最新人教版高中数学必修2第三章《点到直线的距离》教案

示范教案

整体设计

教学分析

点到直线的距离的公式的推导方法很多，可探究的题材非常丰富．除了本节课探究方法外，还有应用三角函数、应用向量等方法．因此“课程标准”对本节教学内容的要求是：“探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离”．希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想、化归思想和分类方法，由浅入深、由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维．

三维目标

1．让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离，培养转化的数学思想．

2．引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新．

重点难点

教学重点：点到直线距离公式的推导和应用．

教学难点：对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

设计1.点P(0,5)到x轴的距离是多少？更进一步，在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(x0，y0)，直线l的方程是Ax＋By＋C＝0，怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢？教师引出课题．

设计2.我们知道点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点不在直线上，当点不在直线上时，怎样求出该点到直线的距离呢？教师引出课题．

推进新课

新知探究

提出问题

(1)设坐标平面上(如下图)，有点P(x1，y1)和直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)．

作直线m通过点P(x1，y1)，并且与直线l垂直，设垂足为P0(x0，y0)．

求证：①B(x0－x1)－A(y0－y1)＝0；②C＝－Ax0－By0.

(2)试求出(x1－x0)2＋(y－y0)2.

(3)写出点P到直线l的距离d的计算公式．

(4)写出求点P(x1，y1)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的计算步骤．

讨论结果：

(1)证明：①设直线m的方程为Bx－Ay＋D＝0，

∵P(x 1，y 1)在m 上，∴Bx 1－Ay 1＋D ＝0，

∴D ＝Ay 1－Bx 1，∴直线m 的方程为Bx －Ay ＋(Ay 1－Bx 1)＝0，即B(x －x 1)－A(y －y 1)＝0.

∴B(x 0－x 1)－A(y 0－y 1)＝0.

②∵P 0(x 0，y 0)在直线l 上，∴P 0(x 0，y 0)的坐标是方程Ax ＋By ＋C ＝0的一组解，∴Ax 0＋By 0＋C ＝0，∴C ＝－Ax 0－By 0.

(2)Ax 1＋By 1＋C ＝Ax 1＋By 1＋(－Ax 0－By 0)＝A(x 1－x 0)＋B(y 1－y 0)，则[A(x 1－x 0)＋B(y 1－y 0)]2＝(Ay 1＋By 1＋C)2，又∵[B(x 0－x 1)－A(y 0－y 1)]2＝0，∴两等式相加，得(A 2＋B 2)[(x 1

－x 0)2＋(y 1－y 0)2]＝(Ax 1＋By 1＋C)2，∴(x 1－x 0)2＋(y 1－y 0)2

＝(Ax 1＋By 1＋C )2

A 2＋

B 2. (3)求点P 到直线l 距离转化为求P 和P 0两点之间的距离的问题．由距离公式，只要列出关于x 1－x 0，y 1－y 0的两个方程，就可求出这两点的距离d.

则d ＝|PP 0|＝(x 1－x 0)2＋(y 1－y 0)2＝|Ax 1＋By 1＋C|A 2＋B 2

. 即d ＝|Ax 1＋By 1＋C|A 2＋B 2

. (4)步骤：

①给点的坐标赋值：x 1＝？，y 1＝？；

②给A ，B ，C 赋值：A ＝？，B ＝？，C ＝？；

③计算d ＝|Ax 1＋By 1＋C|A 2＋B 2

； ④给出d 的值．

应用示例

思路1

例1求点P(－1,2)到直线2x ＋y ＝5的距离d.

解：将直线方程化为一般式：2x ＋y －5＝0.

因为x 1＝－1，y 1＝2，A ＝2，B ＝1，C ＝－5，所以由点到直线的距离公式，得d ＝|2×(－1)＋1×2－5|22＋1

2＝55＝ 5. 变式训练

1．求原点到直线l 1：5x －12y －9＝0的距离；

答案：913

2．求点P(－1，－2)到直线l 2：x ＋2y －10＝0的距离．

答案：3 5

例2(1)求证：两条平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离是d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2

； (2)求平行线l 1：12x －5y ＋8＝0与l 2：12x －5y －24＝0之间的距离．

分析：两条平行线的距离，就是其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离． 解：(1)在l 1上任取一点P(x 1，y 1)，则Ax 1＋By 1＝－C 1.l 1与l 2之间的距离等于点P 到l 2的距离d ＝|Ax 1＋By 1＋C 2|A 2＋B 2＝|C 2－C 1|A 2＋B 2

；

(2)由(1)所得公式，直线l 1与l 2的距离为d ＝

|－24－8|122＋52＝3213

.即平行线l 1与l 2之间的距离是3213. 点评：利用公式d ＝|C 1－C 2|

A 2＋

B 2

求两平行直线间的距离时，必须将这两条直线方程化为含x 与y 的系数分别相等的形式，否则容易出错．

变式训练

1．两平行直线l 1：2x －7y ＋8＝0和l 2：2x －7y －6＝0的距离d ＝______.

答案：1453

53 2．两平行直线l 1：3x ＋5y ＋2＝0和l 2：6x ＋10y ＋8＝0的距离d ＝______.

答案：3417 思路2

例3求直线2x ＋11y ＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程．

分析：中心对称的两条直线是互相平行的，并且这两条直线与对称中心的距离相等． 解：设所求直线方程为2x ＋11y ＋C ＝0，则

|0＋11＋16|22＋112＝|0＋11＋C|22＋112

C ＝16(舍去)或C ＝－38. ∴所求直线为2x ＋11y －38＝0.

点评：解决本题的关键是明确所求直线与已知直线平行．

变式训练

1．已知直线l 过两条直线3x ＋4y －5＝0,2x －3y ＋8＝0的交点，且与A(2,3)，B(－4,5)两点的距离相等，求直线l 的方程．

解：直线3x ＋4y －5＝0,2x －3y ＋8＝0的交点为(－1,2)．

若直线l 平行于直线AB ，易求得直线l 的方程为x ＋3y －5＝0；

若直线l 通过线段AB 的中点，易求得直线l 的方程为x ＝－1.

所以直线l 的方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0.

2．两平行直线l 1，l 2分别过A(1,0)与B(0,5)．若l 1与l 2的距离为5，求这两直线方程． 解：|AB|＝12＋52＝26>5，

显然，直线l 1，l 2均不与x 轴垂直．设l 1的方程为y ＝k(x －1)，即kx －y －k ＝0，则点

B 到l 1的距离为|5＋k|k 2＋1

＝5，所以k ＝0或k ＝512. l 1的方程为y ＝0或5x －12y －5＝0，可得l 2的方程为y ＝5或y ＝512

x ＋5. 故所求两直线方程分别为l 1：y ＝0，l 2：y ＝5；

或l 1：5x －12y －5＝0，l 2：5x －12y ＋60＝0.

知能训练

1．求点P 0(－1,2)到下列直线的距离：(1)2x ＋y －10＝0；(2)3x ＝2. 解：(1)根据点到直线的距离公式，得d ＝|2×(－1)＋2－10|22＋12

＝105＝2 5. (2)因为直线3x ＝2平行于y 轴，所以d ＝|23－(－1)|＝53

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