平方根知识讲解
平方根（提高）
【学习目标】
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．
【要点梳理】
要点一、平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数x的平方等于a，即2x a
=,那么这个正数x叫做a的算术平方
根（规定0的算术平方根还是0）；a
a的算术平
方根”，a叫做被开方数.
要点诠释：
有意义时，a
≥0，a≥0.
2.平方根的定义
如果2x a
=，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
平方与开平方互为逆运算. a(a≥0)
的平方根的符号表达为0)
a≥
，其中
a的算术平方根.
要点二、平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2
）结果不同：
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来
研究平方根.
要点三、平方根的性质
(0)
||0(0)
(0)
a a
a a
a a
>
⎧
⎪
===
⎨
⎪-<
⎩
()
2
a a
=≥
要点四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
例如：250
=
，25
=
2.5
=，
0.25=.
【典型例题】
类型一、平方根和算术平方根的概念
1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．
【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －1），解方程即可求解．
【答案与解析】
解：依题意得 2m －4＝－（3m －1），
解得m ＝1；
∴m 的值为1．
【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
举一反三：
【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.
【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数.
解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22
212111a -=⨯-=
②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，
所以m ＝()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-=
2、x 为何值时，下列各式有意义
(4)
3x -． 【答案与解析】
解：(1)因为20x ≥，所以当x
(2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥
(3)由题意可知：1010
x x +≥⎧⎨-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤有意义．
(4)由题意可知：1030x x -≥⎧⎨-≠⎩
，解得1x ≥且3x ≠．
所以当1x ≥且3x ≠时，3
x -有意义． 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨
论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．
举一反三：
【变式】已知2b =，求
11a b
+的算术平方根． 【答案】 解：根据题意，得320,230.
a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =，所以
b ＝2，∴1131222a b +=+=，
∴11a b
+= 类型二、平方根的运算
3、求下列各式的值．
【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.
【答案与解析】
解：7535==⨯=；
110.63035=⨯-⨯90.26 1.72
=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方
(0)a a =>来解．
类型三、利用平方根解方程
4、求下列各式中的x .
（1）23610;x -= （2）()2
1289x +=；
（3）()2932640x +-=
【答案与解析】
解：（1）∵23610x -=
∴2361x =
∴19x ==±
（2）∵()21289x +=
∴1x +=
∴x ＋1＝±17
x ＝16或x ＝－18.
（3）∵()2
932640x +-= ∴()2
64329
x += ∴8323
x +=± ∴21499
x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度. 举一反三：
【变式】求下列等式中的x ：
（1）若2 1.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______；
（3）若29,4
x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______． 【答案】（1）±；（2）±13；（3）32
±；（4）±2. 类型四、平方根的综合应用
【高清课堂：389316 平方根：例5】
5、已知a 、b 是实数，|0b -=，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-． 【答案与解析】
解：∵a 、b |0b -=0≥，|0b ≥，
∴260a +=，0b =．
∴a =－3，b =
把a =－3，b =2(2)1a x b a ++=-，得－x ＋2＝－4，∴x ＝6．
【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a 、b 的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可．
举一反三：
【高清课堂：389316 平方根：例5练习】
0=，求20112012x y +的值．
【答案】
0=，得210x -=，10y +=，即1x =±，1y =-．
①当x ＝1，y ＝－1时，20112012201120121(1)2x y +=+-=．
②当x ＝－1，y ＝－1时，2011201220112012(1)(1)0x y +=-+-=．
【高清课堂：389316 平方根：例6】
6、小丽想用一块面积为4002cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为
3002cm 的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
【答案与解析】
解：设长方形纸片的长为3x (x ＞0) cm ，则宽为2x cm ，依题意得 32300x x ⋅=.
26300x =.
250x =.
∵ x ＞0，
∴ x =
∴ 长方形纸片的长为cm .
∵ 50＞49,
7>.
∴ 21>, 即长方形纸片的长大于20cm .
由正方形纸片的面积为400 2cm , 可知其边长为20cm ,
∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.
答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm 的正方形纸片裁出长方形纸片.。
平方根与立方根知识点总结
平方根与立方根知识点总结1. 平方根平方根是指一个数的平方等于给定数的正数解。
以√a表示a的平方根，其中a为非负实数。
1.1 平方根的概念对于非负实数a，如果存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，则这个非负实数x被称为a的平方根。
平方根的记号为√a。
1.2 平方根的性质- 平方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。
- 非负实数的平方根有两个解，一个是正数，另一个是负数，但我们在常见的情况下只讨论正数平方根。
- 非负实数的平方根可以通过求解方程x^2 = a得到。
2. 立方根立方根是指一个数的立方等于给定数的正数解。
以³√a表示a的立方根，其中a为实数。
2.1 立方根的概念对于实数a，如果存在一个实数x，使得x的立方等于a，则这个实数x被称为a的立方根。
立方根的记号为³√a。
2.2 立方根的性质- 立方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。
- 实数的立方根有两个复数解和一个实数解，其中实数解为正数立方根。
- 实数的立方根可以通过求解方程x^3 = a得到。
3. 计算平方根与立方根3.1 通过近似方法计算- 对于非完全平方数和非完全立方数，可以通过近似方法利用计算器或者数学软件计算得到一个接近真实值的结果。
3.2 通过公式计算- 对于完全平方数，可以利用公式进行计算。
例如，对于一个完全平方数a，其平方根可以通过√a = a的1/2次方得到。
- 对于完全立方数，可以利用公式进行计算。
例如，对于一个完全立方数a，其立方根可以通过³√a = a的1/3次方得到。
4. 应用场景平方根和立方根在日常生活和科学领域中有广泛的应用。
4.1 数学- 在代数中，求解方程的过程中常常需要计算平方根和立方根。
- 在概率统计中，方差和标准差的计算中，需要使用平方根。
- 在计算几何中，勾股定理的应用需要计算平方根。
4.2 自然科学- 物理学中，运动速度、加速度等的计算中，需要使用平方根。
初中数学知识归纳平方根的概念和运算
初中数学知识归纳平方根的概念和运算初中数学知识归纳——平方根的概念和运算在初中数学中，平方根是一个重要的数学概念，它与方程、代数、几何等不同数学分支有着紧密的联系。
理解和掌握平方根的概念及其运算方法，对于学习更高级的数学知识以及实际生活中的问题解决都至关重要。
本文将详细介绍平方根的概念、性质和运算方法，帮助读者全面理解这一知识点。
一、平方根的概念平方根是指一个数的平方等于给定数的数值。
用符号√a表示，其中a为待开方的数，√称为根号，a称为被开方数。
在数学上，平方根可以分为正平方根和负平方根两种形式。
例如，√4 = 2，√9 = 3，√16 = 4，这些都是正平方根。
负平方根可以表示为-√a，例如-√4 = -2，-√9 = -3，-√16 = -4。
二、平方根的性质1. 平方根的符号平方根的符号与被开方数的符号有关。
当被开方数为正数时，平方根也为正数；当被开方数为负数时，平方根为虚数。
2. 平方根的存在性非负数都有平方根。
正数的平方根是正数，而负数没有实数平方根，只有虚数平方根。
3. 平方根的运算律（1）非负数的平方根是唯一的。
（2）两个非负数的乘积的平方根等于它们各自平方根的乘积，即√(a×b) = √a × √b。
（3）两个非负数的商的平方根等于它们各自平方根的商，即√(a/b) = √a / √b。
（其中b不等于0）三、平方根的运算方法1. 化简含有平方根的表达式当一个数的平方根不能被整除时，我们可以尝试对其进行化简。
例如，√12可以化简为2√3。
2. 计算平方根的近似值有些数的平方根无法精确表示为有限小数，只能使用近似值来表示。
这时可以借助计算器或者牛顿-拉弗森算法等方法来计算。
3. 运用平方根进行方程的求解平方根的概念在求解方程时经常被使用，例如，对于方程x^2 = 16，可以得到x = ±4，其中正负号表示正平方根和负平方根。
四、应用举例平方根的概念和运算方法在实际生活中有广泛的应用，例如：1. 建筑设计中，需要确定一个房间的边长时，可以通过计算平方根来得到准确的结果。
解平方根的常见方法与技巧
解平方根的常见方法与技巧在数学中，平方根是一种常见的运算，求解平方根的方法与技巧是非常重要的数学基础知识。
本文将介绍一些常见的方法与技巧，以帮助读者更好地理解和运用平方根的概念。
1. 直接开平方直接开平方是最常见的方法之一，简单直接。
对于一个正实数a，其平方根记作√a，即a的平方根等于b。
举个例子，√25=5，因为5的平方等于25。
2. 分解质因数法当我们需要求解非完全平方数的平方根时，可以运用分解质因数的方法。
首先，将原数分解成质因数的乘积形式，并对每个质因数的指数进行除2操作。
最后将所得的结果相乘，并开方，即可得到原数的平方根。
例如，对于数100，先将其分解成2^2乘以5^2，然后进行除2操作，结果为2乘以5，即10，最后开方得到√100=10。
3. 二分查找法二分查找法是一种高效的找根方法，特别适用于近似解的求解过程。
该方法基于数值的中间值，通过不断缩小范围来逼近平方根的值。
具体步骤如下：- 确定平方根的上下限，例如对于求解根号2，可以将上限a设置为2，下限b设置为1。
- 求取平方根的中间值c，即(a+b)/2。
- 判断中间值的平方是否接近原数，若平方值大于目标数，将上限a 设置为c，若平方值小于目标数，将下限b设置为c。
- 重复以上步骤，不断缩小范围直至所求的平方根满足要求。
4. 迭代法迭代法是一种逐步逼近平方根的方法，通过不断迭代优化来达到精确解。
该方法使用下面的迭代公式：(x + a / x) / 2，其中x为初始近似解，a为原数。
通过不断迭代，不断更新x的值，最终得到原数的平方根。
迭代法适用于对较大的正实数进行近似求根。
5. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种数值分析中常用的方法，也适合用来解决平方根的问题。
其基本思想是通过切线逼近曲线来求解函数的根。
对于求解根号a，可以选取初始近似解x，然后通过不断迭代优化来逼近平方根。
具体迭代公式如下：x = (x + a / x) /2。
不断迭代，直到满足精度要求。
算术平方根知识点总结
算术平方根知识点总结算术平方根是数学中重要的概念之一，在数学的学习过程中常常涉及到。
本文将对算术平方根的定义、性质及求解方法进行总结。
通过阅读本文，读者将能够准确理解算术平方根的概念，熟练运用相关方法，提高数学解题的能力。
一、算术平方根的定义算术平方根是指一个数的平方等于它的平方根的数。
以数a为例，如果一个正数x满足x^2=a，那么x就是a的算术平方根。
二、算术平方根的性质1. 非负数的算术平方根都是非负数。
即，如果a≥0且x^2=a，那么x≥0。
2. 正数的算术平方根只有一个。
即，如果a>0且x^2=a，那么x只有一个解。
3. 零的算术平方根是零。
即，0^2=0，所以0是0的算术平方根。
4. 负数没有实数算术平方根。
即，如果a<0，那么方程x^2=a没有实数解。
三、求解算术平方根的方法1. 常见正数的算术平方根可以通过手算方法求得。
例如，我们可以通过试探法或近似法，逐步逼近一个数的平方根。
2. 对于较大的数，可以利用计算器或电脑软件来求解算术平方根。
3. 在解题过程中，可以通过运用一些特定的运算性质来求解算术平方根。
例如，利用开方运算的性质，可以将复杂的问题简化为简单的计算。
四、算术平方根的应用算术平方根在生活中和其他学科中有广泛的应用。
下面列举一些常见的应用场景：1. 几何学中的勾股定理：勾股定理中涉及到了平方根的概念，通过找出两个边的平方和等于第三边的平方，可以判断三角形是否为直角三角形。
2. 物理学中的速度计算：在物理学的速度计算中，常常需要运用平方根来计算速度的大小。
3. 统计学中的标准差：在统计学中，标准差是一种衡量数据离散程度的指标，其计算过程需要使用平方根。
4. 金融学中的收益率计算：在金融学中，计算投资收益率时，常常需要运用平方根进行计算。
五、总结通过阅读本文，我们了解了算术平方根的定义、性质及求解方法。
算术平方根在数学中具有重要的地位，也广泛应用于其他学科和实际生活中。
(完整版)数的开方知识点汇总
7、实数与数轴的关系
任意一个数对应了数轴上的一个点，数轴上任意一上 点对应了一个实数，因此实数与数轴上的点是—对 应关系。
iii：算术平方根非负即当a>0时-,a>0
4、立方根
（1、）定义：如果一个数的立方等于a那么这个数就 叫做a的立方根。即如果x3=a那么x就是a的立方根。
（2、）立方根的表示方法：
一数a的立方根表示为3a，读作三次根号a其中3叫做根指数，a叫被开方数。
（当根指数是2时可以省略，是3或其数时不能省略） （3、）立方根的性质：
（3）算术平方根的性质：
1正数有一个正的算术平方根。
20的算术平方根是0
3负数没有平方根，当然也没有算术平方根。
（4）, a的双重非负性
1首先，石要有意义，首先被开方数必须是一个非 负数。
2其次，心表示一个非数的算术平方根，它的值不 可能是一个负数，即它的值是一个非负数。
综上：,a中a>0,a>0
（5）初中所学的三类非负数i：绝对值非负即|a|>0丘：偶次方非负即a偶次>0
数的开方知识点汇总
安皋二中八年级数学组
一、平方根、算术平方根
1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a那么这个数就叫做数a的平方根。即如果x2= a那么x就是a有平方根。
2、平方根的性质：
（1）正数有两个平方根，它们互为相反数。
（2）0的平方根是0
（3）负数没有平方根（因为任何数的平方都是一个非负数）
3、平方根的表示方法
一个非负数a的平方根可表示为土..a，读作正负根号a
其实它的完整写法是土2a我们称2是根指数，a叫做
被开方数，、叫根号，我们平常省略了根指数2。
实数,平方根等知识
实数知识点一、【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2、当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
3、当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是（4）当x 时，x 23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 知识点二、【算术平方根】：1、如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=； （C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=-（3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
(完整)平方根和开平方(基础)知识讲解
平方根和开平方（基础)【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1。
平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根。
求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方。
a 叫做被开方数。
平方与开平方互为逆运算。
2.算术平方根的定义正数a 的两个平方根可以用“a ±”表示，其中a 表示a 的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a ”；a -表示a 的负平方根，读作“负根号a ”.要点诠释：当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0。
要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同:a ±和a2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2)被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．(2）正数的两个平方根互为相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根。
要点三、平方根的性质20||000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩ ()()20a a a =≥要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位。
例如：62500250=,62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C 。
()24-的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C;【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A 。
七年级数学下册【平方根】知识点
七年级数学下册【平方根】知识点1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根．即：如果x2=a，那么x叫做a的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算；0的平方根是0.（5）符号：正数a的正的平方根可用表示，也是a的算术平方根；正数a的负的平方根可用-表示．（6）<—>a是x的平方 x的平方是ax是a的平方根 a的平方根是x2、算术平方根（1）算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式(x≥0)中，规定x=。
（2）的结果有两种情况：当a是完全平方数时，是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5）(x≥0)<—>a是x的平方x的平方是ax是a的算术平方根 a的算术平方根是x（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
初二上册数学《平方根》知识点
初二上册数学《平方根》知识点平方根是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域，特别是在代数、几何和物理中。
掌握平方根的概念和相关的知识，对于初中学生来说至关重要。
以下是初二上册数学《平方根》的一些重要知识点：一、什么是平方根1.定义：对于非负实数a，如果存在一个非负实数x使得x²=a，那么x就是数a的平方根。
2.平方根的表示方法：√a，读作"a的平方根"。
3.平方根的性质：非负实数a的平方根是存在且唯一的。
二、平方根的运算1.平方根的加减法：√a±√b=√(a±b)2. 平方根的乘法：√a× √b = √(ab)3.平方根的除法：√a/√b=√(a/b)，其中b≠04.平方根与混合数的乘法：√(a×b)=√a×√b5.平方根的开方法则：√(a^m)=a^(m/2)，其中a≥0，m为正整数三、平方运算与平方根1.平方运算和平方根的逆运算关系：√(a²)=，a，即任意实数a的平方根的平方等于a的绝对值。
2.平方根与平方运算的运算规律：a)(√a)²=a，即平方根的平方等于原来的数。
b)√(a×b)=√a×√b，即两个数的乘积的平方根等于各个因数的平方根的乘积。
c)√(a/b)=√a/√b，即两个数的商的平方根等于各个因数的平方根的商。
四、平方根的应用1.平方根的几何意义：平方根表示直角三角形的边长关系。
2.平方根的估算：使用近似值计算平方根，例如使用奇数的平方根进行估算。
3.平方根的图像表示：绘制平方根函数的图像，了解其随着自变量的变化而变化的规律。
4.平方根在实际问题中的应用：例如计算长方形的对角线长度、计算三角形的边长等。
总而言之，初二上册数学《平方根》主要包括平方根的定义、运算法则以及平方根与平方运算的逆运算关系等知识点。
掌握这些知识，可以帮助学生更好地理解和应用平方根，在解决实际问题时有更好的思路和方法。
平方根与立方根知识点小结
“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a ”。
2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a ”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3≥0有意义的条件是a ≥0。
4、公式：⑴)2=a （a ≥0）=（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x 的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.练习①已知233(2)0x y z -+-++=，求xyz 的值。