算术平方根、平方根知识点辅差01
平方根知识点总结讲义
平方根知识点总结学习目标1．了解平方根、算术平方根的概念,会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算,会用开方运算求某些非负数的平方根,会用计算器求平方根．要点梳理要点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a,即2x a=,那么这个正数x叫做a的算术平方根规定0的算术平方根还是0；a读作“a的算术平方根”,a叫做被开方数.要点诠释：,a一定表示一个非负数,0,a≥0.2.平方根的定义如果2x a=,那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a a≥0的平方根的符号表达为a≥,a的算术平方根.0)要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：1定义不同；2结果不同：2．联系：1平方根包含算术平方根；2被开方数都是非负数；30的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：1正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．2正数的两个平方根互为相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此,我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质2(0) ||0(0)(0)a aa a aa a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()()2a a a=≥要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=,62525=, 6.25 2.5=,0.06250.25=.典型例题类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2m－4与3m－1是同一个正数的两个平方根,求m的值．思路点拨由于同一个正数的两个平方根互为相反数,由此可以得到2m－4＝－3m－1,解方程即可求解．答案与解析解：依题意得 2m－4＝－3m－1,解得m＝1；∴m的值为1．总结升华此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根,它们互举一反三：变式已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根,求m 的值.答案2a －1与－a ＋2是m 的平方根,所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数.解：①当2a －1＝－a ＋2时,a ＝1,所以m ＝()()22212111a -=⨯-=②当2a －1＋－a ＋2＝0时,a ＝－1,所以m ＝()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-=2、x 为何值时,下列各式有意义 2x 24x -11x x +- 413x x --． 答案与解析解：1因为20x ≥,所以当x 取任何值时2x2由题意可知：40x -≥,所以4x ≥时4x -3由题意可知：1010x x +≥⎧⎨-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤11x x +-有意义．4由题意可知：1030x x -≥⎧⎨-≠⎩,解得1x ≥且3x ≠． 所以当1x ≥且3x ≠时1x - 总结升华1当被开方数不是数字,而是一个含字母的代数式时,一定要讨论,只有当被开方数是非负数时,式子才有意义．2当分母中含有字母时,只有当分母不为0时,式子才有意义．变式已知4322232b a a =-+-+,求11a b +的算术平方根． 答案 解：根据题意,得320,230.a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =,所以b ＝2,∴1131222a b +=+=, ∴11a b +的算术平方根为112a b +=． 类型二、平方根的运算3、求下列各式的值．12222252434-+；2111200.36900435--． 思路点拨1首先要弄清楚每个符号表示的意义.2注意运算顺序. 答案与解析解：12222252434-+49257535==⨯=； 21118111200.369000.630435435--=-⨯-⨯90.26 1.72=--=-． 总结升华1混合运算的运算顺序是先算平方开方,再乘除,后加减,同一级运算按先后顺序进行．2初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解,熟练后直接根据2(0)a a a =>来解．类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .123610;x -= 2()21289x +=；3()2932640x +-=答案与解析解：1∵23610x -=∴2361x =∴36119x =±=± 2∵()21289x +=∴1289x +=±∴x ＋1＝±17x ＝16或x ＝－18.3∵()2932640x +-=∴()264329x += ∴8323x +=± ∴21499x x ==-或 总结升华本题的实质是一元二次方程,开平方法是解一元二次方程的最基本方法.23小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：变式求下列等式中的x ：1若2 1.21x =,则x ＝______； 22169x =,则x ＝______；3若29,4x =则x ＝______； 4若()222x =-,则x ＝______．答案1±；2±13；332±；4±2. 类型四、平方根的综合应用5、已知a 、b 是实数,且26|20a b ++=,解x 的方程2(2)1a x b a ++=-．答案与解析解：∵a 、b 是实数,26|2|0a b ++-=,260a +≥,|2|0b -≥,∴260a +=,20b -=．∴a =－3,2b =．把a =－3,2b =代入2(2)1a x b a ++=-,得－x ＋2＝－4,∴x ＝6． 总结升华本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题,应先求出a 、b 的值,再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性,只需令每项分别等于零即可．举一反三：变式若2110x y -++=,求20112012x y +的值．答案解：由2110x y -++=,得210x -=,10y +=,即1x =±,1y =-．①当x ＝1,y ＝－1时,20112012201120121(1)2x y +=+-=．②当x ＝－1,y ＝－1时,2011201220112012(1)(1)0x y +=-+-=．6、小丽想用一块面积为4002cm 的正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积为3002cm 的长方形纸片,使它长宽之比为2:3,请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.答案与解析解：设长方形纸片的长为3x x ＞0 cm ,则宽为2x cm ,依题意得 32300x x ⋅=.26300x =.250x =.∵ x＞0,∴ x=∴ 长方形纸片的长为cm.∵ 50＞49,>.7∴ 21>, 即长方形纸片的长大于20cm.由正方形纸片的面积为400 2cm, 可知其边长为20cm, ∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.总结升华本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽,再判断能否用边长为20cm的正方形纸片裁出长方形纸片.。
平方根与算术平方根(知识解读)(原卷版)
平方根与算术平方根知识点 1 ：平方根1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：有意义时，≥0，≥0. 2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为是的算术平方根.知识点2：平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点3：平方根的性质知识点4：平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位..x a 2x a =x a a a a a a a a a 2x a =x a a a a (0)a a ≥a a a ±a 20||000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20aaa =≥62500250=62525= 6.25 2.5=0.06250.25=【典例分析】【考点1：算术平方根】【典例1】求下列各数的算术平方根：（1）100；（2）；（3）0.0001．【变式1-1】求下列各数的算术平方根．（1）196 （2）（3）0.04 （4）100 （5）（﹣6）2．【变式1-2】求下列各式的值：（1）；（2）；（3）【考点2：算术平方根的性质】【典例2】（2022秋•崇川区校级月考）已知a，b满足（a﹣1）2+＝0，则a+b的值是（）A．﹣2B．2C．﹣1D．0【变式2-1】（2021秋•滨海县期末）已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则x﹣y等于（）A．1B．﹣1C．﹣3D．3【变式2-2】（2022春•绥江县期中）若（a﹣1）2+＝0，则（a﹣b）2022＝（）A．1B．﹣1C．0D．2022【考点3：算术平方根的估算】【典例3】（2022•东丽区二模）估计的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【变式3-1】（2022•河西区模拟）估计的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【变式3-2】（2020秋•福田区期末）设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为（）A．7B．8C．9D．10【变式3-3】（2018•台州）估计+1的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【典例4】（2015秋•萧山区期中）已知，则0.005403的算术平方根是（）A．0.735B．0.0735C．0.00735D．0.000735【变式4-1】（2019春•港口区期中）若＝5.036，则＝．【变式4-2】（2022春•渝中区校级月考）若≈7.149，≈22.608，则的值约为（）A．71.49B．226.08C．714.9D．2260.8【考点4：平方根】【典例5】求下列各数的平方根（1）49；（2）；（3）；（4）0.0016．【变式5-1】（2021秋•卫辉市月考）求下列各数的平方根（1）49 （2）；（3）2；（4）0.36；（5）（﹣）2．【变式5-2】（2022秋•青羊区校级期中）若m2＝4，则m＝（）A．2B．﹣2C．±2D．±【考点5 ：利用平方根的定义解方程】【典例6】（2022秋•莲湖区校级月考）求下列各式中x的值．（1）9x2﹣25＝0；（2）（x﹣1）2＝36．【变式6-1】（2022秋•江阴市校级月考）求下列各式中x的值：（1）x2﹣4＝0；（2）（x﹣1）2﹣9＝0．【变式6-2】（2022秋•新城区期中）已知2x2﹣8＝0，求x的值．【考点6：利用平方根的定义求参数】【典例7】（2021春•昭阳区校级月考）若一个正数的平方根是2m﹣4与3m﹣1，求这个正数的算术平方根．【变式7-2】（2022春•仁怀市校级月考）若m是169的正的平方根，n是121的负的平方根，求：（1）m+n的值；（2）（m+n）2的平方根．【变式7-3】（2021秋•河南月考）已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+2和3a﹣18．（1）求a的值；（2）求这个数m．【变式7-3】（2022秋•朝阳区校级月考）已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n．（1）求m的值；（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？【考点7：平方根的实际应用】【典例8】（2022秋•南岗区校级期中）小李同学想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为2：3，他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小于同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”（1）长方形纸片的长和宽是分别多少cm？（2）你是否同意小于同学的说法？说明理由．【变式8】（2022秋•市北区期中）某新建学校计划在一块面积为256m2的正方形空地上建一个面积为150m2的长方形花园（长方形花园的边与正方形空地的边平行），要求长方形花园的长是宽的2倍．请你通过计算说明该学校能否实现这个计划．。
算术平方根、平方根知识点辅差01
算术平方根、平方根知识点辅差01-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN知识点2：估算估算算术平方根的大小主要是利用逼近法，即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小.规律小结确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位）；确定其小数部分的方法是：首先确实其整数部分，然后利用这个数减去它的整数部分.例2.如果17-=m ，那么m 的取值范围是（ ）A.10<<mB.21<<mC.32<<mD.43<<m知识点3：平方根、开平方的概念及符号表示延伸拓展 1.平方根的理解（1）被开方数a 一定是非负数（即正数或0）；（2）平方与开平方是互逆运算；2.例2.求下列各数的平方根和算术平方根：（1） （2）8125（3）25-）（知识点4：平方根的性质平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根.规律小结：一个正数a 的平方根有两个记作a ±，表示a 的正的平方根和负的平方根，其中正的平方根a 也叫做a 的算术平方根.注：一个正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个.例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与，则a 的值为（ ）随堂巩固一、选择题.1. 4的算术平方根是（ ）±2.下列说法正确的是（ ）是25的算术平方根 是4的算术平方根是()26-的算术平方根 没有算术平方根 3.下列整数中，与 最接近的是（ ）4.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ）与3 之间 与4 之间 与5之间 与6之间5.81的平方根是（ ）A.3± C.9±6.下列语句正确的是（ ）是-4的平方根 是()22-的算术平方根 C.()22-的平方根是2 D.4的平方根是2或-2 7.252=a ，3=b ，则a+b 的值是（ ）B.8±C.2±D.8±或2±二、填空题1.化简：（1）412= ； （2）2.大于2且小于5的整数是 .3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是 。
《算术平方根、平方根、立方根》易错题训练
《算术平方根、平方根、立方根》易错题训练算术平方根、平方根、立方根易错题训练1. 算术平方根的定义和计算方法在数学中，算术平方根指的是一个数的平方等于给定数的平方根。
如果我们要计算16的算术平方根，我们需要找到一个数，使得这个数的平方等于16。
在这个例子中，16的算术平方根是4，因为4的平方等于16。
在实际计算中，我们可以使用开方符号√来表示算术平方根，即√16=4。
但在实际运用中，很多学生容易将算术平方根和平方根搞混，导致错题。
掌握算术平方根的定义和计算方法非常重要。
2. 平方根的概念和应用与算术平方根类似，平方根也是一个数的平方等于给定数的根。
但与算术平方根不同的是，平方根更常用于几何和物理问题中。
在计算一个矩形的对角线长度时，我们就需要使用平方根来计算。
平方根通常用来求解两边边长已知的等腰三角形的高、直角三角形斜边等问题。
然而，很多学生在高中数学学习中，由于对平方根的概念和应用理解不够深入，容易在相关题目中出错。
理解平方根的概念及其应用也是十分重要的。
3. 立方根的特点和求解方法立方根是一个数的立方等于给定数的根。
27的立方根是3，因为3的立方等于27。
立方根在几何和物理问题中同样有广泛的应用，如求解立方体的体积、长方体的对角线长度等。
虽然立方根的概念和求解方法比较直观，但在实际运用时，一些立方根的运算和问题求解可能会让学生感到困惑，容易出错。
熟练掌握立方根的特点和求解方法对于学生来说也是必不可少的。
4. 总结和回顾通过本篇文章的训练，我们可以得出结论：学生需要深入理解算术平方根、平方根、立方根的定义和计算方法，避免混淆和错题。
学生需要在实际问题中灵活应用平方根和立方根的知识，加深对概念和应用的理解。
学生可以通过练习题目加深对这些数学概念的掌握，并避免在考试中出现低级错误。
5. 个人观点和理解在我看来，数学中的算术平方根、平方根、立方根是非常基础但又非常重要的知识点。
它们不仅在数学中有着广泛的应用，而且还是建立数学思维和逻辑推理能力的重要基础。
算术平方根、平方根知识点
学科教师辅导讲义知识点2：估算估算算术平方根的大小主要是利用逼近法，即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 规律小结确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位）；确定其小数部分的方法是：首先确实其整数部分，然后利用这个数减去它的整数部分. 例2.如果17-=m ，那么m 的取值范围是（ ）A.10<<mB.21<<mC.32<<mD.43<<m知识点3：平方根、开平方的概念及符号表示延伸拓展 1.平方根的理解（1）被开方数a 一定是非负数（即正数或0）； （2）平方与开平方是互逆运算；2.平方根与算术平方根的区别与联系例2.求下列各数的平方根和算术平方根：（1） （2）8125（3）25-）（知识点4：平方根的性质平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 规律小结：一个正数a 的平方根有两个记作a ±，表示a 的正的平方根和负的平方根，其中正的平方根a也叫做a 的算术平方根.注：一个正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个.例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与，则a 的值为（ ）随堂巩固一、选择题.1. 4的算术平方根是（ ）± 2.下列说法正确的是（ ）是25的算术平方根 是4的算术平方根 是()26-的算术平方根 没有算术平方根3.下列整数中，与 最接近的是（ ）4.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ） 与3 之间 与4 之间 与5之间 与6之间5.81的平方根是（ ）A.3± C.9± 6.下列语句正确的是（ ）是-4的平方根 是()22-的算术平方根 C.()22-的平方根是2 D.4的平方根是2或-27.252=a ，3=b ，则a+b 的值是（ ） B.8± C.2± D.8±或2±30二、填空题 1.化简：（1）412= ； （2） = . 2.大于2且小于5的整数是 . 3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是 。
算术平方根、平方根知识点
算术平方根、平方根知识点-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII学科教师辅导讲义知识点2：估算估算算术平方根的大小主要是利用逼近法，即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 规律小结确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位）；确定其小数部分的方法是：首先确实其整数部分，然后利用这个数减去它的整数部分. 例2.如果17-=m ，那么m 的取值范围是（ ）A.10<<mB.21<<mC.32<<mD.43<<m知识点3：平方根、开平方的概念及符号表示延伸拓展1.平方根的理解（1）被开方数a一定是非负数（即正数或0）；（2）平方与开平方是互逆运算；2.平方根与算术平方根的区别与联系例2.求下列各数的平方根和算术平方根：（1）0.0009 （2）8125（3）25-）（知识点4：平方根的性质平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根.规律小结：一个正数a 的平方根有两个记作a ±，表示a 的正的平方根和负的平方根，其中正的平方根a 也叫做a 的算术平方根.注：一个正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个.例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与，则a 的值为（ ） A.2 B.-1 C.1 D.0随堂巩固一、选择题.1. 4的算术平方根是（ ）A.2B.-2C.±2D.16 2.下列说法正确的是（ ）A.5是25的算术平方根B.16是4的算术平方根C.-6是()26-的算术平方根D.0没有算术平方根 3.下列整数中，与 最接近的是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 4.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ）A.2与3 之间B.3与4 之间C.4与5之间D.5与6之间 5.81的平方根是（ ）A.3±B.3C.9±D.9 6.下列语句正确的是（ ）A.-2是-4的平方根B.2是()22-的算术平方根C.()22-的平方根是2D.4的平方根是2或-27.252=a ，3=b ，则a+b 的值是（ ）A.-8B.8±C.2±D.8±或2±二、填空题1.化简：（1）412= ； （2） = .2.大于2且小于5的整数是 .3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是 。
算术平方根、平方根知识点辅差
知识点2：估算估算算术平方根的大小主要是利用逼近法，即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小.规律小结确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位）；确定其小数部分的方法是：首先确实其整数部分，然后利用这个数减去它的整数部分.例2.如果17-=m ，那么m 的取值范围是（ ）A.10<<mB.21<<mC.32<<mD.43<<m知识点3：平方根、开平方的概念及符号表示延伸拓展1.平方根的理解（1）被开方数a 一定是非负数（即正数或0）；（2）平方与开平方是互逆运算；2.例2.求下列各数的平方根和算术平方根：（1）0.0009 （2）8125（3）25-）（知识点4：平方根的性质平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根.规律小结：一个正数a 的平方根有两个记作a ±，表示a 的正的平方根和负的平方根，其中正的平方根a也叫做a 的算术平方根.注：一个正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个.例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与，则a 的值为（ ）A.2B.-1C.1D.0随堂巩固一、选择题.1. 4的算术平方根是（ ）A.2B.-2C.±2D.162.下列说法正确的是（ ）A.5是25的算术平方根B.16是4的算术平方根C.-6是()26-的算术平方根 D.0没有算术平方根 3.下列整数中，与 最接近的是（ ）A.4B.5C.6D.74.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ）A.2与3 之间B.3与4 之间C.4与5之间D.5与6之间5.81的平方根是（ ）A.3±B.3C.9±D.96.下列语句正确的是（ ）A.-2是-4的平方根B.2是()22-的算术平方根C.()22-的平方根是2D.4的平方根是2或-27.252=a ，3=b ，则a+b 的值是（ ）A.-8B.8±C.2±D.8±或2±二、填空题1.化简：（1）412= ； （2） = . 2.大于2且小于5的整数是 .3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是 。
2022年初中数学同步 7年级下册 第07课 算数平方根与平方根(学生版)-
第07课 算数平方根与平方根课程标准1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．知识点01 平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个 的平方等于，即,那么这个正数x 叫做的 (规定0的算术平方根还是 )；的算术平方根记作 ，读作“ ”，叫做 . 注意：(1)当式子有意义时，一定表示一个 ，即 ， . (2) 没有算数平方根；(3)算数平方根等于本身的数有： ； (4)算数平方根 等于原来的数； (5)注意a 运算结果的非负性； 2.平方根的定义如果，那么 叫做 的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做 .平方与开平方互为 . (≥0)的平方根的符号表达为 ，其中是的 . 注意：(1) 才有平方根； (2) 没有平方根；(3)平方根等于本身的数是： ；(4)一个正数有 个平方根，他们 ； (5)平方根 等于原来的数；知识点02 平方根和算术平方根的区别与联系x a 2x a =a a a a a a a 2x a =a a a a a 目标导航知识精讲1．区别：(1)定义不同；(2)结果不同：和 2．联系：(1)平方根包含算术平方根；(2)被开方数都是非负数；(3)0的平方根和算术平方根均为0． 注意：算术平方根平方根定义若正数x ，2x a =， x 叫做a 的算术平方根，若数x ，2x a =， x 叫做a 的平方根，a 的范围 表示正数有一个算术平方根，是正数正数有 个平方根，它们互为相反数0的算术平方根是 0的平方根是 没有算术平方根没有平方根知识点03 平方根的性质(1)2a = (2)2()a =知识点04 平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右(左)每移动两位，算术平方根的小数点向右(左)移动 位。
例如：，，，.考法01 算数平方根与平方根的计算【典例1】16的算术平方根是___________． 【典例2】9的平方根是_________． 【典例3】81的平方根是____．a ±a 62500250=62525= 6.25 2.5=0.06250.25=能力拓展的平方根是．考法02 利用平方根解方程【典例4】求下列各式中的x值：(1)169x2＝144；(2)(x－2)2－36＝0.【即学即练】利用平方根求下列x的值：(1)(x+1)2=16.(2)3(x+2)2=27(3)64(x+1)2﹣25=0．考法03 平方根和算数平方根的逆运算【典例5】已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．【即学即练】已知2a+1的平方根是±3，5a+2b-2的算术平方根是4，求：3a-4b的平方根．【即学即练】如果一个正数m的两个平方根分别是2a－3和a－9，求2m－2的值．【即学即练】已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值.考法04 算数平方根结果的非负性+【典例6】已知2a b(1)求2a－3b的平方根；(2)解关于x的方程2420+-=．ax b【即学即练】-17|=0，求x+y的算术平方根.考法05 算数平方根小数点移动规律【典例7】观察下表，按你发现的规律填空=的值为_______．3.873【即学即练】．【即学即练】 1.414 4.472≈，≈_______.【即学即练】10.02=考法06 平方根的性质应用【典例8】实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简a _________________【即学即练】实数a 、b =______．【即学即练】已知实数a 在数轴上的位置如图，则化简|1﹣_____．考法07 算数平方根的估算【典例9__________.【即学即练】a ，小数部分为b ，则________,_________a b ==．【即学即练】已知a ，b 为两个连续的整数，且，则a ＋b ＝____．【即学即练】已知a ，b 为两个连续的整数，且a <b ，则a ＋b ＝___________.考法08 找规律【典例10】请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：④326++=__________．【即学即练】===……请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来__________________． 【即学即练】归纳并猜想:(1)211+的整数部分为____;(2)222+的整数部分为____;(3)233+的整数部分为____;(4)猜想:当n为正整数时,2n n+的整数部分为____,并把小数部分表示出来为____.【即学即练】观察分析下列数据，并寻找规律：2，5，8，11，14，17，…，根据规律可知第n个数据应是__________．题组A 基础过关练1．4的算术平方根为()A．2±B．2C．2±D．22．下列说法中错误的是()A．12是0.25的一个平方根B．正数a的两个平方根的和为0C．916的平方根是34D．当0x≠时，2x-没有平方根3．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简2a a b-+的结果为()A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b4．已知2|1|0++-=a b，那么()2017a b+的值为( )A．-1B．1C．20173D．20173-5．若320,a b-++=则a b+的值是()A．2B．1C．0D．1-6．下列计算正确的是()A．9＝±3B．38-＝﹣2C．2(3)-＝﹣3D．235+=分层提分7．916的平方根是34±,用式子表示正确的是( )A ．34B ．34=± C 34= D 34± 8．一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( ) A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间9．一个正数a 的平方根是2x ﹣3与5﹣x ，则这个正数a 的值是( ) A ．25B ．49C ．64D ．8110．若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，则m 的值是( ) A ．－3B ．－1C ．1D ．－3或1题组B 能力提升练11．16的平方根是 ．12．已知a 、b 满足(a ﹣1)2，则a+b=_____． 13．一个正数的平方根分别是1x +和5x -，则x =__．14a b ，则a b + 15．若(x ﹣1)2=4，则x=_____．1610.1= 3.41==__________________.17．代数式－3_______，这时a 与b 的关系是_______．18；……，则第n (n 为正整数)个等式是__． 题组C 培优拔尖练19．解方程． (1)24289x = (2)()29316x += (3)()22640x --=20．已知2a -1的算术平方根是3，3a+b -1的平方根是±4，c a+2b -c 的平方根．21．已知5a 2+的立方根是3，3a b 1+-的算术平方根是4，c (1)求a ，b ，c 的值；(2)求3a b c -+的平方根．22．实数a b 、.在数轴上的位置如图所示，请化简：a b -.23．有两个十分喜欢探究的同学小明和小芳，他们善于将所做的题目进行归类，下面是他们的探究过程． (1)解题与归纳①小明摘选了以下各题，请你帮他完成填空．＝ ；＝ ；＝ ；＝ ；＝ ；＝ ；②归纳：对于任意数a,＝ ③小芳摘选了以下各题，请你帮她完成填空．2＝ ；2＝ ；2＝ ；2＝ ；2＝ ； 2＝ ；④归纳：对于任意非负数a,有2＝ (2)应用根据他们归纳得出的结论，解答问题．数a ，b -224．观察下列式子变形过程，完成下列任务：111n n n +=-+ 1111n n =+-+(1)(2)1199++。
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联系 中，，0的平方根是0
正数的算术平方根只有一 个，是唯一的
中，，0的算术平方根是0
例2.求下列各数的平方根和算术平方根：
（1）0.0009
（2）
（3）
知识点4：平方根的性质 平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根 是0；③负数没有平方根. 规律小结：一个正数a的平方根有两个记作，表示a的正的平方根和负的
（1）
（2）
(3)
. (4)
2.解下列方程.
（1）
（2）
(3)
(4)
3. 已知一个正数的平方根为和，求a的值和这个数.
4. 已知m是的整数部分，n是的小数部分，求的值。
5. 已知，求的值.
6. 已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根.
7. 已知 8.设、为实数，且，求的值
数减去它的整数部分.
例2.如果，那么m的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
知识点3：平方根、开平方的概念及符号表示
定义
一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平 方根或二次方根，即如果，那么x叫做a的平方根.
表示方 正数a的平方根表示为“”，读作“正、负根号a”, 法 例如，36的平方根是±6，记作.
例1.求下列各数的算术平方根
（1）49 (5)
（2）0.25
（3）
(4)
知识点2：估算
估算算术平方根的大小主要是利用逼近法，即利用与被开方数最接
近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小.
规律小结
确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法（估算到个
位）；确定其小数部分的方法是：首先确实其整数部分，然后利用这个
平方根是2或-2
7.，，则a+b的值是（ ）
A.-8
B.
C.
D.或
D.7 D.5与6
D.的
二、填空题 1.化简：（1）=
； （2）
=
.
2.大于且小于的整数是
.
3.使式子成立的未知数的值是
。
4.已知一个正数的平方根是和，则这个数是
5.已知m,n为两个连续的整数，且，则=
三、解答题 1.求下列各式的值.
平方根
算术平方根
定义
如果一个数的平方等于a,即，那 么这个数x叫做a的平方根.
正数Hale Waihona Puke 正的平方根叫做这个 数的算术平方根
表示
正数有两个平方根，这两个平方
性质
根互为相反数，0有一个平方根， 它是0本身；负数没有平方根.
正数的算术平方根有一个； 0的算术平方根是0
区别
正数的平方根有两个，且互为相 反数，是不唯一的
B.16是4的算术平方根
C.-6是的算术平方根
D.0没有算术平方根
3. 下列整数中，与 最接近的是（ ）
A.4
B.5
C.6
4. 一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ）
A.2与3 之间
B.3与4 之间
C.4与5之间
之间
5.的平方根是（ ）
A.
B.3
C.
D.9
6.下列语句正确的是（ ）
A.-2是-4的平方根 B.2是的算术平方根 C.的平方根是2
平方根，其中正的平方根也叫做a的算术平方根.
注：一个正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个.
例3.一个正数x的两个平方根分别是，则a的值为（ ）
A.2
B.-1
C.1
D.0
随堂巩固
一、选择题.
1. 4的算术平方根是（ ）
A.2
B.-2
C.
2
D.16
2. 下列说法正确的是（ ）
A.5是25的算术平方根
定义
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方
特征
开平方是一种运算，它与平方运算是互逆运算，这与加 法、减法以及乘法、除法的关系是一样的，开平方运算的 结果就是平方根，我们就是利用开平方与平方的互逆关系
求一个数的平方根.
延伸拓展 1. 平方根的理解 （1） 被开方数a一定是非负数（即正数或0）； （2） 平方与开平方是互逆运算； 2.平方根与算术平方根的区别与联系
新课知识
知识点1:算术平方根
（1） 如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方
根.
（2） 的算术平方根记为,读作“根号a”，a叫做被开方数.
（3） 规定：0的算术平方根是0 ，即.
规律小结
算术平方根具有双重非负数：
（1） 被开方数具有非负性，即；
（2） 本身具有非负性：即
注：具有非负数才有算术平方根，而负数没有算术平方根.