平方根知识点总结归纳讲义
(完整版)平方根知识点总结讲义
平方根 知识点总结【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；aa 的算术平方根”，a 叫做被开方数.要点诠释：a0，a ≥0.2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为0)a ≥，是a 的算术平方根.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a a =≥要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.250=25=2.5=0.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －1），解方程即可求解．【答案与解析】解：依题意得 2m －4＝－（3m －1），解得m ＝1；∴m 的值为1．【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三：【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22212111a -=⨯-=②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，所以m ＝()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-= 2、x 为何值时，下列各式有意义？2x 4x -11x x +-1x - 【答案与解析】解：(1)因为20x ≥，所以当x 2x (2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥4x - (3)由题意可知：1010x x +≥⎧⎨-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤11x x +-义．(4)由题意可知：1030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且3x ≠．所以当1x ≥且3x ≠1x - 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．举一反三：【变式】已知4322232b a a =-+-+，求11a b +的算术平方根． 【答案】解：根据题意，得320,230.a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =，所以b ＝2，∴1131222a b +=+=， ∴11a b+的算术平方根为112a b +=． 类型二、平方根的运算3、求下列各式的值．(1)2222252434-+；(2)111200.36900435--． 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1)2222252434-+49257535==⨯=； (2)1118111200.369000.630435435--=-⨯-⨯90.26 1.72=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据2(0)a a a =>来解．类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-=【答案与解析】解：（1）∵23610x -=∴2361x =∴36119x ==±（2）∵()21289x +=∴1289x +=∴x ＋1＝±17x ＝16或x ＝－18.（3）∵()2932640x +-= ∴()264329x += ∴8323x +=± ∴21499x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的x ：（1）若2 1.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______； （3）若29,4x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______． 【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）32±；（4）±2. 类型四、平方根的综合应用5、已知a 、b 是实数，26|20a b ++=，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-． 【答案与解析】解：∵a 、b 26|20a b +-=260a +≥，|20b -≥，∴260a +=，20b -=．∴a =－3，2b =把a =－3，2b =2(2)1a x b a ++=-，得－x ＋2＝－4，∴x ＝6．【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a 、b 的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可．举一反三：2110x y -+=，求20112012x y +的值． 【答案】2110x y -+=，得210x -=，10y +=，即1x =±，1y =-．①当x ＝1，y ＝－1时，20112012201120121(1)2x y +=+-=．②当x ＝－1，y ＝－1时，2011201220112012(1)(1)0x y +=-+-=．6、小丽想用一块面积为4002cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002cm的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x (x ＞0) cm ，则宽为2x cm ，依题意得32300x x ⋅=.26300x =.250x =.∵ x ＞0，∴ 50x = ∴ 长方形纸片的长为350cm .∵ 50＞49,507>.∴ 35021>, 即长方形纸片的长大于20cm .由正方形纸片的面积为400 2cm , 可知其边长为20cm ,∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm 的正方形纸片裁出长方形纸片.。
第05讲 平方根-2024年新八年级数学暑假提升讲义(北师大版 学习新知)
第05讲平方根模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根；2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根；3．掌握平方根与算术平方根的有关运算。
知识点1算术平方根（1）定义：一般地，如果一个正数x 的平方根等于a ,即：2,x a =那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记作，读作“根号a ”,（2）表示方法：非负数a的算术平方根记作a ,（3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即0=；③负数没有算术平方根，当式子a 一定是一个非负数。
知识点2平方根（1）定义:一般地，如果一个正数x 的平方根等于a ,即：2,x a =那么数x 就叫做a 的平方根，记作a ±，读作“正负根号a ”,（2）表示方法：一个数a （a ≧0）的平方根记作a ±(a ≧0)，读作根号a ,“正负根号a ”,（3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。
知识点3开平方（1）定义:求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，a 叫做被开方数；（2）22(0)a a a ≥与( ）的性质：（1）2(0),0(0),(0).a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩（2）2()(0)a a a =≥（3）22)a a 与(的区别与联系区别：取值范围不同：2a 中a 为任意实数；()2a 中a 0≥；被开方数不同：2a 中被开方数为2a ；()2a 中被开方数为a ；运算顺序不同：2a 先平方再开方；()2a 先开方再平方。
联系：2a 结果为非负数；()2a 中a ≧0时，2a =()2a 考点一：算术平方根与平方根概念理解例1．（2024·山东菏泽·二模）下列说法正确的是（）A ．64是8的算术平方根B ．981C 93D ．一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是1【变式1-1】（23-24七年级下·全国·假期作业）下列语句写成数字式子正确的是（）A ．9是81的算术平方根：9=B ．5是2(5)-5C ．6±是366=±D ．2-是42=-【变式1-2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下面语句中正确的是（）A ．64的平方根是4±B ．18的平方根是12-C ．9-的平方根是3-D ．116的算术平方根是14【变式1-3】（23-24七年级下·重庆江北·阶段练习）下列说法正确的是（）A ．9-的算术平方根是3B ．9的平方根是3C ．0的平方根与算术平方根都是0D ．平方根等于本身的数是0和1考点二：求一个数的算术平方根例2.（23-24七年级下·吉林·期中）4的算术平方根是．【变式2-1】（23-24七年级下·吉林松原·期中）49100的算术平方根是．【变式2-2】（23-24七年级下·广东汕尾·阶段练习）16的平方根是，=．【变式2-3】（2024七年级下·全国·专题练习）（1=，=，=，=，=，对于任意实数0=．（2）2=，2=，2=，2=，对于任意非负数a ，猜想2=．考点三：利用算术平方根的非负性解题例3.（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·|1|0-=b ，那么()2024a b +的值为（）A ．1-B ．1C ．20243D ．2024-【变式3-1】（23-24八年级下·重庆永川·期中）已知x ，y |3|0y +=，则x y +=()A ．1-B ．1C ．5D ．5-【变式3-2】（23-24七年级下·云南昆明·期中）若01x -=，则20232024x y +的值为（）A ．0B ．1C ．1-D ．2【变式3-3】（23-24八年级下·广西防城港·期中）已知()210x -=）A ．2B ．2-C ．4D ．4-考点四：求算术平方根的整数部分和小数部分例4.的整数部分为a ，小数部分为b ，则=a ，b =．【变式4-1】（20-21七年级上·山东泰安·的整数部分是．小数部分是．【变式4-2】（23-24八年级下·河北廊坊·2-的整数部分是m ，小数部分是n ，则m =，n =．【变式4-3】已知a ，b 2a ﹣b 的值为．考点五：与算术平方根有关的规律探索题例5.（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）按要求填空：（1）填表并观察规律：2.638=______；0.06164=61.64=，则x =______．【变式5-1】（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）（1）填表并观察规律：5.8==___________；0.035==，则x =___________．（3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明．【变式5-2】（23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）先填写表，通过观察后再回答问题∶(2)从表格中探究a3.16≈________；8.973=897.3=，用含m 的式子表示b ，则b =________；(3)a 的大小．【变式5-3】（23-24八年级下·广东江门·期中）如图，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题．22212OA =+=，1S =；22313OA =+=，22S=；22414OA =+=，3S =．(1)推算出210OA =______；10S =______．(2)请用含n （n 是正整数）的式子填空：n OA =______n S =______(3)求出2222123100S S S S +++⋅⋅⋅+的值．考点六：求一个数的平方根例6.（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）0.0081的平方根是．【变式6-1】（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）1681的平方根是．【变式6-2】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）116的算术平方根是；的平方根是．【变式6-3】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）144平方根是，()27-的算术平方根是，的平方根是，3π-=.考点七：已知一个数的平方根，求这个数例7.（23-24七年级下·山东德州·期中）如果一个数的平方根是()3a -+和()215a -，则这个数为．【变式7-1】（23-24七年级下·内蒙古通辽·期中）一个正数的两个平方根分别是24a +和1a -，则这个正数是．【变式7-2】（23-24七年级下·山东临沂·期中）已知一个正数的两个不同的平方根是23-x 和41x +，则这个正数是．【变式7-3】（23-24七年级下·河南漯河·期中）一个正数的两个平方根是2m -和10m +，则这个正数是．考点八：求代数式的平方根例8.（23-24七年级下·河南新乡·期中）互为相反数，求326b a -++的平方根．【变式8-1】（23-24七年级下·福建莆田·阶段练习）一个正数b 的平方根是21a -与2a -+，(1)求a 和b 的值．(2)求5a b +平方根．【变式8-2】（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知21a +的算术平方根是5，103b +的平方根是4±，c 的整数部分，求5a b c -+的平方根．【变式8-3】（22-23七年级下·陕西安康·期中）一个正数x 的两个不同的平方根分别是23a -和5a -．(1)求a 和x 的值．(2)求12x a +的平方根．考点九：利用平方根解方程例9.（23-24七年级下·全国·假期作业）求下列各式中x 的值．(1)2169100x =；(2)2(1)81x +=；(3)2925x =；(4)24(2)9x -=．【变式9-1】（23-24七年级下·河南安阳·期中）求下列各式中x 的值．(1)2218x =；(2)21728x +=．【变式9-2】（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知一个正数的两个平方根是6a -与310a -．(1)求a 的值；(2)求关于x 的方程22250ax -=的解．【变式9-3】（23-24七年级下·北京·期中）已知正实数a 的两个平方根分别是x 和x y +．(1)若2x =，求y 的值；(2)若()2224ax a x y -+=-，求a 的值．一、单选题1．（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）9的算术平方根是（）A ．3B ．81C ．3±D ．81±2．（23-24七年级下·山东日照·期中）下列说法正确的是（）A 4=±B ．4-是16的平方根C 4D ．16的平方根是43．（23-24七年级下·河南周口·期中）若一个正数的两个平方根分别是26m +和18m -，则m 的值是（）A ．3B ．4-C ．2D ．44．（23-24七年级下·山东德州·期中）下列各式中，正确的是（）A3=-B 3=±C 3±D ．3=-5．（23-24七年级下·广东汕头·期中）若41a +的算术平方根是5，则2a -的算术平方根是（）A B ．2±C D ．2二、填空题6．（23-24七年级下·山东临沂·阶段练习）81的算术平方根是；的平方根是．7．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）若2x +的算术平方根是3，则25x +的平方根是．8．（2024·四川内江·二模）若235a b -+a b +=．9．（23-24七年级下·福建厦门· 1.2165≈ 3.8471≈≈．（精确到十分位）10．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）已知a b 是整数的算术平方根为．三、解答题11．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）求下列各式的值(2)(3)(4)12．（23-24七年级下·天津北辰·期中）求x 的值．(1)2519x -=；(2)()2419x -=．13．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知正数a 的两个不同的平方根分别是32x -和510x +,4a b +-的算术平方根是3.(1)求a 、b 的值；(2)求2a b -的平方根．14．（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）（1）如果一个正数的平方根为23x -和5x -，求这个正数．（2）已知21a -的平方根是3±，31a b +-的平方根是4±，求2+a b 的平方根．15．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）已知4a -的立方根是1，b 的算术平方根是2c ．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求23a b c -+的平方根．16．（23-24八年级上·福建泉州·求得，请同学们观察表：2位则它的算术平方根的小数点就向左或向右移动位；(2)23.26≈7.155≈≈；≈②若20.00512x ≈，则x ≈．第05讲平方根模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根；2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根；3．掌握平方根与算术平方根的有关运算。
平方根 讲义
第二节 平方根 讲义 一、対算术平方根的理解一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x =a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式2x =a (x ≥0)中，规定x =a .例如：422=，2就叫做4的算术平方根，根据定义，4的算术平方根也可表示为4，读作根号4，所以2=4。
再例如：23=9，3就叫做9的算术平方根，根据定义,9的算术平方根也可表示为9，读作根号,9，所以3=9。
再例如：如果 52=x ，x 就叫做5的算术平方根，根据定义, 5的算术平方根就可以表示为5，所以x=5.2、 试一试：你能根据等式：212=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．例1 求下列各数的算术平方根： （1）100；(2)1；(3)6449；(4)0.0001 解：(1)因为302=900，所以900的算术平方根是30，因为900的算术平方根也可表示为900，所以900=30；(2)因为12=1，所以1的算术平方根是1，即1=1；(3)因为,6449)87(2=所以6449的算术平方根是87，即876449=； (4)14的算术平方根是14.通过上面的例题，大家思考一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？ ［生］ 是通过平方来求的.［师］对.由此我们可以看出一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算.而且我们在例题中的步骤采取语言叙述和符号表示互相补充的做法，目的是让大家明白算术平方根的概念，以及从计算中进一步体会一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算.在以后的步骤中可以简化.［师］下面大家再观察一下刚才咱们求出的算术平方根有什么特点. ［生甲］算术平方根是整数或分数，即为有理数.［生乙］不对，那14是不是有理数？若是则是，分数还是整数？［生丙］因为没有任何一个整数或分数的平方等于14，所以14不是有理数，而是无理数.结论:非平方数的算术平方根只能用根号表示.［师］大家的分析都有道理，我提示一下从符号方面考虑. ［生甲］噢，算术平方根是正数，如14,5,3,2，2.［生乙］不对，还有零呢.正数的算术平方根是正数，零的算术平方根为零.［师］非常正确，那负数的算术平方根是否为负数呢？若(－2)2=4.则4=－2对吗？或者4-=－2对吗？［生甲］不对.因为算术平方根的定义是一个正数的x 的平方等于a ，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，所以算术平方根不可能是负数.［师］由此看来，定义中的a 和x 都为正数，即算术平方根是非负数，负数没有算术平方根.用式子表示为a (a ≥0)为非负数，这是算术平方根的性质. (二)补充练习. 一、填空题1.若一个数的算术平方根是5，则这个数是_________.2.94的算术平方根是_________. 3.正数_________的平方为971,25144的算术平方根为_________. 4.(－1.44)2的算术平方根为_________.5.81的算术平方根为_________，04.0=_________ 二、求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：(1)(7.4)2；(2)(－3.9)2；(3)2.25；(4)241. 思考题：因为2是4的算术平方根，所以422=。
平方根ppt课件
平方根的历史背景
平方根的早期发展
在古代文明中，人们已经意识到某些数的平方的值。例如，古埃及人和古巴比 伦人已经知道π和√2的近似值。随着数学的发展，人们对平方根的认识逐渐深 入。
电容
在计算电容时，需要使用平方根来 计算电容器容纳电荷的能力。
在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑测量中，需要使用平方根 来计算建筑物的面积和体积。
土地测量
在土地测量中，需要使用平方根 来计算土地的面积和周长。
商业交易
在商业交易中，需要使用平方根 来计算商品的价格和利润。
05
平方根的注意事项
Chapter
平方根函数的奇偶性
平方根函数的值域
函数$y = sqrt{x}$的值域为所有非负 实数。
函数$y = sqrt{x}$是非奇非偶函数， 因为对于所有的x值，都有$sqrt{-x} neq sqrt{x}$。
平方根的几何性质
平方根与数轴的关系
在数轴上，一个数的平方根表示该数距离原点的距离。例如，4位 于2的右边，因为2是4的平方根。
平方根的除法性质
如果a和b都是正数，那么 $frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$。
平方根的加法性质
如果a和b都是正数，那么 $sqrt{a} + sqrt{b}$不一 定等于$sqrt{a + b}$。
平方根的函数性质
平方根函数的单调性
对于函数$y = sqrt{x}$，当x的值从 负无穷增加到正无穷时，y的值也从负 无穷增加到正无穷，因此该函数是单 调递增的。
平方根与算数平方根(复习讲义)01(教师版)
平方根与算数平方根（复习讲义）01【知识点讲解】 知识点一：算术平方根1、定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，规定0的算术平方根是0。
2、表示方法：非负数a 的算术平方根记作“a ”，读作“根号a ”，其中a 叫做被开方数。
3、性质：正数a 的算术平方根为a ； 0的算术平方根是0，即00=； 负数没有算术平方根。
举例：2552=，那么5叫做25的算术平方根（或者说25的算术平方根是5）。
算术平方根a 具有双重非负性： 被开方数a 是非负数，即a ≥0；非负数a 的算术平方根a 是非负数，即a ≥0。
4、规律方法：求一个非负数的算术平方根与求一个非负数的平方恰好是互逆的过程。
算术平方根等于本身的数只有0和1。
被开方数越大，对应的算术平方根也越大，这个结论对所有正数都成立。
例1：求下列个数的算术平方根 ①：0.090.3②：2516 54 ③：()24-4④：0 0 ⑤：1010知识点二：估算算术平方根1、方法：求一个正数（非完全平方数）的算术平方根的近似值，一般采用夹逼法。
“夹”就是从两边确定取值范围；“逼”就是一点一点加强限制，使取值范围越来越小，从而达到理想的精确度。
2、依据：被开方数越大，对应的算术平方根也越大。
3、举例：估算10的大小，可以取与10最近的两个完全平方数9和16。
因为16109<<，所以16109<<，即4103<<4、估算一个正数（非完全平方数）的算术平方根是用有理数进行估计，利用与被开方数比较接近的完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小。
例2：估算7的近似值（精确到0.01）解：372974<<⇒<<76.66.22=、29.77.22=7.276.2<<⇒9696.664.22=、0225.765.22=65.2764.2<<⇒得：65.27≈知识点三：平方根的概念及性质 1、平方根：（1）定义：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 叫做a 的平方根或二次方根。
平方根知识点总结
平方根知识点总结平方根是代数学中的一个重要概念，经常在各种数学问题中出现。
简单来说，平方根就是一个数与自己相乘等于指定数的操作的逆运算。
本文将为您总结平方根的知识点，并讨论相关概念、性质和应用。
一、基本概念1. 平方根的定义：对于一个非负数a，它的平方根是指满足x * x = a的非负数x。
符号√a表示a的平方根，√a ≥ 0。
2. 平方根的记法：平方根记作√a。
例如√25 = 5，√144 = 12。
二、性质与运算1. 非负数的平方根：对于任意非负实数a，都存在唯一一个非负实数x，使得x * x = a。
2. 平方根的唯一性：每个正实数只有一个正平方根，即√a是唯一的。
但负实数没有实数平方根。
3. 非零实数的平方根：对于任意非零实数a，其平方根√a的正负号取决于a的符号。
当a > 0时，√a > 0；当a < 0时，√a不存在实数解。
4. 平方根的运算性质：a) 两个非负数的积的平方根等于它们的平方根的乘积：√(ab) = √a * √b。
b) 两个非负数的商的平方根等于它们的平方根的商：√(a/b) = √a / √b（b ≠ 0）。
c) 平方根的乘方等于它的被开方数：(√a)² = a。
三、平方根的求解方法1. 估算法：通过估算被开方数的大小，可以快速确定一个近似的平方根。
2. 迭代法：通过迭代运算，逐步逼近平方根的精确值。
3. 牛顿法：利用泰勒级数近似平方根，通过迭代逼近平方根的解。
四、平方根的应用1. 几何应用：平方根在几何图形的计算中有广泛应用，如计算圆的半径或直径、计算三角形的斜边、计算四边形的对角线等。
2. 物理应用：平方根在物理学中的运动学、力学、电磁学等领域广泛应用，如计算速度、加速度、力的大小等。
3. 工程应用：平方根在工程学中的建筑、机械等领域有重要应用，如计算力的大小、材料的强度等。
4. 统计学应用：平方根在统计学中用于计算方差和标准差等。
总结：平方根是数学中一个非常重要的概念，它在各个领域均有广泛的应用。
《平方根》PPT课件
5-2. 已知 2.06 ≈1.435，求下列各数的算术平方根： (1)0.020 6；解：∵ 2.06≈1.435，∴(1) 0.020 6≈0.143 5； (2)206； (2) 206≈14.35； (3)20 600. (3) 20 600≈143.5.
知识点 3 平方根
1. 定义：一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数 叫做a 的平方根或二次方根 . 这就是说，如果x2=a，那 么x 叫做a的平方根. 表示方法：非负数a 的平方根记为± a ，读作“正、 负根号a”.
2. 大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数 的算术平方根(或其近似值). 按键顺序：先按 键， 再输入被开方数，最后按 键. 计算器上就会显示这 个数的算术平方根(或其近似值).
特别解读 ●求一个正数(非平方数) 的算术平方根的近似值，通常有
三种方法： 一是用计算器； 二是查平方根表； 三是估算. ●计算器上显示的数值许多都是近似值.
(1) 1600; (2)－ 2 14；
25
(3) －22；
(4) 0.0036.
解：本题运用夹逼法来求整数a 与b 的值. 因为a，b 为连续整数，a< 7 <b， 而22<7<32，所以2< 7 <3. 所以a=2，b=3. 所以a+b=5.
3-1.[中考·天津] 估计 22 的值在( B ) A. 3 和4 之间 B. 4 和5 之间 C. 5 和6 之间 D. 6 和7 之间
(1)121；(2)2 7 ；(3)－(－4)3；(4)
9
49 .
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的
数，然后根据平方根和算术平方根的定义确定.
解：(1)因为(±11)2=121，
平方根、算术平方根讲义
9.6平方根基础知识点1.平方根和算术平方根的概念2.正确理解√a，-√a，±√a3.无限不循环小数利用平方根与算术平方根的概念1.一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3，则a, x2.√16的平方根是利用平方根的定义解简单方程1.若x的平方根/算术平方根是它本身，则x2.√1-x = 2 的解为利用算术平方根的双重非负性解题1.√(a-2) + (b+5)²= 02.√(2a+6) + |b-√2|= 0 ，解关于x的方程(a+2)x+ b²= a-1利用平方法估计算术平方根的范围1.估计20的算术平方根大小2.已知x为整数，且满足-√2≦x≦√3，则x练习：1.一个自然数的算术平方根为a，则这个自然数相邻的下一个自然数为2.√(-3)²3.√a²= 34.若m (m大于等于0) ,n满足3√m + 5|n|= 7, x=2√m -3|n|, 试求x的取值范围5.√(5x+2y-9) 与|2x-6y-7|互为相反数，则x+1/y =6.3√(a-b) + 4√c=16且x=4√(a-b) -3√c, 试求x的取值范围7.√(2-x)+√(x-2)-y=6, 试求y的x次方的平方根立方根基础知识点1.立方根概念2.平方根与立方根的比较先变形被开方式再直接运算解三次方程估值法比较数的大小实数基础知识点1.无理数的概念及其常见类型（Π类，开方开不尽的数、有规律但又无限不循环的数）2.正确区分无理数和有理数3.实数及其数轴上点的对应关系4.实数的运算法则和运算性质。
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欢迎阅读平方根知识点总结
【学习目标】
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】
要点一、平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数x的平方等于a，即2x a
=,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术
2.
如果. a(a≥
1
2
.因此，
.例如：
类型一、平方根和算术平方根的概念
1、若2m－4与3m－1是同一个正数的两个平方根，求m的值．
【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m－4＝－（3m－1），解方程即可求解．
【答案与解析】
解：依题意得 2m－4＝－（3m－1），
解得m＝1；
∴m的值为1．
【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
举一反三：
【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.
【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数.
解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22
212111a -=⨯-=
②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，
所以m ＝()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-=
2、x 为何值时，下列各式有意义？
(4)
解：(1)(2)(3)(4)【答案】
∴11a b
+= 类型二、平方根的运算
3、求下列各式的值．
2234+； 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.
【答案与解析】
解：2234+257535==⨯=；
110.63035=⨯-⨯90.26 1.72
=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学
(0)a a =>来解．
类型三、利用平方根解方程
4、求下列各式中的x .
（1
（3解：（1 （2 x （3 ∴99x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.
举一反三：
【变式】求下列等式中的x ：
（1）若2 1.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______；
（3）若29,4
x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______．
【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）32
±
；（4）±2. 类型四、平方根的综合应用
5、已知a 、b |0b -=，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-． 【答案与解析】
解：∵a 、b |0b -=0≥，|0b -≥，
∴260a +=，0b -=．
6 250x =.
∵ x ＞0，
∴ x =
∴ 长方形纸片的长为cm .
∵ 50＞49,
7>.
∴ 21>, 即长方形纸片的长大于20cm .
cm, 可知其边长为20cm,
由正方形纸片的面积为400 2
∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.
答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm的正方形纸片裁出长方形纸片.。