初等数论教学大纲(本科)

初等数论教学大纲

（本科）

哈尔滨师范大学数学系

初等数论(本科) 教学大纲

说明

《初等数论》是师范本科学校数学与应用数学专业的一门重要专业课，数学与应用数学专业的学生学习一些初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的一些课程。是在学生进入四年级后开设的一门课程。通过对《初等数论》的教学，使学生掌握初等数论的最基本的内容，使学生在掌握其基本理论的同时为从事中学数学竞赛工作提供宏观理论的积累，初等数论是研究整数最基本的性质，是一门重要的数学基础课。

初等数论开设的目的：

通过这门课的学习，使学生获得关于整数的整除性、不定方程、同余式、原根与指标及不定方程的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的学习奠定必要的基础。

1、国际奥林匹克数学竞赛中所占初等数论内容很多，学好初等数论对于培养学生进行奥林匹克数竞赛的培训工作提供理论的知识储备。

2、培养学生初步的科研能力，因为初等数论是数学中理论与实践结合得最完美的基础课程，近代数学中的很多数学思想、概念、方法与技巧都是从整数的性质的深入研究而不断丰富和发展起来的。

确定《初等数论》的教学内容应依据初高中教学实际，立足于培养学生的数学思想、方法和技巧，掌握竞赛数学中初等数论的主要理论和进一步提高和学习的基本理论，因而整个课程分为整除、同余、同余式、不定方程和原根指标几部分。这样处理有助于形成学生完善的数学知识结构，进而从根本上提高学生的素质。

根据教学计划规定，本课程教学时数为48学时，其中讲授课和习题课共48学时，本课程安排在第七学期，周学时4，具体分配如下：

1．整除12学时；

2．同余8学时；

3．同余方程18学时；

4．不定方程4学时；

5．原根和指标5学时。

大纲内容

一、整除

（一）教学目的

通过本章的教学，使学生掌握整除的性质、带余数除法、辗转相除法，掌握最大公因数和最小公倍数

的基本理论，熟练掌握算术基本定理，除数和函数和完全数的概念，掌握函数［x］、｛x｝基本理论。并使学生了解建立这一理论的各种途径和它们之间的相互关系，并能运用这些基本理论解决相应习题和竞赛题目。

（二）教学要求

1．掌握整除的基本概念，会使用带余数除法和辗转相除法；

2．掌握最大公因数和最小公倍数的基本理论，会求最大公因数和最小公倍数；

3．掌握算术基本定理的推导，掌握除数和函数和完全数的基本理论；

4．掌握数论函数［x］、｛x｝和N！的标准分解式的推导过程；

5．了解并掌握抽屉原则和逐步淘汰原则。

（三）重点和难点

1．重点

（1）整除的基本理论、带余数除法的两种表达方式；

（2）算术基本定理；

（3）除数和函数；

（4）数论函数［x］、｛x｝的基本性质和N！的标准分解式；

2．难点

（1）算术基本定理的推导；

（2）N！的标准分解式；

（四）主要内容和课时安排（10学时）

1．整除的概念和性质，带余数除法的两个定理（2学时）；

2．公因数和最大公因数及互素的定义，公因数的性质，公倍数和最小公倍数的定义及性质，最大公因数和最小公倍数的关系性质（2学时）；

3．合数定义，整数素因数的性质，算术基本定理的推导及推论，Eratosthenes筛法，除数和函数和完全数的定义、性质，大于1的整数n的标准分解式（2学时）；

4．数论函数［x］、｛x｝的定义和性质，N！的标准分解式的推导过程（2学时）；

（五）思考题：

整除、带余数除法、公因数、公倍数的理论建立中体现了什么数学思想方法。

二、同余

（一）教学目的

通过本章的教学，使学生掌握同余这一初等数论中的重要概念，掌握它的基本性质和与整除之间的关系，掌握剩余类与完全剩余系的概念和性质，掌握欧拉函数与简化剩余系熟练掌握费马－欧拉定理与威尔逊定理的推导和应用。

（二）教学要求

1．掌握同余的定义，理解并熟练掌握同余与整除的关系、同余的基本性质及其在算术中的应用；

2．掌握剩余类与完全剩余系的定义和性质结构；

3．掌握欧拉函数与简化剩余系；

4．熟练掌握费马――欧拉定理与威尔逊定理的推导和应用。

（三）重点和难点

1．重点

（1）同余的基本性质及其在算术中的应用；

（2）剩余类与完全剩余系的定义和性质结构；

（3）费马――欧拉定理与威尔逊定理的推导和应用。

2．难点

（1）同余的基本性质及其在算术中的应用；

（2）费马――欧拉定理与威尔逊定理的推导和应用。

（四）主要内容和课时安排（8学时）

1．同余的定义，同余与整除的关系、同余的基本性质，同余的性质在算术中的应用（2学时）；

2．剩余类与完全剩余系的定义和性质和结构（2学时）；

3．欧拉函数与简化剩余系定义和性质（2学时）；

4．费马――欧拉定理与威尔逊定理的推导和应用（2学时）。

（五）复习思考题

同余与整除、带余数除法之间的本质联系是什么(或说明它们的关系)？

三、同余式（同余方程）

（一）教学目的

通过本章的学习，使学生掌握同余式的基本概念和一次同余式，熟练掌握孙子定理，熟练掌握一般同余式的求解，掌握模为素数的二次同余式，熟练掌握勒让德符号和雅可比符号的概念、性质和作用，掌握二次同余式的解数的解法，了解模为素数的高次同余式。

（二）教学要求

1．掌握同余式及其解的定义，掌握利用完全剩余系及费马小定理解同余式，掌握同余式的常用变形，掌握解一次同余式两种方法；

2．掌握孙子定理的推导，能熟练利用孙子定理解一次同余式组；

3．理解并掌握同余式的同解定理，掌握一般同余式的解的形式；

4．掌握二次剩余与二次非剩余的定义，掌握二次剩余与非剩余与同余式解的关系，熟练掌握欧拉判别法（判别a是否是模p的二次剩余的方法）；

5．掌握勒让德符号的定义，理解掌握勒让德符号的性质及推导，熟练掌握几个基本勒让德符号的值，熟练掌握二次互反律，能利用勒让德符号判断二次同余式有无解，掌握雅可比符号的定义和性质，理解雅