天津市高二数学必修5导学案：2.2等差数列(1)

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人教A版高中数学必修五 2-2 等差数列学案精品

2.2 等差数列-----学案一、学习目标1．理解等差数列的概念．(难点)2．掌握等差数列的通项公式及应用．(重点、难点)3．掌握等差数列的判定方法．(重点)4．掌握等差数列的有关性质．(重点、易错点)二、自主学习教材整理1等差数列的含义阅读教材P36～P37思考上面倒数第二自然段，完成下列问题．1．等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．(2)符号语言：a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*)．2．等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A.教材整理2等差数列的通项公式阅读教材P37思考上面倒数第2行～P38，完成下列问题．1．等差数列的通项公式：以a1为首项，d为公差的等差数列{a n}的通项公式a n＝a1＋(n －1)d.2．从函数角度认识等差数列{a n}若数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d，则a n＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，a n)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d个单位．教材整理3 等差数列的性质阅读教材P39探究及练习第4,5题，完成下列问题．1．等差数列的图象等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，a n是一固定常数；当d≠0时，a n相应的函数是一次函数；点(n，a n)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．2．等差数列的性质(1){a n}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q.m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m＋a n＝2a k.②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．(3)若{a n}是公差为d的等差数列，则①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(4)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．(5){n d，则d>0⇔{a n}为递增数列；d<0⇔{a n}为递减数列；d＝0⇔{a n}为常数列．三、合作探究探究1.等差数列的判定与证明例1.已知数列{a n }的通项公式a n ＝pn 2＋qn (p ，q ∈R ，且p ，q 为常数)．(1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？(2)求证：对任意实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }是等差数列．【精彩点拨】利用等差数列定义判断或证明a n ＋1－a n 为一个常数即可．【自主解答】 (1)欲使{a n }是等差数列，则a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q 应是一个与n 无关的常数，所以只有2p ＝0，即p ＝0时，数列{a n }是等差数列．(2)证明：因为a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ，所以a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q .而(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2p 为一个常数，所以{a n ＋1－a n }是等差数列．归纳总结：等差数列的判定方法有以下三种：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列；(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列；(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列．但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．探究2：等差中项的应用例2.已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列，求p ，q 的值．【精彩点拨】将x 1，x 4，x 5用p ，q 表示出来，由x 1，x 4，x 5成等差数列，即2x 4＝x 1＋x 5列出关于p ，q 的方程组求解．【自主解答】由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，①又x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，②由①②得q ＝1，p ＝1.归纳总结：三数a ，b ，c 成等差数列的条件是b ＝a ＋c 2(或2b ＝a ＋c )，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{a n }为等差数列，可证2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)．探究3.等差数列的通项公式及其应用例3.(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＝7，a 10＝25，求通项公式a n ；(2)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54，a 7＝－74，求a 15的值．【精彩点拨】设出基本量a 1，d ，利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式a n ＝a m ＋(n －m )d 求解．【自主解答】 (1)∵a 4＝7，a 10＝25，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝7，a 1＋9d ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－2，d ＝3， ∴a n ＝－2＋(n －1)×3＝3n －5，∴通项公式a n ＝3n －5(n ∈N *)．(2)法一：由⎩⎨⎧ a 3＝54，a 7＝－74，得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝54，a 1＋6d ＝－74，解得a 1＝114，d ＝－34， ∴a 15＝a 1＋(15－1)d ＝114＋14×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 法二：由a 7＝a 3＋(7－3)d ，即－74＝54＋4d ，解得d ＝－34， ∴a 15＝a 3＋(15－3)d ＝54＋12×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 归纳总结：1．应用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程的思想．一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋m －d ＝a ，a 1＋n －d ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式． 2．若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其它项时，则运用a m ＝a n ＋(m －n )d 较为简捷．探究4. 灵活设元解等差数列例4.已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．【精彩点拨】 (1)能否直接设出首项和公差，用方程组求解？(2)等差数列相邻四项和为26，这四项有对称性吗？能否用对称设法求解？【自主解答】法一：设这四个数分别为a ，b ，c ，d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b －a ＝c －b ＝d －c ，a ＋b ＋c ＋d ＝26，bc ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝5，c ＝8，d ＝11或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝11，b ＝8，c ＝5，d ＝2，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二：设此等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝26，a 1＋d a 1＋2d ＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝26，a 21＋3a 1d ＋2d 2＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝11，d ＝－3，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 法三：设这四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －3d ＋a －d ＋a ＋d ＋a ＋3d ＝26，a －d a ＋d ＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎨⎧ a ＝132，d ＝±32.∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.归纳总结：1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a 1，公差为d ，利用已知条件建立方程组求出a 1和d ，即可确定数列．2．当已知数列有2n 项时，可设为a －(2n －1)d ，…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，a＋(2n －1)d ，此时公差为2d .3．当已知数列有2n ＋1项时，可设为a －nd ，a －(n －1)d ，…，a －d ，a ，a ＋d ，…，a＋(n －1)d ，a ＋nd ，此时公差为d .四、学以致用1．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2－1a n －2＝a n a n －－1a n －2＝a n －2a n －＝12. 又b 1＝1a 1－2＝12，∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列． (2)由(1)知b n ＝12＋(n －1)×12＝12n .∵b n ＝1a n －2，∴a n ＝1b n ＋2＝2n ＋2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2， 2．若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，则m 与n 的等差中项是________.【解析】由m 和2n 的等差中项为4，则m ＋2n ＝8，又由2m 和n 的等差中项为5，则2m ＋n ＝10.两式相加，得m ＋n ＝6，∴m 与n 的等差中项为m ＋n 2＝62＝3. 【答案】 33．－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？【解】由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n ＝－5－4(n －1)＝－4n －1.由题意知，－401＝－4n －1，得n ＝100，即－401是这个数列的第100项.4．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数.【解】 (1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，a －d a ＝a ＋d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－1.∴这三个数为4,3,2. 五、自主小测1．数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( )A ．是公差为2的等差数列B ．是公差为5的等差数列C ．是首项为5的等差数列D ．是公差为n 的等差数列2．等差数列的前3项依次是x －1，x ＋1,2x ＋3，则其通项公式为( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝2n －3C ．a n ＝2n －1D ．a n ＝2n ＋13．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________．4．已知1，x ，y,10构成等差数列，则x ，y 的值分别为________.5．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝9，a 8＝6，则a 2＝______________________.6．若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝________.参考答案1.【解析】 ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋5－(2n ＋5)＝2，∴{a n }是公差为2的等差数列．【答案】 A2.【解析】 ∵x －1，x ＋1,2x ＋3是等差数列的前3项，∴2(x ＋1)＝x －1＋2x ＋3，解得x ＝0，∴a 1＝x －1＝－1，a 2＝1，a 3＝3，∴d ＝2，∴a n ＝－1＋2(n －1)＝2n－3，故选B.【答案】 B3.【解析】设首项为a 1，公差为d ，由a 3＝7，a 11＝－1，得a 1＋2d ＝7，a 1＋10d ＝－1，所以a 1＝9，d ＝－1，则a 7＝3.【答案】 34.【解析】由已知，x 是1和y 的等差中项，即2x ＝1＋y ，①y 是x 和10的等差中项，即2y ＝x ＋10，②由①②解得x ＝4，y ＝7.【答案】 4,75.【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 5＝9，a 8＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3d ＝9，a 2＋6d ＝6，解之得a 2＝4. 【答案】 46.【解析】由题意得该等差数列的公差d ＝9－25－1＝74，所以c －a ＝2d ＝72. 【答案】 72。

高二数学人教A版必修5教学教案2-2等差数列(4)Word版含解析

基于数学学科核心素养下的教学设计《人教A版必修五 2.2 等差数列（1）》一、教材分析等差数列是《普通高中课程标准实验教科书•数学5》（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。

而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广，通过学生对数列知识的学习进而提高学生的数学核心素养。

二、教学目标（一）、知识与技能：通过本节课的学习使学生理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，从而培养学生的逻辑推理等数学素养。

（二）、过程与方法：引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用；并在此过程中培养学生数学建模，数学运算等数学素养。

（三）、情感态度与价值观：在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生数据分析，数学抽象等数学素养。

三、教学重难点（一）、教学重点：①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

（二）、教学难点：①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。

②理解等差数列是一种函数模型。

四、学情分析我所教学的学生是我校高一（3）班的学生（平行班学生），经过快一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展．普通高中学生经过一学期的高中学习生活，已经慢慢习惯的高中的学习氛围，大部分学生知识经验已较为丰富，且对数列的知识有了初步的接触和认识，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻，应用数学公式的能力逐渐加强。

人教版高中数学必修五学案7：2.2 等差数列

2.2 等差数列学习目标：1．理解等差数列的概念，明确“同一个常数”的含义．2．掌握等差数列的通项公式及其应用．3．会判定或证明等差数列；了解等差数列与一次函数的关系．学习过程：知识梳理：1．等差数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的______，通常用字母d 表示．名师点拨：(1)定义中“每一项与它的前一项的差”的含义有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．(2)公差d ∈R ，当d ＝0时，数列为常数列；当d ＞0时，数列为递增数列；当d ＜0时，数列为递减数列．做一做1：等差数列4,7,10,13,16的公差等于__________．2．通项公式等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则通项公式是a n ＝________.归纳总结：(1)如果数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (p ，q 是常数)，那么数列{a n }是等差数列．(2)如果数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ＞1，n ∈N *)，那么数列{a n }是等差数列．做一做2：已知等差数列{a n }中，首项a 1＝4，公差d ＝－2，则通项公式a n 等于( )A ．4－2nB ．2n －4C ．6－2nD ．2n －63．等差中项如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么____叫做______的等差中项．归纳总结：等差中项的性质：①A 是a 与b 的等差中项，则A ＝a ＋b 2或2A ＝a ＋b ，即两个数的等差中项有且只有一个． ②当2A ＝a ＋b 时，A 是a 与b 的等差中项．做一做3：13与－11的等差中项m＝__________.重难点突破：1．对等差数列定义的理解剖析：(1)等差数列定义中的关键词是：“从第2项起”与“同一个常数”．①如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．②如果一个数列，从第2项起，每一项与前一项的差，尽管是常数，但这个数列也不一定是等差数列．这是因为这些常数可能不相同，必须是同一个常数，才是等差数列．(2)也可以用数学符号语言叙述等差数列的定义：在数列{a n}中，如果a n＋1－a n＝d(常数)对任意n∈N*都成立，则称数列{a n}为等差数列，常数d称为等差数列的公差．(3)公差是数列中的某一项(除第一项外)与其前一项的差，不可颠倒，即d＝a n＋1－a n＝a n－a n－1＝…＝a3－a2＝a2－a1.(4)切忌只通过计算数列中特殊几项的差后，发现它们是同一个常数，就断言此数列为等差数列．2．对等差数列通项公式的理解剖析：(1)从函数的角度看等差数列的通项公式．由等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d可得a n＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么a n＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，a n是关于n的一次函数，即(n，a n)在一次函数y＝px＋q的图象上，因此从图象上看，表示等差数列的各点均在一次函数y＝px＋q的图象上．所以公差不为零的等差数列的图象是直线y＝px＋q上的均匀排开的一群孤立的点．当p＝0时，a n＝q，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x轴的直线(或x轴)上的均匀分布的一群孤立的点．(2)由两点确定一条直线的性质可以得出，已知等差数列的任意两项可以确定这个等差数列．若已知等差数列的通项公式，可以写出数列中的任意一项．(3)等差数列{a n}的通项公式a n＝a1＋(n－1)d中共含有四个变数，即a1，d，n，a n，如果知道了其中的任意三个数，就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”．典型例题：题型一求等差数列的通项公式例1：若{a n}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a n.反思：一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(m －1)d ＝a ，a 1＋(n －1)d ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式．题型二等差数列的判定与证明例2：已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4－2n ，求证：数列{a n }是等差数列．反思：已知数列{a n }的通项公式a n ＝f (n )，用定义判断或证明{a n }是等差数列的步骤：(1)利用通项公式a n ＝f (n )写出a n ＋1＝f (n ＋1)(或a n －1＝f (n －1))；(2)作差a n ＋1－a n (或a n －a n －1)，将差变形；(3)当差a n ＋1－a n (或a n －a n －1)是一个与n 无关的常数时，数列{a n }是等差数列；当差a n ＋1－a n (或a n －a n －1)不是常数，是与n 有关的代数式时，数列{a n }不是等差数列．题型三实际应用问题例3：梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．反思：解决实际应用问题的关键是建立数学模型，本题中的数学模型是已知等差数列的首项和末项及项数，求各项．例4：若数列{a n }的通项公式为a n ＝10＋lg 2n ，求证数列{a n }为等差数列．反思：要说明一个数列为等差数列，必须说明从第二项起所有的项与其前一项之差为同一常数，即a n －a n －1＝d (n ≥2)恒成立，而不能只验证有限个相邻两项之差相等．随堂练习：1.在等差数列{a n }中，a 1·a 3＝8，a 2＝3，则公差d ＝( )A ．1B ．－1C ．±1D ．±22.等差数列－3,1,5，…的第15项为( )A ．40B ．53C．63 D．763.等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是()A．92 B．47C．46 D．454.已知数列{a n}的通项公式是a n＝7n＋2，求证：数列{lg a n}是等差数列．5.有一正四棱台形楼顶，其中一个侧面中最上面一行铺瓦30块，总共需要铺瓦15行，并且下一行比其上一行多铺3块瓦，求该侧面最下面一行需铺瓦多少块？参考答案知识梳理：1．(1)同一个常数公差做一做1： 32．a 1＋(n －1)d做一做2： C3．A a 与b做一做3： 1典型例题：例1：解：由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ a 15＝a 1＋14d ＝8，a 60＝a 1＋59d ＝20，解得⎩⎨⎧ a 1＝6415，d ＝415，故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝6415＋(n －1)×415＝415n ＋4. 例2：证明：∵a n ＝4－2n ，∴a n ＋1＝4－2(n ＋1)＝2－2n .∴a n ＋1－a n ＝(2－2n )－(4－2n )＝－2.∴{a n }是等差数列．例3：解：设梯子的第n 级的宽为a n cm ，其中最高一级宽为a 1 cm ，则数列{a n }是等差数列．由题意，得a 1＝33，a 12＝110，n ＝12，则a 12＝a 1＋11d .所以110＝33＋11d ，解得d ＝7.所以a 2＝33＋7＝40，a 3＝40＋7＝47，…，a 11＝96＋7＝103，即梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm ，47 cm ，54 cm ，61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm ，96 cm ，103 cm.例4：解：因为a n ＝10＋lg 2n ＝10＋n lg 2，所以a n ＋1＝10＋(n ＋1)lg 2.所以a n ＋1－a n ＝[10＋(n ＋1)lg 2]－(10＋n lg 2)＝lg 2(n ∈N *)．所以数列{a n }为等差数列．随堂练习：1．C【解析】由题意111(2)8,3,a a d a d +=⎧⎨+=⎩解得d ＝±1.2．B【解析】a1＝－3，d＝1－(－3)＝4，故a15＝a1＋(15－1)d＝－3＋14×4＝53.3．C【解析】a1＝1，d＝(－1)－1＝－2，故a n＝a1＋(n－1)d＝3－2n，令－89＝3－2n，解得n＝46.4．证明：设b n＝lg a n＝lg 7n＋2＝(n＋2)lg 7，则b n＋1＝[(n＋1)＋2]lg 7＝(n＋3)lg 7，则b n＋1－b n＝(n＋3)lg 7－(n＋2)lg 7＝lg 7＝常数．所以数列{b n}是等差数列，即数列{lg a n}是等差数列．5．解：设从上面开始第n行铺瓦a n块，则数列{a n}是首项为30，公差为3的等差数列．则a15＝a1＋14d＝30＋14×3＝72，即该侧面最下面一行应铺瓦72块．。

高中数学第二章 2.2(一)等差数列(一)课件新人教A版必修5

第十六页，共25页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高
效例2
已知1a，1b，1c成等差数列，求证：b＋a c，a＋b c，a＋c b也
成等差数列．
证明 ∵1a，1b，1c成等差数列，
本
∴2b＝1a＋1c，即 2ac＝b(a＋c)．
讲栏目
∵b＋a c＋a＋c b＝cb＋c＋acaa＋b＝c2＋a2＋acba＋c
开关
(5)1,2,5,8,11，….
第七页，共25页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更高效
解 (1)是等差数列，a1＝4，d＝3；
(2)是等差数列，a1＝31，d＝－6；
本讲
(3)是等差数列，a1＝0，d＝0；
栏目
(4)是等差数列，a1＝a，d＝－b；
开关
(5)不是等差数列，a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴a2－a1≠a3－a2.
高效探究若数列{an}满足：an＋1＝an＋2an＋2，求证：{an}是等差
数列．
证明 ∵an＋1＝an＋2an＋2
本
⇔2an＋1＝an＋an＋2
讲栏
⇔an＋2－an＋1＝an＋1－an
目
开关
∴an＋1－an＝an－an－1＝…＝a2－a1(常数)．
∴{an}是等差数列．

第十三页，共25页。
跟踪训练 2 已知 a，b，c 成等差数列，那么 a2(b＋c)，b2(c
＋a)，c2(a＋b)是否能构成等差数列？
证明 ∵a，b，c 成等差数列，∴a＋c＝2b.
本 ∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝a2b＋a2c＋c2a＋c2b
讲栏
＝(a2b＋c2b)＋(a2c＋c2a)＝b(a2＋c2)＋ac(a＋c)

高中数学第二章数列 2.2 等差数列(一)课件新人教A版必修5

∵－1，a，b，c，7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项， ∴b＝－12＋7＝3. 又 a 是－1 与 3 的等差中项，∴a＝－12＋3＝1. 又 c 是 3 与 7 的等差中项，∴c＝3＋2 7＝5. ∴该数列为－1，1，3，5，7.
名师点评
在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即an ＝ an＋1＋2 an－1，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.
第一天：6000，第二天：6500，第三天：7000，第四天：7500，第五天：8000，第六天：8500，第七天：9000.
得到数列： 6000，6500，7000，7500， 8000，8500，9000
创设情境高中数学第二章数列 2.2 等差数列〔一〕课件新人教 A版必修5
从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数．
问题2 观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2，4；(2)－1，5；(3)a，b；(4)0，0.
a＋b 插入的数分别为 3，2， 2 ，0.
问题3
对于等差数列2，4，6，8，…，有a2－a1＝2，即a2＝a1＋2； a3－a2＝2，即a3＝a2＋2＝a1＋2×2；a4－a3＝2，即a4＝a3 ＋2＝a1＋3×2. 试猜测an＝a1＋(n－1 )×2.
探究点1 等差数列的概念
例1 判断以下数列是不是等差数列？ (1)9，7，5，3，…，－2n＋11，…； (2)－1，11，23，35，…，12n－13，…； (3)1，2，1，2，…； (4)1，2，4，6，8，10，…； (5)a，a，a，a，a，….
由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列．

人教A版高中数学必修五第二章2.2 等差数列学案

A、2.2 升
B、2.3 升
C、2.4 升
D、2.5 升
4/8
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
题组训练
1、九章算术有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第三日，第五日，第七日所织之和为十五尺，则第十二日所织尺数为（）
A、9
B、10
C、11
D、12
2、我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷（gui）长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸。意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差
8/8
6、在等差数列an 的首项是 a5 = 10, a12 = 31 ，求数列的首项与公差.
7、已知数列的通项公式为 an = 6n −1 ，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
1.1.2 数学文化中的等差数列基本量
例 1、《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十棵，人别加三颗。问：五人各得几何？”其意思为“有 5 个人分 60 个橘子，他们分得的橘子，数成公差为 3 的等差数列，问 5 人各得多少橘子。”根据上述问题的已知条件，分得橘子最多的人所得橘子个数为（）
题组训练 1、（1）求等差数列 3，7，11，……的第 10 项.
（2）100 是不是等差数列 2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
2、在等差数列an中，若 a3 + a7 = 10, a6 = 7 ，则公差 d = （）
A、32
B、27
C、24

高中数学必修五2.2等差数列2课时导学案设计

高一数学《必修5》导学案11 编制：范友宝审核：刘菊芳高一____班第___组姓名__________§2.2 等差数列（第一课时）【学习目标】：等差数列的概念，等差数列的通项公式的推导及应用【复习与知识储备】1、阅读课本P36-P37页并完成课本P37页中的填空（填在书上）并写出等差数列的定义。

2、思考：完成P37页的思考（写在课本P37页？处）3、（阅读课本P37至P38，并写出等差数列的通项公式，要求写在书上）思考：等差数列的量有、、、，只要知道其中多少个量，可求另外的量?【知识应用】1、阅读课本P38例1并思考以下问题：（1）如何求等差数列中的某一项？步骤是怎样的？（2）如何判断某一个数是等差数列中的某一项？练习1：（1）求等差数列9，6，3，…，的第21项；（2）—329是等差数列—5，—9，—13，…中的项吗？若是，是第几项？2、阅读课本P38例2并思考以下问题：（1）车费为什么可以组成一个等差数列？（2）这个等差数列已知条件是什么？求什么？练习2：体育场的看台的座位是这样排列的：第一排有15个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，你能用表示第排的座位数吗？第10排能坐多少人？【总结提升】①等差数列定义：即(n≥2)②等差数列通项公式：(n≥1)【课后作业】1、等差数列—1，5，11，…的通项公式是；3与13的等差中项是 .则公差d=（）2、等差数列的通项公式为，A、2B、3C、5D、13、已知三个数成等差数列，它们的和是12，则中间的数是。

4、等差数列中，（1）已知；（2）已知；（3）已知,求首项与公差高一数学《必修5》导学案12 编制：范友宝审核：刘菊芳高一____班第___组姓名__________§2.2 等差数列（第二课时）【学习目标】：掌握等差数列性质,了解等差数列与一次函数的关系，掌握证明等差数列的方法【复习与知识储备】（1）等差数列定义：。

（2）等差数列通项公式：；若a，A，b成等差数列，则。

人教B版必修5高二数学2.2.1等差数列教学课件

小试牛刀
本题主要考查等差数列的通项公式，属于最基本的题目.
1.在等差数列{an}中，（1）已知 a4=10 , a7=19 ，求 a1与 d . （2）已知 a3=9 , a9=3 ，求 a12 .
解：（1）由题意得
a1+3d= 10 ① a1+6d=19 ②
解得： d=3 , a1=1
（2）由题意得 a1+2d= 9 ① a1+8d=3 ②
解得：d= -1 , a1=11 ∴ an=11-1（n-1）=12-n ∴ a12= 12-12 =0
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做
等差数列的公差.公差通常用字母d表示.
等差数列公差的知识要点
1.an-an-1=d (n≥2)（数学表达式）
2.公差是唯一的常数；
3.等差数列要求从第2项起，后一项与前一项作差.不能颠倒
4、如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.
记一记
4.设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，已知 a2=3，a6=11,则s7等于（ C ）
A. 13 B.35 C.49 D.63
解析：a4=
a
2 2
a
6
=7,s7=7a4=49.
5.设an是等差数列，已知a7-2a4=-1，a3=0,
分析：此题已知a6=12 ，n=6 ；a18=36 , n=18分别代入通项，公式an = a1+(n-1)d 中，可得两个方程，都含a1与d两个未知数组成方程组，可解出a1与d .
解：由题意可得
a1+Biblioteka d=12①a1+17d=36

人教版高中数学必修五学案8：§2.2 等差数列

§2.2 等差数列学习目标1．通过实例理解等差数列的概念，通过生活中的实例抽象出等差数列模型，让学生认识到这一类数列是现实世界中大量存在的数列模型．同时经历由发现几个具体数列的等差关系，归纳出等差数列的定义的过程．2．探索并掌握等差数列的通项公式，由等差数列的概念，通过归纳或迭加或迭代的方式探索等差数列的通项公式．通过与一次函数的图象类比，探索等差数列的通项公式的图象特征与一次函数之间的联系．3．通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣．学习重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差中项及性质，会用公式解决一些简单的问题．学习难点：概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式，并会解决一些相关的问题．学习过程自主学习知识梳理1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的差都等于____常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的____，通常用字母______表示． 2．等差中项如果A ＝a ＋b2，那么A 叫做a 与b 的____________．3．等差数列的单调性等差数列的公差________时，数列为递增数列；________时，数列为递减数列；________时，数列为常数列． 4．等差数列的通项公式a n ＝____________，当d ＝0时，a n ＝________，a n 是关于n 的________函数；当d ≠0时，a n ＝____________，a n 是关于n 的________函数，点(n ，a n )分布在一条以________为斜率的直线上，是这条直线上的一列________的点．5．等差数列的性质(1)若{a n}是等差数列，且k＋l＝m＋n(k、l、m、n∈N*)，则____________．(2)若{a n}是等差数列且公差为d，则{a2n}也是________，公差为________．(3)若{a n}是等差数列且公差为d，则{a2n－1＋a2n}也是____________，公差为________．自主探究如果等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，你能用两种方法求其通项吗？例题解析例1已知数列{a n} 的通项公式为：a n=3n-5，这个数列是等差数列吗？例2已知等差数列10，7，4，…：（1）试求此数列的第10项；（2）-40是不是这个数列的项？-56是不是这个数列的项？如果是，是第几项？例3已知等差数列的公差为d，第m项为a m，试求其第n项a n..例4梯子共有5级，从上往下数第1级宽36厘米，第5级宽43厘米，且各级的宽度依次组成等差数列{a n}，求第2，3，4级的宽度.变式训练1.在等差数列{a n }中，已知a m ＝n ，a n ＝m ，求a m ＋n 的值．2.成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．3.若1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b 是等差数列．求证：a 2，b 2，c 2成等差数列．拓展训练一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值为( )A ．24B ．22C ．20D ．－82．已知等差数列{a n }中，a 2＝－9，a 3a 2＝－23，则a n 为( )A ．14n ＋3B ．16n －4C ．15n －39D ．15n ＋83．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2n －2 (n ∈N *)B ．a n ＝2n ＋4 (n ∈N *)C ．a n ＝－2n ＋12 (n ∈N *)D ．a n ＝－2n ＋10 (n ∈N *)4．等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8等于( )A ．45B ．75C ．180D ．3005．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值为( )A ．49B ．50C ．51D ．52二、填空题6．若m ≠n ，两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为______．7．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 4＝6，a 6＝4，则a 10＝______.8．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝______. 三、解答题9．等差数列{a n}的公差d≠0，试比较a4a9与a6a7的大小．10．已知等差数列{a n}：3,7,11,15，….(1)135,4m＋19(m∈N*)是{a n}中的项吗？请说明理由．(2)若a m、a t(m、t∈N*)是数列{a n}中的项，则2a m＋3a t是数列{a n}中的项吗？并说明你的理由．课堂小结1．证明数列{a n}为等差数列的方法(1)定义法：a n＋1－a n＝d(d为常数，n≥1)⇔{a n}为等差数列或a n－a n－1＝d(d为常数，n≥2)⇔{a n}为等差数列．(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2⇔{a n}是等差数列．(3)通项法：a n＝pn＋q(p、q∈R)⇔{a n}是等差数列，只要说明a n为n的一次函数，就可下结论说{a n}是等差数列．2．三个数成等差数列可设为：a－d，a，a＋d或a，a＋d，a＋2d；四个数成等差数列可设为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a，a＋d，a＋2d，a＋3d.参考答案知识梳理1．2 同一个公差 d 2．等差中项 3．d >0 d <0 d ＝04．a 1＋(n －1)d a 1 常数 dn ＋(a 1－d ) 一次 d 孤立 5．(1)a k ＋a l ＝a m ＋a n (2)等差数列 2d (3)等差数列 4d 自主探究解第一种方法：根据等差数列的定义，可以得到a 2－a 1＝d ，a 3－a 2＝d ，a 4－a 3＝d ，….所以 a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 2＋d ＝(a 1＋d )＋d ＝a 1＋2d ， a 4＝a 3＋d ＝(a 1＋2d )＋d ＝a 1＋3d ， …由此得出：a n ＝a 1＋(n －1)d .第二种方法：由等差数列的定义知，a n －a n －1＝d (n ≥2)，所以⎭⎪⎬⎪⎫a 2－a 1＝d a 3－a 2＝da 4－a 3＝d ⋮a n－a n －1＝d (n －1)个将以上(n －1)个等式两边分别相加，可得a n －a 1＝(n －1)d ，即a n ＝a 1＋(n －1)d . 例题解析例1 解因为当n ≥2时， a n -a n-1=3n -5-[3(n -1)-5]=3，所以数列{a n } 是等差数列，且公差为3.例2 解（1）设此数列为{a n }，由a 1=10，d =7-10=-3，得到这个数列的通项公式为 a n =10-3(n -1)当n =10时，a 10=10-3（10-1）=-17.（2）如果-40是这个数列的项，则方程-40=10-3（n -1）有正整数解，解这个方程，得n =，所以-40不是这个数列的项.如果-56是这个数列的项，则方程-56=10-3（n -1）有正整数解，解这个方程，得n =23，所以-56是这个数列第23项.例3解：由等差数列的通项公式可知533a n =a 1+(n -1)da m =a 1+(m -1)d两式相减，得a n - a m = (n -m )d所以a n =a m + (n -m )d例4解法1：依题意得，a 1=35，a 5=43，由等差数列的通项公式，得公差d ==2，因此a 2=37，a 3=39，a 4=41.解法2：此等差数列共5项，a 3是a 1与a 5的等差中项，因此a 3==39 又因为a 2是a 1与a 3的等差中项，a 4是a 3与a 5的等差中项，所以a 2==37，a 4==41.答：梯子第2，3，4级的宽度分别为37cm ，39 cm ，41 cm. 变式训练1.解方法一设公差为d ，则d ＝a m －a n m －n ＝n －mm －n＝－1，从而a m ＋n ＝a m ＋(m ＋n －m )d ＝n ＋n ·(－1)＝0.方法二设等差数列的通项公式为a n ＝an ＋b (a ，b 为常数)，则⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝am ＋b ＝n ，a n＝an ＋b ＝m ，得a ＝－1，b ＝m ＋n .所以a m ＋n ＝a (m ＋n )＋b ＝0.2.解设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40 ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40.解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧a ＝132，d ＝－32.所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2. 3.证明 ∵1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b是等差数列， 5151a a --512a a +312a a +352a a +∴1b ＋c ＋1a ＋b ＝2c ＋a. ∴(a ＋b )(c ＋a )＋(b ＋c )(c ＋a )＝2(a ＋b )(b ＋c ) ∴(c ＋a )(a ＋c ＋2b )＝2(a ＋b )(b ＋c )∴2ac ＋2ab ＋2bc ＋a 2＋c 2＝2ab ＋2ac ＋2bc ＋2b 2 ∴a 2＋c 2＝2b 2，∴a 2，b 2，c 2成等差数列．拓展训练 1．【答案】A 2．【答案】C【解析】∵a 2＝－9，a 3a 2＝－23，∴a 3＝－23×(－9)＝6，∴d ＝a 3－a 2＝15，∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝－9＋(n －2)×15＝15n －39. 3．【答案】D【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，d <0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝6，a 4＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，即a n ＝8＋(n －1)(－2)，得a n ＝－2n ＋10. 4．【答案】C【解析】方法一设{a n }首项为a 1，公差为d ，则a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ＋a 1＋5d ＋a 1＋6d ＝5a 1＋20d 即5a 1＋20d ＝450，a 1＋4d ＝90，∴a 2＋a 8＝a 1＋d ＋a 1＋7d ＝2a 1＋8d ＝180. 方法二 ∵a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5＝a 2＋a 8， ∴a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝52(a 2＋a 8)＝450，∴a 2＋a 8＝180. 5．【答案】D【解析】∵2a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝12.故数列{a n }是首项为2，公差为12的等差数列．∴a 101＝a 1＋100d ＝2＋100×12＝52.6.【答案】43【解析】n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13(n －m )14(n －m )＝43.7.【答案】125【解析】1a 6－1a 4＝14－16＝2d ，即d ＝124.所以1a 10＝1a 6＋4d ＝14＋16＝512，所以a 10＝125.8.【答案】12【解析】由题意设这4个根为14，14＋d ，14＋2d ，14＋3d .则14＋⎝⎛⎭⎫14＋3d ＝2，∴d ＝12， ∴这4个根依次为14，34，54，74，∴n ＝14×74＝716，m ＝34×54＝1516或n ＝1516，m ＝716，∴|m －n |＝12.9．解设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 4a 9－a 6a 7＝(a 1＋3d )(a 1＋8d )－(a 1＋5d )(a 1＋6d )＝(a 21＋11a 1d ＋24d 2)－(a 21＋11da 1＋30d 2)＝－6d 2<0，所以a 4a 9<a 6a 7. 10．解 (1)依题意有a 1＝3，d ＝7－3＝4，∴a n ＝3＋4(n －1)＝4n －1. 设a n ＝4n －1＝135，得n ＝34，∴135是数列{a n }的第34项．由于4m ＋19＝4(m ＋5)－1，且m ∈N *， ∴4m ＋19是数列{a n }的第m ＋5项．(2)∵a m 、a t 是数列{a n }中的项，∴a m ＝4m －1，a t ＝4t －1. ∴2a m ＋3a t ＝2(4m －1)＋3(4t －1)＝4(2m ＋3t －1)－1.∵2m ＋3t －1∈N *，∴2a m ＋3a t 是数列{a n }中的第2m ＋3t －1项．。

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复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？
二、新课导学
◆ 学习探究
探究任务一：等差数列的概念
问题1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？
① 0，5，10，15，20，25，…
② 48，53，58，63
③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5
④ 10072，10144，10216，10288，10360
新知：
1.等差数列：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它一项的
等于同一
个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列
的，常用字母表示.
2.等差中项：由三个数a，A， b组成的等差数列，这时数叫做数和的
等差中项，用等式表示为A=
探究任务二：等差数列的通项公式
问题2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？
若一等差数列na的首项是1a，公差是d，则据其定义可得：

21aa ，即：21
aa
32aa ，即：321
aada
43aa ，即：431
aada
……
由此归纳等差数列的通项公式可得：

n
a
∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a
和公差d，便可求得其通项na.
◆ 典型例题
例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；
⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.
（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，
说明理由.

小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列
的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得na等于这一数.
例2 已知数列{na}的通项公式napnq，其中p、q是常数，那么这个数列是否
一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？
变式：已知数列的通项公式为61nan，问这个数列是否一定是等差数列？若是，
首项与公差分别是什么？

小结：要判定na是不是等差数列，只要看1nnaa（n≥2）是不是一个与n
无关的常数.
例3. 在等差数列na中，
⑴已知12a，d＝3，n＝10，求na；

⑵已知13a，21na，d＝2，求n；
⑶已知112a，627a，求d；
⑷已知d＝－13，78a，求1a
◆ 动手试试
练1. 等差数列1，－3，－ 7，－11，…，求它的通项公式和第20项.

练2.在等差数列na的首项是51210,31aa，求数列的首项与公差.
练3.三个数成等差数列,它们的和为18,它们的平方和为116,求这三个数.
三、学习小结
1. 等差数列定义： 1nnaad (n≥2)；
2. 等差数列通项公式na1(1)and(n≥1).