2014版北师大版九年级数学上3.5相似三角形判定定理的证明教案
1
3.5相似三角形判定定理的证明
一、教学目标
1．知识目标：
①了解相似三角形判定定理
②会证明相似三角形判定定理
2．能力目标：
掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力
二、教学过程分析
1.复习提问
相似三角形的判定方法有哪些？
答：（1）两角对应相等，两三角形相似.
（2）三边对应成比例,两三角形相似.
（3）两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
2.探究学习，得出新知
探究1
如果∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，
那么，△ABC ∽△ A′B′C′.
如何证明呢？
应用1
已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
2
解： ∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C,
∴ △ABD ∽ △ACB ,
∴ AB : AC=AD : AB,
∴ AB2 = AD · AC.
∵ AD=2, AC=8,
∴ AB =4.
探究2
如果∠B =∠B1 ，
那么，△ABC∽△A1B1C1.
应用2
已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= 7 ，求
AD的长.
1
1111
,ABBCkABBC
2
3
探究3
如果
那么，△ABC∽△A′B′C′.
应用3 画一画
任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度
量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同桌交流一下，看看是否
有同样的结论.
3： 例题学习
例1. 弦AB和CD相交于⊙O内一点P. 求证:PA·PB=PC·PD.
,ABBCACABBCAC
4
证明:连接AC、BD.
∵∠A、∠D都是CB所对的圆周角,
∴ ∠A=∠D.
同理: ∠C=∠B.
∴△PAC∽△PDB.
即PA·PB=PC·PD.
4.课时小结
一、相似三角形判定定理的证明
1.两角对应相等，两三角形相似.
2.三边对应成比例,两三角形相似.
3.两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
二、相似三角形判定定理的应用
5.课后作业
.PAPCPDPB
北师大版数学九年级上册4.5相似三角形判定定理的证明优秀教学案例
（一）知识与技能
1.理解相似三角形的定义，掌握相似三角形的判定定理。
2.能够运用相似三角形的判定定理解决实际问题，提高运用知识解决问题的能力。
3.学习并掌握平行线分线段成比例定理，了解其在相似三角形判定中的应用。
4.培养学生的空间想象能力，提高学生对几何图形的认识和理解。
（二）过程与方法
1.通过观察、操作、推理、归纳等方法，引导学生自主探索相似三角形的判定规律。
2.利用多媒体演示、实物模型等教学手段，帮助学生直观地理解相似三角形的判定定理。
3.设计丰富多样的教学活动，激发学生学习兴趣，提高学生自主学习能力。
4.运用讨论、交流、合作等学习方式，培养学生团队协作能力和沟通能力。
（三）情感态度与价值观
北师大版数学九年级上册4.5相似三角形判定定理的证明优秀教学案例
一、案例背景
北师大版数学九年级上册4.5节“相似三角形判定定理的证明”是本学期的重点内容，也是初高中数学衔接的关键点。该节内容主要引导学生从直观到抽象，从特殊到一般，通过观察、操作、推理、归纳等过程，掌握相似三角形的判定定理，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。
本节课的内容是在学生已经学习了三角形的基本概念、性质，以及有一定的几何图形的认识基础上的。学生通过前面的学习，已经掌握了三角形的基本知识，但对于相似三角形的判定，还缺乏直观的认识和理解。因此，在教学过程中，我以学生已有知识为基础，通过设计丰富多样的教学活动，引导学生积极参与，激发学生学习兴趣，提高学生自主学习能力。
3.教师对学生的学习成果进行评价，关注学生在学习过程中的表现和进步。
4.结合学生的评价结果，调整教学策略，为下一阶段的教学做好准备。
5.注重过程性评价与终结性评价相结合，全面了解学生的学习情况，提高教学质量。
【最新】九年级数学相似三角形教案北师大版
第26课 相似三角形〖知识点〗相似三角形、相似三角形的判定、直角三角形相似的判定 〖大纲要求〗1． 了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的判定及直角三角形相似的判定； 2． 会用相似三角形证明角相等或线段成比例，或进行角的度数和线段长度的计算等 〖考查重点与常见题型〗1． 论证三角形相似，线段的倍分以及等积式，等比式，常以论证题型 或计算题型出现；3． 寻找构成三角形相似的条件，在中考题中常以 选择题或填空题形式出现，如：下列所述的四组图形中，是相似三角形的个数是（ ） ① 有一个角是45°的两个等腰三角形；②两个全等三角形；③有一个角是100°的两个等腰三角形；④两个等边三角形。
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 〖预习练习〗1． 点P 为△ABC 的AB 边上一点（AB >AC ），下列条件中不一定能保证△ACP ∽△ABC的是（ ）（A ）∠ACP ＝∠B （B ）∠APC ＝∠ACB （C ）AC AB =AP AC （D ）PC BC =ACAB2.下列各组的两个图形，一定相似的是（ ）（A ） 两条对角线分别对应成比例的两个平行四边形 （B ） 等腰梯形的中位线把它分成的两个等腰梯形 （C ） 有一个角对应相等的两个菱形 （D ） 对应边成比例的两个多边形3． 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D ，DE ⊥BC ，垂足为E ，则图中与△ADE 相似的三角 A 形个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 E4． M 在AB 上，且MB ＝4，AB ＝12，AC ＝16， D 在AC 上有一定N ，使△AMN 与原三角形相似，则AN 的长为 5． 如图，△ABC 中，DE ∥AC ，BD ＝10，DA ＝15， A BE ＝12，则EC ＝ ，DE:AC ＝ ， D S △BDE ：S 梯形ADEC ＝B E C考点训练1.以下条件为依据，能判定△ABC 和△A 1B 2C 3相似的一组是（ ）(A) ∠A ＝45°,AB ＝12cm,AC ＝15cm, ∠A ´＝45°,A ´B ´＝16cm,A ´C ´＝25cm(B) AB ＝12cm,BC ＝15cm,AC ＝24cm, A ´B ´＝20cm,B ´C ´＝25cm,A ´C ´＝32cm(C)AB ＝2cm,BC ＝15cm, ∠B ＝36°, A ´B ´＝4cm,B ´C ´＝5cm, ∠A ´＝36°(D) ∠A ＝68°,∠B ＝40°∠A ´＝68°,∠B ´＝40° 2.如图，△ABC 中DE,DF,EG 分别平行于BC,AC,AB, 图中与△ADG 相似的三角形共有（ ）个A GD CFEB(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 63.如图，已知D,E 分别在△ABC 的AB,AC 边上，△ABC 与△ADE 则下列各式成立的是（ ） (A) AD BD ＝ AE CE (B) AD AB ＝ DE BC(C) AD ·DE ＝AE ·EC (D) AB ·AD ＝AE ·AC 4.如图，已知△ABC 与△ADE 中，则∠C ＝∠E, ∠DAB ＝∠CAE ,则下列各式成立的个数是（ ） ∠D=∠B ,AF AC ＝ AD AB , DE BC ＝ AE AC , AD AE ＝ ABAC(A) 1个 (B) 2 个 (C)3个 (D)4个5.如图，梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB ⊥AD,对角线BD ⊥DC,则△ABD ∽ , BD 2= . 6.如图，∠1＝∠2,AB ·AC ＝AD ·AE ，则∠C ＝ .7.如图△ABC 中,DE ∥BC,AD ∶DB ＝3∶2,则△ADE 与△ABC 的面积比为 . 8.如图，△ABC 内接正方形DEFG ，AM ⊥BC 于M,交DG 于H,若AH 长4cm,正方 形边长6cm,则BC ＝ . 9.如图，已知△ABC 中CE ⊥AB 于E,BF ⊥AC 于F, 求证：△AFE ∽△ABC10.如图，平行四边形ABCD 中，E 是CB 延长线上一点， DE 交AB 于F, 求证:AD ·AB ＝AF ·CE 解题指导 1. M 在AB 上，且MB ＝4,AB ＝12,AC ＝16.在AC 上求作一点N, 使△AMN 与原三角形相似，并求AN 的长.2. 在△ABC 中,AB ＝AC, ∠A ＝36°,∠ABC 的平分线BD 与AC 交于D,求证: (1) BC ＝AD (2) △ABC ∽△BDC (3)BC ＝12( 5 –1)AB3. 如图，已知BD 和CE 是△ABC 的高，∠BAC 的平分线交BC 于F ,交DE 于G, 求证:BF ·EG ＝CF ·DG.4. 如图，在△ABC 中, ∠C ＝90°,AE 平分∠A 交BC 于E,CD ⊥AB 于D,交AE 于F, FM ∥AB 交BC 于M,求证(1) AE AF ＝ AB AC (2) EB MB ＝ AEAF(3)CE ＝BM5. 如图，△ABC 的∠A 的内角平分线交BC 于P, ∠BAC 的外角平分线交BC 的延长线于Q,MADCEBADCFEBADCB AD CEB 12A CF EB DGHMA FEB AC B DA CF E B DGAC FE B D M A CF EB D为PQ 的中点，求证:(1)MA 2＝MB ·MC (2) MB MC ＝ AB2AC2独立练习1,如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD,AC,BD 交于O 点, BE ∥AD 交延长线于E,相似三角形的对数是（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 2.如图，已知∠1＝∠2＝∠3,则下列关系正确的是（ ）(A) AB AD ＝ BC AE (B) AC AE ＝ BC AD (C) BE DE ＝ AC AE (D) AC AE ＝ ABAD3.两个直角三角形一定相似； 两个等腰三角形一定相似；两个等腰直角三角形一定相似；两个顶角相等的等腰 三角形一定相似。
九年级数学上册(北师大版)相似三角形的性质(同步课件)
三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
【提问2】相似三角形的判定方法有哪些？
三角形相似判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
三角形相似判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
三角形相似判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.
【提问3】你知道相似三角形的性质有哪些？
∵
AC
A′ C′
CD
= C′ D′ =
1
2
∴ CD = 2C ′ D′ = 3cm
4）由此你发现相似三角形还有哪些性质？
探索与思考
如图， △ ∽△ ′ ′ ′ ，相似比为，其中 、 ′′分别是 、 ′′边上的中线，问
AD 、 A′D′有什么关系呢？
解：∵ △ ∽△
【详解】解：∵AD经过△ ABC的重心，∴点D是BC中点，
∵BC=12，∴CD=BD=6，
∵GE∥BC，∴△AGE∽△ADC，
AE
AC
∵点E是AC中点，∴
解得：GE=3，故选D.
=
GE
CD
1
2
GE
6
= ，即
1
2
= ，
）
探索与思考
∴BD=
1
1
BC,B’D’= B’C’
3
3
∴
AB BD
=
A′ B′ B′ D′
∴
AB AD
=
=k
A′ B′ A′ D′
∴△ABE ∽△A' B' E' .
AB BC
=
A′ B′ B′ C′
=k
课堂小结
相似三角形的性质：
1）对应角相等，对应边成比例.
北师大版-数学-九年级上册-4.5 相似三角形判定定理的证明 教学设计
相似三角形判定定理的证明教学目标1．能够熟练地掌握证明相似三角形的判定定理．2．经历探索相似三角形判定定理的证明过程，培养学生的合情推理能力．教学重难点重点相似三角形判定定理的证明．难点合理添加辅助线．教学过程一、复习导入教师：相似三角形的判定定理有哪些？学生：两角分别相等的两个三角形相似．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．三边成比例的两个三角形相似．教师：在前面，我们探索了三角形相似的条件，今天我们将对这些定理进行证明．二、探究新知1．证明三角形的判定定理1课件出示：如图，在 △ABC 和△A′B′C′ 中，∠A ＝ ∠A′，∠B ＝∠B′. 求证：△ABC ∽△A′B′C′.学生思考完成后，教师板书证明过程．证明：在 △ABC 的边 AB(或它的延长线)上截取AD ＝A′B′，过点D 作BC 的平行线，交 AC于点E ，则∠1＝∠B，∠2 ＝∠C，AD AB ＝AE AC.过点 D 作 AC 的平行线，交 BC 于点 F ，则AD AB ＝CF CB. ∴AE AC ＝CF CB. ∵ DE ∥BC ， DF ∥AC ，∴ 四边形 DFCE 是平行四边形．∴ DE ＝ CF.∴AE AC ＝DE CB. ∴AD AB ＝AE AC ＝DE BC. 而∠1＝∠B，∠DAE ＝∠BAC，∠2＝∠C，∴△ADE ∽△ABC.∵∠A ＝∠A′，∠ADE ＝∠B＝∠B′，AD ＝A′B′，∴△ADE ≌△A ′B ′C ′.∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.2．证明三角形的判定定理2课件出示：如图，在△ABC 和△A′B′C′中，∠A ＝∠A′，AB A′B′＝AC A′C′.求证：△ABC∽△A′B′C′.指名学生到黑板写下证明过程，教师点评．3．证明三角形的判定定理3课件出示：如图，在△ABC 和△A′B′C′中，AB A′B′＝BC B′C′＝AC A′C′.求证：△ABC∽△A′B′C′.指名学生到黑板写下证明过程，教师点评．强调：证明两个三角形相似，可以通过画辅助线来帮助解决．三、举例分析例 如图，∠ABD ＝∠C ，AD ＝2，AC ＝8，求AB 的长．学生分小组讨论后举手回答，教师点评并板书解答过程．解：∵∠A＝∠A ，∠ABD ＝∠C，∴△ABD ∽△ACB.∴AB ：AC ＝AD ：AB.∴AB2＝AD·AC.∵AD ＝2，AC ＝8，∴AB ＝4.四、练习巩固如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠ACD，AB ＝6，BC ＝4，AC ＝5，CD ＝712，求AD 的长．五、小结通过本节课的学习，你有什么收获？六、课外作业教材第102页习题4.9第1～4题．教学反思本节课的内容是相似三角形判定定理的证明，是在学生对三角形之间的全等关系已有深度的认识，在学习了平行线分线段成比例、相似三角形的定义、探索相似三角形的条件等知识的基础上进行教学的．它既是对前面所学知识的综合应用，也是对这些知识的拓展与延伸．本节课要求学生了解和掌握相似三角形的判定定理，并且学会运用．课堂上，注重证明过程的书写，让学生更加规范证明过程与步骤，提高学生的综合语言能力和分析能力，培养学生分析问题的条理性．积极调动学生的学习气氛，提高学习兴趣．。
初中数学北师大版九年级上册5 相似三角形判定定理的证明
∴ AB2 = AD ·AC.
C
∵ AD = 2 , AC = 8,
∴ AB = 4.
B A
D
2.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，
BC=4，AC=5，CD= 7 1 ，求AD的长.
2
解: ∵ AB=6，BC=4，AC=5，CD = 7 1 .
2
∴ AB CD . BC AC
比例式为： AD:AB=AE:AC=DE:BC 。
D
A
E
D
E
A 平截型——平行 截相似
B
C
C B
2,下图中添加一个什么条件，可使△ADE∽△ABC
A
∠ ADE＝∠B，
E
或 ∠AED=∠C，
D
D E
A
斜截型—— 斜截构相似
或 AE:AC=AD:AB
B
C
B
C
二 相似三角形判定定理的运用
“双垂直”三角形 C
AB BC AC
求证：△ A'B'C' ∽ △ ABC.
A A′
D
E
B′
C′ B
C
证明：在△ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取
AD = A'B'，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点
E，则
二 相似三角形判定定理的运用
1、如图1，已知DE // BC,则△__A_D_E__∽△ ABC 。可得
C
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
A' B'
已知：如图，在△ A'B'C' 和△ ABC 中，∠ A' =∠ A ，
新北师大版九年级上册初中数学 4-5相似三角形判定定理的证明 教学课件
拓展与延伸
D
第十八页，共十八页。
第四章 图形的相似
4.5相似三角形判定定理的证明
第一页，共十八页。
学习目标
1.了解相似三角形判定定理的证明方法及通过添加辅助线证明的
过程，能够选择恰当的方法证明两个三角形相似。
2.会通过做辅助线来证明两个三角形相似，并掌握证明方 法。（重点）
第二页，共十八页。
新课导入
复习提问
相似三角形的判定方法有哪些？
（1）两角对应相等，两三角形相似.（2）三边对 应成比例,两三角形相似.（3）两边对应成比例且夹 角相等,两三角形相似.
第三页，共十八页。
新课导入
作△ABC 和△A′B′ C′ ，使得∠A＝∠A′,∠B＝∠B′ ，这时它们
的第三个角满足∠C＝∠C′吗？分别度量这两个三角形的边
长，计算
A
AB BC, 你C有A 什么发现？
当堂小练
1.如图,在△ABC中,DE∥BC,且DE分别交AB,AC于点D,E,若AD∶B=2∶3,则△ADE和△ABC
的面积之比等于( )A.2∶3B
B.4∶9C.4∶5
点,EC交BD于点F,那么EF与CF的比是( )A.1∶2
D.2∶3 2.如图, ABCD中,E是AB的中
B.1∶3C.2∶1
A'B' , B'C ' , C ' A'
A'
∠C = ∠C'
猜想 B
C
B'
C' △ABC∽△A'B'C'
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么 这两个三角形相似．
第四页，共十八页。
初三数学上册(北师大版)《4.5相似三角形判定定理的证明(3)》【教案匹配版】最新中小学课程
解：相似．
证明：△ABC为等边三角形．
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
又∵AE＝BF＝CD，
∴AD＝FC ＝EB，则
△AED≌△CDF≌△BFE.
∴ED＝DF＝EF.
△E DF为等边三角形．
∴△DEF∽△ABC.
2. 已知：如图，
ＡＤ
ＡＣ
＝
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ＤＥ
ＡＢ
证明：
的两个三角形相似。
A
B
A' B' A' C'
, A A'
AB
AC
A'
C
B'
C'
ABC ∽ A' B' C '
AB
AC
，A A '
已知：在ABC和A' B' C '中，
A'B ' A'C '
求证: △ ABC∽△ A' B' C '
A
B
A'
C
在线段A' B（或它的延长线
相似三角形的判定方法:
两角对应相等，两三角形相似. (AA)
两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. (SAS)
三边对应成比例,两三角形相似. (SSS)
热身练习
判断图中的各对三角形是否相似。
A
B
5
B
6
O
24
ΔAOB~∆
12
图1
D
ΔAB~∆
F
54
图3
B
C
探索三角形相似的条件及证明(解析版)-九年级数学(北师大版)
第20讲探索三角形相似的条件及证明1.相似三角形的概念.2.相似三角形的判定定理.3.进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.二、相似三角形的判定定理1．判定定理（一）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.2．判定定理（二）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.3．判定定理（三）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似）要点：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.4.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
（简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似）考点1：利用两角相等证明相似例1．已知：如图所示，,AC BD 相交于点O ，连接,AB CD ，且ABD ACD ∠=∠，求证：AOB DOC ∽△△．【答案】见解析【分析】根据AA 判断两个三角形相似．【解析】证明：∵ABD ACD ∠=∠， AOB COD ∠=∠，∴AOB DOC ∽△△．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．例2．如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，点D 在AC 边上，DE AC ⊥交BC 于点E ．求证：CDE CBA ∽△△．【答案】证明见解析【分析】由DE AC ⊥，∠B =90°可得出CDE B ∠=∠，再由公共角相等，即可证得CDE CBA ∽△△．【解析】∵DE AC ⊥，∠B =90°，∴90CDE B ∠=∠=︒．又∵∠C =∠C ，∴CDE CBA ∽△△．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，常用的判定两个三角形相似的方法有1、定义法：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．2、平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似．3、两角分别相等的两个三角形相似．4、两边成比例且夹角相等的两个三角形例5AB AD BD例求证：△【答案】见解析【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可．⊥于D．【解析】证明：∵CD AB∴90∠=∠=︒，ADC ACB∵A A∠=∠，∴ACD ABC△∽△．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明．例5．如图，Rt ABC∆中，CD是斜边AB上的高．求证：（1）ACD ABC△∽△；（2）CBD ABC△△．∽【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．（2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．【解析】证明：（1）∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC．例例（1）如果ACP B ∠=∠，ACP △与 AP AC例ABC △【答案】见解析【分析】根据已知线段长度求出【解析】证明：在∵8,3,AB AD ==∴824AB AE ==，例【答案】详见解析【分析】由题中线段长度得出【解析】证明：∵8,BC AC =∴48224AC BC CD AC ====．∴BC AC AC CD=．∵C C ∠=∠，∴ABC DAC ∽．例（1）AB例1AD AE DE例【答案】①与⑤相似，因为三边成比例；其余三角形都不相似，理由见解析．例例于G，AD(1)求证：ABE DCG(2)ABD△，ABE【答案】(1)见解析(2)ADG，AFE，ACD【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；（2）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．【解析】（1）解：证明：如下图，∵90∠=︒，ABC∴1+3=90∠∠︒，又∵DG AD ⊥，∴3490∠+∠=︒，∴14∠=∠∵BF AC ⊥，∴590BAC ∠+∠=︒，∵90ABC ∠=︒，∴90C BAC ∠+∠=︒∴5C=∠∠∴~ABE DCG ．（2）∵AD 平分∠BAC ，∴∠1=∠2，又90ABC ∠=︒，BF AC ⊥，DG AD ⊥，∴∠ABC =∠ADG =∠AFB =90°，∴ABD ADG △AFE ，∴∠3=∠AGD =∠AEF ，∴∠ADC =∠CGD =∠AEB ，又根据直角三角形两锐角互余可得∠5=∠C ，∴ABE DCG ACD故答案为：ADG ，AFE ，ACD ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．考点5：添加一个条件证明相似例15．如图，已知AC ，BD 相交于点O ，若补充一个条件后，便可得到AOB DOC ∽△△，则要补充的条件可以是_______．（填一个即可）【答案】A D ∠=∠（答案不唯一）【分析】根据相似三角形的判定解答即可．【解析】解：补充条件A D ∠=∠即可；例_________【答案】ACP B ∠=∠（答案不唯一）【分析】APC 和ACB 有公共角【解析】解：PAC CAB ∠=∠ ∴当ACP B ∠=∠时，APC V 故答案为：ACP B ∠=∠（答案不唯一）【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．充分利用例17．在△ABC 和△时，△ABC 与△DEF 相似．【答案】2cm 或4.5cm【分析】由于两相似三角形的对应边不能确定，故应分△例相似的是（例例【点睛】本题考查了相似三角形的判定，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．考点6：判断三角形相似例21．如图，已知MNP △．下列四个三角形，与MNP △相似的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据相似三角形的判定条件分别判断即可；【解析】根据图形可知，MN MP =，75P N ∠=∠=︒，∴180757530M ∠=︒-︒-︒=︒，∴根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得C 中的图形与MNP △相似；故选C ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定条件，结合三角形内角和定理计算是解题的关键．例22．如图，在三角形纸片ABC 中，9AB =，6AC =，12BC =，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 相似的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．【解析】解：在三角形纸片ABC 中，AB ＝9，AC ＝6，BC ＝12．例A．例正确的有（A．1个B．2个【答案】C【分析】①由题意得出AD CD BD AD=明△ABC与△ADC相似，得出②不符合题意；证出∠ADC=∠BAC=90°，可得出③符合题意；根据论．例到DCF(1)BDG DEG ∽；(2)BG DF ⊥．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先判断出FDC EBC ∠=∠，再利用角平分线判断出FDC EBC ∠=∠，即可得出结论；（2）由三角形的内角和定理可求90DGE BCE ∠=∠=︒，可得结论．【解析】（1）证明：由旋转可知：BCE DCF ≅ ，FDC EBC ∴∠=∠．BE 平分DBC ∠，DBE EBC ∠=∠∴，FDC DBE ∴∠=∠，DGE DGB ∠=∠ ，BDG DEG ∴ ∽；（2）证明：EBC GDE ∠=∠ ，BEC DEG ∠=∠，90DGE BCE ∴∠=∠=︒．BG DF ∴⊥．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．例26．如图1，在ABC 中，AC BC =，将线段CB 绕点C 逆时针旋转90︒，得到线段CD ，连接AD ，BD ．(1)求BAD ∠的度数；(2)如图2，若ACD ∠的平分线CE 交AD 于点F ，交AB 的延长线于点E ，连结DE ．①证明：BCD AED △∽△；∵AC BC DC ==，∴BAC ABC ∠=∠，由①知ACE DCE ≌∴EAC EDC ∠=∠，∴ABC EDC ∠=∠，一、单选题1．（2018·浙江杭州·中考真题）如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是．．．．A．∠ABP=∠CC．AP AB=AB AC【答案】D【解析】解：A．当∠ABP=又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B．当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，又∵∠A =∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，故此选项错误；D ．无法得到△ABP ∽△ACB ，故此选项正确．故选：D ．二、填空题三、解答题4．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，E 是边AC 上一点，且BE BC =，过点A 作BE 的垂线，交BE 的延长线于点D ，求证：ADE ABC △△∽．【答案】见解析．【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可．【解析】解：若选①BD B D CD C D''=''，一、单选题1．下列能判定ABC A B 'V :VA．AB∥CD①55A ∠=︒905535B \Ð=°-°=°35D Ð=°Q ，A．AB CDC ．90ABC DBC ∠+∠=︒D ．::AB BC BD CD=【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理，结合平行线的性质可判断A ；结合角平分线的定义可判断B ；结合直角三角形两个锐角互余可判断C ；D 选项没有条件可判断ABC 和BCD △相似．【解析】∵AB CD ，∴ABC BCD ∠=∠，∵90ACB D ∠=∠=︒，∴ABC BCD △∽△，故A 能判断，不符合题意；∵BC 平分ABD ∠，∴ABC CBD ∠=∠．∵90ACB D ∠=∠=︒，∴C ABC BD ∽△△，故B 能判断，不符合题意；∵90ABC DBC ∠+∠=︒∴90ABD Ð=°，∴90ABC CBD Ð+Ð=°．∵90ABC CAB ∠+∠=︒，∴CAB CBD ∠=∠．∵ABC BCD △∽△，故C 能判断，不符合题意；∵::AB BC BD CD =，结合题意没有满足使ABC 和BCD △相似的条件，∴不能判断，符合题意．故选D ．【点睛】本题主要考查三角形相似的判定．掌握三角形相似的判定定理是解题关键．7．含60︒角的直角三角板6)0(ABC A ∠=︒与含45︒角的直角三角板BCD 如图放置，它们的斜边AC 与斜边BD 相交于点E ．下列结论正确的是（）A ．ABE CDE ∽B ．ABE BCE△∽△C ．BCE DCE△∽△D ．ABC DCB∽△△【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定方法，进行判断即可．【解析】解：由图可知：90ABC BCD ∠=∠=︒，∴AB CD ，∴,ABE CDE BAE DCE ∠=∠∠=∠，∴ABE CDE ∽；故选A ．【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．8．张老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（）已知：如图，在ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE BC ∥，DF AC ∥．求证：ADE DBF ∽．证明：①又∵DF AC ∥，②∵DE BC ∥，③∴∠=∠A BDF ，④∴ADE B ∠=∠，⑤∴ADE DBF ∽．A ．③②④①⑤B ．②④①③⑤C ．③①④②⑤D ．②③④①⑤【答案】B 【分析】由DE BC ∥，DF AC ∥，得出ADE B ∠=∠，∠=∠A BDF ，证出ADE DBF ∽．【解析】证明：②∵DE BC ∥，④∴ADE B ∠=∠，①又∵DF AC ∥，③∴∠=∠A BDF ，⑤∴ADE DBF ∽．故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；关键是证明三角形相似．9．如图，在ABC 中，AG 平分BAC ∠，点D 在边AB 上，线段CD 与AG 交于点E ，且ACD B ∠=∠，下列结论中，错误的是（）A ．ACD ABC△△∽B ．ADE ACG ∽ C ．ACE ABG∽△△D ．ADE CGE∽△△【答案】D 【分析】由ACD B ∠=∠，DAC CAB ∠=∠，可直接证明ACD ABC △△∽，即可判断A ；由角平分线的定义得出DAE CAG ∠=∠，再结合三角形外角的性质即可得出AED AGC ∠=∠，从而可证ADE ACG ∽ ，即可判断B ；由CAE BAG ∠=∠，ACD B ∠=∠，可直接证明ACE ABG ∽△△，即可判断C ；没有条件证明ADE CGE ∽△△，即可判断D ．【解析】∵ACD B ∠=∠，DAC CAB ∠=∠，∴ACD ABC △△∽，故A 正确，不符合题意；∵AG 平分BAC ∠，∴DAE CAG ∠=∠．∵AED CAG ACD ∠=∠+∠，AGC DAE B ∠=∠+∠，∴AED AGC ∠=∠，∴ADE ACG ∽ ，故B 正确，不符合题意；∵CAE BAG ∠=∠，ACD B ∠=∠，∴ACE ABG ∽△△，故C 正确，不符合题意；在ADE V 和CGE 中只有AED CEG ∠=∠，不能证明ADE CGE ∽△△，故D 错误，符合题意．故选D ．【点睛】本题考查三角形相似的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质．掌握三角形相似的判定定理是解题关键．10．如图，在平面直角坐标系中，A （0，4），B （2，0），点C 在第一象限，若以A 、B 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似（不包括全等），则点C 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的判定定理即可得出结论．【解析】解：如图①，1OAB BAC ∠=∠，1AOB ABC ∠=∠时，1AOB ABC ∆∆∽．如图②，AO BC ∥，2BA AC ⊥，则2ABC OAB ∠=∠，故2AOB BAC ∆∆∽；如图③，3AC OB ∥，390ABC ∠=︒，则ABO CAB ∠=∠，故AOB ∆∽△3C BA ；如图④，490AOB BAC ∠=∠=︒，4ABO ABC ∠=∠，则AOB ∆∽△4C AB ．故选：D ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，解题的关键是熟知有两组角对应相等的两个三角形相似．二、填空题11．如图，已知ADE C ∠=∠，则AED ∽_______，理由是______．【答案】ABC 两角分别对应相等的两个三角形相似【分析】结合相似三角形的判定即可求解．【解析】解：=,A A ADE ∠∠∠= AED ABC ∴∆∆∽（两角分别对应相等的两个三角形相似）故答案是：①ABC ；②两角分别对应相等的两个三角形相似．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，属于基础知识理解题型，难度不大．相似三角形的判定可以和全等三角形的判定类比学习；全等强调边相等，而相似强调边成比例．12．如图，D 是ABC ∆的边AB 上一点，【答案】,B ACB∠∠【分析】运用“两角对应相等，两三角形相似【解析】若∠1=ADC ∆∽ACB ∆.【点睛】本题考查了有两角对应相等的三角形相似13．ABC ∆的边长分别为【答案】BC kCD=或BAC∠=【分析】根据相似三角形的判定定理即可进行解答．【解析】解：添加BC k CD=，【答案】①②③【分析】根据相似三角形的判定定理逐个排查即可．【解析】解：∵A A∠=∠,AED∠17．如图，在ABC 中，EF GH IJ BC P P P ，则图中相似三角形共有______对．【答案】6【分析】根据平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似，可知图中△AEF 、△AGH 、△AIJ 和△ABC 任意两个三角形都相似．【解析】解：在△ABC 中，EF ∥GH ∥IJ ∥BC ，∴△AEF ，△AGH ，△AIJ ，△ABC 中的任意两个三角形都相似．∴相似三角形共有6对．故答案为：6.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟记平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似是解题关键．18．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD 中，对角线BD 是它的相似对角线，∠ABC =70°，BD 平分∠ABC ，那么∠ADC =____________度【答案】145【分析】先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在△ABD 和△DBC 中，已知∠ABD=∠CBD ，所以需另一组对应角相等，若∠A=∠C ，则△ABD 与△DBC 全等不符合题意，所以必定有∠A=∠BDC,再根据四边形的内角和为360°列式求解.【解析】解：根据题意画出示意图，已知∠ABD=∠CBD ，△ABD 与△DBC 相似，但不全等，∴∠A=∠BDC ，∠ADB=∠C.又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°，∴∠ADB+∠BDC=145°，即∠ADC=145°.【点睛】对于新定义问题，读懂题意是关键.三、解答题【答案】ABC 和A B C ''' '相似，理由见解析【分析】根据三角形相似的判定计算判定即可．【解析】ABC 和A B C ''' 相似．理由如下：∵50A ∠=︒，60B B '∠=∠=︒，∴18070C B A ∠=︒-∠-∠=︒，∵70C '∠=︒，∴70C C '∠=∠=︒，∴ABC A B C '''∽△△．（1）求证：ADEV∽ABC （2）求EC的长度．【答案】证明见解析．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD ⊥BC ，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．【解析】∵在△ABC 中，AB=AC ，BD=CD ，∴AD ⊥BC ．又∵CE ⊥AB ，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B ，∴△ABD ∽△CBE ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正确找到相似的条件是解题的关键．24．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=︒，BD DC ⊥．求证：ABD △∽DCB △．【答案】见解析.【分析】由平行线的性质得到∠ADB ＝∠DBC ，结合∠A ＝∠BDC ＝90°，从而可得到△ABD ∽△DCB ．【解析】∵AD BC ∥，∴ADB DBC ∠=∠，∵BD DC ⊥，∴=90BDC ∠︒，∵90A ∠=︒，∴A BDC ∠=∠，∴ABD △∽DCB △．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似.∵AC BC DC ==，∴BAC ABC ∠=∠，由①知ACE DCE ≌∴EAC EDC ∠=∠，∴ABC EDC ∠=∠，。
专题4.5+相似三角形判定定理的证明九年级数学上册教材配套教学课件(北师大版)
∴ ABC∽A1B1C1
A1
A
D
E
B
C
B1
C1
典例精析
例1．如图，已知AD∥BC，∠A＝∠BDC＝90°. (1)求证：BA·BC＝DB·DC； (2)若BD＝6，DC＝8，求AB的长．
证明:∵AD∥BC∴∠ADB＝∠DBC 又∠A＝∠BDC＝90°
∴△ABD∽△DCB ∴ BA DB ，
DC BC ∴BA·BC＝DB·DC；
AB
∠A′，A' B '
AC A'C
. '
求证：△A′B′C′∽△ABC.
证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D，使A′D=AB.
过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.
A’
∵DE∥B′C′,
∠ADE= ∠B′, ∠A ′ ED= ∠C′ A
∴△A′DE∽△A′B′C′.
D
E
A' D A' E . A' B' A'C'
求证：△ABC∽△A′B′C′.
A
A’
B
C
B’
C’
已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：在△A′B′C′的边A′B′、A′C′上，分
别截取A′D=AB，A′E=AC，连接DE.
∵A′D=AB，∠A=∠A′，A′E=AC，
∴△A′DE≌△ABC,
∴△ADE∽△BEF AE AD 2 BF BE
(2)证明：∵∠DEF＝180°－∠AED－∠BEF ＝180°－∠AED－∠ADE
＝∠A ＝90° ∴DE⊥EF
当堂练习
4.5相似三角形判定定理的证明-九年级上册初三数学(北师大版)
1.增加互动提问环节，鼓励学生主动提出问题，培养他们的探究精神。
2.设计更多贴近生活的实例，让学生在解决实际问题的过程中感受几何学的魅力。
在讲授过程中，我尽量用简洁明了的语言解释相似三角形的性质和判定定理，并通过具体的案例分析，让学生感受这些定理在解决实际问题中的应用。同时，我尝试用举例和比较的方式来突破难点，但效果似乎并不如预期。这可能是因为我对难点的把握还不够准确，或者是在引导上还需加强。
实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作表现得非常积极，我能感受到他们在这个过程中对相似三角形有了更直观的认识。但在小组讨论中，我也发现有些学生过于依赖同伴，自己的思考和分析能力没有得到充分的锻炼。因此，我考虑在未来的教学中，应该更加注重培养学生的独立思考能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形判定定理的证明》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过形状相似但大小不同的物体？”（如放大镜下的图形、不同尺寸的三角形装饰品等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形的奥秘。
3.能够运用相似三角形判定定理解决实际问题；
4.通过实际操作，加深对相似三角形判定定理的理解和运用。
本节课将围绕以上内容，结合实际例题，引导学生掌握相似三角形的判定方法，并提高其运用几何知识解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力，通过相似三角形判定定理的证明过程，使学生掌握严密的逻辑推理方法，提高分析问题和解决问题的能力；