c =+-，∵a 、b 、c 均不为0的整数，∴110111a b c +-为整数，∴P （t ）一定能被9整除；（3）证明：设“前介数”为22t ab =且即1≤a 、b 9≤，a 、b 均为不为0的整数， ∴200020010220010t a b a b =+++=++，∵t 能被6整除，∴t 能被2整除，也能被3整除，∴b 为偶数，且224a b a b +++=++能被3整除，又19b ≤≤，∴b 只能取2，4，6，8中的其中一个数，又t 对应的“中介数”是221000200201000220b a b a b a =+++=++，且该“中介数”能被2整除，∴a 为偶数，又19a ≤≤，∴a 只能取2，4，6，8中的其中一个数，∴P （t ）=()22222200101000220ab b a a b b a -=++-++2200101000220a b b a =++---19809999a b =+-，要求P （t ）的最大值，即a 要尽量的大，b 要尽量的小，①a 的最大值为8，b 的最小值为2，但此时414a b ++=，且14不能被3整除，不符合题意，舍去；②a 的最大值为6，b 的最小值仍为2，但此时412a b ++=，能被3整除，且P （t ）=2262-2226=36；③a 的最大值仍为8，b 的最小值为4，但此时416a b ++=，且16不能被3整除，不符合题意，舍去；其他情况，a 减少，b 增大，则P （t ）减少，∴满足条件的P （t ）的最大值是P （2262）=36．【点睛】本题考查用新定义解题，根据新定义，表示出“前介数”，与其对应的“中介数”是求解本题的关键．本题中运用到的分类讨论思想是重要一种数学解题思想方法．26．（1）2-，2；（2）①图见解析，5；②见解析【分析】（1）根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数（2）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可；（3）从原点开始画一个长是2，高是1的长方形，对角线长即是a，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M，再把这个长方形向左平移3个单位，用同样的方法得到点N．【详解】（1）由图1知，小正方形的对角线长是2，∴图2中点A表示的数是2-，点B表示的数是2，故答案是：2-，2；（2）①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5，∴正方形的边长是5，如图所示：故答案是：5；②如图所示：【点睛】本题考查无理数的表示方法，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解．27．（1）3；6-；（2）①2；3；6．②这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里．【分析】（1）根据题意，确定实数左侧第一个整数点所对应的数即得；（2）①根据表格确定乘坐里程的对应段，然后将乘坐里程分段计费并累加即得；②根据表格将每段的费用从左至右依次累加直至费用为7元，进而确定7元乘坐的具体里程即得．【详解】<<（1）∵3 3.44∴[]3.43=∵6 5.75-<-<-∴[]5.76-=-故答案为：3；6-．（2）①∵3.074<∴3.07公里需要2元∵47.9312<<∴7.93公里所需费用分为两段即：前4公里2元 ，后3.93公里1元∴7.93公里所需费用为：2+1=3（元）∵19.212174<<∴19.17公里所需费用分为三段计费即： 前4公里2元，4至12公里2元，12公里至19.17公里2元；∴19.17公里所需费用为：2226++=（元）故答案为：2；3；6．②由题意得：乘坐24公里所需费用分为三段：前4公里2元，4至12公里2元，12公里至24公里2元；∴乘坐24公里所需费用为：2226++=（元）∵由表格可知：乘坐24公里以上的部分，每一元可以坐8公里∴7元可以乘坐的地铁最大里程为：24+8=32（公里）∴这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里 答：这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里．【点睛】本题是阅读材料题，考查了实数的实际应用，根据材料中的新定义举一反三并挖掘材料中深层次含义是解题关键．28．（1）202021-；（2）2020312-；（3）201101554-. 【分析】仿照阅读材料中的方法求出所求即可．【详解】解：（1）根据2350511222...221+++++=-得：2320191222...2+++++=202021-（2）设2320191333...3S =+++++，则234202033333...3S =+++++，∴2020331S S -=-， ∴2020312S -= 即：2020232019311333 (32)-+++++= （3）设232001555...5S =+++++，则23420155555...5S =+++++，∴201551S S -=-，∴201514S -= 即：20123200511555...54-+++++=同理可求⸫10123100511555 (54)-+++++= ∵1011021032002320023100555...51555...5)(1555...5)++++=+++++-+++++（ 201101201101101102103200515155555 (5444)---∴++++=-= 【点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．29．（1）113，23（2）所以和谐数为15，26，37，48，59；（3）F （t ）的最大值是34． 【分析】(1)根据题意,按照新定义的法则计算即可.(2)根据新定义的”和谐数”定义,将数用a,b 表示列出式子解出即可.(3)根据(2)中计算的结果求出最大即可.【详解】解：（1）F （13）＝113，F （24）＝23; （2）原两位数可表示为10(1)b a -+新两位数可表示为101a b +-∴10110(1)36a b b a +----=∴101101036a b b a +--+-=∴9927a b -=∴3a b -=∴3a b =+ （16b <≤且b 为正整数 ）∴b=2,a=5; b=3,a=6, b=4,a=7,b=5,a=8 b=6,a=9所以和谐数为15，26，37，48，59(3)所有“和谐数”中，F （t ）的最大值是34． 【点睛】本题为新定义的题型,关键在于读懂题意,按照规定解题.30．（1）两；（2）2，3；（3）24，﹣48；【分析】（1）由题意可得10100<，进而可得答案；（2）由只有个位数是2的数的立方的个位数是8333=27,4=64可得27＜32＜64，进而可确定3040<上的数，进而可得答案；（3）仿照（1）（2）两小题中的方法解答即可．。
部编数学七年级下册专题03《实数》选择、填空重点题型分类(解析版)含答案
专题03 《实数》选择、填空重点题型分类专题简介：本份资料专攻《实数》中“实数的分类”、“求方根”、“平方根有意义题型”、“三姐妹型与易混型”、“估算数值、比较大小”选择、填空重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：实数的分类方法点拨：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.1、0.2、﹣π、2270.101001中有理数的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】有理数是整数与分数的统称，或者说有限小数与无限循环小数都是有理数，据此求解．=3=，∴0.2、-π、227、0.101001中，有理数有0.2、2270.101001，共有4个．故选：D ．【点睛】本题考查有理数的意义，掌握有理数的意义是正确判断的前提．2．下列各数中，3.1415127，0.321，π，2.32232223…（相邻两个3之间的2的个数逐次增加1），无理数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】3.1415，0.321是有限小数，属于有理数；127是分数，属于有理数；π，2.32232223…（相邻两个3之间的2的个数逐次增加1），共3个．故选：D ．【点睛】此题考查了无理数．解题的关键是掌握实数的分类．3．下列说法中正确的是（ ）A ．小数都是有理数B ．有理数是实数C ．无限小数都是无理数D ．实数是无理数【答案】B【详解】解：A 、有限小数和无限循环小数都是有理数，则此项错误；B 、有理数是实数，则此项正确；C 、无限不循环小数都是无理数，则此项错误；D 、实数包括有理数和无理数，则此项错误；故选：B ．【点睛】本题考查了实数、有理数和无理数，熟记实数的定义（有理数和无理数统称为实数）、有理数的定义（整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都是有理数）和无理数的定义（无限不循环小数叫做无理数）是解题关键．4．将下列各数填入相应的横线上：251 3.030030003,311p -&L 整数：{ …}有理数： { …}无理数： { …}负实数： {…}．【答案】251311&-3.030030003…，π；-3.030030003…【分析】有理数与无理数统称实数，整数与分数统称有理数，按照无理数、有理数的定义及实数的分类标准进行分类即可.【详解】整数：{K }有理数：{251311&L }无理数：-3.030 030 003…，π…}；负实数：{-3.030 030 003……}；【点睛】本题考查的是实数的概念与分类，掌握“实数的分类与概念”是解本题的关键.5．把下列各数填入相应的大括号中：220.3,1,,27p -L ,-&&L 自然数集合{ …}；负数集合{ …}；整数集合{ …}；有理数集合{ …}；实数集合{ …}；无理数集合{ …}．--220.3,,7-&&L ；220.3,1,,27p -L ,-&&L ；,0.10100100012p L ，|1【分析】根据实数的分类先找出相对应数集的数再填入相应的集合．【详解】解：根据实数的分类，自然数集合…}；负数集合{-…}；整数集合{ -…}；有理数集合{220.3,,7-&&L …}；实数集合{220.3,1,,27p-L +,-&&L …}；无理数集合{,0.10100100012pL，|1…}．【点睛】本题考查实数的分类．主要考查学生对实数含义的深刻理解.考点2：求方根方法点拨：1.平方根：一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；2.立方根：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；1．10的算术平方根是（）A．10B C．D．【答案】B【分析】直接利用算术平方根的求法即可求解．【详解】解：10故选：B．【点睛】本题主要考查了算术平方根，解题的关键是掌握求解的运算法则．2．3的算术平方根是（）A．±3B C．－3D．3【答案】B【分析】根据算术平方根的定义求解即可，平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．【详解】解：3故选B【点睛】本题考查了算术平方根的定义，掌握定义是解题的关键．3．若一个数的算术平方根与它的立方根的值相同，则这个数是（ ）A．1B．0和1C．0D．非负数【答案】B【分析】根据立方根和算术平方根的性质可知，立方根等于它本身的实数0、1或-1，算术平方根等于它本身的实数是0或1，由此即可解决问题．【详解】解：∵立方根等于它本身的实数0、1或−1，算术平方根等于它本身的数是0和1，∴一个数的算术平方根与它的立方根的值相同的是0和1，故选B．【点睛】主要考查了立方根，算术平方根的性质．牢牢掌握立方根和算术平方根等于它本身的实数是解答本题的关键点．4．下列说法：①-27的立方根是3；②36的算数平方根是6±；③18的立方根是12；的平方根是3±．其中正确说法的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】分别进行立方根运算、算术平方根运算、平方根运算逐个判断即可．【详解】解：①－27的立方根是－3，错误；②36的算数平方根是6，错误；③18的立方根是12，正确；∴正确的说法有1个，故选：A ．【点睛】本题考查立方根、算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的区别是解答的关键．5．已知x 2=36，那么x =___________；如果(-a )2=(7)2，那么a =_____________【答案】±6##6或-6±7【分析】根据平方根的定义求解即可．【详解】解：∵(±6)2=36，∴当x 2=36时，则x =±6；∵(-a )2=(7)2，∴a 2=49，∵(±7)2=49，∴a =±7；故答案为：±6；±7．【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a ，则这个数叫做a 的平方根，即x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根．0的平方根是0；正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．6．已知x ，y y －3）2＝0，则xy 的立方根是__________．【答案】【分析】根据二次根式和平方的非负性，可得4,33x y =-= ，即可求解．【详解】解：根据题意得：340,30x y +=-= ，解得：4,33x y =-= ，===．故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式和平方的非负性，立方根的性质，熟练掌握二次根式和平方的非负性，立方根的性质是解题的关键．7_____；﹣64的立方根是_____．﹣4【分析】根据立方根、算术平方根的概念求解．5，5﹣64的立方根是﹣4．﹣4．【点睛】本题考查了立方根、算术平方根的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的关键．8．如图，正方形ABCD是由四个长都为a，宽都为b（a＞b）的小长方形拼接围成的．已知每个小长方形的周长为18，面积为454，我们可以通过计算正方形ABCD面积的方法求出代数式a﹣b的值，则这个值为_____．【答案】6【分析】先求出小正方形面积=大正方形的面积减去4个长方形的面积，然后进行计算即可．【详解】解：由题意得：2（a+b）＝18，ab＝454，∴a+b＝9，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ＝81﹣45＝36，又∵a＞b，∴a﹣b＝6，故答案为：6．【点睛】本题考查乘法公式的变形计算，平方根计算，掌握公式变形的方法用面积法，利用数形结合思想将问题简单化是解题关键考点3：平方根有意义题型().1．下列说法中错误的是 （ ）A．正实数都有两个平方根B．任何实数都有立方根C．负实数只有立方数根，没有平方根D．只有正实数才有算术平方根【答案】D【分析】A、根据平方根的定义即可判定；B、根据立方根的定义即可判定；C、根据平方根、立方根的性质即可判定；D、根据非负数才有平方根即可判定．【详解】解：A、正实数都有两个平方根，故选项正确；B、任何实数都有立方根，故选项正确；C、负实数只有立方根，没有平方根，故选项正确；D、0也有算术平方根，不是只有正实数才有算术平方根，故选项错误；故选：D．【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的性质，并利用此性质解题．平方根的被开数不能是负数，开方的结果必须是非负数；立方根的符号与被开立方的数的符号相同．要注意一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．2．如果m有算术平方根，那么m一定是（）A．正数B．0C．非负数D．非正数【答案】C【分析】根据负数没有平方根求解即可．【详解】解：∵负数没有平方根，∴如果m有算术平方根，那么m一定是0或正数，即非负数，故选：C．【点睛】本题考查平方根，掌握负数没有平方根是解题的关键．3a=-成立，那么a为（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数【答案】C³0a³【分析】根据算术平方根的非负性可得0a -³，以此判断即可．【详解】a =-成立∴a 为非正数故答案为：C ．【点睛】本题考查了算术平方根的运算问题，掌握算术平方根的非负性是解题的关键．4．如果代数式有算术平方根，那么x 应满足（ ）A ．x 为任意实数B ．C ．D ．【答案】D【分析】非负数才有算术平方根，而负数则没有，所以根据有算术平方根，可得≥0，解不等式即得答案.【详解】解：由题意可得，∴. 故选D.【点睛】由算术平方根的定义可知非负数才有算术平方根，而负数则没有，所以根据有算术平方根，得到≥0，由此可见，掌握算术平方根的定义是解题的关键.5在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是______．【答案】3x ³【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，再求解即可．【详解】解：∵在实数范围内有意义，∴30x -³．∴3x ³．故答案为：3x ³．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握该知识点是解题关键．6．若实数 x ，y 满足等式：2y =，则xy=_________【答案】-4【分析】根据二次根式有意义的条件即可得到2020x x -³ìí-³î则2x =，由此即可求出2y =-，然后代值计算即可．【详解】解：∵2y =有意义，∴2020x x -³ìí-³î，∴22x ££即2x =，∴22y ==-，∴()224xy =´-=-，故答案为：-4．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式有意义的条件为被开方数大于等于0．7．若实数x ，y 满足|x ﹣3|0，则（x ＋y ）2的平方根为_______．【答案】±4【分析】利用绝对值和二次根式的性质求出x ，y 的值，再利用平方根的定义解答即可．【详解】解：根据题意得x ﹣3＝0，y ﹣1＝0，解得：x ＝3，y ＝1，则（x +y ）2＝（3+1）2＝16，所以（x +y ）2的平方根为±4．故填：±4．【点睛】本题主要考查了绝对值和二次根式的性质以及平方根的定义，根据绝对值和二次根式的性质求出x ，y 的值成为解答本题的关键．8（2﹣b ）2＝0＝___．【答案】1【分析】根据二次根式的性质和平方的非负性，可得1,2a b ==求解．【详解】解：（2﹣b ）2＝0，∴10,20a b -=-= ，解得：1,2a b == ，111==+．故答案为：1【点睛】本题主要考查了二次根式的化简和二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．考点4：三姐妹题型与易混题型方法点拨：（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； （2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；（3().a a a 2a 0³0a ³ 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.1）A．4B．﹣4C．10D．﹣10【答案】B【分析】根据算术平方根、立方根的定义计算即可．=+-239=-．4故选：B．【点睛】本题考查了实数的运算，正确的计算算术平方根、立方根是解题的关键．2．已知x＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为（）A．3B．2C．3和﹣3D．2和﹣2【答案】A【分析】根据立方根的性质，可得x﹣3＝2x+1，解出x，再由算术平方根的性质，即可求解．【详解】解：＝0，=．∴x﹣3＝2x+1．∴x＝﹣4．∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9．∴x2+x﹣33=．故选：A．【点睛】本题主要考查了立方根和算术平方根的性质，熟练掌握立方根和算术平方根的性质是解题的关键．34=的值为____________．【答案】3x+=【分析】根据算术平方根的定义可得316求解【详解】解：4=∴316x+=即13x=\3==故答案为：3【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的定义，求得x的值是解题的关键．平方根：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作a称为被开方数), 其中属于非负数的平方根称之为算术平方根；立方根：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作a称为被开方数)．4．若a3＝8＝2，则a＋b＝___．【答案】6【分析】根据立方根的概念得a的值，根据算术平方根的概念得b的值，然后代入计算可得答案．【详解】解：∵a3＝82，∴a＝2，b＝4，∴a＋b＝2＋4＝6．故答案为：6．【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知立方根与算术平方根的概念5．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b+10的立方根是3，求a+b的算术平方根___．【分析】先根据2a−1的平方根是±3，3a＋b＋10的立方根是3得出21931027aa b-=ìí++=î，解之求出a、b的值，再利用算术平方根定义得出答案．【详解】解：∵2a−1的平方根是±3，3a＋b＋10的立方根是3，∴21931027aa b-=ìí++=î，解得a＝5，b＝2，∴a＋b＝7，则a＋b．【点睛】本题主要考查立方根、平方根、算术平方根，解题的关键是掌握立方根、平方根、算术平方根的定义．6．已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，1-是e的平方根，则e+=________．【答案】0【分析】直接利用倒数、相反数、平方根的定义分析得出答案．【详解】解：∵a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，1-是e 的平方根，∴ab ＝1，c ＋d ＝0，e ＝1，1+1=0e =-．故答案为：0．【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确求解各数是解题关键．7．如果一个正数a 的两个平方根是22x -和63x -，则173a +的立方根为_______．【答案】5【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，求解即可得出x 的值，再求得两个平方根中的一个，然后平方可得a 的值，将a 的值代入计算得出173a +的值，再求其立方根即可．【详解】解：Q 一个正数a 的两个平方根是22x -和63x -，22630x x \-+-=，4x \=．222426x \-=´-=，36a \=．173********a \+=+´=，125Q 的立方根为5，173a \+的立方根为5，故答案是：5．【点睛】本题考查了实数中的平方根和立方根等基础知识点，解题的关键是掌握相关的计算能力．8．若一个正数的两个不同的平方根分别是3x ﹣1和4﹣4x ，则这个数的立方根是___．【答案】4【分析】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数求出x 的值，进而确定出这个数，求出这个数的立方根即可．【详解】解：Q 一个正数的两个平方根互为相反数，31440x x \-+-=，解得3x =，318x \-=，448x -=-，\这个数为64，\4=．故答案为：4．【点睛】此题考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解本题的关键．9．己知甲数是719的算术平方根，乙数是338的立方根，则甲、乙两个数的积是__．【答案】2【分析】分别根据算术平方根、立方根的定义可以求出甲数、乙数，进而即可求得题目结果．【详解】解：∵甲数是719的算术平方根∴甲数等于43；∵乙数是338的立方根，∴乙数等于32．∴甲、乙两个数的积是43×32=2．故答案为：2．【点睛】此题主要考查了算术立方根、平方根的定义，其中求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．10．已知：2a+1的算术平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2_____．【答案】4【分析】利用算术平方根，立方根的定义求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．【详解】解：由题意，有219318aa b+=ìí--=î，解得43ab=ìí=î，4===．故答案为：4．【点睛】本题考查了算术平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握算术平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．考点5：估算数值、比较大小题型方法点拨：确定无理数的范围、比较无理数的大小，利用夹逼法解决问题是一种非常重要的解题方法。
上海第一中学七年级数学下册第二单元《实数》检测(答案解析)
一、选择题1．下列说法：①所有无理数都能用数轴上的点表示；②若一个数的平方根等于它本身，则这个数是0或1；③任何实数都有立方根；4±，其中正确的个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．下列各组数中，互为相反数的是（ ）A ．B ．2-与12-C ．()23-与23-D 3．－18的平方的立方根是（ ） A ．4 B ．14 C ．18D ．1644．下列各数中比( ) A ．2- B ．1- C ．12- D ．05．下列说法中，正确的是（ ）A ．正数的算术平方根一定是正数B ．如果a 表示一个实数，那么－a 一定是负数C ．和数轴上的点一一对应的数是有理数D ．1的平方根是16．在 1.4144-，，227，3π，2，0.3•，2.121112*********...中，无理数的个数（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．8 ）A ．4B ．5C ．6D ．78．若3a =，则a 在（ ）A ．3-和2-之间B ．2-和1-之间C ．1-和0之间D ．0和1之间9．设,A B 均为实数，且A B ==,A B 的大小关系是（ ） A ．A B > B ．A B =C ．A B <D ．A B ≥ 10．下列各数中，属于无理数的是（ ）A ．227B ．3.1415926C ．2.010010001D ．π3- 11．下列等式成立的是（ ）A ．±1B ＝±2C 6D 3 12．下列说法正确的有（ ）（1）带根号的数都是无理数；（2）立方根等于本身的数是0和1；（3）a -一定没有平方根；（4）实数与数轴上的点是一一对应的；（5）两个无理数的差还是无理数；（6）若面积为3的正方形的边长为a ，a 一定是一个无理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．求下列各式中x 的值．（1）4（x ﹣3）2＝9；（2）（x +10）3+125＝0．14．111111133557792017201920192021++++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 15．用“<”连接2的平方根和2的立方根_________．16．计算：3612516-+-+=____．17．阅读下列信息材料信息1：因为尤理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：2π、等，而常用的“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确；信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.52-得来的；信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如253<<，是因为459<<；根据上述信息，回答下列问题：（1）13的整数部分是___________，小数部分是______________；（2）若2122a <<，则a 的整数部分是___________；小数部分可以表示为_______； （3）103+也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为103a b <+<则a b +=______；（4）若303x y -=+，其中x 是整数，且01y <<，请求x y -的相反数． 18．已知21a -的平方根是17±，31a b +-的算术平方根是6，求4a b +的平方根． 19．9的平方根是_____，－27的立方根是______，()216的算术平方根是_________． 20．观察下面一列数：－1，2，－3，4，－5，6，－7……，将这列数排成下图形式．按照此规律排下去，那么第_________行从坐标数第_________个数是－2019．三、解答题21．求下列各式中的x ：（1）29(1)25x -=（2）3548x +=22．若()220b -+=，求()2020a b +的值． 23．求下列各式中x 的值：（1）()214x -=；（2）3381x =-．24．解方程：（1）24(1)90--=x（2）31(1)7x +-=- 25．已知1x -的算术平方根是3，24x y ++的立方根也是3，求23x y -的值． 26．阅读下面的文字，解答问题：无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如π、等，而常用“……”或者“≈”1的小数部分，你同意小刚的表示方法吗？的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．<<，即23<<，22也就是说，任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间．根据上述信息，请回答下列问题：（1______，小数部分是_______；（2）10+10a b <+<，则a b +=_____；（34x y =+，其中x 是整数，且01y <<．求：x y -的相反数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】分别根据相关的知识点对四个选项进行判断即可．【详解】解：①所有无理数都能用数轴上的点表示，故①正确；②若一个数的平方根等于它本身，则这个数是0，故②错误；③任何实数都有立方根，③说法正确；2±，故④说法错误；故其中正确的个数有：2个．故选：C ．【点睛】本题考查的是实数，需要注意掌握实数的概念、平方根以及立方根的相关知识点． 2．C解析：C【分析】根据绝对值运算、有理数的乘方运算、立方根、相反数的定义逐项判断即可得．【详解】A 、=不是相反数，此项不符题意；B 、2-与12-不是相反数，此项不符题意； C 、()223399,--=-=，则()23-与23-互为相反数，此项符合题意；D 2,2=-=-故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值运算、有理数的乘方运算、立方根、相反数的定义，熟记各运算法则和定义是解题关键．3．B解析：B【分析】先根据题意列出代数式，然后再进行计算即可．【详解】14==． 故答案为B ．【点睛】本题考查了平方和立方根，弄清题意、根据题意列出代数式是解答本题的关键． 4．A解析：A【分析】根据实数比较大小的方法分析得出答案即可．【详解】A ．|2|2-=，|= ∴2>2∴-<B ．|1|1-=，|= ∴1<，1∴->C ．1122-=，|=， 1∴->２D ．0>故选：A ．【点睛】此题主要考查了实数的大小比较，正确掌握比较方法是解题的关键．5．A解析：A【分析】根据算术平方根、实数与数轴上的点是一一对应关系、实数、平方根，即可解答．【详解】A 、正数的算术平方根一定是正数，故选项正确；B 、如果a 表示一个实数，那么-a 不一定是负数，例如a=0，故选项错误；C 、和数轴上的点一一对应的数是实数，故选项错误；D 、1的平方根是±1，故选项错误；故选：A ．【点睛】本题主要考查了实数，实数与数轴，解决本题的关键是熟记实数的有关性质． 6．D解析：D【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【详解】1.4144-，有限小数，是有理数，不是无理数；227，分数，是有理数，不是无理数； 0.3•，无限循环小数，是有理数，不是无理数；， 3π，2-， 2.121112*********...是无理数，共4个，故选：D．【点睛】本题主要考查了无理数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．7．B解析：B【分析】<<，进而得出答案．直接利用估算无理数的大小的方法得出23【详解】<<，解：459<<，<<23∴-<<-，83882∴<，586∴5．8故选：B．【点睛】8．C解析：C【分析】案．【详解】解：∵4＜5＜9，3．∴2∴-1＜0．故选：C．【点睛】9．D解析：D【分析】根据算术平方根的定义得出A是一个非负数，且m-3≥0，推出3-m≤0，得出B≤0，即可得出答案，【详解】解：∵A=∴A是一个非负数，且m-3≥0，∴m≥3，∵B=∵3-m≤0，即B≤0，∴A≥B，故选：D．【点睛】本题考查了算术平方根的定义，平方根和立方根，实数的大小比较等知识点，题目比较好，但有一定的难度．10．D解析：D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：A、227是有理数，故选项A不符合题意；B、3.1415926是有理数，故选项B不符合题意；C、2.010010001是有理数，故选项C不符合题意；D、π3-是无理数，故选项D题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．11．A解析：A【分析】分别根据算术平方根、立方根的定义逐一判断即可．【详解】A．书写规范，故本选项符合题意；B.算术平方根只能是正数不能是负数，故本选项不合题意；C.立方根与被开方数符号一致，故本选项符合题意；D.33=27，27的立方根才等于3，故本选项不合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了算术平方根与立方根的定义，熟练掌握算术平方根的性质是解答本题的关键．12．B解析：B【分析】根据无理数的定义、立方根与平方根、实数与数轴的关系逐个判断即可得．【详解】（12=是有理数，说法错误；（2）立方根等于本身的数是0和±1，说法错误；（3）当a -为非负数时，a -有平方根，说法错误；（4）实数与数轴上的点是一一对应的，说法正确；（50=，说法错误；（6）由正方形的面积公式得：a =是无理数，说法正确；综上，说法正确的有2个，故选：B ．【点睛】本题考查了无理数、实数的运算、立方根与平方根，掌握理解各概念和运算法则是解题关键． 二、填空题13．（1）x ＝或；（2）x ＝﹣15【分析】（1）利用平方根解方程即可；（2）利用立方根解方程即可【详解】解：（1）4（x ﹣3）2＝9（x ﹣3）2＝x ﹣3＝x ﹣3＝或x ﹣3＝解得：x ＝或；（2）（x+10解析：（1）x ＝92或32；（2）x ＝﹣15 【分析】（1）利用平方根解方程即可；（2）利用立方根解方程即可．【详解】解：（1）4（x ﹣3）2＝9，（x ﹣3）2＝94， x ﹣3＝32±， x ﹣3＝32或x ﹣3＝32-， 解得：x ＝92或32； （2）（x +10）3+125＝0，（x +10）3＝﹣125，x +10x +10＝﹣5，解得x ＝﹣15．【点睛】本题主要考查利用平方根解方程、利用立方根解方程，熟练掌握解方程的方法和步骤是解答的关键，注意平方根有两个．14．【分析】利用裂项法计算即可【详解】原式【点睛】本题考查了利用裂项法进行分数的加法计算熟练掌握裂项法是解题的关键 解析：10102021【分析】利用裂项法计算即可．【详解】 原式1111111233520192021⎛⎫=⨯-+-+⋯+- ⎪⎝⎭ 11122021⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ 1202022021=⨯ 10102021=． 【点睛】 本题考查了利用裂项法进行分数的加法计算，熟练掌握裂项法是解题的关键． 15．＜＜【分析】先表示出2的平方根与立方根再根据有理数的大小比较可得答案【详解】解：2的平方根为±2的立方根为∴＜＜故答案为：＜＜【点睛】本题主要考查立方根解题的关键是掌握平方根算术平方根与立方根的定义解析：【分析】先表示出2的平方根与立方根，再根据有理数的大小比较可得答案．【详解】解：2的平方根为，2 ∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查立方根，解题的关键是掌握平方根、算术平方根与立方根的定义． 16．5【分析】先化简绝对值求立方根和算术平方根再加减即可【详解】解：==5故答案为：5【点睛】本题考查了绝对值立方根算术平方根的运算准确运用法则是解题关键解析：5【分析】先化简绝对值、求立方根和算术平方根，再加减即可．【详解】解：6-，=6(5)4+-+，=5，故答案为：5．【点睛】本题考查了绝对值、立方根、算术平方根的运算，准确运用法则是解题关键． 17．（1）3；；（2）21；；（3）23；（4）【分析】（1）先找到可找到即可找出的整数部分与小数部分（2）根据因为即可找出的整数部分与小数部分（3）找到在哪两个整数之间再加10即可（4）先确定找到由是解析：（1）33；（2）21；21a -；（3）23；（47．【分析】（1）先找到91316<<，可找到34<< （2）根据因为2122a <<，即可找出a 的整数部分与小数部分（3）找到12<<在哪两个整数之间,再加10即可.（4）先确定56<<，找到233<<，由01y <<，x 是整数，即可确定x=2，5，再求7x y -=，即可求出【详解】（1）91316<< ∴34<<33故答案为：33；（2）因为2122a <<,故则a 的整数部分是21，a 的小数部分可以表示为21a -. 故答案为：21；21a -；（3）因为12<<， ∴10110102+<+<+，即111012<+<，所以=11a ,=12b ，故23a b +=，故答案为：23；（4）5306<<，23033<<，∵01y <<，x 是整数，∴x=2， ∴325-=，∴)257x y -=-=，∴x y -7．【点睛】本题考查的是无理数的整数部分与小数部分，掌握估值法确定无理数的范围，即无限不循环小数知识的拓展延伸,理解题意,按照题目所给的表示方法去解答是关键．18．【分析】根据算术平方根和平方根的定义列式求出ab 的值然后代入代数式求出的值再根据平方根的定义解答即可【详解】解：根据题意得解得所以∵∴的平方根是【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的定义能够熟记概念 解析：7±【分析】根据算术平方根和平方根的定义列式求出a 、b 的值，然后代入代数式求出4a b +的值，再根据平方根的定义解答即可．【详解】解：根据题意，得2117a -=，2316a b +-=，解得9a =，10b =，所以，4941094049a b +=+⨯=+=，∵()2749±=， ∴4a b +的平方根是7±．【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的定义，能够熟记概念并列式求出a 、b 的值是解题的关键．19．【分析】根据平方根立方根算术平方根的定义求出每个的值再根据结果判断即可【详解】9的平方根是－27的立方根是∵∴的算术平方根是故答案为：【点睛】本题考查了对平方根立方根算术平方根的定义的应用关键是根据 解析：3± 3- 4【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义求出每个的值，再根据结果判断即可．【详解】9的平方根是3±，－27的立方根是3-，∵216=，∴2的算术平方根是4．故答案为：3±，3-，4．【点睛】本题考查了对平方根、立方根、算术平方根的定义的应用，关键是根据平方根、立方根、算术平方根的定义求出每个的值解答．20．83【分析】根据数的排列每一行最后一个数的绝对值等于行数的平方并且奇数是负数偶数是正数由此规律进行求解【详解】解：根据数的排列每一行最后一个数的绝对值等于行数的平方并且奇数行是负数偶数行是正数∵44 解析：83【分析】根据数的排列，每一行最后一个数的绝对值等于行数的平方，并且奇数是负数，偶数是正数，由此规律进行求解．【详解】解：根据数的排列，每一行最后一个数的绝对值等于行数的平方，并且奇数行是负数，偶数行是正数，∵442=1936，2019﹣1936=83，∴－2019是第45行从左边数第83个数，故答案为：45；83．【点睛】本题考查数字的规律探索，解答的关键是根据已知的数字排列找到规律进行求解．三、解答题21．（1）x=83或x=-23；（2）x ＝32-． 【分析】（1）根据平方根的定义解答即可；（2）根据立方根的定义解答即可．【详解】解：（1）∵9（x-1）2=25∴x-1=±53， 即x-1=53或x-1=-53， 解得x=83或x=-23； （2）3548x +=3548x =- 3278x =-x ＝32-． 【点睛】本题主要考查了求一个数的平方根与立方根，熟记定义是解答本题的关键．22．1【分析】根据平方的非负性、开平方的非负性求出a 、b 的值，代入计算即可．【详解】解：∵()220b -+=，∴20b -+=，210a b +-=，解得：2b =，3a =-，∴()()20202020321a b +=-+=． 【点睛】此题考查平方的非负性、开平方的非负性，有理数的混合运算，正确理解平方的非负性、开平方的非负性是解题的关键．23．（1）x=3或x=-1；（2）x=-3．【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用立方根的定义求解即可．【详解】（1）()214x -=直接开平方得：12x -=±，解得：13x =，21x =-（2）3381x =-两边同时除以3得：327x =-，开立方得：3x =-．【点睛】本题考查了平方根和立方根的性质，解题的关键是利用平方根和立方根的性质求解方程． 24．（1）152x =，212x =-；（2）x ＝﹣1． 【分析】（1）方程整理后，利用平方根性质计算即可求出解；（2）方程整理后，利用立方根性质计算即可求出解．【详解】解：（1）24(1)90--=x 方程整理得：2(1)9=4x -， 开方得：321=x -±解得，152x =，212x =-； （2）31(1)7x +-=-方程整理得：（x ﹣1）3＝﹣8，开立方得：x ﹣1＝﹣2，解得：x ＝﹣1．【点睛】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 25．11【分析】根据算术平方根和立方根的概念列出方程求出x 和y ，代入求值即可．【详解】解：∵1x -的算术平方根是3，∴1=9x -，∴=10x ，∵24x y ++的立方根是3，∴24=27x y ++，即204=27y ++∴3y =，∴2320911x y -=-=．【点睛】本题考查算术平方根和立方根．熟练掌握算术平方根与立方根的意义是解题的关键．26．（1）3 3；（2）25；（3）()8x y --=．【分析】（1）由34可得答案；（2）由2＜3知12＜＜13，可求出a ，b 的值，据此求解可得；（3）得出243<-<，即可得出x ，y ，从而得出结论． 【详解】解：（1）∵9＜13＜16∴34， ∴3；故答案为：3．（2）∵4＜7＜9，∴2＜3∴12＜＜13∴a=12，b=13∴a+b=12+13=25，故答案为：25；（3<<67<<所以64474-<<-即243<-<4的整数部分为2，即2x =，426y =-=()26x y x y --=-+=-+=8=【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是熟记估算无理数的大小．。
上海求真中学七年级数学下册第二单元《实数》检测题(含答案解析)
一、选择题1．在实数：20192020，π，9，3，2π，38，0.36，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1），52-，49中，无理数的个数为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7 2．－18的平方的立方根是（ ） A ．4 B ．14 C ．18 D ．1643．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，那么化简33a b a b ++-+的结果为（ ）A ．2a -B ．22b a -C ．0D ．2b4．如图，数轴上表示实数5的点可能是（ ）A ．点PB ．点QC ．点RD ．点S5．在 1.4144-，2-，227，3π，23-，0.3•，2.121112*********...中，无理数的个数（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．数轴上表示下列各数的点，能落在A ，B 两个点之间的是（ ）A ．3B 7C 11D 137．81的平方根是（ ）A ．9B ．-9C ．9和9-D ．818．下列命题中真命题的个数（ ）①无理数包括正无理数、零和负无理数；②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③和为180°的两个角互为邻补角；49的算术平方根是7；⑤有理数和数轴上的点一一对应；⑥垂直于同一条直线的两条直线互相平行．A ．4B ．3C ．2D ．19．我们定义新运算如下：当m n ≥时，m 22n m n =-；当m n <时，m 3n m n =-．若5x =，则(3-)(6x -)x 的值为（ ） A ．-27B ．-47C ．-58D ．-68 10．设,A B 均为实数，且33,3A m B m =-=-，则,A B 的大小关系是（ ） A ．A B > B ．A B =C ．A B <D ．A B ≥ 11．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n （n 是整数，且n ≥3）行从左向右数第（n ﹣2）个数是（ ）（用含n 的代数式表示）A ．21n -B ．22n -C ．23n -D ．24n - 12．按照下图所示的操作步骤，若输出y 的值为22，则输入的值x 为（ ）A ．3B ．-3C ．±3D ．±9二、填空题13．111111133557792017201920192021++++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 14．计算：3612516-+-+=____．15．计算：2(3.14)|2|ππ---=________．16．若则2|1|2(3)0a b c -+++-=，()c a b +=______．17．在实数的原有运算法则中，我们补充新运算法则“*”如下：当a≥b 时，a*b=b 2，当a<b 时，a*b=a ，则当x=2时，()()1*-3*=x x x ______18．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B ，点A 表示2-，设点B 所表示的数为m ．（1）求11m m ++-的值；（2）在数轴上还有C 、D 两点分别表示实数c 和d ，且有2c d +4d +数，求23c d -的平方根．19．9的平方根是_____，－27的立方根是______，216的算术平方根是_________． 20．对于有理数x 、y ，当x ≥y 时，规定x ※y =y x ；而当x <y 时，规定x ※y =y -x ，那么4※（-2）=_______；如果[（-1）※1]※m=36，则m 的值为______．三、解答题21．把下列各数在数轴上表示出来，并把它们按从小到大的顺序用“＜”连接：1.5-0，4-22．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果a x ＝N （a ＞0，且a ≠1），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x ＝log a N ，例如：32＝9，则log 39＝2，其中a ＝10的对数叫做常用对数，此时log 10N 可记为lgN ．当a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0时，log a （M •N ）＝log a M ＋log a N ．（1）解方程：log x 4＝2；（2）求值：log 48；（3）计算：（lg 2）2＋lg 2•1g 5＋1g 5﹣201823．求下列各式中x 的值（1）()328x -=（2）21(3)753x -=24．已知a 是b 的小数部分，求代数式(1b a --的平方根． 25．把下列各数填在相应的横线上1.4，2020，，32-，0.31，0π-，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）（1）整数：______（2）分数：______（3）无理数：______26．设2+x 、y ，试求x 、y 的值与1x -的立方根．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：20192020，52-2332，是整数，属于有理数；0.36是有限小数，属于有理数；无理数有：π2π，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1）共4个．故选：A ．【点睛】本题考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．B解析：B【分析】先根据题意列出代数式，然后再进行计算即可．【详解】14==． 故答案为B ．【点睛】本题考查了平方和立方根，弄清题意、根据题意列出代数式是解答本题的关键． 3．A解析：A【分析】先根据数轴上点的坐标特点确定a ，b 的符号，再去绝对值符号和开立方根，化简即可．【详解】由图可知：0a b <<， 且a b >，∴0a b +<，0a ->，原式()()a b a b =-++-+a b a b =---+2a =-．故选：A ．【点睛】考查了数轴，解答此题时可以发现借助数轴用几何方法化简含有绝对值的式子，比较有关数的大小有直观、简捷，举重若轻的优势．4．B解析：B【分析】【详解】 ∵23<<，∴Q ．故选：B ．【点睛】5．D解析：D【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【详解】1.4144-，有限小数，是有理数，不是无理数；227，分数，是有理数，不是无理数； 0.3•，无限循环小数，是有理数，不是无理数；， 3π，2-， 2.121112*********...是无理数，共4个， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了无理数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．6．B解析：B【分析】首先确定A ，B 对应的数，再分别估算四个选项的数值进行判断即可．【详解】解：由数轴得，A 点对应的数是1，B 点对应的数是3，A.-2＜＜-1，不符合题意；B.2＜3，符合题意；C 、34，不符合题意；D. 34，不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了对无理数的估算．7．C解析：C【分析】根据平方根的定义即可求出答案．【详解】解：2(9)81±=， 81的平方根是9±．故选：C【点睛】本题考查平方根的定义，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型． 8．D解析：D【分析】根据无理数、平行公理、邻补角、算术平方根、实数与数轴、平行线的判定逐个判断即可得．【详解】①无理数包括正无理数和负无理数，此命题是假命题；②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，此命题是真命题；③和为180︒的两个角不一定互为邻补角，此命题是假命题； ④497=的算术平方根是7，此命题是假命题；⑤实数和数轴上的点一一对应，此命题是假命题；⑥在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，此命题是假命题； 综上，真命题的个数是1个，故选：D ．【点睛】本题考查了无理数、平行公理、邻补角、实数与数轴等知识点，熟练掌握各定义与公理是解题关键．9．C解析：C【分析】根据新定义法则判断35-<，65≥，根据新定义内容分别代入计算即可． 【详解】当5x =时，∵35-<，∴3- 5=()33527532--=--=-， ∵65≥，∴625625361026=-⨯=-=，则(3-)(6x -)x =322658--=-．故选：C ．【点睛】本题考查新定义运算，掌握新定义运算技巧，理解题意为解题关键．10．D解析：D【分析】根据算术平方根的定义得出A是一个非负数，且m-3≥0，推出3-m≤0，得出B≤0，即可得出答案，【详解】解：∵A=∴A是一个非负数，且m-3≥0，∴m≥3，∵B=∵3-m≤0，即B≤0，∴A≥B，故选：D．【点睛】本题考查了算术平方根的定义，平方根和立方根，实数的大小比较等知识点，题目比较好，但有一定的难度．11．B解析：B【分析】观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n-1行的数据的个数，再加上n-2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可．【详解】解：前（n﹣1）行的数据的个数为2+4+6+…+2（n﹣1）=n（n﹣1），所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣2=n2﹣2，所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2．故选：B．【点睛】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（n-1）行的数据的个数是解题的关键．12．C解析：C【分析】根据操作步骤列出方程，然后根据平方根的定义计算即可得解.【详解】由题意得：23522x -=，∴29x =，∵2(39)±=，∴3x =±，故选：C.【点睛】此题考查平方根的定义，求一个数的平方根，利用平方根的定义解方程，正确理解计算的操作步骤得到方程是解题的关键.二、填空题13．【分析】利用裂项法计算即可【详解】原式【点睛】本题考查了利用裂项法进行分数的加法计算熟练掌握裂项法是解题的关键 解析：10102021【分析】利用裂项法计算即可．【详解】 原式1111111233520192021⎛⎫=⨯-+-+⋯+- ⎪⎝⎭ 11122021⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ 1202022021=⨯ 10102021=． 【点睛】 本题考查了利用裂项法进行分数的加法计算，熟练掌握裂项法是解题的关键． 14．5【分析】先化简绝对值求立方根和算术平方根再加减即可【详解】解：==5故答案为：5【点睛】本题考查了绝对值立方根算术平方根的运算准确运用法则是解题关键解析：5【分析】先化简绝对值、求立方根和算术平方根，再加减即可．【详解】解：6-，=6(5)4+-+，=5，故答案为：5．【点睛】本题考查了绝对值、立方根、算术平方根的运算，准确运用法则是解题关键． 15．【分析】先计算算术平方根化简绝对值再计算实数的加减法即可得【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查了算术平方根绝对值实数的加减运算熟练掌握各运算法则是解题关键解析： 1.14-【分析】先计算算术平方根、化简绝对值，再计算实数的加减法即可得．【详解】原式()3.142ππ=---，3.142ππ=--+，1.14=-，故答案为： 1.14-．【点睛】本题考查了算术平方根、绝对值、实数的加减运算，熟练掌握各运算法则是解题关键． 16．-1【分析】先根据绝对值算术平方根偶次方的非负性求出abc 的值再代入即可得【详解】解：∵∴a-1=0b+2=0c-3=0∴a=1b=-2c=3∴【点睛】本题考查了绝对值算术平方根偶次方的非负性的应用解析：-1【分析】先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出a 、b 、c 的值，再代入即可得．【详解】解：∵2|1|(3)0a c --=，∴a-1=0，b+2=0，c-3=0，∴a=1，b=-2，c=3，∴()3()12=1c a b +=--． 【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根、偶次方的非负性的应用等知识点，熟练掌握绝对值、算术平方根、偶次方的非负性是解题关键．17．【分析】根据题中所给的运算法则进行求解即可；【详解】∵当a≥b 时a*b=当a ＜b 时a*b=a ∴当x=时1*=13*=2∴(1*)-(3*)=故答案为：【点睛】本题是新定义的问题解决此类问题的关键是按2【分析】根据题中所给的运算法则进行求解即可；【详解】∵当a≥b 时，a*b=2b ，当a ＜b 时，a*b=a∴ 当=1，=2，∴) 2，2．【点睛】本题是新定义的问题，解决此类问题的关键是按题中的规定去运算即可；18．（1）2；（2）±4【分析】（1）先求出m ＝2进而化简|m ＋1|＋|m−1|即可；（2）根据相反数和非负数的意义列方程求出cd 的值进而求出2c−3d 的值再求出2c−3d 的平方根【详解】（1）由题意得解析：（1）2；（2）±4【分析】（1）先求出m ＝2，进而化简|m ＋1|＋|m−1|，即可；（2）根据相反数和非负数的意义，列方程求出c 、d 的值，进而求出2c−3d 的值，再求出2c−3d 的平方根．【详解】（1）由题意得：m ＝2，则m ＋1＞0，m−1＜0，∴|m ＋1|＋|m−1|＝m ＋1＋1−m ＝2；（2）∵2c d + ∴2c d +，∴|2c ＋d|＝00，解得：c ＝2，d ＝−4，∴2c−3d ＝16，∴2c−3d 的平方根为±4．【点睛】本题主要考查数轴、相反数的定义，求绝对值，掌握求绝对值的法则以及绝对值与算术平方根的非负性，是解题的关键．19．【分析】根据平方根立方根算术平方根的定义求出每个的值再根据结果判断即可【详解】9的平方根是－27的立方根是∵∴的算术平方根是故答案为：【点睛】本题考查了对平方根立方根算术平方根的定义的应用关键是根据 解析：3± 3- 4【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义求出每个的值，再根据结果判断即可．【详解】9的平方根是3±，－27的立方根是3-，∵216=，∴2的算术平方根是4．故答案为：3±，3-，4．【点睛】本题考查了对平方根、立方根、算术平方根的定义的应用，关键是根据平方根、立方根、算术平方根的定义求出每个的值解答．20．或【分析】根据新定义规定的式子将数值代入再计算即可；先根据新定义的式子将数值代入分情况讨论列方程求解即可【详解】解：4※（-2）=；（-1）※1=（-1）※1※m=2※m=36当时原式可化为解得：；解析：6m =-或38m =．【分析】根据新定义规定的式子将数值代入再计算即可；先根据新定义的式子将数值代入分情况讨论列方程求解即可．【详解】解：42>-∴4※（-2）=()42=16-；11-<∴（-1）※1=()11=2--∴[（-1）※1]※m=2※m=36当2m ≥时，原式可化为236m =解得：6m =±6m ∴=-；当2m <时，原式可化为：236m -=解得：38m =；综上所述，m 的值为：6m =-或38m =；故答案为：16；6m =-或38m =．【点睛】本题考查了新定义的运算，读懂新定义的式子，将值正确代入是解题的关键．三、解答题21．数轴见解析， 1.5-＜0＜4-．【分析】根据用数轴表示数的方法，在数轴上先表示出各数，再由“数轴上右边的数总比左边的数大”把这些数用“＜”连接即可．【详解】解：在数轴上表示各数如图：∴13 1.5-＜0384-．【点睛】本题主要考查了实数的大小比较的方法，掌握利用数轴比较实数的大小是解题的关键． 22．（1）x =2；（2）32；（3）-2017 【分析】(I )根据对数的定义，得出x 2=4，求解即可；(Ⅱ)根据对数的定义求解即可；(Ⅲ)根据log a (M •N )=log a M +log a N 求解即可．【详解】解：(I )解：∵log x 4=2，∴x 2=4,∴x =2或x =-2(舍去)（II ）解法一：log 48＝log 4（4×2）＝log 44＋log 42＝1＋12＝32； 解法二：设log 48＝x ，则4x ＝8，∴22x ＝32，∴2x ＝3，x ＝32， 即log 48＝32； (Ⅲ)解：(lg 2)2+lg 2•1g 5+1g 5﹣2018= lg 2•( lg 2+1g 5) +1g 5﹣2018= lg 2 +1g 5﹣2018=1-2018=-2017故答案为-2017.【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，有理数的乘方，是一道关于新定义运算的题目，解答本题的关键是理解给出的对数的定义和运算法则．23．（1）4x =；（2）18x =或12x =-．【分析】（1）利用立方根的定义得到22x -=，然后解一次方程即可；（2）先变形为()23225x -=，然后利用平方根的定义得到x 的值．【详解】（1）∵()328x -=，∴22x -=，∴4x =；（2）21(3)753x -=，整理得：()23225x -=，∴315x -=或315x -=-，∴18x =或12x =-．【点睛】本题考查了解一元一次方程，平方根和立方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 24．3±．【分析】根据223104<<可得34<<的整数部分是3，小数部分是3，即可求解．【详解】解：∵223104<<， ∴34<<， ∴3，则3a =3，则3b =，∴(()1312339a b ---=-=-=， ∴9的平方根为3±．【点睛】本题考查实数的估算、实数的运算、平方根的定义，掌握实数估算的方法是解题的关键．25．（1）2020，02）1.4，32-，0.31；（3），π-，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）【分析】根据实数的分类进行填空即可．【详解】，（1）整数：2020，0（2）分数：1.4，32-，0.31（3）无理数：π-，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）故答案为：2020，0 1.4，32-，0.31；π-，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）【点睛】本题考查了实数的分类，掌握实数的分类是解题的关键．26．4x =，2y =，1x -． 【分析】根据无理数的估算、立方根的定义即可得．【详解】因为469<<，所以23<<，所以22223+<++，即425<+，所以24，小数部分是242+=，即4x =，2y =，== 【点睛】本题考查了无理数的估算、立方根，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．。
上海市西初级中学七年级数学下册第二单元《实数》检测题(答案解析)
一、选择题1．下列各式计算正确的是（ ）A ．31-=-1B ．38= ±2C ．4= ±2D ．±9=3 2．若15的整数部分为a ，小数部分为b ，则a-b 的值为（）A ．615-B ．156-C ．815-D ．158-3．在0、3、0.536、39、227-、π、-0.1616616661……（它的位数无限，相邻两个“1”之间“6”的个数依次增加1个）这些数中，无理数的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．下列说法正确的是（ ） A ．2-是4-的平方根B ．2是()22-的算术平方根 C ．()22-的平方根是2 D ．8的平方根是4 5．如图，数轴上表示实数5的点可能是（ ）A ．点PB ．点QC ．点RD ．点S 6．81的算术平方根是（ ）A ．3B ．﹣3C ．±3D ．6 7．定义运算：132x y xy y =-※，若211a =-※，则a 的值为（ ） A ．12- B ．12C ．2-D ．2 8．数轴上有O 、A 、B 、C 四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数线上有一点D ，D 点所表示的数为d ，且|d ﹣5|＝|d ﹣c |，则关于D 点的位置，下列叙述正确的是？（ ）A ．在A 的左边B ．介于O 、B 之间C ．介于C 、O 之间D ．介于A 、C 之间9．已知n 是正整数，并且n -1＜326+＜n ，则n 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1010． 5.713457.134，则571.34的平方根约为（ ） A ．239.03 B ．±75.587 C ．23.903 D ．±23.903 11．如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若0n q +=，则m ，n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的一个是（ ）A ．pB ．qC ．mD ．n12．下列各数中，属于无理数的是（ ）A ．227B ．3.1415926C ．2.010010001D ．π3- 二、填空题13．计算：（1）132322⎛⎫⨯-⨯- ⎪⎝⎭（2）2291|121232⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭ 14．求下列各式中x 的值．（1）4（x ﹣3）2＝9；（2）（x +10）3+125＝0．15．小明定义了一种新的运算，取名为⊗运算，按这种运算进行运算的算式举例如下：①（+4）⊗（+2）＝+6；②（﹣4）⊗（﹣3）＝+7；③（﹣5）⊗（+3）＝﹣8；④（+6）⊗（﹣4）＝﹣10；⑤（+8）⊗0＝8；⑥0⊗（﹣9）＝9．问题：（1）请归纳⊗运算的运算法则：两数进行⊗运算时， ；特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算， ．（2）计算：[（﹣2）⊗（+3）]⊗[（﹣12）⊗0]； （3）我们都知道乘法有结合律，这种运算律在有理数的⊗运算中还适用吗？请判断是否适用，并举例验证．16．求下列各式中x 的值：（1）()214x -=；（2）3381x =-．17．解方程：（1）24(1)90--=x（2）31(1)7x +-=- 18．已知甲数是719的平方根，乙数是338的立方根，则甲、乙两个数的积是__． 19．若x ﹣1与2x ﹣3是数A 的两个平方根，则A ＝_______． 20．已知223y x x =--，则y x 的平方根是____．三、解答题21．计算：2(3)216--22．3189124- 23．定义一种新运算；观察下列各式；131437=⨯+=()3134111-=⨯-=5454424=⨯+= ()4344313-=⨯-=（1）请你想一想：a b = ；（2）若a b ，那么a b b a （填“=”或“≠” ）；（3）先化简，再求值：()()2a b a b -+，其中1a =-，2b =．24．计算： （1）36 1.754⎛⎫--+ ⎪⎝⎭； （2）()()232524-⨯--÷；（3）()225--．25．对于结论：当a +b ＝0时，a 3+b 3＝0也成立．若将a 看成a 3的立方根，b 看成是b 3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”．（1）试举一个例子来判断上述结论的猜测是否成立？（21-的值． 26．（1）小明解方程2x 1x a 332-+=-去分母时，方程右边的−3忘记乘6，因而求出的解为x=2，则原方程正确的解为多少？（2）设x ，y 是有理数，且x ，y 满足等式2x 2y 17++=-x-y 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据平方根和立方根分别对四个选项进行计算即可．【详解】解：∵-1= 2= 2，，故只有A 计算正确；故选:A ．【点睛】本题考查的是平方根、算术平方根和立方根，计算的时候需要注意审题是求平方根还是算术平方根．2．A解析：A【分析】先根据无理数的估算求出a、b的值，由此即可得．【详解】91516<<，<<34<<，3,3a b∴==，)336a b∴-=-=，故选：A．【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．3．B解析：B【分析】根据无理数的定义逐一判断即可．【详解】解：0、0.536、227-是有理数，π，0.1616616661-（它的位数无限，相邻两个“1”之间“6”的个数依次增加1个）是无理数，故选：B．【点睛】本题考查无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键．4．B解析：B【分析】根据平方根、算术平方根，即可解答．【详解】A选项：4-没有平方根，故A错误；B选项：()224-=，4的算术平方根为2，故B正确；C选项：()224-=，4的平方根为2±，故C错误；D选项：8的平方根为±，故D错误故选B．本题考查了平方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根的概念． 5．B解析：B【分析】【详解】 ∵23<<，∴Q ．故选：B ．【点睛】6．A解析：A【分析】9，再利用算术平方根的定义求出答案.【详解】 ∵9，∴3，故选：A .【点睛】. 7．C解析：C【分析】根据新定义的运算得到关于a 的方程，求解即可．【详解】解：因为211a =-※， 所以132112a a ⨯-=-， 解得 2a =-．故选：C【点睛】本题考查了新定义的运算与一元一次方程，根据新定义运算得到一元一次方程是解题关键．8．B解析：B借助O、A、B、C的位置以及绝对值的定义解答即可．【详解】解：-5＜c<0，b=5，|d﹣5|＝|d﹣c|∴BD=CD，∴D点介于O、B之间．故答案为B．【点睛】本题考查了实数、绝对值和数轴等相关知识，掌握实数和数轴上的点一一对应是解答本题的关键．9．C解析：C【分析】根据实数的大小关系比较，得到5＜6，从而得到n的值．【详解】解：∵＜5＜6，∴8＜＜9，∴n=9．故选：C．【点睛】10．D解析：D【分析】根据被开方数小数点向右移动两位，其算术平方根向右移动一位及平方根的定义求解即可．【详解】解：∵，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查算术平方根与平方根，解题的关键是掌握被开方数小数点向右移动两位，其算术平方根向右移动一位和平方根的定义．11．A解析：A【分析】根据题意可判断0在线段NQ 的中点处，再根据绝对值的意义即可进行判断．【详解】解：因为0n q +=，所以n 、q 互为相反数，0在线段NQ 的中点处，所以点P 距离原点的距离最远，即m ，n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的一个是p ． 故选：A ．【点睛】本题考查了实数与数轴以及线段的中点，正确理解题意、确定数轴上原点的位置是解题关键．12．D解析：D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：A 、227是有理数，故选项A 不符合题意； B 、3.1415926是有理数，故选项B 不符合题意；C 、2.010010001是有理数，故选项C 不符合题意；D 、π3-是无理数，故选项D 题意； 故选：D ．【点睛】 此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．二、填空题13．（1）；（2）-7+【分析】（1）直接利用有理数混合运算法则计算得出答案；（2）原式先计算乘方再计算乘法运算进而算加减运算即可求出值【详解】（1）原式=6-3×=6-=；（2）原式＝-1+-1-×=解析：（1）32；（2）． 【分析】（1）直接利用有理数混合运算法则计算得出答案；（2）原式先计算乘方，再计算乘法运算，进而算加减运算即可求出值．【详解】（1）原式=6-3×32=6-92=32；（2）原式＝-1-23×152．【点睛】本题主要考查了有理数和实数的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．14．（1）x＝或；（2）x＝﹣15【分析】（1）利用平方根解方程即可；（2）利用立方根解方程即可【详解】解：（1）4（x﹣3）2＝9（x﹣3）2＝x﹣3＝x ﹣3＝或x﹣3＝解得：x＝或；（2）（x+10解析：（1）x＝92或32；（2）x＝﹣15【分析】（1）利用平方根解方程即可；（2）利用立方根解方程即可．【详解】解：（1）4（x﹣3）2＝9，（x﹣3）2＝94，x﹣3＝32±，x﹣3＝32或x﹣3＝32-，解得：x＝92或32；（2）（x+10）3+125＝0，（x+10）3＝﹣125，x+10x+10＝﹣5，解得x＝﹣15．【点睛】本题主要考查利用平方根解方程、利用立方根解方程，熟练掌握解方程的方法和步骤是解答的关键，注意平方根有两个．15．（1）同号得正异号得负并把绝对值相加；都得这个数的绝对值；（2）﹣17；（3）适用举例验证见解析【分析】（1）根据示例得出两数进行⊗运算时同号得正异号得负并把绝对值相加特别地0和任何数进行⊗运算或任解析：（1）同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值；（2）﹣17；（3）适用，举例验证见解析【分析】（1）根据示例得出，两数进行⊗运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算，都得这个数的绝对值；（2）根据⊗运算的运算法则进行计算即可；（3）举例即可做出结论．【详解】解：（1）根据示例得出，两数进行⊗运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加； 特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算，都得这个数的绝对值． 故答案为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值；（2）[（﹣2）⊗（+3）]⊗[（﹣12）⊗0]＝（﹣5）⊗（+12）＝﹣17；（3）结合律仍然适用．例如[（﹣3）⊗（﹣5）]⊗（+4）＝（+8）⊗（+4）＝+12，（﹣3）⊗[（﹣5）⊗（+4）]＝（﹣3）⊗（﹣9）＝+12，所以[（﹣3）⊗（﹣5）]⊗（+4）＝12＝（﹣3）⊗[（﹣5）⊗（+4）．故结合律仍然适用．【点睛】本题考查了新定义下的有理数的加减运算，正确理解新定义运算法则是解题的关键． 16．（1）x=3或x=-1；（2）x=-3【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用立方根的定义求解即可【详解】（1）直接开平方得：解得：（2）两边同时除以3得：开立方得：【点睛】本题考查了平方解析：（1）x=3或x=-1；（2）x=-3．【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用立方根的定义求解即可．【详解】（1）()214x -=直接开平方得：12x -=±，解得：13x =，21x =-（2）3381x =-两边同时除以3得：327x =-，开立方得：3x =-．【点睛】本题考查了平方根和立方根的性质，解题的关键是利用平方根和立方根的性质求解方程． 17．（1）；（2）x ＝﹣1【分析】（1）方程整理后利用平方根性质计算即可求出解；（2）方程整理后利用立方根性质计算即可求出解【详解】解：（1）方程整理得：开方得：解得；（2）方程整理得：（x ﹣1）3＝﹣解析：（1）152x =，212x =-；（2）x ＝﹣1． 【分析】 （1）方程整理后，利用平方根性质计算即可求出解；（2）方程整理后，利用立方根性质计算即可求出解．【详解】解：（1）24(1)90--=x 方程整理得：2(1)9=4x -， 开方得：321=x -±解得，152x =，212x =-； （2）31(1)7x +-=-方程整理得：（x ﹣1）3＝﹣8，开立方得：x ﹣1＝﹣2，解得：x ＝﹣1．【点睛】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．18．【分析】分别根据平方根立方根的定义可以求出甲数乙数进而即可求得题目结果【详解】甲数是的平方根甲数等于；乙数是的立方根乙数等于∵甲乙两个数的积是故答案：【点睛】此题主要考查了立方根平方根的定义解题的关 解析：2±．【分析】分别根据平方根、立方根的定义可以求出甲数、乙数，进而即可求得题目结果．【详解】 甲数是719的平方根 ∴甲数等于43±； 乙数是338的立方根， ∴乙数等于32． ∵43=232⨯ ∴甲、乙两个数的积是2±．故答案：2±．【点睛】此题主要考查了立方根、平方根的定义，解题的关键是根据平方根和立方根的定义求出甲数和乙数．19．【分析】根据平方根的性质和意义可以得到解答【详解】解：由题意得：x ﹣1+2x ﹣3=0解之得：x=∴x-1=∴A=故答案为【点睛】本题考查平方根的应用熟练掌握平方根的性质和意义并灵活运用是解题关键 解析：19【分析】根据平方根的性质和意义可以得到解答．【详解】解：由题意得：x ﹣1+2x ﹣3=0，解之得：x=43， ∴x-1=41133-=， ∴A=21139⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故答案为19． 【点睛】 本题考查平方根的应用，熟练掌握平方根的性质和意义并灵活运用是解题关键． 20．±3【分析】根据二次根式的非负性和平方根的定义即可求出【详解】∵二次根式的被开方数是非负数∴且∴∴y=3∴yx=32=9∴yx 的平方根是±3故答案是：±3【点睛】本题主要考查了二次根式非负性和平方根解析：±3【分析】根据二次根式的非负性和平方根的定义即可求出．【详解】∵二次根式的被开方数是非负数∴20x -≥且20x -≥∴=2x∴y=3∴y x =32=9∴y x 的平方根是±3故答案是：±3．【点睛】本题主要考查了二次根式非负性和平方根知识点，准确理解记住它们的基本性质是解题关键．三、解答题21．1【分析】先计算乘方、算术平方根，然后计算乘法和减法，即可得到答案．【详解】解：2(3)2--924=-⨯98=-1=．【点睛】本题考查了算术平方根、乘方、有理数的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则进行计算．22．1+【分析】先根据开方的意义，绝对值的意义进行化简，最后计算即可求解．【详解】解：原式123122=-+++⨯1=+ 【点睛】本题考查了实数的混合运算，理解开方的意义，能正确去绝对值是解题关键． 23．（1）4a+b ；（2）≠；（3）6a-3b ，-12【分析】（1）观察得到新运算等于第一个数乘以4，加上第二个数，据此列式即可； （2）根据新运算分别计算出a b 与b a 即可得到答案； （3）根据新运算分别化简再将a 、b 的值代入计算． 【详解】（1）ab =4a+b ， 故答案为：4a+b ； （2）a b =4a+b ，b a =4b+a ， ∵a b ， ∴a b ≠b a ，故答案为：≠；（3）()()2a b a b -+ =4（a-b ）+（2a+b ）=4a-4b+2a+b=6a-3b ，当1a =-，2b =时，原式=-6-6=-12．此题考查新定义运算，整式的加减混合运算，正确理解新定义的运算规律并解决问题是解题的关键．24．（1）182；（2）22；（3 【分析】（1）先去括号，同时将小数化为分数，再计算加减法；（2）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法；（3）先计算乘方和绝对值，再计算加减法.【详解】 （1）36 1.754⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=336144++ =182； （2）()()232524-⨯--÷=()4584⨯--÷=20+2=22；（3）()225--=4-（）=【点睛】此题考查运算能力，掌握有理数的加减法计算法则，乘方的计算法则，实数的绝对值化简，有理数的混合运算法则是解题的关键.25．（1）见解析；（2）13-=-【分析】（10=，则2与﹣2互为相反数进行说明.（2）利用（1）的结论，列出方程（3﹣2x ）+（x +5）＝0，从而解出x 的值，代入可得出答案．【详解】解：（10=，则2与﹣2互为相反数；（2）由已知，得（3﹣2x ）+（x +5）＝0，解得x ＝8，∴1=1=1﹣4＝﹣3．本题考查立方根的知识，难度一般，注意一个数的立方根有一个，它和这个数正负一致，本题的结论同学们可以记住，以后可直接运用．26．（1）x＝−13；（2）（2）x-y的值为9或-1.【分析】（1）将错就错把x＝2代入计算求出a的值，即可确定出正确的解；（2）根据题意可以求得x、y的值，从而可以求得x−y的值．【详解】（1）把x＝2代入2（2x−1）＝3（x＋a）−3中得：6＝6＋3a−3，解得：a＝1，代入方程得：2x1x13 32-+=-，去分母得：4x−2＝3x＋3−18，解得：x＝−13；（2）∵x、y 是有理数，且 x，y 满足等式2x2y17++=-∴22174x yy⎧+=⎨=-⎩，解得，54xy=⎧⎨=-⎩或54xy=-⎧⎨=-⎩，∴当x＝5，y＝−4时，x−y＝5−（−4）＝9，当x＝−5，y＝−4时，原式＝−5−（−4）＝−1．故x-y的值为9或-1.【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．也考查了实数．。
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一、选择题1．下列各组数中，互为相反数的是（ ）A ．2-与2B ．2-与12-C ．()23-与23-D ．38-与38- 2．下列说法中错误的有（ ）①实数和数轴上的点是一一对应的；②负数没有立方根；③算术平方根和立方根均等于其本身的数只有0；④49的平方根是7±，用式子表示是497=±．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 3．如图，在数轴上表示1,3的对应点分别为A B 、，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的数为（ ）A ．31-B ．13-C ．23-D ．32- 4．下列说法正确的是（ ）A ．2的平方根是2B ．（﹣4）2的算术平方根是4C ．近似数35万精确到个位D ．无理数21的整数部分是55．数轴上表示下列各数的点，能落在A ，B 两个点之间的是（ ）A ．3B 7C 11D 136．下列实数是无理数的是（ ）A ． 5.1-B ．0C ．1D ．π 7．30.31，3π，27-912-38 1.212212221…(每两个1之间依次多一个2)中，无理数的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4 8．下列各数中，属于无理数的是（ ）A ．227B ．3.1415926C ．2.010010001D ．π3- 9．若将2-，7，11分别表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）A ．2-B 7C 11D ．无法确定 10．在0，3π5227，9 6.1010010001…（相邻两个1之间0的个数在递增）中，无理数有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．已知|x |＝2，y 2＝9，且xy ＜0，则x +y 的值为（ ）A ．1或﹣1B ．-5或5C ．11或7D ．-11或﹣7 12．下列各组数中都是无理数的为（ ）A ．0.07，23，π；B ．0.7•，π2；C 26，π；D ．0.1010101……101，π3二、填空题13．计算（1）121|24|234⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭ （2）1110623⎛⎫÷-⨯⎪⎝⎭ （3）41(1)(54)3⎛⎫---÷- ⎪⎝⎭（42231131227-+-14．已知1,25x a y a =-=-．（1）已知x 的算术平方根为3，求a 的值；（2）如果x y ，都是同一个数的平方根，求这个数．15．若()22210b a b -++-=，求()2020a b +的值．16．对于有理数,a b ，我们规定*a b b ab =-（1）求(2)*1-的值．（2）若有理数x 满足(2)*36x -=，求x 的值．17．计算：（1）﹣12327-﹣（﹣2）9（2331）＋32|18．计算：（12)-+（219．比较大小：12___________1220．-64的立方根是____，9的平方根是_____，16的算术平方根是__________．三、解答题21．计算：（12)-+（222．对于结论：当a +b ＝0时，a 3+b 3＝0也成立．若将a 看成a 3的立方根，b 看成是b 3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”．（1）试举一个例子来判断上述结论的猜测是否成立？（21-的值．23．已知2x +1的算术平方根是0=4，z 是﹣27的立方根，求2x +y +z 的平方根． 24．求下列x 的值．（1） 27x 3＝－8 （2） （3x －1）2＝925．解方程：（1）24(1)90--=x（2）31(1)7x +-=-26．对于有理数,a b ，我们规定*a b b ab =-（1）求(2)*1-的值．（2）若有理数x 满足(2)*36x -=，求x 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据绝对值运算、有理数的乘方运算、立方根、相反数的定义逐项判断即可得．【详解】A 、=不是相反数，此项不符题意；B 、2-与12-不是相反数，此项不符题意；C 、()223399,--=-=，则()23-与23-互为相反数，此项符合题意；D 2,2=-=-故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值运算、有理数的乘方运算、立方根、相反数的定义，熟记各运算法则和定义是解题关键． 2．D解析：D【分析】利用实数和数轴的关系，算术平方根，立方根及平方根定义判断即可．【详解】①实数和数轴上的点是一一对应的，正确；②负数有立方根，错误；③算术平方根和立方根均等于其本身的数有0和1，错误；④49的平方根是7±7=，错误．综上，错误的个数有3个．故选：D ．【点睛】本题考查了实数和数轴，平方根，算术平方根及立方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．C解析：C【分析】首先根据表示1A 、点B 可以求出线段AB 的长度，然后根据点B 和点C 关于点A 对称，求出AC 的长度，最后可以计算出点C 的坐标．【详解】解：∵表示1A 、点B ，∴AB−1，∵点B 关于点A 的对称点为点C ，∴CA ＝AB ，∴点C 的坐标为：1−1）＝故选：C ．【点睛】本题考查的知识点为实数与数轴，解决本题的关键是求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离． 4．B解析：B【分析】根据平方根的定义，算术平方根的定义，近似数的定义及无理数的估算方法分别计算可判定求解．【详解】解：A.2的平方根是，故错误；B．（﹣4）2的算术平方根是4，故正确；C．近似数35万精确到万位，故错误；D．∵4＜5，∴4，故错误．故选：B．【点睛】本题考查了平方根，算术平方根，近似数，无理数，掌握相关概念及性质是解题的关键．5．B解析：B【分析】首先确定A，B对应的数，再分别估算四个选项的数值进行判断即可．【详解】解：由数轴得，A点对应的数是1，B点对应的数是3，A.-2＜＜-1，不符合题意；B.2＜3，符合题意；C、34，不符合题意；D. 34，不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了对无理数的估算．6．D解析：D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】-是分数，是有理数，故选项不符合题意；解：A、 5.1B、0是整数，是有理数，故选项不符合题意；C、1是整数，是有理数，故选项不符合题意；D、π是无理数，故选项符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．7．C解析：C【分析】无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，据此逐一判断即可得．【详解】解∵3=2=，∴在所列的83π，1.212 212 221…（每两个1之间依次多一个2）这3个，故选：C ．【点睛】 本题主要考查的是无理数的概念，熟练掌握无理数的三种类型是解题的关键．8．D解析：D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：A 、227是有理数，故选项A 不符合题意； B 、3.1415926是有理数，故选项B 不符合题意；C 、2.010010001是有理数，故选项C 不符合题意；D 、π3-是无理数，故选项D 题意； 故选：D ．【点睛】 此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．9．B解析：B【分析】首先利用估算的方法分别得到间），从而可判断出被覆盖的数．【详解】∵221，23<<，34<<而墨迹覆盖的范围是1-3∴故选B.【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力．10．C解析：C【分析】先计算算术平方根，再根据无理数的定义即可得． 【详解】22 3.1428577=小数点后142857是无限循环的，则227是有理数，3=-，则因此，题中的无理数有3π 6.1010010001（相邻两个1之间0的个数在递增），共有3个，故选：C ．【点睛】本题考查了无理数、算术平方根，熟记无理数的定义是解题关键．11．A解析：A【分析】根据题意，利用平方根定义，绝对值的代数意义，以及有理数的乘法法则判断确定出x 与y 的值即可．【详解】解：∵|x |＝2，y 2＝9，且xy ＜0，∴x=2或-2，y=3或-3，当x=2，y=-3时，x+y=2-3=-1；当x=-2，y=3时，原式=-2+3=1，故选：A ．【点睛】此题考查了有理数的乘方，绝对值，以及有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．C解析：C【分析】根据无理数的定义，依次判断即可．【详解】解：A. 0.07，23是有理数，故该选项错误； B ．0.7 是有理数，故该选项错误；C ，π都是无理数，故该选项正确；D ．0.1010101……101是有理数，故该选项错误．故选：C ．【点睛】本题主要考查了无理数的定义．其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．二、填空题13．（1）-2；（2）360；（3）4；（4）【分析】（1）先去括号和绝对值再进行混合运算即可（2）先将括号内通分运算再将除法改为乘法最后计算即可（3）先去括号再将除法改为乘法最后计算即可（4）分别计算解析：（1）-2；（2）360；（3）4；（4）143． 【分析】（1）先去括号和绝对值，再进行混合运算即可．（2）先将括号内通分运算，再将除法改为乘法，最后计算即可．（3）先去括号，再将除法改为乘法，最后计算即可．（4）分别计算出根式的值，在进行加法运算即可．【详解】（1）121|24|234⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭ 121242424234=-⨯+⨯-⨯ 12166=-+-2=-（2）1110623⎛⎫÷-⨯ ⎪⎝⎭ 61061=÷⨯ 1066=⨯⨯360=（3）41(1)(54)3⎛⎫---÷- ⎪⎝⎭11(3)=-⨯-=4（4+=1=-5314=3【点睛】本题考查实数的混合运算．掌握其运算法则是解答本题的关键．14．（1）a=-8；（2）1或9【分析】（1）根据平方运算可得（1-a）的值求解可得答案；（2）根据题意可知相等或互为相反数列式求解可得a的值根据平方运算可得答案【详解】解：（1）∵x的算术平方根是3∴解析：（1）a=-8；（2）1或9．【分析】（1）根据平方运算，可得（1-a）的值，求解可得答案；，相等或互为相反数，列式求解可得a的值，根据平方运算，可得（2）根据题意可知x y答案．【详解】解：（1）∵x的算术平方根是3，∴1-a=9，∴a=-8；（2）x，y都是同一个数的平方根，∴1-a=2a-5或1-a+（2a-5）=0，解得a=2，或a=4，当a=2时，（1-a）=（1-2）2=1，当a=4时，（1-a）=（1-4）2=9，答：这个数是1或9．【点睛】本题考查了平方根和算术平方根，注意第（2）问符合条件的答案有两个，小心漏解．15．1【分析】根据平方的非负性开平方的非负性求出ab的值代入计算即可【详解】解：∵∴解得：∴【点睛】此题考查平方的非负性开平方的非负性有理数的混合运算正确理解平方的非负性开平方的非负性是解题的关键解析：1【分析】根据平方的非负性、开平方的非负性求出a、b的值，代入计算即可．解：∵()220b -+=，∴20b -+=，210a b +-=，解得：2b =，3a =-，∴()()20202020321a b +=-+=．【点睛】此题考查平方的非负性、开平方的非负性，有理数的混合运算，正确理解平方的非负性、开平方的非负性是解题的关键． 16．（1）3；（2）【分析】（1）由新定义的运算法则进行计算即可得到答案；（2）由新定义列出方程解方程即可得到答案【详解】解：∵∴；（2）由题意则∵∴解得：【点睛】本题考查了一元一次方程新定义的运算法则 解析：（1）3；（2）1x =．【分析】（1）由新定义的运算法则进行计算，即可得到答案；（2）由新定义列出方程，解方程即可得到答案．【详解】解：∵*a b b ab =-，∴(2)*11(2)1123-=--⨯=+=；（2）由题意，则∵(2)*36x -=，∴(2)*333(2)6x x -=--=，解得：1x =．【点睛】本题考查了一元一次方程，新定义的运算法则，解题的关键是掌握运算法则进行解题． 17．（1）﹣9；（2）5【分析】（1）先计算立方根和算术平方根再进行加减运算即可；（2）先计算乘法和绝对值再相加即可【详解】解：（1）原式＝﹣12＋（﹣3）＋2×3＝﹣12﹣3＋6＝﹣9；（2）原式＝3解析：（1）﹣9；（2）5．【分析】（1）先计算立方根和算术平方根，再进行加减运算即可；（2）先计算乘法和绝对值，再相加即可．【详解】解：（1）原式＝﹣12＋（﹣3）＋2×3＝﹣12﹣3＋6＝﹣9；（2）原式＝32＝5.【点睛】本题考查了实数的运算，掌握立方根和算术平方根的性质是解题关键．18．（1）-2；（2）【分析】（1）原式去括号合并即可得到结果；（2）首先计算开方然后从左向右依次计算求出算式的值是多少即可【详解】解：（1）原式=（2）原式【点睛】此题主要考查了实数的运算要熟练掌握解解析：（1）-2；（2）【分析】（1）原式去括号合并即可得到结果；（2）首先计算开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【详解】解：（1）原式=2-2=－（2）原式22=+=【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．19．＜【分析】利用作差法比较两个数的大小【详解】解：∵1＜3＜4∴1＜＜2∴1-1＜-1＜2-1∴0＜-1＜1∴＜故答案为：＜【点睛】本题考查了实数的大小比较此题的难点是利用夹逼法推知的取值范围解析：＜【分析】利用作差法比较两个数的大小．【详解】解：∵1＜3＜4∴1＜2∴1-1＜2-1∴0＜1∴12＜12．故答案为：＜．【点睛】本题考查了实数的大小比较，此题的难点是利用“夹逼法”20．【分析】根据立方根平方根算术平方根的等于即可得答案【详解】∵(-4)3=-64∴-64的立方根是-4∵(±3)2=9∴9的平方根是±3∵(±4)2=164＞0∴16的算术平方根是4∵=9∴的平方根是-3±43±解析：4【分析】根据立方根、平方根、算术平方根的等于即可得答案．【详解】∵(-4)3=-64，∴-64的立方根是-4，∵(±3)2=9，∴9的平方根是±3，∵(±4)2=16，4＞0，∴16的算术平方根是4，∵，∴±3，故答案为：-4，±3，4，±3【点睛】本题考查立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握定义是解题关键．三、解答题21．（1）-2；（2）【分析】（1）原式去括号合并即可得到结果；（2）首先计算开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【详解】解：（1）原式=2-=－2（2）原式22=+=【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．22．（1）见解析；（2）13-=-【分析】（10=，则2与﹣2互为相反数进行说明.（2）利用（1）的结论，列出方程（3﹣2x）+（x+5）＝0，从而解出x的值，代入可得出答案．【详解】解：（10=，则2与﹣2互为相反数；（2）由已知，得（3﹣2x）+（x+5）＝0，解得x＝8，∴1=1=1﹣4＝﹣3．【点睛】本题考查立方根的知识，难度一般，注意一个数的立方根有一个，它和这个数正负一致，本题的结论同学们可以记住，以后可直接运用．23．【分析】先根据算术平方根的定义求得2x的值，再根据算术平方根的定义求出y，根据立方根的定义求z，然后代入要求的式子进行计算，最后根据平方根的定义即可得出答案．【详解】解：∵2x+1的算术平方根是0，∴2x+1＝0，∴2x＝﹣1，∵=4，∴y＝16，∵z是﹣27的立方根，∴z＝﹣3，∴2x+y+z＝﹣1+16﹣3＝12，∴2x+y+z的平方根是=【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根、立方根的定义．24．（1）x＝23-；（2）x＝43或x＝23-【分析】（1）利用立方根的定义求解；（2）利用平方根的定义求解．【详解】（1）解：38 27x=，23x=；（2）解：313x-=±，34x =或32x =-，43x =或23x =-． 【点睛】本题考查解方程，熟练掌握立方根、平方根的定义是关键． 25．（1）152x =，212x =-；（2）x ＝﹣1． 【分析】（1）方程整理后，利用平方根性质计算即可求出解；（2）方程整理后，利用立方根性质计算即可求出解．【详解】解：（1）24(1)90--=x 方程整理得：2(1)9=4x -， 开方得：321=x -±解得，152x =，212x =-； （2）31(1)7x +-=-方程整理得：（x ﹣1）3＝﹣8，开立方得：x ﹣1＝﹣2，解得：x ＝﹣1．【点睛】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 26．（1）3；（2）1x =．【分析】（1）由新定义的运算法则进行计算，即可得到答案；（2）由新定义列出方程，解方程即可得到答案．【详解】解：∵*a b b ab =-，∴(2)*11(2)1123-=--⨯=+=；（2）由题意，则∵(2)*36x -=，∴(2)*333(2)6x x -=--=，解得：1x =．【点睛】本题考查了一元一次方程，新定义的运算法则，解题的关键是掌握运算法则进行解题．。