导数在不等式证明中的应用

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Key words (1)

引言 (2)

1、利用导数的定义证明不等式 (3)

2、利用导数的几何意义证明不等式 (4)

3、利用中值定理证明不等式 (5)

3.1、利用拉格朗日中值定理证明不等式 (5)

3.2、利用柯西中值定理证明不等式 (6)

4、利用函数的单调性证明不等式 (8)

4.1、取对数法 (8)

4.2、变量替换法 (9)

4.3、常数变易法 (9)

5、利用函数的最值性(极值性）证明不等式 (11)

6、利用泰勒公式证明不等式 (13)

7、利用函数的凹凸性证明不等式 (16)

8、利用Jensen(琴森)不等式证明不等式 (19)

9、利用导数的不等性证明不等式 (20)

10、利用偏导数证明不等式 (23)

总结 (27)

参考文献 (28)

致谢 (29)

导数在不等式证明中的应用

摘要：导数知识是数学中极其重要的部分，它的内容，思想和应用贯穿于整个数学的教学之中，是初等数学和高等数学中的一项重要内容。利用导数证明不等式是一种行之有效的好方法，它能使不等式的证明化难为易，迎刃而解。在不等式证明的种种方法中，它占有重要的一席之地，具有较强的灵活性和技巧性。掌握导数在不等式中的证明方法和技巧对学好高等数学有很大帮助。本文将通过举例和说明的方式来阐述不等式证明中导数的一些方法和技巧。

关键词：导数不等式证明函数

Abstract：The knowledge of derivative is an extremely important part of higher mathematic，its content, ideas, and applications impenetrate into the teaching of higher mathematic. As to the proofs of inequalities, the use of the derivative proved to be an effective measure. It earns a place in the various methods of the proofs of inequalities. This article will elaborate the application of derivative in the use of the proofs of inequalities, that is, the monotonic property of the function, the maximum or minimum value of a function, differential mean value theorem, Taylor’s formula, concavity, inequality of two derivative and partial derivative.

Key words: derivative inequalities prove function

引言

导数概念的产生有着直觉的起源，与曲线的切线和运动质点的速度有密切的关系.导数用于描述函数变化率，刻画函数的因变量随自变量变化的快慢程度.比如说，物理上考虑功随时间的变化率（称为功率），化学上考虑反应物的量对时间的变化率（称为反应速度），经济学上考虑生产某种产品的成本随产量的变化率（称为边际成本）等等，这些变化率在数学上都可用导数表示.

数学问题的解决关键在于我们对待数学问题的方法，如果在学习数学的过程中，我们能有意识地将数学问题系列化，解决数学问题的方法系列化，那么解决数学问题的能力将会得到升华.在高等数学的学习中，不等式的证明是可以作为一个系列问题来看待的，不等式的证明是数学的重要内容之一，也是难点之一，其常用的方法有：比较法、综合法、分析法、重要不等式法、数学归纳法等，而有一些问题用上述方法解决是困难的，在学完中值定理与导数的应用的内容以后，可以利用导数的定义、拉格朗日中值定理、函数的单调性、最值性、凸凹性等知识解决一些不等式证明的问题.因此，导数为证明不等式注入了新的活力，这一创造性思维有效合理的使不等式获得证明，从而体现出初等数学与高等数学的紧密联系.随着时代的发展，科技的进步及课程改革的不断深入，导数的应用必将渗透到社会领域的方方面面.这就要求加强导数的思想与方法教学，让学生深刻体会导数在解决函数、三角函数、解析几何、不等式、数列及实际问题和物理方面的应用性和工具性，为社会培养更多的应用性人才.

1、 利用导数的定义证明不等式

利用导数的定义证明不等式是一种比较普遍也是比较基本的方

法，首先让我们先了解一下它定义

定义1[1]：设函数)(x f y =在点0x 的某一领域内有定义,在点0x 处给自变量x 以增量x ∆(点x x ∆+0仍在该领域内),相应地,函数y 有增量

)(0x x f y ∆+=∆)(0x f -

如果当0→∆x 时比值x

y ∆∆的极限x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000存在，则称此极限值为函数)(x f y =在点0x 处的导数，记作 )('0x f ，

0|'x x y =，0|x x dx dy =或0|)(x x dx

x df =.并称函数)(x f y =在点0x 处可导. 导数的定义有两种等价的形式：

（1）x

x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim

)('0000； （2）000)()(lim )('0x x x f x f x f x x --=→. 例 1 设nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，并且x x f sin )(≤，试证：1221≤++n na a a .

证明：由已知nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，可得

nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )('21+++= ， 则0)0(=f ，

n na a a f +++= 212)0('又由导数定义，

1sin lim )(lim )(lim )0('000=≤==→→→x

x x x f x x f f x x x ， 故1sin lim )(lim )(lim )0('000=≤==→→→x

x x x f x x f f x x x ， 即1221≤++n na a a .