【最新】初等数论教学大纲
《初等数论》教学大纲2024
引言概述：初等数论是数学的一个重要分支，它研究整数的性质和关系，是一门基础性的课程。
本文旨在为《初等数论》课程的教学制定一份详细的大纲，以帮助教师合理安排教学内容，提高教学效果。
正文内容：一、素数与合数1.素数的定义与性质素数的定义：只能被1和自身整除的正整数。
2.合数的定义与性质合数的定义：不是素数的正整数。
二、因数与倍数1.因数的概念因数的定义：能整除一个数的整数。
因子的分类：负因数、正因数、真因数。
2.最大公因数与最小公倍数最大公因数的定义与性质：两个数公共因子中最大的一个。
最小公倍数的定义与性质：两个数公共倍数中最小的一个。
三、整数的整除性与除法算法1.整除的概念与性质整除的定义：一个数能够被另一个数整除。
整除的性质：整数除法原则、整数的对称性。
2.整数的除法算法除法算法的步骤与原理：用减法、用乘法、整数除法算法的应用。
四、余数与模运算1.余数的概念与性质余数的定义：做除法时除不尽的部分。
余数的性质：余数的范围、余数的基本性质。
2.模运算的概念与性质模运算的定义：对于整数a和正整数n，a与n的商所得的余数。
模运算的性质：模运算的加法、减法和乘法规则。
五、同余与模运算应用1.同余的定义与性质同余的定义：对于整数a、b和正整数n，当a与b对n取余相等时，称a与b模n同余。
同余的性质：同余的传递性、同余的运算性质。
2.模运算的应用模运算在代数方程中的应用：线性同余方程、模运算的性质在方程求解中的应用。
总结：本文从素数与合数、因数与倍数、整除性与除法算法、余数与模运算以及同余与模运算应用等五个大点进行阐述。
通过这些内容的学习，学生将能够了解整数的性质和关系，理解数论的基本原理，为后续数学学习打下坚实的基础。
教师在教学过程中，应注重拓展学生的数学思维、培养其解决问题的能力，并结合实际生活和其他数学知识进行应用。
通过系统的教学大纲指导，教师能够更好地组织教学内容，提高学生的学习效果。
初等数论教学大纲
初等数论教学大纲一、课程简介初等数论是数学中的重要分支之一，研究的是自然数的性质与关系。
本课程旨在培养学生的数论思维能力和逻辑思维能力，提高他们的问题解决能力和数学推理能力。
二、教学目标1. 掌握初等数论的基本概念，如素数、合数、互质等。
2. 熟悉常见数论问题的解决方法，如质因数分解、最大公因数与最小公倍数的求法等。
3. 理解和运用模运算的概念和性质，解决相关数论问题。
4. 掌握费马小定理和欧拉定理的应用，解决与其相关的数论问题。
5. 培养学生的数论证明能力，培养其逻辑思维和数学推理能力。
三、教学内容1. 自然数的性质与关系- 质数与合数- 整除性与约数- 互质关系与最大公因数2. 质因数与分解定理- 质因数分解- 最大公因数与最小公倍数 - 公因数与公倍数3. 模运算- 同余等价关系- 同余方程- 中国剩余定理4. 费马小定理与欧拉定理- 费马小定理的证明与应用 - 欧拉函数的定义与性质- 欧拉定理的证明与应用5. 整数的奇妙性质- 数字根与数位- 数字平方舞蹈- 数字阶梯问题- 尼科彻斯定理四、教学方法1. 讲述法：结合实例，详细解释数论概念和原理，引导学生理解与掌握。
2. 分组讨论：将学生分成小组，互相讨论和解决数论问题，促进合作学习和思维碰撞。
3. 课堂练习：布置一些基础练习题和拓展题，提高学生的问题解决能力和应用能力。
4. 数论证明：鼓励学生进行数论定理的证明，培养其逻辑思维和数学推理能力。
五、评估方式1. 平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况等。
2. 期中考试：针对课程的基础知识进行测试。
3. 期末考试：综合考察学生对数论概念、原理和问题解决方法的理解与应用能力。
六、教材与参考书主教材：《初等数论》辅助教材：《数论引论》、《数论简史》七、教学进度安排根据教学计划，完成课程内容的讲解和练习，及时反馈学生学习情况，根据实际情况进行调整。
八、教学辅助手段使用黑板、白板等教学工具进行讲解和演示，辅助教学工具包括投影仪、计算器等。
初等数论教学大纲(本科)
初等数论教学大纲（本科）哈尔滨师范大学数学系初等数论(本科) 教学大纲说明《初等数论》是师范本科学校数学与应用数学专业的一门重要专业课，数学与应用数学专业的学生学习一些初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的一些课程。
是在学生进入四年级后开设的一门课程。
通过对《初等数论》的教学，使学生掌握初等数论的最基本的内容，使学生在掌握其基本理论的同时为从事中学数学竞赛工作提供宏观理论的积累，初等数论是研究整数最基本的性质，是一门重要的数学基础课。
初等数论开设的目的：通过这门课的学习，使学生获得关于整数的整除性、不定方程、同余式、原根与指标及不定方程的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的学习奠定必要的基础。
1、国际奥林匹克数学竞赛中所占初等数论内容很多，学好初等数论对于培养学生进行奥林匹克数竞赛的培训工作提供理论的知识储备。
2、培养学生初步的科研能力，因为初等数论是数学中理论与实践结合得最完美的基础课程，近代数学中的很多数学思想、概念、方法与技巧都是从整数的性质的深入研究而不断丰富和发展起来的。
确定《初等数论》的教学内容应依据初高中教学实际，立足于培养学生的数学思想、方法和技巧，掌握竞赛数学中初等数论的主要理论和进一步提高和学习的基本理论，因而整个课程分为整除、同余、同余式、不定方程和原根指标几部分。
这样处理有助于形成学生完善的数学知识结构，进而从根本上提高学生的素质。
根据教学计划规定，本课程教学时数为48学时，其中讲授课和习题课共48学时，本课程安排在第七学期，周学时4，具体分配如下：1．整除12学时；2．同余8学时；3．同余方程18学时；4．不定方程4学时；5．原根和指标5学时。
大纲内容一、整除（一）教学目的通过本章的教学，使学生掌握整除的性质、带余数除法、辗转相除法，掌握最大公因数和最小公倍数的基本理论，熟练掌握算术基本定理，除数和函数和完全数的概念，掌握函数［x］、｛x｝基本理论。
《初等数论》课程教学大纲
《初等数论》课程教学大纲一、教师信息二、课程基本信息课程名称（中文）：初等数论课程名称（英文）：Elementary Number Theory课程性质：□公共必修课√□专业必修课□限选课□任选课□实践性环节课程性质: √□学术知识类□方法技能类□研究探索类□实践体验类课程代码：4230070周学时： 2 总学时：32 学分: 2先修课程：高中数学授课对象：小学教育（理科）三、课程简介本课程是《小学数学课程与教学》的前修课程，是小学教育专业的本科生（理科）必不可少的基础知识之一，为以后指导小学数学教育提供有用的理论依据，并能直接指导小学数学课外活动。
首先，采用不太多的数学知识，由浅入深地介绍初等数论的基本原理和解题方法与技巧，如整数的整除理论及其在小学数学教学中的指导作用，素数的部分性质，及其同余的基本原理与同余式（组）的解法等。
其次，联系小学数学的教学内容和小学数学竞赛的辅导内容，突出讲解整除性理论在小学数学中的地位，和介绍数的K进位制的意义和计算，对整数和分数的四则运算的指导作用，以及四则运算中的运算技巧等。
再次，整除性理论中讲解奇偶性分析在解题中的作用，介绍不定方程中的著名问题“百鸡问题”、“费马问题”，同余式内容中，介绍我国古代数学书中提出的问题“韩信点兵”的“中国剩余定理”（孙子定理）等，以体现初等数论的应用性，提高学生对数学和小学数学教学的兴趣。
四、课程目标1.了解经常出现在生活中的自然数和整数的一些性质，了解初等数论与算数的关系；2.掌握整数的整除性、不定方程和同余式等基本知识；通过较系统的学习，掌握这门学科的基本数学思想和方法。
3.了解数论在我国的古代就已有极其光辉的成就，如孙子定理等。
五、课程内容与进度安排（一）课程内容第一章整数的可除性1.课时数（10）2．讲授内容主要知识点：（1）整除的概念、带余除法；（2）整除性定理；（3）奇数和偶数；（4）最大公约数和最小公倍数；（5）质数和合数（算术基本定理）重点：整除的概念、带余除法、最大公约数和辗转相除法、最小公倍数的性质、约数和算术基本定理。
初等数论教学大纲
《初等数论》教学大纲一、课程代码:21002144310二、课程名称（1）中文名：初等数论（2）英文名：Elementary Number Theory三、课程管理院（系）及教研室:理学院基础数学教研室四、大纲说明1、适用专业、层次:商务策划数学与应用数学专业,本科2、学时与学分数:54学时,18学分3、课程的性质、目的与任务:初等数论是商务策划数学与应用数学专业（本科）的专业基础课。
初等数论是研究整数的基本性质和方程(组)整数解的一个数学分支。
数学与应用数学专业（本科）开设本课程的目的在于使学生孰悉数论的初步理论、掌握数论的最基本方法，为今后学习相关课程打下必要的基础。
因此，在教学中要求：（1）对初等数论的基本内容作系统讲授；（2）注意数论与其它数学分支的联系与应用；（3）简要介绍一些数论的近代成就及我国数学家在数论方面的贡献。
4、先行、后续课程：先行课程为《高等代数》、《数学分析》、《解析几何》等；后续课程为〈近世代数〉、〈图论〉、〈离散数学〉等。
5、考试方式与成绩评定: 笔试。
成绩评定方式按学校规定执行。
五、纲目第一章整除理论[教学目的] 以带余除法为先导，以辗转相除法、最大公因数、最小公倍数和算术基本定理为主干、讲授整除理论中最基本的性质。
[教学重点与难点] 最大公因数的性质及应用，算术基本定理的证明及应用。
[教学时数]14学时[教学方法与手段]课堂教学第一节整除定义及其基本性质第二节最大公因数与最小公倍数第三节素数第四节算术基本定理第五节Mersenne数、Fermat数与完全数第六节Gauss函数及其应用第七节例题与习题第二章同余式（组）[教学目的] 同余是数论中的一个基本概念，是整除概念的推广。
本章首先介绍同余的概念及基本性质，引入完全剩余系与简化剩余系的概念，建立Euler定理和Fermat定理。
介绍同余式的解法，主要研究一次同余式（组）、素数模的高次同余式及合数模的高次同余式。
初等数论教学大纲
初等数论教学大纲一、课程简介初等数论是数学的一门重要分支，主要研究整数的性质和结构。
通过对初等数论的学习，学生可以更深入地理解整数及其关系，培养数学逻辑思维和问题解决能力。
本教学大纲旨在提供一份全面的教学计划，帮助学生掌握初等数论的基本概念和方法。
二、教学目标1、理解整数的概念、性质和运算；2、掌握因数分解和质数判断的方法；3、理解最大公约数和最小公倍数的概念及其计算方法；4、掌握分数及其性质，了解分数分解的方法；5、理解代数方程及其解法，掌握二次方程的解法；6、培养学生对数学的兴趣和解决问题的能力。
三、教学内容1、整数的概念和性质a.整数的定义和分类b.整数的运算规则c.数的表示方法2、因数分解和质数判断a.因数分解的方法b.质数判断的方法3、最大公约数和最小公倍数a.最大公约数的定义和计算方法b.最小公倍数的定义和计算方法4、分数及其性质a.分数的定义和分类b.分数的运算规则c.分数的约分和通分5、二次方程及其解法a.二次方程的定义和分类b.二次方程的解法6、其他代数方程的解法介绍a.一元一次方程的解法b.一元二次方程的解法c.高次方程的解法简介7、数论在密码学中的应用介绍a. RSA算法简介b.其他密码学应用简介8、数论在其他领域的应用介绍a.数论在计算机科学中的应用b.数论在物理学中的应用等9、数论的历史和发展简介a.数论的起源和发展历程b.数论在现代数学中的应用及发展前景10、初等数论与中学数学的与区别分析。
在数学的学习中，数论是一个非常重要的分支，它研究的是数的性质和规律。
在大学数学中，初等数论是数论的基础课程，它主要包括了以下几个方面的内容：整除性理论：整除性理论是数论的基础，它主要研究的是整数之间的除法性质。
通过研究素数和分解定理，我们可以更好地理解整数的内部结构和性质。
同余理论：同余理论是数论的核心内容之一，它主要研究的是整数之间的同余关系。
通过研究同余方程和模逆元，我们可以解决许多与整数相关的问题。
初等数论教学大纲师范类
初等数论教学大纲师范类初等数论是师范类教学中的一门重要课程，它是培养学生数学思维和解决问题能力的基础。
本文将从初等数论的教学目标、教学内容和教学方法三个方面来探讨初等数论教学的重要性和特点。
一、初等数论教学的目标初等数论教学的目标是培养学生对数学的兴趣和热爱，提高他们的数学思维和解决问题的能力。
通过学习初等数论，学生能够了解数论的基本概念和性质，掌握数论中的常用方法和技巧，培养他们的逻辑思维和数学推理能力，为将来学习高等数学和应用数学打下坚实的基础。
二、初等数论教学的内容初等数论的教学内容包括素数与合数、最大公约数与最小公倍数、同余与模运算、整数的性质等。
通过学习这些内容，学生可以了解到数论在实际生活中的应用，如密码学、编码理论等。
同时，初等数论的教学内容也涉及到一些数学思想和方法的培养，如数学归纳法、反证法等。
这些内容不仅可以提高学生的数学思维能力，还可以培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。
三、初等数论教学的方法初等数论的教学方法应注重培养学生的自主学习能力和合作学习能力。
教师可以通过讲解、示范和引导等方式来帮助学生理解数论的概念和性质，同时也要鼓励学生自主思考和解决问题。
在教学过程中，教师还可以组织学生进行小组讨论和合作学习，让学生们互相交流和分享自己的思考和解题方法，从而提高他们的合作学习能力和解决问题的能力。
此外，初等数论的教学方法还应注重培养学生的数学建模能力。
教师可以通过实际问题的引入，让学生运用数论的知识和方法来解决实际问题，培养他们的数学建模能力和解决实际问题的能力。
这不仅可以增加学生对数论的兴趣和热爱，还可以提高他们的数学思维和解决问题的能力。
综上所述，初等数论教学在师范类教学中具有重要的地位和作用。
通过初等数论的学习，学生可以培养数学思维和解决问题的能力，为将来学习高等数学和应用数学打下坚实的基础。
因此，教师应注重培养学生的自主学习能力和合作学习能力，注重培养学生的数学建模能力，通过实际问题的引入来激发学生对数论的兴趣和热爱。
初等数论教学大纲
初等数论教学大纲一、引言初等数论作为数学的一个分支，主要研究自然数的性质和整数运算的规律。
本教学大纲旨在帮助学生全面了解初等数论的基本概念，并培养他们解决数论问题的能力。
二、基础知识1. 自然数和整数的概念及性质：自然数和整数的集合，自然数的顺序关系，整数的正负性质等。
2. 素数和合数的概念：素数和合数的定义，素数的性质和判定方法。
3. 最大公约数和最小公倍数的概念：最大公约数和最小公倍数的定义，欧几里德算法等相关知识。
三、初等数论应用1. 同余关系：同余关系的定义和性质，同余关系在整数运算中的应用。
2. 费马小定理和欧拉定理：费马小定理和欧拉定理的表述和应用，与同余关系的关联。
3. 数论函数：数论函数的定义和性质，欧拉函数和莫比乌斯函数的应用。
四、数的表示与分解1. 奇数和偶数的性质：奇数和偶数的定义，奇数和偶数的性质和运算规律。
2. 因数分解：正整数的因数分解定理，质因数分解及其应用。
3. 有理数和不可约分数：有理数和不可约分数的定义和性质，分数的运算规律。
五、数论定理与证明1. 质数无穷性：证明质数有无穷多个的数论定理及其证明过程。
2. 正整数平方和定理：证明正整数可以表示为两个平方数之和的数论定理及其证明过程。
3. 费马大定理：费马大定理的表述和证明过程。
六、解决数论问题的方法和技巧1. 数论问题的特点：数论问题常见的特点和解题思路。
2. 数学归纳法：数论问题解决中常用的归纳法原理。
3. 递归思想：递归思想在数论问题中的应用。
七、实践与综合应用结合具体例子，综合运用前述的知识和技巧，解决实际数论问题。
八、教学评估和反馈通过课堂练习、小组讨论和个人作业等方式进行教学评估，并及时提供学生的学习反馈。
九、教学资源与参考书目推荐使用的教材和参考书目。
十、教学计划编排初等数论教学内容的时间安排和教学进度。
十一、教学方式采用多种教学方式，如讲授、讨论、实践等，激发学生的学习兴趣和参与度。
十二、总结通过初等数论的学习，学生将深入理解数学的本质和逻辑，增强数学思维和解决问题的能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1）质数与性质；（2）算术基本定理；（3）筛法。
5、函数[x]，{x}及其在数论中的一个应用
（1）[x]，{x}与性质；（2）n!中素因子的指数。
第二章不定方程（6学时）
目的要求：
1、了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整数解的条件，熟练掌握利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的方法。
四、教学内容纲要
第一章整数的可除性（6学时）
目的要求：
1、理解整数整除、公因子、公倍数的概念及相关性质，理解剩余定理，熟练掌握用剩余定理求最大公因子、最小公倍数的方法。
2、理解素数与合数的概念、素数的性质，理解整数的素数分解定理，会用筛法求素数。
3、了解函数[x]与{x}的概念、性质，n!的素数分解、组合数为整数的性质。
4、前节定理的证明
前节定理3的证明。
5、雅可比符号
雅可比符号的定义及计算。
6、合数模的情形
重点：定理的证明方法、素数的平方表示。
讲授内容：
1、一般二次同余式
（1）解的情况，（2）平方剩余、平方非剩余的定义。
2、单质数的平方剩余与平方非剩余
（1）欧拉判别条件，（2）素数模的简化剩余系的平方剩余与平方非剩余的个数。
4、质数模的同余式
素数模同余式的次数化简，Wilson定理，同余式的次数与解数的关系，n次同余式有n个解的条件。
难点：高次同余式的求解。
讲授内容：
1、基本概念及一次同余式
（1）同余式；（2）一次同余式。
2、孙子定理
（1）孙子定理；（2）孙子定理的应用。
3、高次同余式的解数及解法
（1）高次同余式的求解理论；（2）模为的高次同余式。
3、欧拉定理及其应用
欧拉定理、Fermat小定理，循环小数的判定条件。
难点：简化剩余系及欧拉函数、欧拉定理及其应用。
讲授内容：
1、同余的概念及其基本性质
（1）同余、模；（2）同余的应用。
2、剩余类及完全剩余系
（1）剩余类、完全剩余系；（2）完全剩余系的性质。
3、简化剩余系与欧拉函数
（1）欧拉函数；（2）简化剩余系；（3）欧拉函数表达式。
2、知道多元一次不定方程有解的条件，会求解简单的多元一次不定方程。
3、知道不定方程 的整数解的形式，会求形如 在特定条件下的整数解。
难点：多元不定方程有整数解的判定及求解。
讲授内容：
1、二元一次不定方程
（1）二元一次不定方程的性质；（2）二元一次不定方程的求解。
2、多元一次不定方程
（1）多元一次不定方程的一般理论；（2）三元一次不定方程的求解；
参考书：
1、潘承泪、潘承彪编：数论简明教程[M]，北京：北京大学出版社,1998。
2、柯召：数论讲义，北京：高等教育出版社，2004。
六、其他说明
本大纲适用于本科数学与应用数学专业（师范）《初等数论》专业选修课程。
执笔人：吴晨煌审核人：张金辉审定人：
难点：定理的证明处理方法，定理的灵活运用。
讲授内容：
1、整除的概念、带余数除法
（1）整除、因数；（2）带余数除法、不完全商、余数。
2、最大公约数与辗转相除法
（1）公因数、最大公因数、互素；（2）最大公因数的性质；（3）最大公因数的求法。
3、整除的进一步性质及最小公倍数
（1）整除的性质；（2）公倍数、最小公倍数；（3）最小公倍数的性质。
课程名称：初等数论（Elementary Number Theory）
《初等数论》教学大纲
一、学专业（师范）的一门专业选修课。数学与应用数学专业的学生学习一些初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的一些课程。
通过这门课的学习，使学生获得关于整数的整除性、不定方程、同余式、原根与指标及简单连分数的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的学习奠定必要的基础。
4、质数模的同余式
（1）质数模的同余式；（2）wilson定理；（3）解数定理。
第五章同余式（8学时）
目的要求：
1、一般二次同余式
一般二次同余式解的情况，平方剩余、平方非剩余的定义。
2、单质数的平方剩余与平方非剩余
欧拉判别条件，素数模的简化剩余系的平方剩余与平方非剩余的个数。
3、勒让德符号
勒让德符号的定义，二次反转定律。
6
6
6
6
8
合计
32
三、教学目的与要求
初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。本课程的目的是简单介绍在初等数论研究中经常用到的若干基础知识、基本概念、方法和技巧。
通过本课程的学习，使学生加深对整数的性质的了解，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的关系。
4、欧拉定理、费马定理及对循环小数的应用
（1）欧拉定理；（2）费马定理；（3）循环小数。
第四章同余式（6学时）
目的要求：
1、基本概念及一次同余式
同余式的定义，一次同余式有解的条件，求解同余式。
2、孙子定理
中国剩余定理，中国剩余定理的应用，求解同余式方程组。
3、高次同余式的解数及解法
判断高次同余式的解个数，解高次同余式的方法，模整数同余式与模素数同余式的关系，求解简单的（3、4次）同余式。
3、勒让德符号
（1）勒让德符号的定义，（2）二次反转定律，（3）勒让德符号的计算。
4、前节定理的证明
（1）前节定理3的证明。
5、雅可比符号
（1）雅可比符号的定义，（2）雅可比符号的计算。
6、合数模的情形
(1)合数模二次同余式的计算。
五、课程教材
教材：
闵嗣鹤，严士健:初等数论[M]，北京：高等教育出版社，2003，第三版
（3）最大不可表数问题的介绍。
3、勾股数与费马问题介绍
（1）不定方程的一般结论；（2）费马问题的介绍。
第三章同余（6学时）
目的要求：
1、同余的概念及性质
整数同余的概念、同余的基本性质，整数具有素因子的条件，利用同余简单验证整数乘积运算的结果。
2、剩余系、完全剩余系
剩余系、完全剩余系的概念，判断剩余系的方法，欧拉函数的定义及性质。
本课程属于数学与数学专业（师范）的专业选修课。
本课程的教学时间安排：每周2节课，计划教学周为16周，总课时数32学时，其中实践时数0学时。
本课程总学分数为2学分。
本课程安排在第5学期开设。
二、学时分配表
教学内容
授课学时
实践学时
第一章
第二章
第三章
第四章
第五章
整数的可除性
不定方程
同余
同余式
二次同余式与平方剩余