知识讲解_《函数应用》全章复习与巩固_提高
二次函数全章复习与巩固—知识讲解提高-精品
《二次函数》全章复习与巩固一知识讲解（提高）【学习目标】1 .通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2 .会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3 .会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题；4 .会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【知识网络】最大面积是多少【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果y=&%3是常数，4=0）,那么）'叫做X 的二次函数. 要点诠释：如果y 二ax?+bx+c （a,b,c 是常数，aWO ）,那么y 叫做x 的二次函数.这里，当时就不是二次函 数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零.a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1 .二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y 二"/；②y=4;上；③y=工一劝®y =a （x-h ）2、 1二I其中力二一上，，方二呵1_—；⑤y=a/+S 工+c.（以上式子aWO ）2a实际问题二次函数,JI二次函数的概念y — or 2（a K 0）,y - ar 2+ c （a # C ）y=。
（工-A* + 上（。
户 o ）.y = ar 2+ &r + r （a 声 0） 二次函数的对称轴,顶点坐标用函数观点看 一元二次方程-F年二次方程与二次函数的关系_利用三次函数的图豪求二元三次 」方程的解刹车距离一实际问题与二次函数何时获得最大利润 _____________ y == x2二次函数的图象H几种特殊的二次函数的图象特征如下:2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.（1）4的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；同相等，抛物线的开口大小、形状相同.（2）平行于V轴（或重合）的直线记作x=h.特别地，）'轴记作直线x=0.3.抛物线丁=〃/+bx+c亿诸0）中，的作用：（1）以决定开口方向及开口大小，这与v=4r中的以完全一样.（2）$和。
一次函数全章复习与巩固(基础)知识讲解
一次函数全章复习与巩固（基础）责编：杜少波【学习目标】1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.2．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.3．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力. 【知识网络】要点一、函数的相关概念一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是x 的函数.y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法. 要点二、一次函数的相关概念一次函数的一般形式为y kx b =+，其中k 、b 是常数，k ≠0.特别地，当b ＝0时，一次函数y kx b =+即y kx =（k ≠0），是正比例函数.要点三、一次函数的图象及性质 1、函数的图象如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 要点诠释：直线y kx b =+可以看作由直线y kx =平移|b |个单位长度而得到（当b ＞0时，向上平移；当b ＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数y kx b =+与函数y kx =的图象之间可以相互转化. 2、一次函数性质及图象特征掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）要点诠释：理解k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：（1）k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势（及倾斜角α的大小——倾斜程度），b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限．（2）两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定：12k k ≠⇔1l 与2l 相交；12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行； 12k k =，且12b b =⇔1l 与2l 重合；（3）直线与一次函数图象的联系与区别一次函数的图象是一条直线；特殊的直线x a =、直线y b =不是一次函数的图象.要点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式类型一、函数的概念【高清课堂396533 一次函数复习 例1 】1、下列说法正确的是：（ ）Ａ.变量,x y 满足23x y +=，则y 是x 的函数；Ｂ.变量,x y 满足x y =||，则y 是x 的函数；Ｃ.变量,x y 满足x y =2，则y 是x 的函数； Ｄ.变量,x y 满足221y x -=，则y 是x 的函数.【答案】A ；【解析】B 、C 、D 三个选项，对于一个确定的x 的值，都有两个y 值和它对应，不满足单值对应的条件，所以不是函数.【总结升华】理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值是唯一确定的. 举一反三：【变式】如图的四个图象中，不表示某一函数图象的是（ ）【答案】B ；2、求函数的自变量的取值范围.【思路点拨】要使函数有意义，需或解这个不等式组即可.【答案与解析】解：要使函数有意义，则x 要符合：2101x x -≥- 即：或解方程组得自变量取值是或.【总结升华】自变量的取值范围是使函数有意义的x 的集合. 举一反三：【变式】求出下列函数中自变量x 的取值范围（1）01x y x =+（2）|2|23-+=x x y（3）y =【答案】解：（1）要使01x y x =+有意义，需010x x ≠⎧⎨+≠⎩，解得x ≠0且x ≠－1；（2）要使|2|23-+=x x y 有意义，需32020x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得223x x ≥-≠且；（3）要使y =有意义，需230320x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得32x =.类型二、一次函数的解析式3、已知y 与2x -成正比例关系，且其图象过点(3，3)，试确定y 与x 的函数关系，并画出其图象．【思路点拨】y 与2x -成正比例关系，即(2)y k x =-，将点(3，3)代入求得函数关系式. 【答案与解析】解：设(2)y k x =-，由于图象过点(3，3)知3k =，故3(2)36y x x =-=-． 其图象为过点(2，0)与(0，－6)的一条直线（如图所示）．【总结升华】y 与x 成正比例满足关系式y kx =，y 与x －2成正比例满足关系式(2)y k x =-，注意区别. 举一反三：【变式】直线y kx b =+平行于直线21y x =-，且与x 轴交于点（2，0），求这条直线的解析式. 【答案】解：∵直线y kx b =+平行于直线21y x =- ∴2k =∵与x 轴交于点（2，0） ∴①将k ＝2代入①，得4b =-∴此直线解析式为24y x =-. 类型三、一次函数的图象和性质4、已知正比例函数y kx =（k ≠0）的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y x k =+的图象大致是图中的（ ）．【答案】B ；【解析】∵y 随x 的增大而减小，∴ k ＜0．∵y x k =+中x 的系数为1＞0，k ＜0， ∴经过一、三、四象限，故选B ． 【总结升华】本题综合考查正比例函数和一次函数图象和性质，k ＞0时，函数值随自变量x 的增大而增大． 举一反三：【变式】 已知正比例函数()21y m x =-的图象上两点A(1x , 1y ), B(2x ,2y )，当 12x x < 时,有12y y >, 那么m 的取值范围是( ) A ． 12m <B ．12m >C ． 2m <D ．0m > 【答案】 A ；提示：由题意y 随着x 的增大而减小，所以210m -<，选A 答案.类型四、一次函数与方程（组）、不等式5、（2016春•鄂托克旗期末）如图，直线y=﹣2x 与直线y=kx+b 相交于点A（a，2），并且直线y=kx+b经过x轴上点B（2，0）（1）求直线y=kx+b的解析式．（2）求两条直线与y轴围成的三角形面积．（3）直接写出不等式（k+2）x+b≥0的解集．【思路点拨】（1）首先确定点A的坐标，然后利用点B的坐标利用待定系数法确定直线的解析式即可；（2）首先根据直线AB的解析式确定直线AB与y轴的交点坐标，从而利用三角形的面积公式求得三角形的面积；（3）将不等式变形后结合函数的图象确定不等式的解集即可．【答案与解析】解：（1）把A（a，2）代入y=﹣2x中，得﹣2a=2，∴a=﹣1，∴A（﹣1，2）把A（﹣1，2），B（2，0）代入y=kx+b中得，∴k=﹣，b=，∴一次函数的解析式是y=﹣x+；（2）设直线AB与Y轴交于点C，则C（0，）∴S△BOC=××1=；（3）不等式（k+2）x+b≥0可以变形为kx+b≥﹣2x，结合图象得到解集为：x≥﹣1．【总结升华】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够根据题意确定直线的解析式，然后结合图象直接写出不等式的解集．举一反三：【变式】（2015•武汉校级模拟）已知一次函数y=kx+b的图象经过点（3，5）与（﹣4，﹣9）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求关于x的不等式kx+b≤5的解集．【答案】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过点点（3，5）与（﹣4，﹣9），∴，解得∴函数解析式为：y=2x﹣1；（2）∵k=2＞0，∴y随x的增大而增大，把y=5代入y=2x﹣1解得，x=3，∴当x≤3时，函数y≤5，故不等式kx+b≤5的解集为x≤3．类型五、一次函数的应用6、（2015•黔西南州）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨（含12吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过12吨，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元．2月份用水20吨，交水费32元．（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元；（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，写出y与x之间的函数关系式；（3）小黄家3月份用水26吨，他家应交水费多少元？【答案与解析】解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为a元，市场调节价为b元．根据题意得，解得：．答：每吨水的政府补贴优惠价为1元，市场调节价为2.5元．（2）∵当0≤x≤12时，y=x；当x＞12时，y=12+（x﹣12）×2.5=2.5x﹣18，∴所求函数关系式为：y=．（3）∵x=26＞12，∴把x=26代入y=2.5x﹣18，得：y=2.5×26﹣18=47（元）．答：小英家三月份应交水费47元．【总结升华】本题考查了一次函数的应用，题目还考查了二元一次方程组的解法，特别是在求一次函数的解析式时，此函数是一个分段函数，同时应注意自变量的取值范围．举一反三：【变式】一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸还可以以0.20元的价格返回报社，在一个月内（以30天计算），有20天每天可卖出100份，其余10天，每天可卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，若以报亭每天从报社订购报纸的份数为，每月所获得的利润为．（1）写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】解：（1）．类型六、一次函数综合7、如图所示，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过A 、B 两点，直线1l 、2l 交于点C ． (1)求点D 的坐标； (2)求直线2l 的解析表达式； (3)求△ADC 的面积；(4)在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，请直接写出点P 的坐标．【答案与解析】解： (1)由33y x =-+，当y ＝0，得33x -+＝0，得x ＝l ．∴ D(1，0)．(2)设直线2l 的解析表达式为y kx b =+，由图象知，4x =，0y =；3x =，32y =-． 将这两组值代入，得方程组40,33.2k b k b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩解得3,26.k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴ 直线2l 的解析表达式为362y x =-． (3)∵ 点C 是直线1l 与2l 的交点，于是有33,36.2y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩解得2,3.xy=⎧⎨=-⎩∴ C(2，－3)．∴△ADC的AD边上的高为3．∵ OD＝1，OA＝4，∴ AD＝3．∴ADC 19 3|3|22S=⨯⨯-=△．(4)P(6，3)．【总结升华】这是一道一次函数图象与性质的综合应用问题，求直线的函数解析式，一般运用待定系数法，但运用过程中，又要具体问题具体分析；求底边在坐标轴上三角形的面积的关键是探求该三角形的高．。
33.巩固练习_《函数应用》全章复习巩固 ( 基础)
【巩固练习】1.(2015 怀化模拟)函数的零点所在的大致区间是( )A . B. C.D. 2．二次函数y ＝x 2＋px ＋q 的零点为1和m ，且－1<m<0，那么p 、q 应满足的条件是( )A ．p>0且q<0B ．p>0且q>0C ．p<0且q>0D ．p<0且q<03．已知唯一的零点在区间、、内，那么下面命题错误的（ ）A ．函数在或内有零点B ．函数在内无零点C ．函数在内有零点D ．函数在内不一定有零点4．下列图中图象对应的函数可用二分法确定出零点的是( )5．若y ＝ax 2＋bx ＋c(a<0)中，两个零点x 1<0，x 2>0，且x 1＋x 2>0，则( )A ．b>0，c>0B ．b>0，c<0C ．b<0，c>0D ．b<0，c<06．函数f(x)＝2x ＋2x －6的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．37．如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．8．某林场计划第一年造林亩，以后每年比前一年多造林，则第四年造林（）A ．亩 B ．亩 C ．亩 D ．亩9．函数y ＝x 3－x 的零点是________．10.(2015 安徽高考)在平面直角坐标系xoy 中，若直线y =2a 与直线只有一个交点，则a 的值为 .11．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在(0，＋∞)上增长较快的一个是________．12．用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是 。
13．某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x －0.4)元成反比例．又当x ＝0.65元时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]()()2ln 1f x x x =+-()0,1()1,2()2,3()3,4)(x f (1,3)(1,4)(1,5))(x f (1,2)[)2,3)(x f (3,5))(x f (2,5))(x f (2,4))3(2+++=m mx x y m ()6,2-[]6,2-{}6,2-()(),26,-∞-+∞ 1000020%1440017280017280207361y x a =--0523=--x x [2,3]5.20=x14.(2015 郝山区校级一模)已知二次函数有两个零点0和-2，且的最小值为-1，函数与的图象关于原点对称(1)求和的解析式(2)若在区间上是增函数，求实数的取值范围.【答案与解析】1.【答案】B【解析】而函数的零点所在区间是.故选B.2．【答案】 D【解析】由已知得f(0)<0，－p2>0，解得q<0，p<0.3. C【解析】唯一的零点必须在区间，而不在4．【答案】 B5．【答案】 A【解析】由已知可得f(0)>0，即c>0，－b a>0，b>0.6．【答案】 B【解析】∵f(1)<0，f(2)>0，且f(x)单调递增，∴f(x)只有唯一零点在区间(1,2)内．7. 【答案】 D【解析】或8．【答案】 C【解析】9．【答案】 1,0，－11.【答案】B【解析】而 函数的零点所在区间是.故选B.10.【答案】【解析】由已知直线y =2a 是平行与x 轴的直线，函数的图象是折线，所以直线y =2a 过折线顶点时满足题意，所以2a =-1解得11．【答案】 y ＝x 2()f x ()f x ()g x ()f x ()f x ()g x ()()()h x f x g x λ=-[]1,1-λ()1ln 220f =-< ()3ln 310f =->∴()()2ln 1f x x x=+-()1,2(1,3)[)3,524(3)0,6m m m ∆=-+>>2m <-310000(10.2)17280+=()1ln 220f =-< ()3ln 310f =->∴()()2ln 1f x x x=+-()1,212-1y x a =--12a =-12． 【答案】【解析】令13．【解析】 (1)∵y 与x －0.4成反比例，∴设y ＝ (k≠0)．把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝，∴k＝0.2.∴y＝.即y 与x 之间的函数关系式为y ＝.(2)根据题意，得·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)．整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0.解得x 1＝0.5，x 2＝0.6.经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根．因x 的取值范围是0.55～0.75之间，故x ＝0.5不符合题意，应舍去．所以，取x ＝0.6.答：当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.14.【解析】(1)二次函数有两个零点0和-2设，图象的对称轴为x =-1即a -2a =-1所以a =1函数的图象与的图象关于原点对称(2)由(1)得①当时，h(x)=4x 满足在区间上是增函数；②当时，h(x)图象对称轴是 则又解得③当时，同理需又解得[2,2.5)33()25,(2)10,(2.5) 2.5100f x x x f f =--=-<=->0.4kx -0.650.4k-0.210.452x x =--152x -1152x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭ ()f x ∴()()()2220f x ax x ax ax a =+=+>()f x ∴()11f ∴-=-()22f x x x ∴=+ ()g x ()f x ()()22g x f x x x ∴=--=-+()()()()22222121h x x x x x x x λλλ=+--+=++-1λ=-[]1,1-1λ<-11x λλ-=+111λλ-≥+1λ<-1λ<-1λ>-111λλ-≤-+1λ>-10λ-<≤综上满足条件的的取值范围是.λ(],0-∞。
沪教版初二下册《一次函数》全章复习与巩固(提高)知识讲解
沪教版初二数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习一次函数单元复习与巩固（提高）1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图像法），能利用图像数形结合地分析简单的函数关系.2．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图像，能结合图像讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.3．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、函数的相关概念一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图像法.要点二、一次函数的相关概念一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数.要点三、一次函数的图像及性质1、函数的图像如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像.要点诠释：直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图像之间可以相互转化.2、一次函数性质及图像特征掌握一次函数的图像及性质（对比正比例函数的图像和性质）要点诠释：理解、对一次函数的图像和性质的影响：（1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．（2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：与相交；，且与平行；，且与重合；（3）直线与一次函数图像的联系与区别一次函数的图像是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图像.【典型例题】类型一、函数的概念1、（1）（2）分别求当x=5，10，30，50时的函数值．【思路点拨】（1）根据函数定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量可得y是x的函数；（2）根据表格可以直接得到答案．【答案与解析】解：（1）y是x的函数，当x取定一个值时，y都有唯一确定的值与其对应；（2）当x=5时，y=0.80；当x=10时，y=0.80；当x=30时，y=1.60；当x=50时，y=2.40．【总结升华】此题主要考查了函数定义，关键是掌握函数的定义．类型二、一次函数的解析式2、某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本（元）是印数（册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出的取值范围）；（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？【思路点拨】待定系数法求函数解析式，根据两点得到两个二元一次方程，组成一个二元一次方程组求出解即可．表中信息取两组就可以了.【答案与解析】解：（1）设所求一次函数的解析式为，则解得＝，＝16000．∴所求的函数关系式为＝＋16000．（2）∵48000＝＋16000．∴＝12800．答：能印该读物12800册．【总结升华】此类问题主要是考查考生利用待定系数法来求出有关函数一般解析式中的未知系数，从而确定该函数解析式的能力．举一反三：【变式】已知直线经过点，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数解析式．【答案】解：因为直线过点，所以，①又因为直线与轴、轴的交点坐标分别为，再根据，所以整理得②．根据方程①和②可以得出，，所以，．所以所求一次函数解析式为或．类型三、一次函数的图像和性质3、若直线（≠0）不经过第一象限，则、的取值范围是（）A.＞0,＜0B.＞0,≤0C.＜0,＜0D.＜0,≤0【思路点拨】根据一次函数的图像与系数的关系解答.图像不经过第一象限，则k＜0，此时图像可能过原点，也可能经过二、三、四象限.【答案】D；【解析】当图像过原点时，＜0，＝0，当图像经过二、三、四象限时，＜0且＜0.【总结升华】图像不经过第一象限包括经过二、三、四象限和过原点两种情况.举一反三：【变式】一次函数与在同一坐标系内的图像可以为（）A. B. C. D.【答案】D；提示：分为＜0；0＜＜2；＞2分别画出图像，只有D答案符合要求.类型四、一次函数与方程（组）、不等式4、如图，直线经过A（－2，－1）和B（－3，0）两点，则不等式组的解集为．【答案】；【解析】从图像上看，的图像在轴下方，且在上方的图像为画红线的部分，而这部分的图像自变量的范围在.【总结升华】也可以先求出的解析式，然后解不等式得出结果.举一反三：【变式】（2016春•抚州校级期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点C，直线与轴交于点A，与直线交于点B，设点B的横坐标为﹣2．（1）求点B的坐标及的值；（2）求直线、直线与轴所围成的△ABC的面积；（3）根据图象直接写出不等式的解集．【答案】解：（1）当=﹣2时，=﹣2×（﹣2）+1=5，则B（﹣2，5）．把B（﹣1，5）代入得﹣1+=5，解得=6；（2）当=0时，=1，则C（0，1）；当=0时，=+6=6，则A（0，6）所以AC=6﹣1=5，所以S△ABC=×5×2=5；（3）＜﹣2．类型五、一次函数的应用5、某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2后血液中的含药量最高，达每升6，接着逐步衰减，10后血液中的含药量为每升3，每升血液中的含药量随时间的变化情况如图所示．当成人按规定剂量服药后：(1)分别求出≤2和≥2时，与之间的函数关系式；(2)如果每升血液中的含药量为4或4以上时，治疗疾病是有效的，那么这个有效时间是多长?【思路点拨】（1）根据题意由待定系数法求函数的解析式.（2）令≥4，分别求出的取值范围，便可得出这个药的有效时间．【答案与解析】解：(1)由图知，≤2时是正比例函数，≥2时是一次函数．设≤2时，，把(2，6)代入，解得＝3，∴当0≤≤2时，．设≥2时，，把(2，6)，(10，3)代入中，得，解得，即．当＝0时，有，．∴当2≤≤18时，．(2)由于≥4时在治疗疾病是有效的，∴，解得．即服药后得到为治病的有效时间，这段时间为．【总结升华】分段函数中，自变量在不同的取值范围内函数的解析式也不相同，因此注意根据自变量或函数的取值确定某段函数来解决问题．类型六、一次函数综合6、如图所示，直线与轴交于点A，与轴交于点B，直线与直线关于轴对称，且与轴交于点C．已知直线的解析式为．(1)求直线的解析式；(2)D为OC的中点，P是线段BC上一动点，求使OP＋PD值最小的点P的坐标．【答案与解析】解： (1)由直线可得：A(－4，0)，B(0，4)∵点A和点C关于轴对称，∴ C(4，0)．设直线BC解析式为：，则解得．∴直线BC解析式为：．(2)作点D关于BC对称点D′，连结PD′，OD′．∴，∴ OP＋PD＝PD′＋OP．∴当O、P、D′三点共线时OP＋PD最小．∵ OB＝OC，∴∠BCO＝45°，∴∠＝90°，∴，∴．由得∴当点P坐标为时，OP＋PD的值最小．【总结升华】(1)由直线的解析式得到A、B点的坐标，进一步得到C点的坐标，然后利用B、C两点的坐标利用待定系数法求解析式．(2)利用轴对称性质求出使OP＋PD值最小的点P的坐标．举一反三：【变式】如图所示，已知直线交轴于点A，交轴于点B，过B作BD⊥AB交轴于D．(1)求直线BD的解析式；(2)若点C是轴负半轴上一点，过C作AC的垂线与BD交于点E．请判断线段AC与CE的大小关系？并证明你的结论．【答案】解：(1)由直线可得：A(0，8)，B(8，0)．∴ OA＝OB＝8，∠ABO＝45°．∵ BD⊥AB，∴∠DBO＝45°，△ABD为等腰直角三角形．∴ OD＝OA＝8，D点坐标为(0，－8)．设BD的解析式为．∵过B(8，0)，D(0，－8)∴，解得．∴ BD的解析式为(2)AC＝CE；过点C作CM⊥AB于M，作⊥BD于点N．∵ BC为∠ABD的平分线，∴ CM＝．∵∠ACE＝90°，∠M =90°∴∠ACM＝∠E ．在△ACM和△E 中∴△ACM≌△E (ASA)．∴ AC＝CE．。
初二数学一次函数全章复习与巩固(提高)(2021年整理)
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一次函数全章复习与巩固学习目标1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.2．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题。
3．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组)及不等式等内容的再认识.4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力.知识网络要点梳理要点一、函数的相关概念一般地，在一个变化过程中。
如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值,都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说是自变量，是的函数.是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值。
函数的表示方法有三种：解析式法,列表法，图象法.要点二、一次函数的相关概念一次函数的一般形式为,其中、是常数，≠0.特别地,当＝0时,一次函数即（≠0），是正比例函数。
要点三、一次函数的图象及性质1、函数的图象如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
一次函数全章复习与巩固(基础)知识讲解
一次函数全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力 2．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.3．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.4．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.1 平移；当b ＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数y kx b =+与函数y kx =的图象之间可以相互转化.2、一次函数性质及图象特征掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）要点诠释：理解k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：（1）k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势（及倾斜角α的大小——倾斜程度），b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限．（2）两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定：12k k ≠⇔1l 与2l 相交；12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行； 12k k =，且12b b =⇔1l 与2l 重合；（3）直线与一次函数图象的联系与区别一次函数的图象是一条直线；特殊的直线x a =、直线y b =不是一次函数的图象. 方程（组）、不等式问题函 数 问 题从“数”的角度看从“形”的角度看求关于x 、y 的一元一次方程ax b +＝0（a ≠0）的解x 为何值时，函数y ax b =+的值为0？确定直线y ax b =+与x 轴（即直线y ＝0）交点的横坐标求关于x 、y 的二元一次方程组1122=+⎧⎨=+⎩，．y a x b y a x b 的解．x 为何值时，函数11y a x b =+与函数22y a x b =+的值相等？确定直线11y a x b =+与直线22y a x b =+的交点的坐标求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0？确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围【典型例题】类型一、函数的概念1、下列说法正确的是：（ ）Ａ.变量,x y 满足23x y +=，则y 是x 的函数；Ｂ.变量,x y 满足x y =||，则y 是x 的函数； Ｃ.变量,x y 满足x y =2，则y 是x 的函数； Ｄ.变量,x y 满足221y x -=，则y 是x 的函数.【答案】A ；【解析】B 、C 、D 三个选项，对于一个确定的x 的值，都有两个y 值和它对应，不满足单值对应的条件，所以不是函数.【总结升华】理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值是唯一确定的. 举一反三：【变式】如图的四个图象中，不表示某一函数图象的是（ ）【答案】B ；2、求函数的自变量的取值范围.【思路点拨】要使函数有意义，需或解这个不等式组即可.【答案与解析】 解：要使函数有意义，则x 要符合：2101x x -≥-即：或解方程组得自变量取值是或.【总结升华】自变量的取值范围是使函数有意义的x 的集合. 举一反三：【变式】求出下列函数中自变量x 的取值范围（1）01x y x =+（2）|2|23-+=x x y（3）2332y x x =-+-【答案】解：（1）要使01x y x =+有意义，需010x x ≠⎧⎨+≠⎩，解得x ≠0且x ≠－1；（2）要使|2|23-+=x x y 有意义，需32020x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得223x x ≥-≠且；（3）要使2332y x x =-+-有意义，需230320x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得32x =.类型二、一次函数的解析式3、已知y 与2x -成正比例关系，且其图象过点(3，3)，试确定y 与x 的函数关系，并画出其图象．【思路点拨】y 与2x -成正比例关系，即(2)y k x =-，将点(3，3)代入求得函数关系式. 【答案与解析】解：设(2)y k x =-，由于图象过点(3，3)知3k =，故3(2)36y x x =-=-． 其图象为过点(2，0)与(0，－6)的一条直线（如图所示）．【总结升华】y 与x 成正比例满足关系式y kx =，y 与x －2成正比例满足关系式(2)y k x =-，注意区别.举一反三：【变式】直线y kx b =+平行于直线21y x =-，且与x 轴交于点（2，0），求这条直线的解析式. 【答案】解：∵直线y kx b =+平行于直线21y x =- ∴2k =∵与x 轴交于点（2，0） ∴①将k ＝2代入①，得4b =-∴此直线解析式为24y x =-. 类型三、一次函数的图象和性质4、已知正比例函数y kx =（k ≠0）的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y x k =+的图象大致是图中的（ ）．【答案】B ；【解析】∵y 随x 的增大而减小，∴ k ＜0．∵y x k =+中x 的系数为1＞0，k ＜0， ∴经过一、三、四象限，故选B ． 【总结升华】本题综合考查正比例函数和一次函数图象和性质，k ＞0时，函数值随自变量x 的增大而增大． 举一反三：【变式】 已知正比例函数()21y m x =-的图象上两点A(1x , 1y ), B(2x ,2y )，当 12x x <时, 有12y y >, 那么m 的取值范围是( ) A ． 12m <B ．12m >C ． 2m <D ．0m > 【答案】 A ；提示：由题意y 随着x 的增大而减小，所以210m -<，选A 答案.类型四、一次函数的应用5.一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸还可以以0.20元的价格返回报社，在一个月内（以30天计算），有20天每天可卖出100份，其余10天，每天可卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，若以报亭每天从报社订购报纸的份数为，每月所获得的利润为．（1）写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】 解：（1）．类型五、一次函数综合6、如图所示，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过A 、B 两点，直线1l 、2l 交于点C ． (1)求点D 的坐标； (2)求直线2l 的解析表达式； (3)求△ADC 的面积；(4)在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，请直接写出点P 的坐标．【答案与解析】解： (1)由33y x =-+，当y ＝0，得33x -+＝0，得x ＝l ．∴ D(1，0)．(2)设直线2l 的解析表达式为y kx b =+，由图象知，4x =，0y =；3x =，32y =-． 将这两组值代入，得方程组40,33.2k b k b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩解得3,26.k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴ 直线2l 的解析表达式为362y x =-． (3)∵ 点C 是直线1l 与2l 的交点，于是有33,36.2y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 解得2,3.x y =⎧⎨=-⎩∴ C(2，－3)．∴ △ADC 的AD 边上的高为3． ∵ OD ＝1，OA ＝4， ∴ AD ＝3． ∴ ADC 193|3|22S =⨯⨯-=△． (4)P(6，3)．【总结升华】这是一道一次函数图象与性质的综合应用问题，求直线的函数解析式，一般运用待定系数法，但运用过程中，又要具体问题具体分析；求底边在坐标轴上三角形的面积的关键是探求该三角形的高．。
人教版数学八年级下册一次函数全章复习与巩固(提高)知识讲解
一次函数全章复习与巩固（提高）【学习目标】 1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.2．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.3．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识. 4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力.要点一、函数的相关概念 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是x 的函数. y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法. 要点二、一次函数的相关概念一次函数的一般形式为y kx b =+，其中k 、b 是常数，k ≠0.特别地，当b ＝0时，一次函数y kx b =+即y kx =（k ≠0），是正比例函数.要点三、一次函数的图象及性质 1、函数的图象如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 要点诠释：直线y kx b =+可以看作由直线y kx =平移|b |个单位长度而得到（当b ＞0时，向上平移；当b ＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数y kx b =+与函数y kx =的图象之间可以相互转化.2、一次函数性质及图象特征掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）要点诠释：理解k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：（1）k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势（及倾斜角α的大小——倾斜程度），b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限．（2）两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定：12k k ≠⇔1l 与2l 相交；12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行； 12k k =，且12b b =⇔1l 与2l 重合；（3）直线与一次函数图象的联系与区别一次函数的图象是一条直线；特殊的直线x a =、直线y b =不是一次函数的图象. 要点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题从“数”的角度看从“形”的角度看求关于x 、y 的一元一次方程ax b +＝0（a ≠0）的解x 为何值时，函数y ax b =+的值为0？确定直线y ax b =+与x 轴（即直线y ＝0）交点的横坐标求关于x 、y 的二元一次方程组1122=+⎧⎨=+⎩，．y a x b y a x b 的解．x 为何值时，函数11y a x b =+与函数22y a x b =+的值相等？ 确定直线11y a x b =+与直线22y a x b =+的交点的坐标求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0？确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围类型一、函数的概念1、（2014春•桃城区校级月考）在国内投寄平信应付邮资如下表： 信件质量x （克） 0＜x≤20 0＜x≤40 0＜x≤60 邮资y （元） 0.80 1.60 2.40（1）y 是x 的函数吗？为什么？（2）分别求当x=5，10，30，50时的函数值． 【思路点拨】（1）根据函数定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对应，那么就说y 是x 的函数，x 是自变量可得y 是x 的函数；（2）根据表格可以直接得到答案． 【答案与解析】 解：（1）y 是x 的函数，当x 取定一个值时，y 都有唯一确定的值与其对应； （2）当x=5时，y=0.80；当x=10时，y=0.80； 当x=30时，y=1.60； 当x=50时，y=2.40．【总结升华】此题主要考查了函数定义，关键是掌握函数的定义． 类型二、一次函数的解析式2、某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000印数x （册） 5000800010000 15000 ……成本y （元） 28500 36000 41000 53500 ……（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y （元）是印数x （册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？【思路点拨】待定系数法求函数解析式，根据两点得到两个二元一次方程，组成一个二元一次方程组求出解即可．表中信息取两组就可以了.【答案与解析】=+，解：（1）设所求一次函数的解析式为y kx b则解得k＝，b＝16000．∴所求的函数关系式为y＝x＋16000．（2）∵48000＝x＋16000．∴x＝12800．答：能印该读物12800册．【总结升华】此类问题主要是考查考生利用待定系数法来求出有关函数一般解析式中的未知系数，从而确定该函数解析式的能力．举一反三：【变式】已知直线经过点，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数解析式．【答案】解：因为直线过点，所以，①又因为直线与x轴、y轴的交点坐标分别为，再根据，所以整理得②．根据方程①和②可以得出，，所以，．所以所求一次函数解析式为或．类型三、一次函数的图象和性质3、若直线y kx b =+（k ≠0）不经过第一象限，则k 、b 的取值范围是（ ） A. k ＞0, b ＜0 B. k ＞0,b ≤0 C. k ＜0, b ＜0 D. k ＜0, b ≤0 【思路点拨】根据一次函数的图象与系数的关系解答.图象不经过第一象限，则k ＜0，此时图象可能过原点，也可能经过二、三、四象限. 【答案】D ；【解析】当图象过原点时，k ＜0，b ＝0，当图象经过二、三、四象限时，k ＜0且b ＜0. 【总结升华】图象不经过第一象限包括经过二、三、四象限和过原点两种情况. 举一反三：【变式】一次函数()2y kx k =--与kxy =在同一坐标系内的图象可以为（ ）A. B. C. D.【答案】D ；提示：分为k ＜0；0＜k ＜2；k ＞2分别画出图象，只有D 答案符合要求.类型四、一次函数与方程（组）、不等式 4、（2016春•枣阳市期末）直线a ：y=x +2和直线b ：y=﹣x +4相交于点A ，分别与x 轴相交于点B 和点C ，与y 轴相交于点D 和点E ． （1）在同一坐标系中画出函数图象； （2）求△ABC 的面积；（3）求四边形ADOC 的面积；（4）观察图象直接写出不等式x +2≤﹣x +4的解集和不等式﹣x +4≤0的解集． 【思路点拨】（1）根据直线的画法画出图形即可；（2）根据直线a 、b 的解析式可得出点B 、C 的坐标，联立两直线的解析式成方程组，解方程组可得出点A 的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论；（3）根据直线a 的解析式可求出点D 的坐标，利用分割图形求面积法结合三角形的面积公式即可得出结论；（4）根据两函数图象的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出不等式的解集． 【解析】解：（1）依照题意画出图形，如图所示． （2）令y=x +2中y=0，则x +2=0，解得：x=﹣2， ∴点B （﹣2，0）；令y=﹣x +4中y=0，则﹣x +4=0，解得：x=4， ∴点C （4，0）； 联立两直线解析式得：，解得：，∴点A（1，3）．S△ABC=BC•y A=×[4﹣（﹣2）]×3=9．（3）令y=x+2中x=0，则y=2，∴点D（0，2）．S四边形ADOC=S△ABC﹣S△DBO=9﹣×2×2=7．（4）观察函数图形，发现：当x＜1时，直线a在直线b的下方，∴不等式x+2≤﹣x+4的解集为x≤1；当x＞4时，直线b在x轴的下方，∴不等式﹣x+4≤0的解集为x≥4．【总结升华】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）画出函数图象；（2）找出点A、B、C的坐标；（3）利用分割图形求面积法求出面积；（4）根据函数图象的上下位置关系解不等式．举一反三：【变式】（2015春•东城区期末）已知直线y=kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线y=2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；（3）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集．【答案】解：（1）∵直线y=kx+b经过点A（5，0），B（1，4），∴，解得，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+5；（2）∵若直线y=2x﹣4与直线AB相交于点C，∴．解得，∴点C（3，2）；（3）根据图象可得x＞3．类型五、一次函数的应用5、某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2h后血液中的含药量最高，达每升6mg，接着逐步衰减，10h后血液中的含药量为每升3mg，每升血液中的含药量y mg随时间x h的变化情况如图所示．当成人按规定剂量服药后：(1)分别求出x≤2和x≥2时，y与x之间的函数关系式；(2)如果每升血液中的含药量为4mg或4mg以上时，治疗疾病是有效的，那么这个有效时间是多长?【思路点拨】（1）根据题意由待定系数法求函数的解析式.（2）令y≥4，分别求出x的取值范围，便可得出这个药的有效时间．【答案与解析】解：(1)由图知，x≤2时是正比例函数，x≥2时是一次函数．设x≤2时，y kx=，把(2，6)代入y kx=，解得k＝3，∴当0≤x≤2时，3y x=．设x≥2时，y k x b'=+，把(2，6)，(10，3)代入y k x b'=+中，得26103k bk b'+=⎧⎨'+=⎩，解得38274kb⎧'=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即32784y x=-+．当y＝0时，有32784x=-+，18x=．∴当2≤x≤18时，32784y x=-+．(2)由于y≥4时在治疗疾病是有效的，∴34327484xx≥⎧⎪⎨-+≥⎪⎩，解得42233x≤≤．即服药后43h得到223h为治病的有效时间，这段时间为224186()333h-==．【总结升华】分段函数中，自变量在不同的取值范围内函数的解析式也不相同，因此注意根据自变量或函数的取值确定某段函数来解决问题．类型六、一次函数综合6、如图所示，直线1l与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线2l与直线1l关于y轴对称，且与x轴交于点C．已知直线1l的解析式为4y x=+．(1)求直线2l的解析式；(2)D为OC的中点，P是线段BC上一动点，求使OP＋PD值最小的点P的坐标．【答案与解析】解： (1)由直线4y x=+可得：A(－4，0)，B(0，4)∵点A和点C关于y轴对称，∴ C(4，0)．设直线BC解析式为：y kx b=+，则4004bk b=+⎧⎨=+⎩解得14kb=-⎧⎨=⎩．∴直线BC解析式为：4y x=-+．(2)作点D关于BC对称点D′，连结PD′，OD′．∴PD DP'=，∴ OP＋PD＝PD′＋OP．∴当O、P、D′三点共线时OP＋PD最小．∵ OB＝OC，∴∠BCO＝45°，∴∠D CO'＝90°，∴(4,2)D'，∴12ODy x'=．由124y xy x⎧=⎪⎨⎪=-+⎩得8343xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴当点P坐标为84,33⎛⎫⎪⎝⎭时，OP＋PD的值最小．【总结升华】(1)由直线1l的解析式得到A、B点的坐标，进一步得到C点的坐标，然后利用B、C两点的坐标利用待定系数法求解析式．(2)利用轴对称性质求出使OP＋PD值最小的点P 的坐标．举一反三：【变式】如图所示，已知直线8y x=-+交y轴于点A，交x轴于点B，过B作BD⊥AB交y 轴于D．(1)求直线BD的解析式；(2)若点C是x轴负半轴上一点，过C作AC的垂线与BD交于点E．请判断线段AC与CE的大小关系？并证明你的结论．【答案】解：(1)由直线8y x=-+可得：A(0，8)，B(8，0)．∴ OA＝OB＝8，∠ABO＝45°．∵ BD⊥AB，∴∠DBO＝45°，△ABD为等腰直角三角形．∴ OD＝OA＝8，D点坐标为(0，－8)．设BD的解析式为y kx b=+．∵过B(8，0)，D(0，－8)∴808k bb+=⎧⎨=-⎩，解得18kb=⎧⎨=-⎩．∴ BD 的解析式为8y x =-(2)AC ＝CE ；过点C 作CM ⊥AB 于M ，作CN ⊥BD 于点N ． ∵ BC 为∠ABD 的平分线， ∴ CM ＝CN ．∵ ∠ACE ＝90°，∠MCN=90° ∴ ∠ACM ＝∠ECN ． 在△ACM 和△ECN 中90,AMC ENC CM CN ACM ECN ∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩°, ∴ △ACM ≌△ECN(ASA)． ∴ AC ＝CE ．。
高考数学复习 巩固练习_《导数及其应用》全章复习与巩固(提高)(理)
高考数学复习 【巩固练习】 一、选择题 ⑴已知函数()x f y =的导函数()x f y '=的图像如下，则（A.函数()x f 有1个极大值点，1个极小值点.B.函数()x f 有2个极大值点，2个极小值点.C.函数()x f 有3个极大值点，1个极小值点D.函数()x f 有1个极大值点，3个极小值点2．一个弹簧压缩x cm 产生4x N 的力，那么将它从自然长度压缩A ．50 J B ．0.5 J C ．500 JD ．5 J3．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )A ．5，－15B ．5,4C ．－4，－15D ．5，－164．（2015 潮南区模拟）若a ＞0，b ＞0，c R ∈， 函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )．A ．2B ．3C ．6D ．95．内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的边长为（ ）． A ．2R 和32R B ．5R 和5R C ．45R 和75R D ．以上都不对 6. 设R a ∈，若函数x e y ax 3+=，（R x ∈）有大于零的极值点，则（ ） A.3-<aB.3->aC.31-<a D.31->a7．已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( )A ．有最大值152 B ．有最大值－152C ．有最小值152 D ．有最小值－152二、填空题8．函数()ln xf x x=的单调递减区间是_ _____． 9．（2015 张家港市校级模拟）已知函数'()2(1)ln f x f x x =-，则()f x 的极大值为 。
10. 函数32()3f x x a x a =-+（0a >）的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围 。
11、已知函数()y f x =的图象是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,5)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图象与x 轴围成的图形的面积为_____________．三、解答题12．求下列定积分的值: （1）e+121d 1x x -⎰； （2）120e d x x ⎰；（3）11(cos x x x -+⎰； （4）322d x x x --⎰；（5）)10d x x ⎰.13．把函数2ln -=x y 的图象按向量)2,1(-=平移得到函数)(x f y =的图象．(1)求函数)(x f y =的解析式； (2)若0>x ，证明：22)(+>x xx f ． 14．求：函数32()32f x x x =--在区间(1,1)a a -+（0a >）内的极值。
函数全章复习巩固
函数全章复习巩固学习目标：1．对本节的知识形成系统的知识框架；2．掌握本章各类重难点题型的解题方法；3．对函数这一章的知识与题型没有疑问。
知识点总结：重难点题型：题型一 函数及映射的概念例1. 已知a ，b 为两个不相等的实数，集合2{4,1}M a a =--，2{41,2}N b b =-+-，:f x x →表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a+b 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 D【解析】 由已知可得M=N ，故222242420411420a a a ab b b b ⎧⎧-=--+=⎪⎪⇒⎨⎨-+=--+=⎪⎪⎩⎩，a 、b 是方程x 2－4x+2=0的两根，故a+b=4．变式训练1（1）下列对应关系中，哪些是从集合A 到集合B 的映射？(1) A ＝B ＝N *，对应关系f ：x→y＝|x －3|；(2)A ＝R ，B ＝{0,1}，对应关系f ：x→y＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x≥00，x ＜0；(3)设A ＝{矩形}，B ＝{实数}，对应关系f ：矩形的面积． [分析]依据映射的定义来判断→紧扣定义中的“任意一个”、“唯一”[解析] (1)集合A 中的3，在f 作用下得0，但0∉B ，即3在集合B 中没有相对应的元素，所以f 不是从集合A 到集合B 的映射．(2)对于集合A 中任意一个非负数都唯一对应元素1，对于集合A 中任意一个负数都唯一对应元素0，所以f 是从集合A 到集合B 的映射．(3)对于每一个矩形，它的面积是唯一确定的，所以f 是从集合A 到集合B 的映射． 规律总结：判断一个对应是不是映射，关键有两点：(1)对于A 中的任意一个元素，在B 中是否有元素与之对应； (2)B 中的对应元素是不是唯一的．[注意] “一对一”或“多对一”的对应都是映射． （2）下列结论正确的个数为 ( )(1)对于函数f ：A→B，其定义域是集合A ，值域是集合B. (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(3)A ＝N ，B ＝N *，f ：x→y＝|x －1|，表示从集合A 到集合B 的映射(也是函数)． (4)若函数f(x)的定义域为{x|1≤x<3}，则函数f(2x －1)的定义域为{x|1≤x<5}． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [解析] (1)(2)(3)(4)都不正确，故选A. 题型二 求函数的定义域 例2. 函数0y=___________．解析：(),0-∞；1000x x x x -≠⎧⎪⇒<⎨->⎪⎩．变式训练2（1）若(2)y f x =+的定义域是(1,3]，求()y f x =的定义域． (2)y f x =+的定义域是(1,3]，即13x <≤，故325x <+≤，从而()y f x =的定义域为(3,5]．（2）若函数()y f x =的定义域是[0，2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0，1] B ．[0，1） C ．[0，1）∪（1，4] D ．（0，1） 【答案】 B【解析】 要使()g x 有意义，则2210x x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得0≤x ＜1，故定义域为[0，1），选B ．题型三 已知函数定义域求参数取值范围例3. [2016·成都七中高一月考]已知函数f(x)＝2kx 2－4kx ＋k ＋3的定义域为R ，则k 的取值范围是________． 答案 0≤k<1解析 由题意可得kx 2－4kx ＋k ＋3>0恒成立． ①当k ＝0时，3>0恒成立，所以满足题意；②当k≠0时，须使()24430k k k k >⎧⎪⎨∆=-+<⎪⎩ 解得0<k<1.综上所得k 的取值范围为0≤k<1. 变式训练3(2018·杭州模拟)若函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；当m≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m>0，Δ＝m 2－4m≤0，解得0<m≤4. 综上可得：0≤m≤4. 答案：[0,4] 题型四 判断函数单调性 例4.求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|； (2) (3)；（4）y=|x 2-2x-3|. 【答案】（1）函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； （2）上为减函数； （3）单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞)； （4）单调减区间是（-∞，-1），（1，3）；单调增区间是（-1，1），（3，+∞）.【解析】(1)画出函数图象，∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).（4）先画出y=x 2-2x-3，然后把轴下方的部分关于轴对称上去，就得到了所求函数的图象，如下图所以y=|x 2-2x-3|的单调减区间是（-∞，-1），（1，3）；单调增区间是（-1，1），（3，+∞）. 变式训练4已知函数的定义域为，且对任意的、均有，且对任意的，都有. （1）试说明：函数是上的单调递减函数；121y x =-；21y x=(]1,-∞-⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞--=,21,21,1x 21y 在2x 1y =⎩⎨⎧-<---≥+=)1x (1x )1x (1x y Θ(]1,-∞-u 1y ,1x 2u ,2121,=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-，设u1y =⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞--=,21,21,1x 21y 在2x1y =x x ()y f x =R x 'x R ∈''()()()f x x f x f x +=+0x >()0,(3)3f x f <=-()y f x =R（2）试求函数在（且）上的值域.【思路点拨】（1）可根据函数单调性的定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件；（2）由（1）的结论可知、分别是函数在上的最大值与最小值，故求出与就可得所求的值域. 【答案】（1）证明略；（2）． 【解析】（1）任取、，且，，于是由题设条件可知：.对任意的都有， ..故函数是上的单调递减函数. 题型五 单调性的应用例5（1）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x≤0，－x 2－2x ＋3，x>0，则不等式f(a 2－4)>f(3a)的解集为 ( B )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)[解析] 作出函数f(x)的图象，由图知，函数f(x)在R 上是单调递减的．由f(a 2－4)>f(3a)，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a<4，所以不()y f x =[],m n ,m n Z ∈0mn <()f m ()f n ()y f x =[],m n ()f m ()f n [],n m -1x 2x R ∈12x x <2121()[()]f x f x x x =+-''()()()f x x f x f x +=+2121()()()f x f x f x x =+-1221,0x x x x <∴->Q Q 0x >()0f x <∴21()0f x x -<∴21211()()()()f x f x f x x f x =+-<()y f x =R等式的解集为(－1,4)．例5（2）已知函数是定义域为的单调增函数．（1）比较与的大小；（2）若，求实数的取值范围．【思路点拨】抽象函数求字母取值范围的题目，最终一定要变形成的形式，再依据函数的单调性把符号脱掉得到关于字母的不等式再求解。
一次函数全章复习与巩固基础知识讲解
一次函数全章复习与巩固（基础）责编：杜少波【学习目标】1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.2．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.3．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力.【知识网络】【高清课堂396533 一次函数复习知识要点】【要点梳理】要点一、函数的相关概念xx yy都，并且对于一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量的每一个确定的值，与xx y的函数.是有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，xxaa yybb时的函数值＝是叫做当自变量为的函数，如果当，那么＝. 时函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.要点二、一次函数的相关概念y?kx?b kbkb＝0特别地，当、一次函数的一般形式为是常数，时，一次函≠，其中0.y?kx?by?kx k≠0即），是正比例函数.（数要点三、一次函数的图象及性质1、函数的图象如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.要点诠释：y?kx?by?kx bb＞0直线|个单位长度而得到（当平移|可以看作由直线时，向上平移；y?kx?by?kx b的图象之间可以相互转化当. ＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数2、一次函数性质及图象特征掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）要点诠释：kb y?kx?b的图象和性质的影响：理解对一次函数、?bkx?y?bk决定它与决定直线的大小——倾斜程度）1（）从左向右的趋势（及倾斜角，ykb y?kx?b经过的象限．、轴交点的位置，一起决定直线y?kx?by?kx?bll的位置关系可由其系数确定：：（2）两条直线：和211212k?kll?相交；与2112k?kb?bll?平行；与，且211212k?kb?bll?重合；，且与211212（3）直线与一次函数图象的联系与区别x?ay?b.不是一次函数的图象、直线一次函数的图象是一条直线；特殊的直线要点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式【典型例题】类型一、函数的概念【高清课堂396533 一次函数复习例1 】1、下列说法正确的是：（）x y,yx3?x?y2的函数；是，则满足Ａ.变量x yy,x xy|?|的函数；，则满足Ｂ.变量是2x?yx yyx, . Ｃ变量是，则的函数；满足221y?x?x yy,x.满足是Ｄ .变量，则的函数 A；【答案】x y值和它对应，不满足单值对应的的值，都有两个、D三个选项，对于一个确定的、【解析】BC.条件，所以不是函数理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函【总结升华】. 数值是唯一确定的举一反三：）【变式】如图的四个图象中，不表示某一函数图象的是（【答案】B；2、求函数的自变量的取值范围.【思路点拨】要使函数有意义，需.解这个不等式组即可或【答案与解析】．1x?2x0?解：要使函数要符合：有意义，则1x?或即：.或解方程组得自变量取值是x. 的集合【总结升华】自变量的取值范围是使函数有意义的举一反三：x【变式】求出下列函数中自变量的取值范围0x2x?3?yx?23?3y?2x??y（ 2 ）3））（1（1?x|?x2|【答案】0x?0?x xx?y；≠－有意义，需，解得1≠0解：（1）要使且?1?x0?x?1?3x?2?0?3x?22?yx??且x?2；，解得）要使有意义，需（2?|x?2|x?2?03?2x?3?0?3x23?3?y?2x?x?.，解得）要使（3有意义，需?3?2x?02?类型二、一次函数的解析式x yy2x?的函数关系，并画出，试确定与成正比例关系，且其图象过点(33、已知，与3)其图象．y y?k(x?2)2x?，将点成正比例关系，即(3，3)代入求得函数关系式【思路点拨】与.【答案与解析】y?k(x?2)y?3(x?2)?3x?63?k．解：设，故3)(3，由于图象过点，知其图象为过点(2，0)与(0，－6)的一条直线（如图所示）．yy xxy?kkx(x?2)y?，，成正比例满足关系式2与成正比例满足关系式【总结升华】－与注意区别. 举一反三：x1?2x?by?y?kx轴交于点（2平行于直线，0，且与【变式】直线），求这条直线的解析式. 【答案】y?kx?by?2x?1平行于直线解：∵直线k?2∴x轴交于点（2，∵与0）∴①k代入①，得＝将2b??4y?2x?4. ∴此直线解析式为类型三、一次函数的图象和性质x y y?x?y?kxk k的4、已知正比例函数随0）的函数值（的增大而减小，则一次函数≠图象大致是图中的（）．；【答案】B y x k．随＜的增大而减小，∴【解析】∵0xk??xy k＜0，∴经过一、三、四象限，故选B中＞的系数为1 ∵0，．x k的增0【总结升华】本题综合考查正比例函数和一次函数图象和性质，时，函数值随自变量＞大而增大．举一反三：??x1m2?y?x?xxxyy时)，当的图象上两点A(, ,), 【变式】已知正比例函数B(,212112y?ym的取值范围是( ) , 那么有2111?mm?m?2m?0．．B C A． D．22【答案】；Ay x01?m2?.答案A，选的增大而减小，所以随着提示：由题意类型四、一次函数与方程（组）、不等式5、（2016春?鄂托克旗期末）如图，直线y=﹣2x 与直线y=kx+b 相交于点A（a，2），并且直线y=kx+b经过x轴上点B（2，0）（1）求直线y=kx+b的解析式．（2）求两条直线与y轴围成的三角形面积．（3）直接写出不等式（k+2）x+b≥0的解集．【思路点拨】（1）首先确定点A的坐标，然后利用点B的坐标利用待定系数法确定直线的解析式即可；（2）首先根据直线AB的解析式确定直线AB与y轴的交点坐标，从而利用三角形的面积公式求得三角形的面积；（3）将不等式变形后结合函数的图象确定不等式的解集即可．【答案与解析】解：（1）把A（a，2）代入y=﹣2x中，得﹣2a=2，∴a=﹣1，∴A（﹣1，2）中得，b0）代入y=kx+1，2），B（2，把A（﹣﹣，，∴k=b=﹣x；∴一次函数的解析式是y=+，）（Y轴交于点C，则C0）设直线（2AB与∴S1=；××BOC=△，+kxb≥﹣2x）k+2x+b ≥0可以变形为）不等式（（3 ．结合图象得到解集为：x≥﹣1解题的关键是能够根据题意确定直线本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，【总结升华】的解析式，然后结合图象直接写出不等式的解集．举一反三：）．5）与（﹣4，﹣9，（2015?武汉校级模拟）已知一次函数【变式】y=kx+b的图象经过点（3 ）求这个一次函数的解析式；（1 的不等式kx+b≤5的解集．x（2）求关于，），﹣）与（﹣，的图象经过点点（解：∵一次函数【答案】y=kx+b3549，∴．解得∴函数解析式为：y=2x﹣1；（2）∵k=2＞0，∴y随x的增大而增大，把y=5代入y=2x﹣1解得，x=3，∴当x≤3时，函数y≤5，故不等式kx+b≤5的解集为x≤3．类型五、一次函数的应用6、（2015?黔西南州）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨（含12吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过12吨，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元．2月份用水20吨，交水费32元．（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元；（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，写出y与x之间的函数关系式；（3）小黄家3月份用水26吨，他家应交水费多少元？【答案与解析】解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为a元，市场调节价为b元．根据题意得，解得：．答：每吨水的政府补贴优惠价为1元，市场调节价为2.5元．（2）∵当0≤x≤12时，y=x；当x＞12时，y=12+（x﹣12）×2.5=2.5x﹣18，y=．∴所求函数关系式为：（3）∵x=26＞12，∴把x=26代入y=2.5x﹣18，得：y=2.5×26﹣18=47（元）．答：小英家三月份应交水费47元．【总结升华】本题考查了一次函数的应用，题目还考查了二元一次方程组的解法，特别是在求一次函数的解析式时，此函数是一个分段函数，同时应注意自变量的取值范围．举一反三：【变式】一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸还可以以0.20元的价格返回报社，在一个月内（以30天计算），有20天每天可卖出100份，其余10天，每天可卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，若以报亭每天从报社订购报纸的份数为，每月所获得的利润为．（1）写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】） 1解：（．类型六、一次函数综合lllx33x?y??经过A、D7、如图所示，直线的解析表达式为，且，直线与B轴交于点112ll交于点C．、两点，直线12(1)求点D的坐标；l的解析表达式； (2)求直线2(3)求△ADC的面积；l上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P(4)在直线的2坐标．【答案与解析】y x3x?y??33?3x?＝l．∴，得 D(1 (1)解：由，0)．＝0，当，得＝0ly?kx?b，的解析表达式为(2)设直线23??y0y?3x?x?4．由图象知，，；，24k?b?0,??将这两组值代入，得方程组?33k?b??.??23?k?,?2解得??b??6.?3lx?y?6．直线的解析表达式为∴22y??3x?3,??ll的交点，于是有与点(3)∵ C是直线?312y?x?6.?2?x?2,?解得∴ C(2，－3)．?y??3.?∴△ADC的AD边上的高为3．∵ OD＝1，OA＝4，∴ AD＝3．19?3?|??S3|?．∴ADC△22(4)P(6，3)．【总结升华】这是一道一次函数图象与性质的综合应用问题，求直线的函数解析式，一般运用待定系数法，但运用过程中，又要具体问题具体分析；求底边在坐标轴上三角形的面积的关键是探求该三角形的高．。
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《函数应用》全章复习与巩固编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1．理解方程的根与函数零点的关系，会用二分法求函数零点．2．进一步理解函数是刻画日常生活规律的重要模型，在用函数的过程中理解函数的概念、性质和函数思想方法．3．在用数学解决问题的实践中，感受数学应用的层次，体验数学建模的过程和步骤，了解数学建模的意义，发展应用数学的意识．【知识络】【要点梳理】要点一：函数、方程的有关问题1．一般地,一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0）的根与二次函数 y= ax2+bx+c (a≠0）的图像有如下关要点诠释：（1）方程的根与函数的零点：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．（2）方程的根与函数的零点：方程f (x )＝0有实数根的个数⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点的个数⇔函数y ＝f (x )的零点的个数．2．函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数()y f x =在一个区间[]a b ，上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异，即()()0f a f b <，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点()0x a b ∈，，使()00f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根.要点诠释：①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．②若函数()f x 在区间[],a b 上有()()0f a f b ⋅>，()f x 在(,)a b 内也可能有零点，例如2()f x x=在[]1,1-上，2()23f x x x =--在区间[]2,4-上就是这样的．故()f x 在(),a b 内有零点，不一定有()()0f a f b ⋅<．③若函数()f x 在区间[],a b 上的图象不是连续不断的曲线，()f x 在(),a b 内也可能是有零点，例如函数1()1f x x=+在[]2,2-上就是这样的． （2）利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程()0f x =，方程()0f x =无实根则函数无零点，方程()0f x =有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法函数()()()F x f x g x =-的零点就是方程()()f x g x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与()y g x =的图象交点的横坐标．3.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数()y f x =定义在区间D 上，求它在D 上的一个零点x 0的近似值x ，使它满足给定的精确度.第一步：在D 内取一个闭区间[]00,a b D ⊆，使()0f a 与()0f b 异，即()()000f a f b ⋅<，零点位于区间[]00,a b 中.第二步：取区间[]00,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()0000001122x a b a a b =+-=+. 计算()0f x 和()0f a ，并判断：①如果()00f x =，则0x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()000f a f x ⋅<，则零点位于区间[]00,a x 中，令1010,a a b x ==； ③如果()()000f a f x ⋅>，则零点位于区间[]00,x b 中，令1010,a x b b == 第三步：取区间[]11,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()1111111122x a b a a b =+-=+. 计算()1f x 和()1f a ，并判断：①如果()10f x =，则1x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()110f a f x ⋅<，则零点位于区间[]11,a x 中，令2121,a a b x ==； ③如果()()110f a f x ⋅>，则零点位于区间[]11,x b 中，令2121,a x b b ==； ……继续实施上述步骤，直到区间[],n n a b ，函数的零点总位于区间[],n n a b 上，当n a 和n b 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数()y f x =的近似零点，计算终止.这时函数()y f x =的近似零点满足给定的精确度.要点诠释：（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②()f a 、()f b 的值比较容易计算且()() <0f a f b ． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程()()f x g x =的根，可以构造函数()()()F x f x g x =-，函数()F x 的零点即为方程()()f x g x =的根．要点二：函数的实际应用求解函数应用题时一般按以下几步进行：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型. 第二步：建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求. 第三步：求模运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果. 第四步：还原把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.上述四步可概括为以下流程：实际问题(文字语言)⇒数学问题(数量关系与函数模型)⇒建模(数学语言)⇒求模(求解数学问题)⇒反馈(还原成实际问题的解答). 【典型例题】类型一：关于函数的零点与方程根的关系问题例1．若函数)(x f y =在区间[],a b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；B ．若0)()(<b f a f ，存在且只存在一个实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；D ．若0)()(<b f a f ，有可能不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ． 【答案】 C【解析】对于A 选项：可能存在；对于B 选项：必存在但不一定唯一 举一反三：【变式1】判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：（1）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内有且仅有一个零点．（2）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )≥0，则f (x )在区间(a ，b )内没有零点． （3）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]满足f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内存在零点． 【答案】 × × × 图象略【变式2】函数f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是 ( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2) 【答案】B【解析】∵f(0)＝1>0，f(－1)＝52-<0，∴选B. 【总结升华】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.例2．求函数()lg f x x x =-零点的个数．【思路点拨】此题考查函数零点个数问题，方法一：数形结合法，注意到函数()lg f x x x =-的图像不易作，舍之；方法二：转化为相应方程的解的个数问题．而方程lg 0x x -=不易解，舍之．若将方程lg 0x x -=变形为：lg x x =．构造函数lg y x =与y x =，方程lg 0x x -=的根即为方程组lg ,y x y x=⎧⎨=⎩的解，函数()f x 的零点个数即为函数lg y x =与y x =图像的交点的个数． 【答案】0【解析】函数lg y x =与y x =图像如图所示：由此易知，函数lg y x =与y x =的图像交点个数为0，即得：函数()f x 的零点个数为0． 【总结升华】函数()f x 零点个数的求法之一是：数形结合法，将方程()0f x =变形为：12()()f x f x =，构造函数1()y f x =与2()y f x =，这两个函数的交点个数即为函数()f x 的零点的个数．这种方法数形结合，直观性强． 举一反三：【变式1】求函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n ，n +1](n ∈Z )． 【答案】1 （2，3） 【解析】分别作出函数ln y x =和62y x =-的图象可知．如下图：【变式2】已知函数()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠且，当234a b <<<<时，函数()f x 的零点*0(,1),x n n n N ∈+∈,则n = ．. 【答案】2【解析】用数形结合法，由已知得：log a x x b =-+作出 2log y x =及3log y x =的图象， 作出 3y x =-+及4y x =-+由图象可知，当(2,3)a 在内变动，(3,4)b 在内变动时，显然对数函数图象与直线y x b =-+的公共点皆在区间(2,3)内，即函数()f x 的零点0(2,3)x ∈，故2n =．例 3.(2015 怀化一模)已知函数()22+1,203,0ax x x f x ax x ⎧+-<≤=⎨->⎩有三个零点，则实数a 的取值范围是 . 【答案】3,14⎛⎫⎪⎝⎭【思路点拨】首先根据函数类型和零点个数确定零点位置然后列出关系式求出实数a 的取值范围.【解析】函数()22+1,203,0ax x x f x ax x ⎧+-<≤=⎨->⎩有三个零点，0a ∴>且22+1y ax x =+在()2,0-上有2个两点 ()()2022210120440a a a a >⎧⎪-+-+>⎪⎪∴⎨-<-<⎪⎪⎪∆=->⎩ 解得314a << 【总结升华】对于函数零点问题一般采用数形结合的方法解决.举一反三：【变式1】(2015 锦州二模)已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩且函数()()g x f x x a =+- 只有一个零点，则实数a 的取值范围是 . 【答案】()1,+∞ 【解析】函数()()g x f x x a =+-只有一个零点，∴只有一个x 的值，使()0f x x a +-=即()f x a x =-令()h x a x =-∴函数()f x 与()h x 只有一个交点，如图示：当1a ≤时，()h x a x =-与()f x 有两个交点 当1a >时，()h x a x =-与()f x 有一个交点∴实数a 的范围是()1,+∞【高清课程：函数与方程377543 例5】【变式2】若方程2210ax x --=在（0，1）恰好有一解，求a 的取值范围． 【答案】()1,+∞【解析】（1）当0a =时，方程为()10,1x =-∈，不满足题意舍去． （2）当0a ≠时，令2()21f x ax x =--， 分情况讨论：①0180,(0,1)a x ∆=+=⎧⎨∈⎩，0182(0,1)a x ⎧=-⎪∴⎨⎪=-∉⎩ 18a ∴=-不满足题意舍去．②180a ∆=+>，18a ∴>-若(0)1f =-且(1)0f >即2110a -->，1a ∴>满足题意． 若(0)1f =-且(1)0f =即1a =时，()0f x =的另一解是12-． 综上所述，满足条件的a 的取值范围是()1,a ∈+∞．例4．借助计算器或计算机用二分法求方程230xx -=的一个近似解．（精确到0.01）【思路点拨】利用二分法求方程近似解的实质为求相应函数的近似零点，本题转化为求函数2()3x f x x =-的近似零点．注意到2(1)03f -=-<，则方程230x x -=在[-l ，0]内有实根，再用二分法求近似解．【解析】考查函数2()3x f x x =-，因为2(1)03f -=-<，(0)10f =>，所以方程230x x -=在[-l ，9]内有实数解．如此，得到方程230x x -=的实数解所在区间的表：至此，可以看出，区间[-0.687 5，-0.685546875]内的所有值，都精确到0.01都是0.69，所以0.69是方程精确到0.01的实数解．【总结升华】二分法就是一种程序，一种算法．用二分法求函数零点的近似值应注意： （1）选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使长度尽量小；（2）要依据条件定的精确度及时检验计算所得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算；（3）所要求的精确度不同则得到的结果不同；选取的起始区间不同，最后得到结果也不同，但它们都符合给定的精确度． 举一反三：【变式1】举出一个方程，但不能用“二分法”求出它的近似解 ． 【答案】2210x x ++=【解析】如果函数不能很明显的找到两个使函数值异的x ，这样就不好用二分法了． 类型二：函数模型极其应用（1）根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式;（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78 kg 的在校男生的体重是否正常？【思路点拨】由上表中的数据不能直接发现数量关系，需要利用散点图探寻问题的函数模型.由画出的散点图，观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线，根据这些点的分布情况（快速增长），可以考虑用增长的函数模型作为这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重y 与身高x 的函数关系. 【答案】（1）2 1.02x y =⨯（2）偏胖【解析】(1)身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图根据点的分布特征可以考虑以x y a b =⋅作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高的函数模型.选取表其中两组数据(70,7.90)，(160,47.25)代入x y a b =⋅得：701607.9047.25a b a b⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩ 用计算机算得2a ≈， 1.02b ≈这样，得到函数模型：2 1.02x y =⨯.将已知数据代入上述解析式，或作出上述函数模型的图像，可以发现这个函数模型与已知数据的拟合度较好，这说明它能较好的反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.(2)如何应用模型判断某男生的体重是否正常？ 将175x =代入2 1.02x y =⨯，得1752 1.02y =⨯由计算器算得63.98y ≈由于7863.98 1.22 1.2÷≈>所以，这个男生偏胖.【总结升华】用数据拟合函数模型时，如何从散点图观察函数，需要平时积累一些常见的函数模型，并了解具体模型适用的大致的实际问题．在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过实验，得到数据，再通过数据拟合得到的．举一反三：【变式1】假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？【解析】记y 为投资总回报，x 为投资天数，则方案一：40()y x x N +=∈；方案二：255()y x x x N +=+∈；方案三：0.4(21)()x y x N +=-∈，可做图象，结合函数表格分析得：投资8天以下（不含8天），应选择第一种方案；投资8-9天，应选择第二种方案；投资11天以上（含11天），则应选择第三种投资方案．。