初中数学平方根知识点归纳
初中平方根知识讲解
平方根（基础）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a，读作“a 的算术平方根”，a 叫做被开方数.要点诠释：a≥0，a ≥0. 2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为0)a ≥a 的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质||000aa a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20aa =≥知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.250=25=2.5=0.25=. 【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.＝5，所以本说法正确；B.1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.4，所以本说法错误；D.因为＝0＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（ ）（24=±．（ ） （3）21()10-的平方根是110±．（ ） （4）25--是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×，提示：（24=；（4）25是425的算术平方根．2、 填空：（1）4-是 的负平方根．（2表示 的算术平方根，= ．（3的算术平方根为 ．（43=，则x = ，若3=，则x = ．【思路点拨】（3181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)11;164(3)13 (4) 9；±3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④ 8-是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B ；提示：①④是正确的.【变式2】求下列各式的值：（1） （2（3（4【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）6553x 的取值范围是______________． 【答案】x ≥1-；【解析】x ＋1≥0，解得x ≥1-.【总结升华】有意义时，a 0，a ≥0. 举一反三：【变式】代数式y ＝3-x 有意义，则x 的取值范围是 ． 【答案】3x ≥.类型二、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-=【思路点拨】表面上看本题是一元二次方程，但是本题可以通过开平方的方法（2）小题将()1x +看作一个整体，（3）小题将()32x +看作一个整体，求出它们的解后，再求x . 【答案与解析】解：（1）∵23610x -= ∴2361x = ∴19x ==±（2）∵()21289x += ∴1x += ∴x ＋1＝±17 x ＝16或x ＝－18. （3）∵()2932640x +-= ∴()264329x +=∴8323x +=± ∴21499x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度. 类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x ，长为3x ， 由题意得，x ·3x ＝132332x ＝132321x =±x ＝－21(舍去) 答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.（提高）【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －1），解方程即可求解． 【答案与解析】解：依题意得 2m －4＝－（3m －1），解得m ＝1； ∴m 的值为1．【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三：【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22212111a -=⨯-=②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，所以()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-=2、x 为何值时，下列各式有意义？(4)3x -． 【答案与解析】解：(1)因为20x ≥，所以当x(2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥(3)由题意可知：1010x x +≥⎧⎨-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤(4)由题意可知：1030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且3x ≠．所以当1x ≥且3x ≠有意义． 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．举一反三：【变式】已知2b =，求11a b+的算术平方根． 【答案】解：根据题意，得320,230.a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =，所以b ＝2， ∴1131222a b +=+=，∴11a b+= 类型二、平方根的运算3、求下列各式的值．2234+； 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：2234+257535==⨯=；110.63035=⨯-⨯90.26 1.72=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)(0)a a =>来解． 类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-=【答案与解析】解：（1）∵23610x -= ∴2361x = ∴19x ==±（2）∵()21289x += ∴1x += ∴x ＋1＝±17 x ＝16或x ＝－18. （3）∵()2932640x +-= ∴()264329x +=∴8323x +=± ∴21499x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度. 举一反三：【变式】求下列等式中的x ：（1）若21.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______； （3）若29,4x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______．【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）32±；（4）±2. 类型四、平方根的综合应用5、已知a 、b |0b =，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-．【答案与解析】解：∵a 、b |0b =0≥，|0b ≥，∴260a +=，0b =．∴a =－3，b =把a =－3，b =2(2)1a x b a ++=-，得－x ＋2＝－4，∴x ＝6．【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a 、b 的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可． 举一反三：0=，求20112012x y +的值．【答案】0=，得210x -=，10y +=，即1x =±，1y =-．①当x ＝1，y ＝－1时，20112012201120121(1)2xy +=+-=． ②当x ＝－1，y ＝－1时，2011201220112012(1)(1)0xy +=-+-=．6、小丽想用一块面积为4002cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002cm 的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x (x ＞0) cm ，则宽为2x cm ，依题意得 32300x x ⋅=. 26300x =. 250x =.∵ x ＞0，∴ x =∴ 长方形纸片的长为cm . ∵ 50＞49,7>.∴ 21>, 即长方形纸片的长大于20cm .cm, 可知其边长为20cm,由正方形纸片的面积为400 2∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm的正方形纸片裁出长方形纸片.。
七年级数学下册知识讲义-6 平方根-人教版
精讲精练1. 平方根定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根或二次方根。
即：如果x2＝a，则x叫做a的平方根。
正数a的平方根记作“±”，读作“正、负根号a”。
性质：①正数有两个平方根，它们互相反数，如25的平方根是±5，且5＋（－5）＝0；②0的平方根是0；③负数没有平方根。
2. 开平方定义：求一个数a（a≥0）的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫作被开方数。
提示：①平方根是一个数，是开平方的结果，开平方是和加、减、乘、除、乘方一样的一种运算，是求平方根的过程。
②开平方与平方互为逆运算，被开方数a一定是非负数（即正数或零）。
可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确。
3. 算术平方根定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，规定0的算术平方根是0。
非负数a的算术平方根记为，读作：“根号a”，a叫做被开方数。
如32＝9，那么3叫作9的算术平方根（或9的算术平方根是3）。
性质：①一个正数的算术平方根只有一个，且它的算术平方根也是正数。
②0的算术平方根是0。
③负数没有算术平方根。
提示：①双非负性：≥0，a≥0；②只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根；③实际上省略了中的根指数2，因此也读作“二次根号a”。
例题1（江岸区模拟）下列说法中错误的是（）A.是0.25的一个平方根B. 正数a的两个平方根的和为0C.的平方根是D. 当x≠0时，﹣x2没有平方根思路分析：因为0.25的平方根是±，所以是0.25的一个平方根，故选项A正确；因为正数的两个平方根互为相反数，故它们的和为0，故选项B正确；的平方根是±，故选项C 错误；因为负数没有平方根，故当x≠0时，﹣x2没有平方根，故选项D正确。
故选C。
答案：C例题2 （北流市期中）已知a﹣1与5﹣2a是m的平方根，求a和m的值。
思路分析：分两种情况讨论，①a﹣1与5﹣2a是同一个平方根，②a﹣1与5﹣2a不是同一个平方根，分别计算即可。
初中数学平方根知识点整理
初中数学平方根知识点整理平方根是数学中的一个重要概念，它是指一个数的平方根是另一个数，即被开方的数。
在初中数学中，平方根是一个基础知识点，学生需要掌握平方根的计算方法和相关性质。
下面我们来整理一下初中数学中关于平方根的知识点。
一、平方根的定义1.正数的平方根：如果a的平方等于b，那么b就是a的平方根，记为√b=a。
例如，√9=3，因为3的平方等于92.负数的平方根：负数的平方根可以写成√-a=i√a，其中i是虚数单位。
例如，√-9=3i，因为3i的平方等于-9二、平方根的计算1.简化平方根：将一个数写成两个数的积的形式，其中一个数是能被开方的完全平方数，这样就可以简化平方根的计算。
例如，√75=√25×3=5√32.估算平方根：对于不是完全平方数的数，可以通过估算来计算它的近似值。
例如，√13≈3.6，因为3.6的平方约等于13三、平方根的性质1.非负性：平方根是非负数，即√a≥0。
2.奇函数：平方根函数是奇函数，即√(-a)=-√a。
3. 开平方的性质：如果a≥0，b≥0，则√(ab)=√a×√b。
4.套用公式：如果√a=√b，则a=b；如果√a=-√b，则a=-b。
四、平方根的应用1.平方根定理：平方根定理是一个在初中数学中广泛应用的公式，它是勾股定理的推广，用于解决关于直角三角形的问题。
2.模型问题：平方根在数学建模中有着广泛的应用，例如在物理学中用于求解速度、加速度等问题。
3.几何问题：平方根在几何图形中也有着重要的应用，例如用于求解正方形的对角线长度。
总结：平方根是初中数学中重要的知识点之一，学生要熟练掌握平方根的计算方法和性质，灵活运用平方根解决各种问题。
希望以上整理的知识点能够帮助学生更好地理解和掌握平方根的概念。
初二上册数学《平方根》知识点
初二上册数学《平方根》知识点平方根是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域，特别是在代数、几何和物理中。
掌握平方根的概念和相关的知识，对于初中学生来说至关重要。
以下是初二上册数学《平方根》的一些重要知识点：一、什么是平方根1.定义：对于非负实数a，如果存在一个非负实数x使得x²=a，那么x就是数a的平方根。
2.平方根的表示方法：√a，读作"a的平方根"。
3.平方根的性质：非负实数a的平方根是存在且唯一的。
二、平方根的运算1.平方根的加减法：√a±√b=√(a±b)2. 平方根的乘法：√a× √b = √(ab)3.平方根的除法：√a/√b=√(a/b)，其中b≠04.平方根与混合数的乘法：√(a×b)=√a×√b5.平方根的开方法则：√(a^m)=a^(m/2)，其中a≥0，m为正整数三、平方运算与平方根1.平方运算和平方根的逆运算关系：√(a²)=，a，即任意实数a的平方根的平方等于a的绝对值。
2.平方根与平方运算的运算规律：a)(√a)²=a，即平方根的平方等于原来的数。
b)√(a×b)=√a×√b，即两个数的乘积的平方根等于各个因数的平方根的乘积。
c)√(a/b)=√a/√b，即两个数的商的平方根等于各个因数的平方根的商。
四、平方根的应用1.平方根的几何意义：平方根表示直角三角形的边长关系。
2.平方根的估算：使用近似值计算平方根，例如使用奇数的平方根进行估算。
3.平方根的图像表示：绘制平方根函数的图像，了解其随着自变量的变化而变化的规律。
4.平方根在实际问题中的应用：例如计算长方形的对角线长度、计算三角形的边长等。
总而言之，初二上册数学《平方根》主要包括平方根的定义、运算法则以及平方根与平方运算的逆运算关系等知识点。
掌握这些知识，可以帮助学生更好地理解和应用平方根，在解决实际问题时有更好的思路和方法。
初中数学知识点精讲精析 平方根知识讲解
13·1 平方根要点精讲1. 平方根的概念（1）如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根．即：x 2＝a ，x 叫a 的平方根．（2）数a （a ≥0）的平方根记作±a ，读作“正负根号下a ”，其中a 表示a 的正的平方根，－a 表示a 的负的平方根；“a ”实际上省略了2a 中的2，2叫做根指数，a 叫做被开方数．2. 平方根的性质（1）正数有两个平方根，它们互为相反数．（2）0的平方根只有一个，还是0．（3）负数没有平方根．3. 算术平方根一个正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，0的算术平方根还是0．（1）算术平方根的定义表明，只要是非负数就一定有算术平方根．（2）算术平方根是平方根的一种．（3）非负数的算术平方根还是非负数．a (a ≥0)， a ≥0常见的非负数的类型：︱a ︱，a 2，a (a ≥0)注：（1）要加强对平方根和算术平方根概念的理解，进一步明确非负数a 的算术平方根是a ，而平方根是±a ．（2）计算化简时要谨慎细心，如求81的平方根，需先算出81＝9，求81的平方根就是求9的平方根，而不是求81的平方根．（3）真正领会负数没有平方根．典型例题例1.求下列各数的平方根和算术平方根（1）12149（2）0.0081 （3）(－45)2 （4）14解析：（1）平方根是：±117，算术平方根是：117（2）平方根是：±0.09，算术平方根是：0.09（3）平方根是：±45，算术平方根是：45（4）平方根是：±14，算术平方根是：14例2.求下列各式中的x ．（1）9x 2－256＝0（2）4(2x －1)2＝25解析：（1）x 2＝2569，x ＝±163（2）把2x －1作为一个整体，则2x －1＝±52．当2x －1＝52时，x ＝74；当2x －1＝－52时，x ＝－344. ∵（1－2a ）2≥0，b －2≥0，又（1－2a ）2＋b －2＝0，∴（1－2a ）2＝0，b －2＝0，∴1－2a ＝0，b －2＝0，∴a ＝12，b ＝2，∴ab ＝1．例3.如果一个正数的平方根是a ＋3和2a －15，求a 的值和这个正数．分析：由平方根的意义可知a ＋3和2a －15互为相反数，故有a ＋3＋（2a －15）＝0，从而可以解得a ，进而求出这个正数．解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以（a ＋3）＋（2a －15）＝0，解得a ＝4．当a ＝4时，a ＋3＝7，2a －15＝－7．即这个正数的平方根分别是＋7和－7，所以原数为49．评析：解决本题的关键是利用一个正数的平方根是互为相反数的关系得到a 的一元一次方程，解方程求出a 的值，从而求出这个正数．例4.在交通事故的处理中，警察往往用公式v ＝16df 来判断该车辆是否超速，其中v 表示车速（单位：千米/时），d 表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f 表示摩擦系数.某日，在一段限速60千米/时的公路上，发生了一起两车追尾事故，警察赶到后经过测量，得出其中一辆车的d ＝18，f ＝2. 请问：该车超速了吗？分析：运用公式，求出该车的速度，再与60千米/时进行比较，看是否超速便可解决. 解：把d ＝18，f ＝2代入公式v ＝16df 得v ＝1618×2＝16×6＝96（千米/时）.而96＞60，所以该车超速了.评析：平方根和立方根的知识在实际生活中应用非常广泛，因此数的发展与现实需要密不可分.例5.求下列各式中的x 的值．（1）x 2－676＝0；（2）9（3x ＋1）2＝64．分析：这是一道求平方根的题目．（1）x 2－676＝0可化为x 2＝676，x 的值就是676的平方根．（2）可将3x ＋1看作一个整体来解，即（3x ＋1）2＝649，所以3x ＋1是649的平方根，从而可求出x ．解：（1）∵x 2－676＝0，∴x 2＝676．∴x ＝±676＝±26．（2）∵9（3x ＋1）2＝64，∴（3x ＋1）2＝649，∴3x ＋1＝±649＝±83， 当3x ＋1＝83时，x ＝59； 当3x ＋1＝－83时，x ＝－119． 评析：解带有平方的方程时，首先应将方程化为一边是完全平方，另一边是一个非负数的形式，然后两边同时开平方，开方时一定要注意不要漏掉负的平方根，同时根据题目的特点，本题利用了一个重要的数学思想——整体思想．例6.对于题目：“化简并求值：1a ＋(1a －a )2，其中a ＝15”，甲、乙两人的解答不同． 甲的解答是：1a ＋(1a －a )2＝1a ＋1a －a ＝2a －a ＝495， 乙的解答是：1a ＋(1a －a )2＝1a ＋a －1a ＝a ＝15． 阅读后你认为谁的解答是错误的？为什么？分析：将a ＝15代入便知谁的解答正确． 解：乙的解答是错误的，因为当a ＝15时，1a＝5． a －1a ＝15－5＜0，所以(1a －a )2≠a －1a ，而应是(1a －a )2＝1a－A. 评析：在化简a 2时，一定要注意a 的符号，并且根据算术平方根的意义，a 2的结果应为非负数．例7.利用计算器计算： …，0.0625，0.625， 6.25，62.5，625，6250，62500，…计算后，分析结果，你发现了什么规律？分析：可分析开方前和开方后小数点的变化规律．解：用计算器计算结果如下：…，0.25，0.7906，2.5，7.906，25，79.06，250，…分析计算结果可以发现：被开方数的小数点每向右（左）移动两位，算术平方根的小数点相应地向右（左）移动一位．评析：可利用开平方时小数点的这一变化规律对一些数开平方．。
专题02 平方根重难点题型专训(9大题型+15道拓展培优)(解析版)七年级数学下册-
专题02平方根重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）【题型目录】题型一平方根与算术平方根概念理解题型二求一个数的算术平方根题型三利用算术平方根的非负性解题题型四求算术平方根的整数部分与小数部分题型五与算术平方根有关的规律探索题题型六求一个数的平方根题型七已知一个数的平方根，求这个数题型八利用平方根解方程题型九平方根的应用【知识梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a，读作“a 的算术平方根”，a 叫做被开方数.特别说明：有意义时，aa ≥0.2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a (a≥0)的平方根的符号表达为0)a ≥是a 的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质0||000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a a =≥知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.=.=0.25=25=， 2.5250【经典例题一平方根与算术平方根概念理解】【变式训练】平方差公式和完全平方公式，下，【经典例题二求一个数的算术平方根】【变式训练】A．3B．3±C．3【答案】A【分析】本题主要考查了有理数和无理数的识别，根据程序图及算术平方根的计算方法，依次计算即可，理解算术平方根是解题的关键．【点睛】本题主要考查了同类项、代数式求值、算术平方根等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．七年级统考期末）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为【经典例题三利用算术平方根的非负性解题】【变式训练】【经典例题四求算术平方根的整数部分与小数部分】【变式训练】8．（2022下·广东珠海·七年级统考期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．【经典例题五与算术平方根有关的规律探索题】【答案】B【分析】根据算术平方根的定义解决此题．【详解】解：由题意得：从0.0625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍，从0.625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍，∴可得：6.25的算术平方根为2.5,62.5的算术平方根约为7.91，故选B．【点睛】本题主要考查数字类规律探索，算术平方根，熟练掌握原数和平方根的变化规律是解决本题的关键．【变式训练】【经典例题六求一个数的平方根】n 【变式训练】∴x y+的平方根是2±，±．故答案为：2【点睛】本题考查根式的非负性，以及计算一个数的平方根，能够根据根式的非负性计算出未知数的值是解决本题的关键．【经典例题七已知一个数的平方根，求这个数】【变式训练】的值，再找出关系即可．【详解】（1）解：由题意得，6290a a ++-=，解得1a =，21649m +∴==（）；（2）当1a =时，2160x -=，216x ∴=，4x ∴=±．【点睛】本题考查平方根的意义及求平方根，关键是要掌握一个正数有两个平方根，互为相反数．【经典例题八利用平方根解方程】【变式训练】1．（2023下·河北石家庄·七年级统考期中）问题：在一块面积为2400cm 的正方形纸片上，沿着边的方向裁出一块面积为2300cm ，且长宽之比为3：2的长方形纸片(不拼接)，能裁出吗？对于上述问题的解决，嘉嘉和琪琪进行如下对话：嘉嘉：可是不符合实际情况啊正方形纸片的面积为【经典例题九平方根的应用】【变式训练】1．（2023下·河南郑州·八年级统考期末）电流通过导线时会产生热量，满足2=，其中Q为产生的热量Q I Rt为通电时间（单位：，则乙的面积为【拓展培优】A．2B．【答案】C【分析】本题主要考查算术平方根的定义，准确求出阴影部分的面积是解题的关键．根据割补法求出阴影部分的面积即可得到答案．①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则±【答案】2【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，平方根，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．则3757.69的算术平方根为．【答案】61.3【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据题目所给的方法进行解答即可．；，由于10．（2023上·浙江丽水·七年级统考期中）如图角形和一个阴影小正方形（无缝隙、不重叠）折后得到图2所示的大正方形．（1）若阴影小正方形的边长为1，则图2中大正方形的面积为（2）若图2中大正方形的边长为正整数，则阴影小正方形的边长为【答案】7123或8【分析】（1）根据图1求出四个直角三角形的面积，根据翻折的性质，从而得到图可；（2）设小正方形的面积为x，从而得到图2大正方形的面积，再根据大正方形的边长为正整数，即可得到x的值．【详解】解：（1）∵一个边长为6的正方形被分割成四个完全相同的直角三角形和一个阴影小正方形，阴影小正方形的边长为1，②∵3,2a b ==-，∴a b >，∴()()33228a b ⊕=⊕-=-=-，∵83-<，∴()()()8328313a b a ⊕⊕=-⊕=⨯-+=-．13．（2023上·湖北黄冈·七年级武穴市实验中学校考期中）如图，A 、B 、C 、D 四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过A B C D →→→顺序的运算，可列式为：2[(52)3]4⨯-+，8经过运算顺序B D A C →→→运算，可列式为2{[(83)4]2}-+⨯(1)请计算2[(52)3]4⨯-+；(2)列式计算2-经过C D A B →→→顺序的运算结果；(3)若数x 经过B C A D →→→顺序的运算，结果是12．则求初始数字x 是多少？【答案】(1)53(2)13(3)初始数字x 是5或1【分析】（1）根据有理数的运算法则和运算顺序计算即可；（2）根据题意可以列出算式2[(2)4]23-+⨯-，计算即可；（3）根据题意可以得到()223412x -+=，即可求解．【详解】（1）解：2[(52)3]4⨯-+()21034=-+274=+53=；（2）解：由题意得：2[(2)4]23-+⨯-(44)23=+⨯-2。
初中数学二次根式的知识点汇总
初中数学二次根式的知识点汇总二次根式是代数中的一个重要概念，它是一个含有平方根的表达式。
在初中数学中，学生将会学习有关二次根式的一些基本知识，以及如何进行运算和简化。
以下是一些关于初中数学二次根式的知识点的汇总。
一、二次根式的定义和表示方法1.二次根式是一个非负实数的平方根或一组二次根目标。
它可以表示为√a或±√a。
2.在二次根式中，a被称为根式的被开方数，表示所求的数；√a被称为二次根号，表示开方操作。
3.如果a是一个非负实数，那么二次根式√a表示的是非负的实数。
如果a是一个负实数，那么二次根式√a没有实数解。
4.二次根式的定义域是非负实数集合[0,∞)。
二、二次根式的比较大小1.二次根式的大小比较可以通过比较根式的被开方数来进行。
2.如果a和b是两个非负实数，且a>b，则有√a>√b。
3.如果a和b是两个非负实数，且a=b，则有√a=√b。
4.如果a和b是两个非负实数，且a<b，则有√a<√b。
三、二次根式的加减法运算1.只有具有相同的被开方数的二次根式才能进行加减法运算。
2.二次根式的加减法运算可以通过合并同类项的方式进行。
3.合并同类项时，需要注意二次根式的正负号是否一致。
四、二次根式的乘法运算1.二次根式的乘法运算可以通过乘法分配律进行。
2.二次根式的乘法运算可以通过提取同类项的方式进行。
3.提取同类项时，需要注意二次根式的正负号是否一致。
五、二次根式的除法运算1.二次根式的除法运算可以通过乘以倒数的方式进行。
2.二次根式的除法运算可以通过有理化的方式进行，即将分母有理化为无二次根式的形式。
六、二次根式的化简1.将一个二次根式化简为最简形式时，需要将其内部的二次根式去除。
2.二次根式化简的基本原则是尽量将被开方数的因式分解为平方数的积。
3.化简二次根式时，需要注意遵循二次根式的定义域，确保结果是有意义的。
七、二次根式的应用1.二次根式广泛应用于几何、物理和计算机科学等领域。
初中数学易考知识点平方根和立方根的计算方法
初中数学易考知识点平方根和立方根的计算方法数学是一门重要的学科，对于初中学生而言，掌握数学的基本知识和计算方法是十分关键的。
其中，平方根和立方根的计算方法是数学考试中经常出现的一类题型。
本文将详细介绍初中数学中关于平方根和立方根的计算方法，帮助大家更好地理解和掌握这些知识点。
一、平方根的计算方法平方根是数学中常见的一个概念，表示一个数的平方根。
在初中数学中，我们常用符号√来表示平方根。
平方根的计算方法主要有两种：近似计算和精确计算。
1. 近似计算平方根的方法近似计算平方根的方法适用于无法精确计算的情况。
下面举例说明：例题1：近似计算√16解析：我们知道，4的平方等于16，所以√16=4。
例题2：近似计算√22解析：我们找两个相邻的整数，例如4和5。
4的平方等于16，5的平方等于25。
√22介于4和5之间，我们可以估算一下，√22约等于4.7。
通过以上例题，我们可以看出，近似计算平方根时，可以根据已知整数的平方数来判断。
2. 精确计算平方根的方法如果题目要求精确计算平方根，可以使用以下方法：方法一：因式分解法对于一个正整数n，如果存在两个正整数a和b，满足n=a^2*b（其中b不含平方因子），则√n=a*√b。
这个方法适用于能够进行因式分解的情况。
例题3：计算√48解析：我们可以进行因式分解，48=4*12=4*4*3。
所以，√48=2*√3。
方法二：长除法对于一个正整数n，我们可以使用长除法的思想来进行精确计算。
例题4：计算√63解析：我们可以使用长除法来计算。
首先，我们找到离63最接近的平方数，即√64=8。
然后，我们将63除以8，并将商和余数记录下来：8 | 63| 48|_____15继续进行长除法，我们可以得到√63=8+（15/8）。
注意，商和余数都要保留到一定的位数，以便进行后续的精确计算。
以上是计算平方根的方法，希望对大家有所帮助。
二、立方根的计算方法立方根是数学中的又一重要概念，表示一个数的立方根。
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初中数学平方根知识点归纳
平方根是初中数学中一个重要的概念，它与平方和开方有着密切的关系。
在初
中数学教学中，平方根的概念和性质是学生掌握的基础知识之一。
本文将围绕初中数学平方根知识点进行归纳和总结，以帮助学生更好地理解和应用平方根概念。
一、平方根的定义和性质
平方根的定义：对于任意一个非负实数a，如果存在一个非负实数x，使得x
的平方等于a，那么x就是a的平方根。
符号表示：√
平方根的性质：平方根具有以下性质：
1. 非负实数的平方根是非负实数；
2. 0的平方根是0；
3. 正实数的平方根有两个值，一个是正数，另一个是负数；
4. 通过平方运算，平方根是可逆的，即(√a)²=a，其中a≥0。
二、平方根的计算方法
求一个数的平方根可以通过多种方法进行计算，下面介绍两种常用的计算方法。
1. 精确计算法：当被开方数是一个完全平方数时，可以直接提取根号。
例如，√16=4；√25=5。
2. 近似计算法：对于非完全平方数，可以使用近似计算法来获取平方根的估计值。
其中一种方法是利用长除法，逐步逼近平方根的准确值。
另一种方法是利用二分法，根据平方根的大小与区间中点的大小关系，逐渐缩小区间范围，直到精度满足要求。
三、平方根的性质与运算
1. 合并根号：对于正实数a和b，有√(a × b) = √a × √b；
2. 开方运算的基本性质：
a) √(a × b) = √a × √b，其中a≥0，b≥0；
b) √(a ÷ b) = √a ÷ √b，其中a≥0，b>0；
c) √(a ÷ b) ≠ √(a) ÷ √(b)，当a≥0，b>0且a≠b时，两者不等；
3. 平方根与乘方运算：(a^2)^0.5 = |a|，其中a可以是任意实数。
四、应用举例
平方根的应用广泛存在于各个领域，在初中数学中也有一些常见的应用举例。
1. 利用平方根求直角三角形的斜边：在一个直角三角形中，已知两条边的长度，可以利用勾股定理求解未知边的长度，其中需要涉及到平方根的运算。
2. 利用平方根计算面积：对于一些几何图形，如圆的面积公式S=πr^2中，需
要对半径进行平方运算并乘以π，这就需要使用平方根来计算。
3. 利用平方根求解方程：在一些代数方程中，需要进行平方根运算来求解方程
的根，如x^2 = 16，解得x=±4。
4. 利用平方根进行数值估算：当需要对一个数进行估算时，可以利用近似计算
的方法求出其平方根的近似值。
总结：
平方根是初中数学中的一个重要概念，通过学习平方根的定义、性质、计算方
法以及应用举例，我们可以更好地理解和运用平方根。
平方根的性质与运算法则是学习平方根过程中的关键点，而平方根的应用可以帮助我们更好地理解和运用数学
知识。
初中数学平方根知识点的掌握不仅仅是为了考试和解题，在日常生活中，它也有广泛的实际应用。
因此，学好平方根的相关知识对建立数学基础和培养数学思维能力非常重要。