平方根(提高)知识讲解

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平方根（提高）
【学习目标】
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．
【要点梳理】
要点一、平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数x的平方等于a，即2x a
=,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定
0的算术平方根还是0）；a
a的算术平方根”，a叫做被
开方数.
要点诠释：
a
0，a≥0.
2.平方根的定义
如果2x a
=，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平
方.平方与开平方互为逆运算. a(a≥0)
的平方根的符号表达为0)
a≥
，其中
a的算术平方根.
要点二、平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2
）结果不同：
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫
它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以
立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方
根来研究平方根.
要点三、平方根的性质
(0)
||0(0)
(0)
a a
a a
a a
>
⎧
⎪
===
⎨
⎪-<
⎩
()
2
a a
=≥
要点四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=.
【典型例题】
类型一、平方根和算术平方根的概念
1、（2015秋•张家港市校级期中）已知2a ﹣1的平方根是±3，3a+b ﹣9的立方根是2，c 是的整数部分，求a+b+c 的平方根．
【思路点拨】首先根据平方根与立方根的概念可得2a ﹣1与3a+b ﹣9的值，进而可得a 、b 的值；接着估计的大小，可得c 的值；进而可得a+b+c ，根据平方根的求法可得答案．
【答案与解析】
解：根据题意，可得2a ﹣1=9，3a+b ﹣9=8；
故a=5，b=2；
又∵2＜＜3，
∴c=2，
∴a+b+c=5+2+2=9，
∴9的平方根为±3．
【总结升华】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，还要掌握实数的基本运算技能，灵活应用．
举一反三：
【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的两个不同的平方根，求m 的值.
【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2互为相反数. 解：当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，
所以m ＝()()22
221[2(1)1]39a -=⨯--=-=
2、x 为何值时，下列各式有意义 2x 4x -11x x +- (4)
13x x --． 【答案与解析】
解：(1)因为20x ≥，所以当x 2x
(2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥4x - (3)由题意可知：1010
x x +≥⎧⎨-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤11x x
+-有意义．
(4)由题意可知：1030
x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且3x ≠．
所以当1x ≥且3x ≠时，13x x --有意义． 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义． 举一反三： 【变式】已知4322232b a a =-+-+，求
11a b
+的算术平方根． 【答案】 解：根据题意，得320,230.
a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =，所以
b ＝2，∴1131222a b +=+=， ∴11a b
+的算术平方根为112a b +=． 类型二、平方根的运算
3、求下列各式的值．
(1)2222252434-+；(2)111200.36900435
--． 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.
【答案与解析】
解：(1)22
22252434-+49257535==⨯=； (2)1118111200.369000.630435435--=-⨯-⨯90.26 1.72
=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据2(0)a a a =>来解．
类型三、利用平方根解方程
4、求下列各式中的x .
（1）23610;x -= （2）()2
1289x +=；
（3）()2932640x +-=
【答案与解析】
解：（1）∵23610x -=
∴2361x =
∴36119x =±=± （2）∵()2
1289x +=
∴1289x +=±
∴x ＋1＝±17
x ＝16或x ＝－18.
（3）∵()2932640x +-= ∴()2
64329
x += ∴8323
x +=± ∴21499
x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度. 举一反三： 【变式】求下列等式中的x ：
（1）若2 1.21x =，则x ＝______； （2）2
169x =，则x ＝______； （3）若2
9,4
x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______． 【答案】（1）±；（2）±13；（3）32
±；（4）±2. 类型四、平方根的综合应用
【高清课堂：389316 平方根：例5】 5、已知a 、b 26|20a b ++=，解关于x 的方程
2(2)1a x b a ++=-．
【答案与解析】
解：∵a 、b 26|20a b +-=260a +≥，|20b ≥，
∴260a +=，20b =．
∴a =－3，2b =． 把a =－3，2b =代入2(2)1a x b a ++=-，得－x ＋2＝－4，∴x ＝6．
【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a 、b 的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可．
举一反三：
【高清课堂：389316 平方根：例5练习】
【变式】若2110x y -++=，求20112012x y +的值．
【答案】 解：由2110x y -++=，得210x -=，10y +=，即1x =±，1y =-．
①当x ＝1，y ＝－1时，20112012201120121(1)2x y +=+-=．
②当x ＝－1，y ＝－1时，2011201220112012(1)(1)0x y +=-+-=．
【高清课堂：389316 平方根：例6】
6、小丽想用一块面积为4002
cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002cm 的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 【答案与解析】
解：设长方形纸片的长为3x (x ＞0) cm ，则宽为2x cm ，依题意得 32300x x ⋅=.
26300x =.
250x =.
∵ x ＞0，
∴ 50x =
∴ 长方形纸片的长为350cm .
∵ 50＞49,
∴507>.
∴ 35021>, 即长方形纸片的长大于20cm .
由正方形纸片的面积为400 2cm , 可知其边长为20cm ,
∴长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.
答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm的正方形纸片裁出长方形纸片.
举一反三：
【变式】（2015春•台安县月考）某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000m2的正方形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为
420m2，其中长是宽的倍，篮球场的四周必须留出1m宽的空地，请你通过计
算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场
【答案】
解：设篮球场的宽为xm，那么长为28
15
x m，
由题意知，
所以x2=225，
因为x为正数，
所以x==15，
又因为=900＜1000，所以按规定在这块空地上建一个篮球场．。