人教版八年级数学下册 16.1二次根式第一课时课件(共34张ppt)
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人教版八年级下册 16.1 二次根式 课件(共16张PPT)
叫做二次根式。
注意：为了方便起见，我们—个数的算术平方根也叫
做二次根式。如 3 ,
1 2
a 1
是不是二次根式？
不是，它是二次根 式的代数式.
形如 a a 0 的式子叫做二次根
式
1.表示a的算术平方根 2.a可以是数，也可以是式 3.形式上含有二次板号
4. a 0, a 0 （双重非负性）
本节课我们学习了很多新知识,你能谈谈自 己的收获吗？说一说，让大家一起来分享。
1、 二次根式的定义：像 b 3 a2 2500
表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式叫 做二次根式。 2、 二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方 数大于或等于零。 3、 求二次根式的值：用数值代替二次根式里的字母。
谢谢观赏
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟
16.1 二次根式
什么是平方根？ 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做
a的平方根
什么叫算术平方根？ 正数的正平方根和零的平方根，统称算术平方根。
用 a 0a 0 表示
塔座所形成的这个直角三角形的
斜边长为 ___a_2___2_5_0_0__ 米。
为
圆形的下球体在平面图上的面积为s,则半径为
s
____________
b+3
1.如图所示的值表示正方形的面积，则
正方形的边长是___b____3__
b3 s
a2 2500
1、都表示算术平方根 2、根各代数式的共同特 点是什么？
定义：像
b3 、
a2 2500 、
s
这样表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式
下列各式中哪些是二次根式?
人教版八年级数学下册课件：16.1.1二次根式(共21张PPT)
∴y= 0 + 0 +3=3 ∴x y=23=8
例 1 x是怎样的实数时，式子 x 3在实数
范围内有意义？
解 由 x 3 ，0 得 x 。3 当 x 3时，式子 x 3在实数范围内有意义。
试一试（2） x是怎样的实数时，下列各式在 实数范围内有意义？
（1） 2x ； （2） 2x 5； （3） 3 。x
16.1 二次根式
知识回顾
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。 4、 7 表示什么？ 表示7的算术平方根
5、 a 表示什么？a 需要满足什么条件？ 为什么？
2n2 1,
2n2 1, ×
2n 1 ×
在实数范围内,负数没有平方根
下列式子 2x 6 1 中字母x的 2x
取值范围是__3___x___0
2x+6≥0 ∵
-2x＞0
x≥-3 ∴
x＜0
已知 有a1 意义,那么A(a,
) a
在第 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A在第二象限
12 n为一个整数 , 求自然数 n的值.
课堂小结
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2.a可以是数,也可以是式. 3.形式上含有二次根号
4.a≥0, a ≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 6.求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时,要保证分母不为零.
例 1：要使 x-1 有意义，字母 x 的取值必须满足
2024八年级数学下册第十六章二次根式16.1二次根式第1课时二次根式的定义课件新版新人教版
11.已知 ＋ − ＋ − − ＝
＋ − × − − .求：
(1)a＋b的值；
【解】由题意得ቊ
＋ − ≥，
− − ≥，
＋≥，
＋≤，
∴a＋b＝2 024.
即ቊ
(2)7x＋y2 024的值.
【解】由(1)知， ＋ − × − − ＝0，
∴a＋2b的平方根为± ＝±4.
3 ；
(3)若a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足等式2 −
＋3 − ＝b－4，试求此等腰三角形的周长.
【解】(3)由题意得a－2≥0且2－a≥0，∴a－2＝0，即a＝
2.∴b＝4.分两种情况：①当a是腰长时，三角形的三边长分
别为2，2，4.∵2＋2＝4，∴不能组成三角形.②当a是底边长
【解】由ቊ
利用二次根式有意义的条件解数形结合问题
13.[新考法 进阶变式法]已知a，b为实数.
(1)若 + ＋ ＋ − ＝0，则a＝
－1
，b＝
(2)若b＝ − ＋ − ＋7，求a＋2b的平方根；
【解】由题意得a－2≥0且2－a≥0，
∴a－2＝0，即a＝2.∴b＝7.
∴a＋2b＝2＋2×7＝16.
∴ ＋ − ＋ − − ＝0.
= ，
＋ − = ，
∴ቊ
解得ቊ
＝ − .
− − = ，
∴7x＋y2 024＝7×2＋(－1)2 024＝15.
利用二次根式被开方数的非负性求含字母式子的值
12.(1)若x，y为实数，且y＞ − ＋ − ＋2，化简：
知识点2二次根式的非负性( ≥0，a≥0)
6.[2022·黔东南州]若(2x＋y－5)2＋ + + ＝0，则x－y
＋ − × − − .求：
(1)a＋b的值；
【解】由题意得ቊ
＋ − ≥，
− − ≥，
＋≥，
＋≤，
∴a＋b＝2 024.
即ቊ
(2)7x＋y2 024的值.
【解】由(1)知， ＋ − × − − ＝0，
∴a＋2b的平方根为± ＝±4.
3 ；
(3)若a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足等式2 −
＋3 − ＝b－4，试求此等腰三角形的周长.
【解】(3)由题意得a－2≥0且2－a≥0，∴a－2＝0，即a＝
2.∴b＝4.分两种情况：①当a是腰长时，三角形的三边长分
别为2，2，4.∵2＋2＝4，∴不能组成三角形.②当a是底边长
【解】由ቊ
利用二次根式有意义的条件解数形结合问题
13.[新考法 进阶变式法]已知a，b为实数.
(1)若 + ＋ ＋ − ＝0，则a＝
－1
，b＝
(2)若b＝ − ＋ − ＋7，求a＋2b的平方根；
【解】由题意得a－2≥0且2－a≥0，
∴a－2＝0，即a＝2.∴b＝7.
∴a＋2b＝2＋2×7＝16.
∴ ＋ − ＋ − − ＝0.
= ，
＋ − = ，
∴ቊ
解得ቊ
＝ − .
− − = ，
∴7x＋y2 024＝7×2＋(－1)2 024＝15.
利用二次根式被开方数的非负性求含字母式子的值
12.(1)若x，y为实数，且y＞ − ＋ − ＋2，化简：
知识点2二次根式的非负性( ≥0，a≥0)
6.[2022·黔东南州]若(2x＋y－5)2＋ + + ＝0，则x－y
人教版八年级数学下册课件：16.1二次根式(第1课时)
(1) a 1
解：由a-1≥0，得 a≥1
当a 1时，a 1在实数范围内有意义.
(2) 2a 3
解：由2a+3≥0，得 a 3 2
当a 3 时，2a 3在实数范围内有意义. 2
C（2，5）是三角形的三个顶点，求BC的长.
解：由图示知
y
AC=5-3=2 AB=5-2=3 根据勾股定理,得
6 5
C(2,5)
4
3 2
A(2,3)
B(5,3)
1
BC AB2 AC2 32 22 13
123 456 x
答：BC的长为 13 .
3. 当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
ห้องสมุดไป่ตู้习
1. 要画一个面积为18cm2的矩形，使它的宽与长的比 为2：3，则它的宽与长分别是多少？
解：设其宽为2x，长为3x，则有
2x 3x 18 6x2 18
x2 3
解得x1 （3 舍去）, x2 3
所以长方形宽为2 3，长为3 3.
2. 如图，在平面直角坐标系中，A（2，3）、B（5，3）、
开始下落的高度h（单位：m ）满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表 示t, 则t=_____h5____.
1 在上面的问题中，结果分别是 65, S , 2, h 它们都是
表示一些正数的算术平方根.
5
2 我们知道一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实 数范围内，负数没有平方根.因此，开平方时，被开数只能 是正数和0.
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）如图，要做一个两条直角边的长
分别是7cm和4cm的三角尺，斜边的长
解：由a-1≥0，得 a≥1
当a 1时，a 1在实数范围内有意义.
(2) 2a 3
解：由2a+3≥0，得 a 3 2
当a 3 时，2a 3在实数范围内有意义. 2
C（2，5）是三角形的三个顶点，求BC的长.
解：由图示知
y
AC=5-3=2 AB=5-2=3 根据勾股定理,得
6 5
C(2,5)
4
3 2
A(2,3)
B(5,3)
1
BC AB2 AC2 32 22 13
123 456 x
答：BC的长为 13 .
3. 当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
ห้องสมุดไป่ตู้习
1. 要画一个面积为18cm2的矩形，使它的宽与长的比 为2：3，则它的宽与长分别是多少？
解：设其宽为2x，长为3x，则有
2x 3x 18 6x2 18
x2 3
解得x1 （3 舍去）, x2 3
所以长方形宽为2 3，长为3 3.
2. 如图，在平面直角坐标系中，A（2，3）、B（5，3）、
开始下落的高度h（单位：m ）满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表 示t, 则t=_____h5____.
1 在上面的问题中，结果分别是 65, S , 2, h 它们都是
表示一些正数的算术平方根.
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2 我们知道一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实 数范围内，负数没有平方根.因此，开平方时，被开数只能 是正数和0.
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）如图，要做一个两条直角边的长
分别是7cm和4cm的三角尺，斜边的长
人教版八年级数学下册16.1.1 二次根式的概念-课件PPT
9.若x，y是实数，且y＜
x 1
1
x
1 ,求
2
1 y y 1
的值.
解：根据题意得
x 1≥0， 1 x≥0，
∴x=1. x 1 1 x 1
2
∵y＜ 1 ,
2
∴y＜ 1 y 1 y 1 .
y 1 y 1
10.先阅读，后回答问题：
当x为何值时， x x 1有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0，
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
二次根式的被开 方数非负
二次根式的值 非负
二次根式的 双重非负性
例3 若 a 2 b 3 (c 4)2 ，0求a-b+c的值. 解：由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0, 解得a=2,b=3,c=4. 所以a-b+c=2-3+4=3.
归纳 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为 零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及 二次根式.
例4 已知y= x 3 3 x 8,求3x+2y的算术平方
根.
解：由题意得
x 3
3≥0， x≥0，
∴x=3，∴y=8，
∴3x+2y=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
h
___5___.
上面问题的结果分别是 3，S , 65 , h ，
5
它们表示一些正数的算术平方根.
讲授新课
✓ 典例精讲 ✓ 归纳总结
讲授新课
一、二次根式的概念 上面问题中，得到的结果分别 是： 3 ， S ， 65， h ．
5