材料力学 第五章扭转变形.强度、刚度条件(6,7,8)汇总
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材料力学 第五章 剪切和扭转
1、连接件 在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件。例如：
螺栓、铆钉、键等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。
螺栓 P
特点：可传递一般 力，
可拆卸。
P
P 铆钉
P
无间隙
特点：可传递一般 力，不可拆卸。如桥梁桁架结点处于它连接。 齿轮
m
键
轴
特点：传递扭矩。
F m m F
剪切变形（shearing deformation）:如图所示作用在联 接件两侧面上的一对外力的合力大小相等，方向相反，作用 线相距很近；并使各自作用的部分沿着与合力作用线平行的 截面m-m（称为剪切面（shear surface））发生相对错动。
三、外力偶矩换算 扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力偶矩可 通过传递功率和转数来换算。 若传动轴的传递功率为P，每分钟转数为n ，则每分钟 功率作功： W 60 P 力偶作功：
W m 2n
60 P m 2n
P m 9550 (N m) n
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（r/min）
δ
σ
FN = F F
F
b
F
１. 剪切强度计算 F Q =F
FQ AQ
F
δ
F
d
δ b FQ = F FQ = F
F
F
AQ为剪切面面积。
剪切强度条件
FQ AQ [
F
]
[τ]为铆钉的容许切应力。
F
２.挤压强度计算
F bs =F
F
F
F
bs Fbs
δ
d
δ F F
Abs
b
A bs为计算挤压面面积
螺栓、铆钉、键等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。
螺栓 P
特点：可传递一般 力，
可拆卸。
P
P 铆钉
P
无间隙
特点：可传递一般 力，不可拆卸。如桥梁桁架结点处于它连接。 齿轮
m
键
轴
特点：传递扭矩。
F m m F
剪切变形（shearing deformation）:如图所示作用在联 接件两侧面上的一对外力的合力大小相等，方向相反，作用 线相距很近；并使各自作用的部分沿着与合力作用线平行的 截面m-m（称为剪切面（shear surface））发生相对错动。
三、外力偶矩换算 扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力偶矩可 通过传递功率和转数来换算。 若传动轴的传递功率为P，每分钟转数为n ，则每分钟 功率作功： W 60 P 力偶作功：
W m 2n
60 P m 2n
P m 9550 (N m) n
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（r/min）
δ
σ
FN = F F
F
b
F
１. 剪切强度计算 F Q =F
FQ AQ
F
δ
F
d
δ b FQ = F FQ = F
F
F
AQ为剪切面面积。
剪切强度条件
FQ AQ [
F
]
[τ]为铆钉的容许切应力。
F
２.挤压强度计算
F bs =F
F
F
F
bs Fbs
δ
d
δ F F
Abs
b
A bs为计算挤压面面积
杆在扭转时的变形 · 刚度条件
2
πd A实 1749 mm 2 4 2 2 π(76 71 ) A空 577mm 2 4
两轴材料、长度均相同, 故两轴重量比等于两轴的横截面积比，
A2 577 0.329 A1 1749
在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻, 即节省材料.
例题7 两端固定的圆截面杆AB, 在截面C 处受一个扭转力偶矩
Me 的作用, 如图所示.已知杆的抗扭刚度 GIp, 试求杆两端的支反 力偶矩. Me
A a
C
B b
l
解:去掉约束,代之以约束反力偶矩
Mx 0
M eA M eB M e 0
这是一次超静定问题,
Me
A
a
须建立一个补充方程
杆的变形相容条件是 C 截面相对于两固定端 A和B的相对扭转角相等.
'
Mt Ip
M tl GI p
max
• The strengh condition • The rigidity condition
Mt Wp
180
Mp GI p
o
例题5 图示等直杆, 已知直径d = 40mm, a = 400mm, 材料的剪切
弹性模量G = 80GPa，DB =1°. 试求：
（1） AD杆的最大切应力; （2）扭转角 CA 解：画扭矩图 Me D a C a 2Me B 2a 3Me Me +
3Me
A
Tmax= 3Me 计算外力偶矩Me
材料的许用切应力 [ ] = 100MPa, 切变模量为 G = 80GPa, 轴的许可扭角[′ ] = 2/m . 试校核轴的强度和刚度.
πd A实 1749 mm 2 4 2 2 π(76 71 ) A空 577mm 2 4
两轴材料、长度均相同, 故两轴重量比等于两轴的横截面积比，
A2 577 0.329 A1 1749
在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻, 即节省材料.
例题7 两端固定的圆截面杆AB, 在截面C 处受一个扭转力偶矩
Me 的作用, 如图所示.已知杆的抗扭刚度 GIp, 试求杆两端的支反 力偶矩. Me
A a
C
B b
l
解:去掉约束,代之以约束反力偶矩
Mx 0
M eA M eB M e 0
这是一次超静定问题,
Me
A
a
须建立一个补充方程
杆的变形相容条件是 C 截面相对于两固定端 A和B的相对扭转角相等.
'
Mt Ip
M tl GI p
max
• The strengh condition • The rigidity condition
Mt Wp
180
Mp GI p
o
例题5 图示等直杆, 已知直径d = 40mm, a = 400mm, 材料的剪切
弹性模量G = 80GPa，DB =1°. 试求：
（1） AD杆的最大切应力; （2）扭转角 CA 解：画扭矩图 Me D a C a 2Me B 2a 3Me Me +
3Me
A
Tmax= 3Me 计算外力偶矩Me
材料的许用切应力 [ ] = 100MPa, 切变模量为 G = 80GPa, 轴的许可扭角[′ ] = 2/m . 试校核轴的强度和刚度.
材料力学知识点总结
姚小宝
三、应力 1.定义 (Definition)：由外力引起的内力的集度 2. 应力 ①平均应力
pm
=
ΔF ΔA
②全应力（总应力）
p lim ΔF dF ΔA0 ΔA dA
③全应力分解为 垂直于截面的应力称为“正应力”
lim ΔFN dFN ΔA0 ΔA dA
位于截面内的应力称为“切应力”
·§3-3 薄壁圆筒的扭转
1 10 r0
姚小宝
薄壁圆筒：壁厚
（r0—圆筒的平均半径）
3.推论 （1）横截面上无正应力，只有切应力；
（2）切应力方向垂直半径或 与圆周相切.
圆周各点处切应力的方向于圆周相切,且数值相等,近似的认为沿壁厚方向各点处
切应力的数值无变化.
4.推导
此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式. 薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布,与半径垂直,指向与扭矩的转向一致.
固定铰支座
固定端
5.静定梁的基本形式：
·§4-2 梁的剪力和弯矩
一、内力计算
简支梁 外伸梁
悬臂梁
求内力——截面法
姚小宝
二、内力的符号规定 1.剪力符号
2.弯矩符号
当 dx 微段的弯曲下凸（即该段的下 半部受拉 ）时,横截面 m-m 上的弯矩为 正；
当 dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面 m-m 上的弯矩为负.
2.平面假设
变形前为平面的横截面 ,变形后仍保持为平面.
3.几何关系 倾角 是横截面圆周上任一点 A 处的切应变, d 是 b-b 截面相对于 a-
a 截面象刚性平面一样绕杆的轴线转动的一个角度.
tan
三、应力 1.定义 (Definition)：由外力引起的内力的集度 2. 应力 ①平均应力
pm
=
ΔF ΔA
②全应力（总应力）
p lim ΔF dF ΔA0 ΔA dA
③全应力分解为 垂直于截面的应力称为“正应力”
lim ΔFN dFN ΔA0 ΔA dA
位于截面内的应力称为“切应力”
·§3-3 薄壁圆筒的扭转
1 10 r0
姚小宝
薄壁圆筒：壁厚
（r0—圆筒的平均半径）
3.推论 （1）横截面上无正应力，只有切应力；
（2）切应力方向垂直半径或 与圆周相切.
圆周各点处切应力的方向于圆周相切,且数值相等,近似的认为沿壁厚方向各点处
切应力的数值无变化.
4.推导
此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式. 薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布,与半径垂直,指向与扭矩的转向一致.
固定铰支座
固定端
5.静定梁的基本形式：
·§4-2 梁的剪力和弯矩
一、内力计算
简支梁 外伸梁
悬臂梁
求内力——截面法
姚小宝
二、内力的符号规定 1.剪力符号
2.弯矩符号
当 dx 微段的弯曲下凸（即该段的下 半部受拉 ）时,横截面 m-m 上的弯矩为 正；
当 dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面 m-m 上的弯矩为负.
2.平面假设
变形前为平面的横截面 ,变形后仍保持为平面.
3.几何关系 倾角 是横截面圆周上任一点 A 处的切应变, d 是 b-b 截面相对于 a-
a 截面象刚性平面一样绕杆的轴线转动的一个角度.
tan
材料力学—— 扭转[学习内容]
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m)
MB
9549
PB n
63.7(N m)
n=300r/min
MC 95.5(N m),
M D 159 .2(N m),
B
C
A
D
2、求内力 M B
MB
T3 B
MC
MD
I C
I
T1 M B 0
T1
T1 M B 63.7( N m )
T2 M B MC 0
T2
T2 M B MC 159.2( N m )
求（1）轴的最大切应力；
（2）截面B和截面C的扭转角；
（3）若要求BC段的单位扭转角与AB段的相等，则在BC段
钻孔的孔径d´应为多大？
M1
M2
AB L
C L
M1
M 2 d=90mm ,L=50cm, ，G=80GPa,
M1 8KN.m
M 2 3KN .m
AB L
T 5KN.m
C L
B
C
A
3KN.m
M1＝600Nm M2=200Nm
d=40
d=30
4、n=80r/min，轴的许用剪应力[τ]＝60MPａ， 设计实心轴的直径。
PB=20KW
PA
PC=40KW
5、已知轴传递的功率，如果二段轴内的最大 剪应力相等，求二段轴的直径之比。
PB=200KW
300KW
PC=500KW
6、圆轴的外经为D＝90毫米，壁厚为ｔ＝2.5毫米。 承受的内径为T＝1500Nｍ。轴的许用应力为[τ]＝ 60MP，校核强度。
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
圆轴扭转时的破坏
圆轴扭转时的破坏
《工程力学》第五章 杆件的变形与刚度计算
根据杆所受外力，作出其轴力图如 图 b所示。
（2）计算杆的轴向变形 因轴力FN和横截面面积A沿杆轴线变
化，杆的变形应分段计算，各段变形的 代数和即为杆的轴向变形。
l
FNili FN1l1 FN 2l2 FN 2l3
EAi
EA1
EA1
EA2
1 200 103
( 20 103 100 500
10 103 100 500
10 103 100 )mm 200
0.015mm
例5-2 钢制阶梯杆如图，已知
轴向外力F1=50kN，F2=20kN，
各段杆长为l1=150mm，
l2=l3=120mm，横截面面积为：
1
A1=A2=600mm2，A3=300mm2，
钢的弹性模量E=200GPa。求各
x
l 3
，ym
ax
9
Ml2 3E
I
xMl2 16EI
A
M 6EIl
(l 2
3b2 )
B
M 6EIl
(l 2
3a2 )
三、叠加法计算梁的变形
➢叠加法前提条件：弹性、小变形。 ➢叠加原理：梁在几个载荷共同作用下任一截面的挠度或转角， 等于各个载荷单独作用下该截面挠度或转角的代数和。
F1=2kN，齿轮传动力F2=1kN。主轴的许可变形为：卡盘 C处的挠度不超过两轴承间距的 1/104 ；轴承B处的转角
不超过 1/103 rad。试校核轴的刚度。
解（1）计算截面对中 性轴的惯性矩
Iz
D4
64
(1 4 )
804 (1 0.54 )mm4
64
188104 mm4
（2）计算梁的变形
材料力学总结公式
材料力学总结（单辉祖、谢传锋主编教材，彭雅轩总结）材料力学研究构件的承载能力：强度、刚度和稳定性，这三者均与材料的物性关系及截面有关。
一、构件的基本变形：1. 拉压变形（包括连接构件的剪切）2. 扭转变形3. 弯曲变形4. 压杆的稳定性（屈曲） 二、材料的物性关系：1. 塑性材料：（延伸率δ≥5%，多用于受拉构件）1) 其抗剪能力弱于抗拉能力，（塑性材料抵抗滑移的能力低于抵抗断裂的能力。
）且[σt ]=[σc ]，2) 材料的时效形式：塑性屈服，最大剪应力先达到极限值，在最大剪应力所在截面出现滑移线。
2. 脆性材料：（延伸率δ≤5%，多用于受压构件）1) 其抗拉能力弱于抗剪能力，（脆性材料抵抗断裂的能力低于抵抗滑移的能力。
）且[σt ]≤ [σc ]，2) 材料的时效形式：，脆性断裂，最大拉应力先达到极限值，构件断口在最大拉应力所在截面。
3. 名义屈服极限：取对应于试件卸载后产生0.2%的残余线应变时的应力值作为材料的屈服极限，用σ0.2表示。
三、合理的截面选择（采用公式所能解决的问题）：1. 受拉、压构件（A —净面积）：外力合力的作用线与轴线共线。
1) 纵向与横向变形纵（轴）向线应变：lll l l 1∆=-=ε横向线应变：bb b b b 1'∆=-=ε 胡克定律：εσE = （此式的适用范围为当应力不超过材料的比例极限时，即在比例极限内。
E —弹性模量，其值与材料本身有关，其单位为GPa 。
）泊松比：εεεεμ''-==，即E 'μσμεε-=-= 2) 两个塑性指标：延伸率：%100ll%100l l l 1⨯∆=⨯-=δ 3)断面收缩率：%100AA%100A A A 1⨯∆=⨯-=ψ4) 强度条件：[]σσ≤⎪⎭⎫⎝⎛=maxN max A F ，对于等截面杆：[]σσ≤=A F max N,max，其中：许用应力[]nuσσ= ，σu 及[σ]其值均与材料本身有关。
材料力学扭转刚度课件
d
v
V V
d
1
1
1
对于线弹性材料，或者 p
d
1
v
V V
d
1
1
d
v 由剪切胡Biblioteka 定 律，1 2 G
2
剪切应变能密度等于切应力-切应变 曲线下方图形的面积。
v
G 2
2 2G
2
二、等直圆杆扭转时的应变能
T 显然 GI P
圆轴扭转刚度条件为：
单位长度扭转角的许可值
m
0
已知：阶梯轴尺寸如图 已知 mA 3.0 N m, mB 1.8 N m, mC 1.2 N m
d1 50 mm, d 2 75mm
圆轴扭转刚度条件为：
FS
α
2、簧丝的直径 d 远小于弹簧的中径 D， 簧丝由平面圆周曲杆 直杆 D
簧丝横截面上的应 力： 1、剪力 F S 引起的 1 近似 认为是均匀分布 2、扭矩 T 引起的 圆轴扭转计算 按照
1
2 max
2
簧丝横截面上的应 力：
1
F
d 4
2
4F d 2
1
A d
2 max
GI
l
T
P
dx
GI P
对于阶梯轴，以及等直圆轴但扭矩为阶梯形变化的情况， 分段计算，求代数和
对于等直圆轴，T为常数时
Tl GI P
φ 相距 l 的两个截面之间的相对扭转角
材料力学扭转(共56张PPT)
例题： ：空心轴和实心轴材料相同，面积相同, α= 0.5。试比较空心轴和实心轴的强度和刚度情况。
解： 1〕确定两轴尺寸关系
面积相同 (1)校核空心轴及实心轴的强度〔不考虑键槽的影响〕；
扭转角单位：弧度〔rad〕 在B、C轮处分别负载N2=75kW，N3=75kW。
D1 d1
D d 2 2可G、I见P扭—在矩—载计抗荷算扭相1、2刚同符度的号。条规件定下和，扭空矩2心图轴绘的制重量仅为实2心轴的31% 。
1、扭转杆件的内力〔截面法〕
m
m
左段：
mx 0, T m 0
T m
右段：
m x
0,
mT 0
T m
m
Tx
T
m
x
内力偶矩——扭矩 T
2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法那么判断。
+
T
T
-
3、内力图〔扭矩图〕
扭矩图作法：同轴力图：
例题： 1、一传动轴作200r／min的匀速转动，轴上装有五个轮子。主动轮 2输入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的功率为18kW、 12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。
二、 扭转杆的变形计算
1、扭转变形：〔相对扭转角〕
d T
dx GI P
扭转变形与内力计算式
d T dx
GIP
T dx
L GIP
1) 扭矩不变的等直轴
Tl GI p
扭转角单位：弧度〔rad〕 GIP——抗扭刚度。
2)各段扭矩为不同值的阶梯轴
Tili GI pi
3)变截面轴
T (x) dx l GI p (x)
2)、设计截面尺寸:
T
Ip
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Me Tb Ta
( 4)
例题 6-6
5. 实心铜杆横截面上任意点的切应力为 Ta Ga M e 0 ra ρa I pa Ga I pa Gb I pb 空心钢杆横截面上任意 点的切应力为
b
Tb Gb M e I pb Ga I pa Gb I pb
2
1 dV (dxdydz ) 2 dV dW v dV dxdydz 1 v 2
一、密圈螺旋弹簧
——螺旋角
F
O
d
d ——簧丝横截面的直径 D ——弹簧圈的平均直径
O D
密圈螺旋弹簧 ——螺旋角<5°时的圆柱形弹簧
§4.5
密圈螺旋弹簧的计算
O F
例题 6-6
Me Tb Ta
解： 1. 实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta 和Tb(图b)，但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb= Me (1) 故为一次超静定问题。
例题 6-6
Me Tb Ta
2. 位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对 于A截面的扭转角相等。在图b中都用表示（设 A端固定）。 Ba Bb ( 2)
a
b
ra
ra
a rb
切应力沿半径的变化 情况如图c所示。
ra
rb
(c)
§5-8非圆截面等直杆扭转的概念
圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平 面假设 的基础上。对于非圆截面杆,受扭时横截面不 再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲 面。这一现象称为截面翘曲。因此,圆轴扭转时的应 力、变形公式对非圆截面杆均不适用。
(2)
（3） TCB b M B b CB GI P GI p M Aa MBb 0 （4） （3）式代入(2)式即 GI p GI p （1）式和（4）式联立求解得：
b MA M ab a Mb M ab
（5）
[例5-10]一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均为l，钢 管与钢轴材料相同，先在实心圆轴两端加外力偶矩m， 使轴受扭后，在两端把管与轴焊起来，去掉外力偶矩。 求此外管与内轴的最大剪应力。 内 外
联立求解
二. 算例
[例5—9]两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受 外力偶矩M作用，试求杆两端的支座反力偶矩。
解：
静力平衡方程为
变形协调条件为
AC CB AB 0
M A MB M
(1)
(2)
物理方程
AC
TAC a M A a GI P GI p
AC CB AB 0
例题 6-6
Me Tb Ta
3. 利用物理关系由(2)式得补充方程为
Ga Ipa Ta l Tb l ，即 Ta Tb Ga I pa Gb Ipb Gb Ipb
( 3)
例题 6-6
4. 联立求解(1)式和(3)式得：
Ga I pa Gb I pb Ta M e，Tb Me Ga I pa Gb I pb Ga I pa Gb I pb
二、弹簧的内力
用过弹簧轴线O-O的截面， 将弹簧截开
T A FS O
可近似地认为：
该截面为弹簧的横截面
F M
y
0:
0:
FS F
C
T FR
F
簧杆横截面上的最大切应力 T FR max 3 WP d / 16 弹簧的变形 1 外力功 W F
2
O
d
弹簧的变形能 由 得： 则
FR 2Rn T 2l V 2GI P 2GI P
2
W V
64FR n Gd 4
3
O D
Gd 4 k 64R 3 n
令
F k
§5-7 简单的扭转超静定问题
一. 扭转超静定问题的解法
和拉压超静定问题一样，要考虑平衡方程、变形相容 方程和物理方程。关键在于寻找变形协调关系作为补充 方程。 平衡方程 几何方程 物理方程
CL5TU21
二、矩形截面杆自由扭转的主要结论 在横截面的边缘上各点的剪应力均与周边平行,且 截面的四个角点上剪应力均为零。剪应力形成与周边 相切的顺流。最大剪应力发生在长边中点处.
1
T
max
max
T T T 3 Wt b hb2
T T T 4 GI t G b hb3
§5-6等直圆杆的扭转应变能
一.轴的扭转应变能
Me
W
O
1 W V M e 2 M e2 l V 2GI p GI p 2 V 2l
二.应变能密度（比能） 1 dW dV (dydz )dx 2
dx
dz
dy
1 2 按剪切虎克定律 v 2G
G v 2
T
m
解：外管与内轴承受的扭矩相Tl T l T 1 I P内 1 I P外 G I p内 G I p内 G I p外
m I P内
max 内
T WP内 T WP外
max 外
例题 6-6
图a所示组合杆，由半径为ra的实心铜杆和外 半径为rb，内半径为ra的空心钢杆牢固地套在一 起，两端固结在刚性块上，受扭转力偶矩Me作用。 试求实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩Ta和Tb， 并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。
1 max
表 5-1 矩形截面杆扭转时的系数
h/b 1.0 1.2 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 6.0 8.0 10.0 ∞
α
0.141
0.166
0.196
0.229
0.249
0.263
0.281
0.299
0.307
0.313
0.333
一.非圆截面杆扭转的分类
1.自由扭转(纯扭转)
在扭转过程中,杆的各横截面的翘曲不受任何约束, 任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同。此时横截 面只有剪应力,而没有正应力。
CL5TU20
2.约束扭转
扭转时,由于杆的端部支座的约束,使杆件截面 翘曲受到一定限制,而引起任意两相邻横截面的翘 曲程度不同,将在横截面上产生附加的正应力。 对于实体截面杆，由于约束扭转产生的附加正应 力很小，一般可以忽略，但对于薄壁截面杆来说， 这种附加的正应力是不能忽略的。
( 4)
例题 6-6
5. 实心铜杆横截面上任意点的切应力为 Ta Ga M e 0 ra ρa I pa Ga I pa Gb I pb 空心钢杆横截面上任意 点的切应力为
b
Tb Gb M e I pb Ga I pa Gb I pb
2
1 dV (dxdydz ) 2 dV dW v dV dxdydz 1 v 2
一、密圈螺旋弹簧
——螺旋角
F
O
d
d ——簧丝横截面的直径 D ——弹簧圈的平均直径
O D
密圈螺旋弹簧 ——螺旋角<5°时的圆柱形弹簧
§4.5
密圈螺旋弹簧的计算
O F
例题 6-6
Me Tb Ta
解： 1. 实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta 和Tb(图b)，但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb= Me (1) 故为一次超静定问题。
例题 6-6
Me Tb Ta
2. 位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对 于A截面的扭转角相等。在图b中都用表示（设 A端固定）。 Ba Bb ( 2)
a
b
ra
ra
a rb
切应力沿半径的变化 情况如图c所示。
ra
rb
(c)
§5-8非圆截面等直杆扭转的概念
圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平 面假设 的基础上。对于非圆截面杆,受扭时横截面不 再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲 面。这一现象称为截面翘曲。因此,圆轴扭转时的应 力、变形公式对非圆截面杆均不适用。
(2)
（3） TCB b M B b CB GI P GI p M Aa MBb 0 （4） （3）式代入(2)式即 GI p GI p （1）式和（4）式联立求解得：
b MA M ab a Mb M ab
（5）
[例5-10]一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均为l，钢 管与钢轴材料相同，先在实心圆轴两端加外力偶矩m， 使轴受扭后，在两端把管与轴焊起来，去掉外力偶矩。 求此外管与内轴的最大剪应力。 内 外
联立求解
二. 算例
[例5—9]两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受 外力偶矩M作用，试求杆两端的支座反力偶矩。
解：
静力平衡方程为
变形协调条件为
AC CB AB 0
M A MB M
(1)
(2)
物理方程
AC
TAC a M A a GI P GI p
AC CB AB 0
例题 6-6
Me Tb Ta
3. 利用物理关系由(2)式得补充方程为
Ga Ipa Ta l Tb l ，即 Ta Tb Ga I pa Gb Ipb Gb Ipb
( 3)
例题 6-6
4. 联立求解(1)式和(3)式得：
Ga I pa Gb I pb Ta M e，Tb Me Ga I pa Gb I pb Ga I pa Gb I pb
二、弹簧的内力
用过弹簧轴线O-O的截面， 将弹簧截开
T A FS O
可近似地认为：
该截面为弹簧的横截面
F M
y
0:
0:
FS F
C
T FR
F
簧杆横截面上的最大切应力 T FR max 3 WP d / 16 弹簧的变形 1 外力功 W F
2
O
d
弹簧的变形能 由 得： 则
FR 2Rn T 2l V 2GI P 2GI P
2
W V
64FR n Gd 4
3
O D
Gd 4 k 64R 3 n
令
F k
§5-7 简单的扭转超静定问题
一. 扭转超静定问题的解法
和拉压超静定问题一样，要考虑平衡方程、变形相容 方程和物理方程。关键在于寻找变形协调关系作为补充 方程。 平衡方程 几何方程 物理方程
CL5TU21
二、矩形截面杆自由扭转的主要结论 在横截面的边缘上各点的剪应力均与周边平行,且 截面的四个角点上剪应力均为零。剪应力形成与周边 相切的顺流。最大剪应力发生在长边中点处.
1
T
max
max
T T T 3 Wt b hb2
T T T 4 GI t G b hb3
§5-6等直圆杆的扭转应变能
一.轴的扭转应变能
Me
W
O
1 W V M e 2 M e2 l V 2GI p GI p 2 V 2l
二.应变能密度（比能） 1 dW dV (dydz )dx 2
dx
dz
dy
1 2 按剪切虎克定律 v 2G
G v 2
T
m
解：外管与内轴承受的扭矩相Tl T l T 1 I P内 1 I P外 G I p内 G I p内 G I p外
m I P内
max 内
T WP内 T WP外
max 外
例题 6-6
图a所示组合杆，由半径为ra的实心铜杆和外 半径为rb，内半径为ra的空心钢杆牢固地套在一 起，两端固结在刚性块上，受扭转力偶矩Me作用。 试求实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩Ta和Tb， 并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。
1 max
表 5-1 矩形截面杆扭转时的系数
h/b 1.0 1.2 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 6.0 8.0 10.0 ∞
α
0.141
0.166
0.196
0.229
0.249
0.263
0.281
0.299
0.307
0.313
0.333
一.非圆截面杆扭转的分类
1.自由扭转(纯扭转)
在扭转过程中,杆的各横截面的翘曲不受任何约束, 任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同。此时横截 面只有剪应力,而没有正应力。
CL5TU20
2.约束扭转
扭转时,由于杆的端部支座的约束,使杆件截面 翘曲受到一定限制,而引起任意两相邻横截面的翘 曲程度不同,将在横截面上产生附加的正应力。 对于实体截面杆，由于约束扭转产生的附加正应 力很小，一般可以忽略，但对于薄壁截面杆来说， 这种附加的正应力是不能忽略的。