2018年本科插班生考试试题《高等代数》A卷

韩山师范学院2018年本科插班生考试试卷

数学与应用数学 专业 高等代数 试卷（A 卷）

一、填空（每空3分，共30分）

1．设n 阶方阵A 满足AA T ＝I ，其中I 为单位矩阵，那么det A ＝1或 . 2．设 A * 是 n 阶方阵 A 的伴随矩阵 , 且det A = D . 则det A * = ． 3. 欧氏空间V 中，若∈∀ηV 都有 , 0,=〉〈ηα则=α____.

4. 行列式1011

0111

3211112

x -----中元素x 的代数余子式 = ．

5. 方阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=011111101A 的逆矩阵A –1＝

6. 多项式5432()221f x x x x x x =--++-在有理数域Q 上的典型分解式为

()f x = ．

7. n 元实二次型22222

1212345(,,,)n q x x x x x x x x =++--L 的秩为 , 符号差

为

．

8．数域 F 上的向量空间V 的非空子集W 是V 的子空间的充要条件是 1) ；2) ．

二、是非题（每题3分，共30分。你认为正确的，在题后括号内打“√”，错误的打“×”。）

1．向量组12,,,n

L 线性无关，那么其中任意一个向量都不能用其余向量线性表示.

( ) 2. 在欧氏空间中，向量,αβ正交，那么,0αβ〈〉=. ( ) 3．实系数多项式一定有偶数个虚数根． ( ) 4．若A ，B 都是n 阶正交矩阵，则AB 也是正交矩阵． （ ） 5．设F 是数域，k ∈F ，I 是单位矩阵，则kI 可逆的充要条件是k ≠ 0． ( ) 6．2()f x x =是不可约多项式． （ ） 7. 有限维向量空间V 的线性变换关于V 的任意两个基的矩阵相等． ( ) 8. m ×n 矩阵A 的秩为r ，那么A 的r 阶子式都不为零. ( ) 9.数域F 上的n 阶方阵A ，B ，及可逆矩阵T 满足B =TAT 则A 与B 相似. ( )

10．如果多项式()|(),()|(),f x g x f x h x //那么()|()()f x g x h x +/. （ ） 三、证明题（共10分）

设 A 、B 都为 n 阶方阵，AB = A +B ，证明：A – I 与B – I 互为逆矩阵.

四、证明题（共10分）

设向量空间V 的向量组123{,,}ααα线性无关，证明向量组112123{,,}αααααα+++也线性无关.

五、证明题（共10分）

设V 是数域F 上的向量空间, ()L V σ∈, V ξ∈, 并

且ξ,()σξ,…,1()k σξ-都不为零,但()0k σξ=，证明

ξ,()σξ,…,1()k σξ-线性无关．

六、计算题（共10分）

求以下齐次线性方程组的一个基础解系：

123412341234

20,20,20.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪

++-=⎨⎪+++=⎩