初一下数学讲义 -平方根(提高)知识讲解

平方根（提高）

【学习目标】

1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．

2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．

【要点梳理】

【高清课堂：389316 平方根，知识要点】

要点一、平方根和算术平方根的概念

1.算术平方根的定义

如果一个正数x 的平方等于a ，即2

x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a

a 的算术平方根”，a 叫做被开方数.

要点诠释：

a

0，a ≥0.

2.平方根的定义

如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)

的平方根的符号表达为0)a ≥，

是a 的算术平方根.

要点二、平方根和算术平方根的区别与联系

1．区别：（1）定义不同；（2

）结果不同：

2．联系：（1）平方根包含算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

（3）0的平方根和算术平方根均为0．

要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方

根；负数没有平方根．

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的

另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.

要点三、平方根的性质

(0)||0

(0)(0)

a a a a a a >??===??-

()20a a =≥

要点四、平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.

250=

25=

2.5=

0.25=.

【典型例题】

类型一、平方根和算术平方根的概念

1、（2015秋?张家港市校级期中）已知2a ﹣1的平方根是±3，3a+b ﹣9的立方根是2，c 是的整数部分，求a+b+c 的平方根．

【思路点拨】首先根据平方根与立方根的概念可得2a ﹣1与3a+b ﹣9的值，进而可得a 、b 的值；接着估计的大小，可得c 的值；进而可得a+b+c ，根据平方根的求法可得答案．

【答案与解析】

解：根据题意，可得2a ﹣1=9，3a+b ﹣9=8；

故a=5，b=2； 又∵2＜＜3，

∴c=2，

∴a+b+c=5+2+2=9，

∴9的平方根为±3．

【总结升华】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，还要掌握实数的基本运算技能，灵活应用．

举一反三：

【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的两个不同的平方根，求m 的值.

【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2互为相反数. 解：当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，

所以m ＝()()22

221[2(1)1]39a -=?--=-= 2、x 为何值时，下列各式有意义？ 2x 4x -11x x +-1x -． 【答案与解析】

解：(1)因为20x ≥，所以当x 2x (2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥4x -

(3)由题意可知：1010x x +≥??

-≥?解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤11x x +-义．

(4)由题意可知：1030x x -≥??-≠?

，解得1x ≥且3x ≠． 所以当1x ≥且3x ≠1x -有意义． 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当

被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．

举一反三： 【变式】已知4322232b a a =-+-+，求11a b +的算术平方根． 【答案】 解：根据题意，得320,230.

a a -≥??-≥?则23a =，所以

b ＝2，∴1131222a b +=+=， ∴11a b

+的算术平方根为112a b +=． 类型二、平方根的运算

3、求下列各式的值．

(1)2222252434-+g ；(2)111200.36900435

--． 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.

【答案与解析】

解：(1)2222252434-+g 49257535=

=?=g ； (2)1118111200.369000.630435435--=-?-?90.26 1.72

=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据2(0)a a a =>来解．

类型三、利用平方根解方程

4、求下列各式中的x .

（1）23610;x -= （2）()2

1289x +=； （3）()2

932640x +-=

【答案与解析】

解：（1）∵23610x -=

∴2361x =

∴36119x ==±

（2）∵()2

1289x +=

∴1289x +=± ∴x ＋1＝±17

x ＝16或x ＝－18.

（3）∵()2932640x +-= ∴()2

64329

x += ∴8323

x +=± ∴21499x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）

（3）小题中运用了整体思想分散了难度.

举一反三：

【变式】求下列等式中的x ：

（1）若2 1.21x =，则x ＝______； （2）2

169x =，则x ＝______； （3）若2

9,4

x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______． 【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）32±；（4）±2. 类型四、平方根的综合应用

【高清课堂：389316 平方根：例5】

5、已知a 、b 是实数，

26|20a b ++-=，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-． 【答案与解析】

解：∵a 、b 26|20a b +=260a +≥，|20b -≥，

∴260a +=，20b =．

∴a =－3，2b =

把a =－3，2b =2(2)1a x b a ++=-，得－x ＋2＝－4，∴x ＝6．

【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a 、b 的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可．

举一反三：

【高清课堂：389316 平方根：例5练习】 【变式】若2110x y -+

+=，求20112012x y +的值． 【答案】

解：由2110x y -++=，得210x -=，10y +=，即1x =±，1y =-．

①当x ＝1，y ＝－1时，20112012201120121(1)2x y +=+-=．

②当x ＝－1，y ＝－1时，2011

201220112012(1)(1)0x y +=-+-=． 【高清课堂：389316 平方根：例6】

6、小丽想用一块面积为4002cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002cm 的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.

【答案与解析】

解：设长方形纸片的长为3x (x ＞0) cm ，则宽为2x cm ，依题意得

32300x x ?=.

26300x =.

250x =.

∵ x ＞0，

∴ 50x =.

∴ 长方形纸片的长为350cm .

∵ 50＞49,

∴507>.

∴ 35021>, 即长方形纸片的长大于20cm .

由正方形纸片的面积为400 2cm , 可知其边长为20cm ,

∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.

答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.

【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm 的正方形纸片裁出长方形纸片.

举一反三：

【变式】（2015春?台安县月考）某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000m 2的正方形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为420m 2，其中长是宽的倍，篮球场的四周必须留出1m 宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮

球场？【答案】

解：设篮球场的宽为xm，那么长为28

15

x m，

由题意知，

所以x2=225，

因为x为正数，

所以x==15，

又因为=900＜1000，所以按规定在这块空地上建一个篮球场．