电动力学习题解答2

第二章 静电场

1. 一个半径为R 的电介质球，极化强度为2

/r K r P =，电容率为ε。

（1）计算束缚电荷的体密度和面密度： （2）计算自由电荷体密度； （3）计算球外和球的电势；

（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。

解：（1）P ⋅-∇=p ρ2

222/)]/1()/1[()/(r K r r K r K -=∇⋅+⋅∇-=⋅∇-=r r r

)(12P P n -⋅-=p σR K R r r /=⋅==P e （2）)/(00εεεε-=+=P P E D 内

200)/()/(r K f εεεεεερ-=-⋅∇=⋅∇=P D 内

（3）)/(/0εεε-==P D E 内内

r

r f

r

KR

r V

e e D E 2002

00

)(4d εεεεπερε-=

=

=

⎰外

外 r

KR

r

)(d 00εεεεϕ-=

⋅=⎰∞r E 外外

)(ln d d 0

0εε

εεϕ+-=

⋅+⋅=⎰⎰∞r R K R

R r

r E r E 外内内

（4）⎰⎰⎰∞-+-=⋅=R R r

r

r R K r r r K V W 42200222022202d 4)(21d 4)(21d 21πεεεεπεεεE D 2

0))(1(2εεεεπε-+=K R

2. 在均匀外电场中置入半径为0R 的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：

（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差0Φ； （2）导体球上带总电荷Q 解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场0E 方向的轴线，取该轴线为

极轴，球心为原点建立球坐标系。

当0R R >时，电势ϕ满足拉普拉斯方程，通解为

∑++

=n

n n n

n n P R b R a )(cos )(1

θϕ 因为无穷远处 0E E →，)(cos cos 10000θϕθϕϕRP E R E -=-→ 所以 00ϕ=a ，01E a -=，)2(,0≥=n a n

当 0R R →时，0Φ→ϕ

所以 010

1000)(cos )(cos Φ=+-∑+n n

n n

P R b P R E θθϕ 即： 002010000/,

/R E R b R b =Φ=+ϕ

所以 )

2(,0,),(3

010000≥==-Φ=n b R E b R b n ϕ

⎩⎨

⎧≤Φ>+-Φ+-=)()

(/cos /)(cos 00

02

3

0000000R R R R R R E R R R E θϕθϕϕ

（2）设球体待定电势为0Φ，同理可得

⎩⎨

⎧≤Φ>+-Φ+-=)()

(/cos /)(cos 00

02

3

0000000R R R R R R E R R R E θϕθϕϕ

当 0R R →时，由题意，金属球带电量Q

φθθθϕθεϕεd d sin )cos 2cos (d 2

000

00000

R E R E S n

Q R R ⎰⎰+-Φ+

=∂∂-== )(40000ϕπε-Φ=R

所以 00004/)(R Q πεϕ=-Φ

⎩⎨⎧≤+>++-=)(4/)(cos )/(4/cos 000023

00000R R R

Q R R R R E R Q R E πεϕθπεθϕϕ

3. 均匀介质球的中心置一点电荷f Q ，球的电容率为ε，球外为真空，试用分离变量法求

空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。 提示：空间各点的电势是点电荷f Q 的电势R Q f πε4/与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加，后者满足拉普拉斯方程。 解：（一）分离变量法

空间各点的电势是点电荷f Q 的电势R Q f πε4/与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加。设极化电荷产生的电势为ϕ'，它满足拉普拉斯方程。在球坐标系中解的形

式为：

）（）（内θϕcos 1

n n

n n

n n P R b R a ∑++

=' ）

（）（外θϕcos 1n n

n n n n P R d

R c ∑++=' 当∞→R 时，0→'外

ϕ，0=∴n c 。 当0→R 时，内

ϕ'为有限，0=∴n b 。 所以 ）

（内

θϕcos n n

n n P R a ∑=' ， ）（外θϕcos 1n

n

n n

P R

d ∑+=' 由于球对称性，电势只与R 有关，所以

)1(,0≥=n a n )1(,0≥=n d n

0a ='内

ϕ， R d /0='外ϕ 所以空间各点电势可写成R Q a f πεϕ40+=内

R Q R d f πεϕ40+=外

当0R R →时，由 外内ϕϕ= 得： 000/R d a =

由 n n

∂∂=∂∂外

内ϕεϕε

得：20

002002044R d R Q R Q f f

επεεπ+=，)1

1(400εεπ-=f Q d 则 )11(

4000εεπ-=

R Q a f

所以 ）

（内εεππεϕ1

14400-+=R Q R Q f f ）（外εεππεϕ1

1440-+=R Q R Q f f R

Q f 04πε=

（二）应用高斯定理

在球外，R>R 0 ，由高斯定理得：f p f Q Q Q Q d =+==⋅⎰

总外s E 0ε，（整个导体球的束缚电荷0=p Q ），所以 r f

R Q e E 2

04πε=

外 ，积分后得：

R Q dR R

Q d f

R R f 02

044πεπεϕ⎰⎰∞∞

==⋅=R E 外外 在球，R

s E 内ε，所以

r f R Q e E 2

4πε=

内 ，积分后得：

R

Q R Q R

Q d d f f f R R R

00

4440

0πεπεπεϕ+

-

=

⋅+⋅=⎰⎰∞

R E R E 外内内 结果相同。

4. 均匀介质球（电容率为1ε）的中心置一自由电偶极子f p ，球外充满了另一种介质（电

容率为2ε），求空间各点的电势和极化电荷分布。

解：以球心为原点，f p 的方向为极轴方向建立球坐标系。空间各点的电势可分为三种电

荷的贡献，即球心处自由电偶极子、极化电偶极子及球面上的极化面电荷三部分的贡献，其中电偶极子产生的总电势为3

14/R f πεR p ⋅。所以球电势可写成：

314/'R f i i πεϕϕR p ⋅+=；球外电势可写成：31o o 4/'R f πεϕϕR p ⋅+=

其中i 'ϕ和o 'ϕ为球面的极化面电荷激发的电势，满足拉普拉斯方程。由于对称性，i 'ϕ和o 'ϕ均与φ无关。考虑到0→R 时i 'ϕ为有限值；∞→R 时0'o →ϕ，故拉普拉

斯方程的解为：

)(cos 0R R P R a n n

n n i ≤='∑）

（θϕ )(cos 01o

R R P R b n

n

n n

≥='∑+）（θϕ 由此 )(cos 4/031R R P R a R n n

n

n f i ≤+⋅=∑）

（θπεϕR p （1） )(cos 4/0131o R R P R b R n n n

n f ≥+⋅=+-∑）

（）

（θπεϕR p （2）