(优选)考研结构力学必看精华总结结构稳定计算

（2）按小挠度理论
若 1, 1
得平衡条件为
FP
kl
解得 FPcr kl
与大挠度理论相比，对于非完整体系，小挠度理论未 能给出临界荷载会逐渐减小的结论
3 几点认识
■一般来说，完善体系是分支点失稳，非完善体系是 极值点失稳。
■分支点失稳的特征是在交叉点出现平衡形式的二 重性。
■极值点失稳形式的特征是虽然只存在一个平衡路 径，但平衡路径上出现极值点。
新平衡位置的平衡条件为
FPl M A 0
考虑
M A k
得
FPcr
k l
2 能量法
在原始平衡路径之外寻找新的平衡路径，应用新平衡 状态的势能驻值条件，求出临界荷载。
弹簧应变能为
V
1 k 2
2
荷载势能为
VP FP FPl(1 cos )
FPl 2
2
体系的势能为
EP
V
VP
1 2
(k
FPl) 2
荷载势能为
VP
FP
FP l
( y12
y1 y2
y22 )
体系的势能为
EP
V
VP
k 2
( y12
y22 )
FP l
( y12
y1 y2
y22 )
1 2l
kl
2FP
y12
2FP
y1 y2
kl
2FP
y22
应用势能驻值条件
EP 0 y1
EP 0 y2
得
kl 2FP y1 FP y2 0
将 FP FP1 kl 3代入变形状态的平衡方程，得 y1 y2 特征向量
将 FP FP2 kl 代入变形状态的平衡方程，得 y1 y2 特征向量
（2）能量法
D点的水平位移为
1 2l
y12
(
y2
y1 )2
y22
1( l
y12
y1 y2
y22 )
弹性支座的应变能为
V
k 2
(
y12
y22 )
（1）按大挠度理论
平衡条件为 FPl sin( ) FRl cos( ) 0
FP
kl
cos(
) 1
sin
sin(
)
解得
FP
kl
cos(
)
1
sin
sin(
)
由 d FP 0
d
1
得 sin( ) sin 3
解得
23
FPcr kl(1 sin 3 )2
非完善体系的失稳形式是极值失稳。
应用势能驻值条件：
d EP 0
d
得
(k FPl) 0
取非零解，得
FPcr
k l
■临界状态的能量特征：势能 为驻值，且位移有非零解。
讨论势能
EP
V
VP
1 2
(k
FPl) 2
是位移θ的二次抛物线
■FP<k/l ■FP=k/l ■FP>k/l
势能EP恒为正，体系在 原始平衡状态时，势能为极 小。原始平衡状态是稳定的。
弹性曲线的微分方程
EI
d2 y d x2
M
(FP y
FR x)
改写为 y 2 y FR x
EI
其中
2 FP
EI
解 y Acos x B sin x FR x
FP
引入边界条件，得
B sinl B cosl
FR l FP FR
0
0
FP
非零位移条件
sinl l
D
0
cosl 1
§15-1 两类稳定问题概述
（优选）考研结构力学必看精 华总结结构稳定计算
1 分支点失稳
分支点：两条平衡 路径的交点。
FP1<Pcr时，压杆处于稳定的直线平衡状态 FP2>Pcr时，压杆可能处于直线的平衡状态。
曲线的平衡状态。
2 极值点失稳
在荷载极值点处，平衡路径由稳定平衡变为不稳定平衡。 特征：平衡形式不出现分支现象。
势能EP恒为零，体系处 于中性平衡状态，即临界状 态。
势能EP恒为负，体系在原 始平衡状态时，势能为极大。 原始平衡状态是不稳定的。
例15-1 试用两种方法求图示体系的临界荷载FPcr。 解 (1)静力法
变形状态的平衡条件为
MC 0
(C左)
ky1l
( FP y1 )2l l
FP
y2
0
M B 0
FP
y1
kl
2FP
y2
0
★势能驻值条件等价于位移表示的平衡方程。
能量法求多自由度体系临界荷载FPcr的步骤：
（1）写出势能表达式，建立势能驻值条件。
（2）应用位移有非零解的条件，得出特征方程，求出 荷载的特征值FPi。 （3）FPcr=min[FPi]。
讨论势能EP的正定性
EP
kl 2FP 2l
FPcr kl
路径Ⅱ的平衡是不稳定平衡。 稳定验算时，通常考虑初始缺陷，按不完善体系进行。
（2）按小挠度理论
若 1
则倾斜位置的平衡条件为
FPl FRl 0
得
FP kl
路径Ⅱ的平衡是随遇平衡。
★小挠度理论能够给出临界荷载的正确结果，不能 反映倾角较大时，平衡路径Ⅱ的下降趋势。
2 单自由度非完整体系的极值点失稳
y1
kl
FP 2FP
2 y2
y22
kl
FP
kl
百度文库
3FP
kl 2FP 2
序号 （1） （2） （3） （4） （5）
FP
FP＜kl/3
FP =kl/3
kl/3 ＜ FP ＜kl
FP =kl
FP ＞kl
特性 正定 半正定 不定 半负定 负定
§15-4 无限自由度体系的稳定——静力法
与有限自由度体系的区别：平衡方程是微分方程
§15-2 两类稳定问题计算简例
1 单自由度完善体系的分支点失稳
（1）按大挠度理论 倾斜位置的平衡条件为
FP (l sin ) FR (l cos ) 0
考虑 FR kl sin 得 (FP kl cos )l sin 0 第一个解： 0 第二个解： FP kl cos
A点为分支点。
■结构稳定问题只有根据大挠度理论才能得出精确结 论。
■小挠度理论在分支点失稳问题中通常能得出临界 荷载的正确值。
§15-3 有限自由度体系的稳定——静力法和能量法
确定临界荷载的方法 静力法：根据临界状态的静力特征提出的方法。 能量法：根据临界状态的能量特征提出的方法。
1 静力法
在原始平衡路径之外寻找新的平衡路径，确定二者的 交叉点，求出临界荷载。
( B右)
ky2l
(
FP y2 l
)2l
FP
y1
0
即
(kl 2FP ) y1 FP y2 0
FP y1 (kl 2FP ) y2 0
由
kl 2FP
FP 0
FP kl 2FP
得两个特征值
FP1
kl 3
FP2 kl
最小的特征值为临界荷载
FP cr
min( kl 3
, kl)
kl 3
展开，得
tanl l
FP cr
(4.493)2
EI l2
20.19
EI l2
例15-2 试求图示排架的临界荷载和柱AB 的计算长度。
解 弹性支座的刚度系数
k 3EI2 l3
在临界状态下，弹性曲线的微分方程为
EI1