数列的基本性质

数学(第 二 轮)专 题 训 练

第九讲: 数列的基本性质

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知能目标

1. 理解数列的概念, 了解数列通项公式的意义. 了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.

2. 理解等差数列, 等比数列的概念, 掌握等差数列, 等比数列的通项公式与前n 项和公式, 并能解决简单的问题.

综合脉络

1. 知识网络

2. 几点说明

(1) 等差数列(等比数列)定义中, 特别注意公差 (或公比) 与项的差 (或比) 的顺序不能颠倒, 即1n n a a d --=(或1

n n

a a q -=

) (2) 等差中项与等比中项. 若A 是a 、b 的等差中项, 则2

b

a A +=

; 若G 是a 、b 的等比中项, 则 )0b a (b a G 2

>⋅⋅=, 从而任意两个数都有惟一一个等差中项, 而只有任意两个同号的数 才有等比中项, 且都有正负两个. 对于任一个等差数列}a {n 若p 2n m =+则p a 是 m a 与n a

的等差中项, 即2

a a a n

m p +=

; 对于任一个等比数列}a {n 若p 2n m =+则p a 是m a 与n a 的 等比中项, 即n m 2

p a a a ⋅=.

(3) 证明一个数列}a {n 是等差(或等比)数列的方法有:

① 定义法: 证明对任意正整n 均有1n a +d a n =-

② 中项法: 对于一个数列, 除了首项和末项(有穷数列)外, 任何一项都是它的前后两项的等

差中项(或等比中项), 即证2

a a a 1n 1n n +-+=

(或1n 1n 2

n a a a +-⋅=) 对满足题意的n 均成立; ③ 通项公式法: 证明数列通项公式均能表示成d )1n (a a 1n -+=(或1

n 1n q a a -⋅=)的形式(其中0q ≠).

(4) 数列是高考必考内容, 没年一道选择题或一道填空题, 一道大题, 前者以考查性质为主, 后者是一道思维能力要求较高的综合题. 2000年便有一道考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力的综合题, 其特点是“可以下手, 逻辑思维能力要求较高, 不易得满分”.01、02、03、04、05五年的高考(包括春考)题中均有对数列概念和性质的判断、推理及应用问题. 应注意这种命题趋势. 预测2006年关于数列部分, 仍然是难易结合, 有基本题型, 综合题型, 应用题型; 有个别题型将会有新意: 把数列知识和生活、 经济、 环保等紧密结合起来; 还会出现有创意的应用型题目. (一) 典型例题讲解:

例1.已知钝角三角形的三边长成等差数列, 公差d ＝1, 其最大角不超过120°, 则最小边的

取值范围是 .

例2.已知数列}a {n 的前n 项和为2232

+-n n .取数列}a {n 的第1项, 第3项, 第5项……

构造一个新数列}b {n , 求数列}b {n 的通项公式.

例3. 已知}a {n 是公比为q 的等比数列，且231a ,a ,a 成等差数列.

（1）求q 的值；

（2）设}b {n 是以2为首项，q 为公差的等差数列, 其前n 项和为n S , 当2n ≥时, 比较

n S 与n b 的大小, 并说明理由.

(二) 专题测试与练习: 一. 选择题

1. 在项数为2n ＋1的等差数列中, 所有奇数项和与所有偶数项和之比为 ( ) A. n 21n 2+ B. 1n 2n 2+ C. n 1n + D. 1

n n

+

2. 已知x , y 为正实数, 且x 、a 1、a 2、y 成等差数列, x 、b 1、b 2、y 成等比数列, 则 2

12

21b b )a a (+

的取值范围是 ( ) A. R B. ]4,0( C. ),4[∞+ D. ]0,( -∞),4[∞+

3. 数列}a {n 是公差不为零的等差数列, 且15107a ,a ,a 是某等比数列}b {n 的连续三项, 若

}a {n 的首项为b 1＝3, 则b n 是 ( )

A. 1n )35(3-⋅

B. 1n )85(3-⋅

C. 1n )35(3--⋅

D. 1

n )3

2(3-⋅

4. 已知a 、b 、c 、d 均为非零实数, 则bc ad =是a, b, c, d 依次成为等比数列的 ( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充分且必要条件

D. 既不充分也不必要条件

5. 在等比数列}a {n 中, 若3a 、7a 是方程09x 11x 32

=+-的两根, 则a 5的值为 ( ) A. 3 B. ±3 C. 3 D. ±3

6. 如果数列}a {n 是等差数列, 则 ( ) A.5481a a a a +<+ B. 5481a a a a +=+

C. 5481a a a a +>+

D. 5481a a a a ⋅=⋅

二. 填空题

7. 等差数列}a {n 中, , 15a a a , 9a a a 321321=⋅⋅=++则a 1＝ , a n ＝ .

8. 设数列}a {n 是公比为整数的等比数列, 如果, 12a a , 18a a 3241=+=+那么S 8＝ .

9. 等比数列}a {n 中, , 5S ,2

15

a a 451-=-

=-则a 4 ＝ .

10. 已知等差数列}a {n , ==++++131211732S 则 ,45a a a a a .

三. 解答题

11. 已知等差数列}a {n 中, ,d 21=,S ,a k k 2

15

23-== 求a 1和k.