八年级数学下册知识讲义-18.1平行四边形-平行四边形的定义及表示方法-人教版

初中数学 平行四边形的定义及表示方法
精讲精练
【考点精讲】
1. 平行四边形的定义
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形ABCD可记作□ABCD。
作用：（1）这个定义给出了一种判定四边形是平行四边形的方法，如果所给四边形的两
组对边分别平行，那么它一定是平行四边形。
（2）这个定义给出了平行四边形的一个重要性质，即两组对边分别平行。

ABCDABCD

四边形
平行四边形
2. 两条平行线间的距离
定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之
间的距离。
如图，a∥b，A是a上的任意一点，AB⊥b，B是垂足，线段AB的长就是a，b之间的
距离。

【典例精析】
例题1 如图所示的方格纸上有一平行四边形ABCD，其顶点均在网格线的交点上，且
E点在AD上。若在方格纸网格线的交点上任取一点F，发现△FBC的面积比△EBC
的面积

大。判断下列哪一个图形可表示F点所在的位置？（ ）
A B C D
思路导航：根据两平行线间的距离相等，判断出各选项中点E、F到边BC的距离的大
小，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答。
答案：选项A：点F到边BC的距离小于点E到边BC的距离，所以△FBC的面积＜△
EBC
的面积，故本选项错误；选项B：点F到边BC的距离小于点E到边BC的距离，所以△
FBC
的面积＜△EBC的面积，故本选项错误；选项C：点F到边BC的距离等于点E到边BC的
距离，所以△FBC的面积＝△EBC的面积，故本选项错误；选项D：点F到边BC的距离
大于点E到边BC的距离，所以△FBC的面积＞△EBC的面积，故本选项正确。故选D。
点评：本题考查了平行四边形的定义、两平行线间的距离相等的性质、三角形的面积。
根据底边相等的三角形，高越大则面积越大，结合图形判断出各选项中的点E、点F到
BC
边的距离的大小是解题的关键。

例题2 如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AB，AB＝6，BC＝10，求：
（1）AB与CD的距离；
（2）AD与BC的距离。
A

B
C

D

思路导航：AB与CD的距离就是线段AC的长度，AD与BC的距离可根据平行四边形
的面积公式来求。
答案：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，又AC⊥AB，
所以AB与CD的距离是AC的长。在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝10，所以AC＝BC2－
AB
2
＝8，即AB与CD的距离是
8.
（2）设AD与BC的距离为h，则BC·h＝AB·AC，即10h＝6×8，所以h＝4.8，即
AD与BC的距离是4.8。
点评：平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积，不同底边与该底边上的高的积
相等，都等于平行四边形的面积，我们常利用这一点来求线段的长度。

例题3 从平行四边形一个角的顶点引另两边的垂线，两垂线夹角为135°，求此平行
四边形四个内角的度数。
思路导航：先正确画出图形，通过画图可发现，平行四边形中一般有两锐角、两钝角，
所以应分两种情况来计算此题。利用四边形内角和为360°求出一个角的度数，再利用平行
四边形的定义求其他三个角的度数。
答案：解：分两种情况：
（1）从平行四边形的一个锐角顶点引另两边的垂线，如图①所示，过点D作DE⊥
BC
交BC的延长线于点E，DF⊥AB交BA的延长线于点F，所以∠AFD＝∠DEB＝90°。
∵四边形BEDF的内角和为360°，∴∠B＋∠FDE＝180°。∵∠FDE＝135°（已知），
∴∠B＝45°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠B＝45°，∠BAD＝∠BCD＝
135°。
ABCDEFA
B
CDE

F

①②
（2）从平行四边形的一个钝角的顶点引另两边的垂线，如图②所示，显然不符合题意。
综上所述，这个平行四边形的四个内角的度数分别为135°、45°、135°、45°。
点评：在平行四边形中，一般情况下四个内角中有两个锐角，两个钝角，所以在未注明
从什么角的顶点引另两边的垂线时，要分锐角和钝角两种情况，不可漏解。

【总结提升】
1. 由于平行四边形的内角和等于360
°，邻角互补，所以在平行四边形中只要知道一个角

的度数或两个角之间的和、差、倍、分关系，就可以利用平行四边形的邻角互补、对角相等
这一特征来求出其他所有角的度数。
2. 平行四边形的面积：
（1）如图①，BC·AE＝CD·BF；
（2）如图②，同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等，即S□ABCD＝
S□EBCF
ABCD

E
F

ABCDEF

①②
同步练习
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 在平行四边形ABCD中，若∠A∶∠B＝5∶4，则∠C的度数为（ ）
A. 80° B. 120° C. 100° D. 110°
2. 平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（ ）
A. 1∶2∶3∶4 B. 1∶2∶1∶2
C. 1∶1∶2∶2 D. 1∶2∶2∶1
3. 如图所示，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝8，DC
＝10，则DF·BC的值为（ ）
A. 87.5 B. 80 C. 75 D. 72.5
AB
CD
E
F

4. 如图，在□ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝3，则□ABCD的周长为（ ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15

ABC
D

二、填空题
5. 平行四边形的面积为20cm2，两邻边的长分别是4cm和5cm，则两组对边的距离分别
是__________。
6. 如图所示，把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使C落在E处，BE与AD相
交于点O，若∠DBC＝15°，则∠BOD＝__________。

A
BC
D

E
O

*7. 如图，平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC边于点M，而MD平分∠AMC，
若∠MDC＝45°，则∠BAD＝__________，∠ABC＝__________。

ABCD
M

三、解答题
*8. 如图所示，在△ABC中，AC＝4cm，把△ABC沿AC方向平移1cm到△A'B'C'的位置，
则四边形ABB'C'的面积是△ABC面积的多少倍？

ABCA'B'C'
答案
1. C 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＋∠B＝180°。设∠A＝5k，∠B＝
4k，则5k＋4k＝180°，解得k＝20°，所以∠A＝100°，∠B＝80°，∠C＝100°。
2. B 解析：根据平行四边形邻角互补进行判断。
3. B 解析：由题意可知，DC·DE＝DF·BC，所以DF·BC＝8×10＝80。
4. C 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CAD＝∠ACB，又∵AC平分∠DAB，
∴∠CAB＝∠ACB，∴AB＝BC＝3，∵△ABC≌△ADC，∴平行四边形ABCD的周长为12。
5. 5cm，4cm 解析：可设平行四边形两邻边上的高分别为h1和h2，则4h1＝20，5h2＝20，
所以h1＝5，h2＝4。
6. 150° 解析：由题意可知∠DBC＝∠DBE，所以∠CBE＝30°，因为AD∥BC，所以
∠BOD＝180°－∠CBE＝150°。
7. 60°，120° 解析：在平行四边形ABCD中，∠B＋∠BAD＝180°，∠BAD＝∠C。
设∠BAM＝x°，则∠BAM＝∠DAM＝∠AMB＝x°，在△MDC中，∠CMD＋∠MCD＋

∠C＝180°，即180－x2＋45＋2x＝180，解得x＝30°，所以∠BAD＝2x＝60°，∠ABC＝
120°。
8. 解：根据平移的性质可知四边形BCC'B'是平行四边形，设△ABC中AC边上的高为h，

则平行四边形BCC'B'中CC'边上的高为h，因为AC＝4cm，CC'＝1cm，则S△ABC＝12AC·h

＝2h，S平行四边形BCC'B'＝CC'·h＝h，所以S四边形ABB'C'＝2h＋h＝3h，所以S四边形ABB'CS△ABC＝3h2h＝32，即
四边形ABB'C'的面积是△ABC的面积的32倍。