两条直线所成的角
两条直线的夹角
两条直线的夹角一、 教学目的：1． 分清直线1l 到直线2l 的角与直线2l 到直线1l 的角以及两条直线1l 与2l 的夹角的区别与联系。
2． 掌握直线1l 到直线2l 的角的计算公式3． 掌握直线1l 与直线2l 的夹角的计算公式二、 情感目标：通过对两直线的倾斜角与夹角的关系探索，找出夹角的正切值与两直线斜率之间的关系；运用两角差的正切公式，进一步渗透解析几何的思想，即用代数运算解决几何图形问题；培养学生思维的缜密性、条理性、深刻性。
三、 教学重、难点：1．当一条直线斜率不存在时，如何求解两直线的夹角。
2．根据题意正确使用夹角，到角公式，注意根据图形进行舍解。
四、 教学过程：（一）引入：平面内两条直线的位置关系有平行、重合和相交。
我们分别用直线的代数形式去描述了它们的位置关系。
在相交直线中特殊的位置关系是垂直，即两条直线所成角为90。
因此，我们可以用两直线的夹角大小来描述两条相交直线的位置关系。
平面上，两条相交直线1l 和2l 构成四个角，它们是两对对顶角。
为了区别这些角，通常规定：直线1l 绕着交点M 按逆时针方向旋转到和2l 重合时所得到的角，叫做1l 到2l 的角。
直线2l 绕着交点M 按逆时针方向旋转到和1l 重合时所得到的角，叫做2l 到1l 的角。
2lM 1l当1l ⊥2l 时，即1l 到2l 的角为90。
=⇔21k k 1-或一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在。
通过这充要条件启发我们，1l 到2l 的角的大小是否也可以与1l 、2l 的斜率建立关系呢？（二）推导：设两条直线方程分别是1l ：11b x k y +=，2l ：22b x k y +=（1k ，2k 均存在），1l 到2l 的角θ如果121-=k k ，那么θ=90。
如果121-≠k k ，设1l 和2l 的倾斜角分别是1α和2α，则1k =1αtg ，2k =2αtg不论12ααθ-= 或 )(12ααπθ-+=，都有1212121)(ααααααθtg tg tg tg tg tg +-=-=， 即12121k k k k tg +-=θ 一条直线到另一条直线的角，可能不大于直角，也可能大于直角，如果只需要考虑不大于直角的角θ（叫做两条直线的夹角），那么有12121k k k k tg +-=θ （θ 90≠） 当两条直线平行或重合时，则它们的夹角是零度角，此时公式仍适用。
必修二第04讲 空间角(异面直线所成角、线面角、二面角)
第四讲 空间角（异面直线所成角线面角二面角）A 组题一、选择题1.下面正确的序号是①两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.②直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角. ③两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.④两异面直线夹角的范围是(00,90⎤⎦，直线与平面所成角的范围是0090⎡⎤⎣⎦，，二面角的范围是[0，1800] ( ).A.①B.②C.③D.④【答案】D【解析】对于①，因为两异面直线夹角的范围是(00,90⎤⎦，而两直线的方向向量所成的角可能为钝角. 所以①错. 对于②，直线的方向向量和平面的法向量所成的角是直线与平面所成的角或其补角. 所以②错.对于③，两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角是这两个平面所成的角或其补角. 所以③错. 故选D .2. (人教A 必修2习题改编)如图，在正方体ABCD －A′B′C′D′中，AB 的中点为M ，DD′的中点为N ，则异面直线B′M 与C N 所成的角是( ). A.90° B.75° C.60° D.45°【答案】A【解析】取AA′的中点Q ，连接QN ，B Q ，且B Q 与B′M 相交于点H ，则QN 綉AD 綉BC ，从而有四边形NQ BC 为平行四边形，所以N C ∥Q B ，则有∠B′H B 为异面直线B′M 与C N 所成的角. 又∵B′B ＝BA ，∠B′B M ＝∠BA Q ＝90°，B M ＝A Q ，∴△B′B M ≌△BA Q ， ∴∠M B′B ＝∠Q B M .而∠B′M B ＋∠M B′B ＝90°，从而∠B′M B ＋∠Q B M ＝90°，∴∠MH B ＝90°.故选A. 3.如图，在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△P AB 和△P AD 都是等边三角形，则异面直线CD 与P B 所成角的大小为( ) A.90° B.75° C.60° D.45°【答案】 A【解析】如图，过点B 作直线B E ∥CD ，交DA 的延长线于点E ，连接PE .∴∠P B E (或其补角)是异面直线CD 与P B 所成角.∵△P AB 和△P AD 都是等边三角形，∴∠P AD ＝60°，DA ＝P A ＝AB ＝P B ＝A E ，∴∠P A E ＝120°.设P A ＝AB ＝P B ＝A E ＝a ，则PE ＝3a .又∠ABC ＝∠BAD ＝90°，∴∠BA E ＝90°，∴B E ＝2a ，∴在△P B E 中，P B 2＋B E 2＝PE 2，∴∠P B E ＝90°.即异面直线CD 与P B 所成角为90°.故选A.4.已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线B E 与CD 1所成角的余弦值为( )A.1010B.15C.31010D.35【答案】C【解析】如图，连接BA 1,因为BA 1∥CD 1，所以∠E B A 1是异面直线B E 与CD 1所成角，设AB ＝1,则112,1,5EB A E A B ===,作EF ⊥BA 1, 115A E AB EF A B ⋅==35FB =∠E B A 1310.选C.5. 如图，三棱锥P —ABC 中， P C ⊥平面ABC ，P C ＝AC ＝2，AB ＝BC ，D 是P B 上一点，且CD ⊥平面P AB, 则异面直线A P 与BC 所成角的大小； A.90°B. 60°C. 75°D.45°ABC DPE F【答案】B【解法】∵P C ⊥平面ABC ，⊂A B 平面ABC ， ∴P C ⊥AB ．∵CD ⊥平面P AB ，⊂A B 平面P AB ， ∴CD ⊥AB ．又C CD PC = ， ∴AB ⊥平面P CB ．过点A 作A F //BC ，且A F ＝BC ，连结PF ，C F ． 则 PAF ∠为异面直线P A 与BC 所成的角．由（Ⅰ）可得AB ⊥BC ，∴C F ⊥A F ，得PF ⊥A F ．则A F ＝C F ＝2，PF ＝6 CF PC 22=+，在PFA Rt ∆中， tan ∠P A F ＝26AFPF=＝3，∴异面直线P A 与BC 所成的角为60°．选B.6. 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形，AB EF 所在平面成60ο角,求异面直线AD 与B F 所成角的余弦值. A.42 B. 22 C. 23 D.3【答案】A 【解析】∵CB ∥AD, ∴∠CB F 为异面直线AD 与B F 所成的角.连接C F 、C E 设正方形ABCD 的边长为α,则B F ＝a 2∵CB ⊥AB, E B ⊥AB ∴∠C E B 为平面ABCD 与平面AB EF 所成的角,∴∠CB E ＝∠60ο ∴C E ＝a F C ＝a 2 ,∴cos ∠CB F ＝42,选A. 7. 如图，已知棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，且⊥1AA 面ABCD ， 60=∠DAB ，1AA AD =，F 为棱1AA 的中点，M 为线段1BD 的中点，则面1BFD 与面ABCD 所成二面角的大小． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°【答案】C【解析】 底面是菱形， BD AC ⊥∴ 又⊥B B 1 面ABCD ，⊂AC 面ABCD B B AC 1⊥∴，⊥∴AC 面11B BDD 又AC MF // ⊥∴MF 面11B BDD 延长F D 1、DE 交于点E ，F 是A A 1的中点且ABCD 是菱形AB AE DA ==∴ 又 60=∠DAB 90=∠∴DBE ∴BE B D ⊥1 BD D 1∠∴为所求角 在菱形ABCD 中， 60=∠DAB BD BC 3=∴ 3tan 11==∠BDDD BD D 601=∠∴BD D ,选C .8.在一个45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45°，则此直线与二面角的另一个面所成的角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【答案】A【解析】如图，二面角α－l －β为45°，AB β，且与棱l 成45°角，过A 作A O ⊥α于O ，作A H ⊥l 于H .连接OH 、O B ，则∠A HO 为二面角α－l －β的平面角，∠AB O 为AB 与平面α所成角．不妨设A H ＝2，在Rt △A OH 中，易得A O ＝1；在Rt △AB H 中，易得AB ＝2.故在Rt △AB O 中，sin ∠AB O ＝12AO AB =，∴∠AB O ＝30°，为所求线面角．选A. 二、填空题9. 如图所示，在正四面体S －ABC 中，D 为S C 的中点，则BD 与S A 所成角的余弦值是________．A BC DA 1B 1C 1D 1FMOE【答案】36【解析】取AC 中点E ，连接D E ，B E ，则BD 与D E 所成的角即为BD 与S A 所成的角．设S A ＝a ，则BD ＝B E ＝32a ，D E ＝2a .由余弦定理知cos ∠BD E ＝36.10. 如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小的正切为23，则该正四棱柱的高等于____________．【答案】22【解析】由题意得111122tan 223332DD DD DBD DD BD ∠==⇒=⇒=. 11. A 、B 是直二面角α－l －β的棱l 上的两点，分别在α，β内作垂直于棱l 的线段AC ，BD ，已知AB ＝AC ＝BD ＝1，那么CD 的长为【答案】3【解析】如图，由于此题的二面角是直角，且线段AC ，BD 分别在α，β内垂直于棱l ，AB ＝AC ＝BD ＝1，作出以线段AB ，BD ，AC 为棱的正方体，CD 即为正方体的对角线，由正方体的性质知， 222=1+1+1=3CD . 故填3．三、解答题12. 如图，三棱锥P —ABC 中， P C ⊥平面ABC ，P C ＝AC ＝2，AB ＝BC ，D 是P B 上一点，且CD ⊥平面P AB ．(1) 求证：AB ⊥平面P CB ；(2 求异面直线A P 与BC 所成角的大小；（3π） 【解析】(1) ∵P C ⊥平面ABC ，⊂A B 平面ABC ，∴P C ⊥AB ．∵CD ⊥平面P AB ，⊂A B 平面P AB ，P∴CD ⊥AB ．又C CD PC = ， ∴AB ⊥平面P CB ．(2) 过点A 作A F //BC ，且A F ＝BC ，连结PF ，C F ．则 PAF ∠为异面直线P A 与BC 所成的角．由（Ⅰ）可得AB ⊥BC ，∴C F ⊥A F ．由三垂线定理，得PF ⊥A F ．则A F ＝C F ＝2，PF ＝6 CF PC 22=+，在PFA Rt ∆中， tan ∠P A F ＝26AF PF =＝3， ∴异面直线P A 与BC 所成的角为3π．13.（2015安徽）如图所示，在多面体111A B D DCBA中，四边形11AA B B ，11,ADD A ABCD均为正方形，点E 为11B D的中点，过点1A ，D ，E 的平面交1CD 于点F .（1）求证：1//EF B C ；(2)求二面角11EA DB ﹣﹣余弦值.【解析】（1）证明：由题可得1//AD B C ，又因为1A D ⊄平面11B CD ，1B C ⊂平面11B CD ，所以1//A D 平面11B CD ．又平面1A DEF平面11B CD EF =，所以1//A D EF ．又因为11//A D B C ，所以1//EF B C ．（2）将原图形补全成正方体，如图所示，则平面1A CD 即为平面1A EFD ，所以求二面角11E A D B --的余弦值可以转化为求二面角111C A D B --的余弦值。
两条直线垂直ab的关系
两条直线垂直ab的关系
1、直线a和直线b相互垂直，那么，这两条直线相交所成的角，一定都是直角。
两条直线相交，形成四个角，当这四个角都是直角时，就说这两条直线相互垂直。
2、两直线垂直一般式公式：A1A2+B1B2=0.直线一般式方程适用于所有的二维空间直线。
它的基本形式是Ax+By+C=0（A，B不全为零）。
3、直线一般式方程适用于所有的二维空间直线。
它的基本形式是Ax+By+C=0（A，B不全为零）。
因为这样的特点特别适合在计算机领域直线相关计算中用来描述直线。
4、直线的一般式方程能够表示坐标平面内的任何直线。
同位角、内错角、同旁内角(含问题详解)
1.1 同位角、错角、同旁角◆目标指引1．经历观察、比较、动手操作等过程，培养识图能力和思维能力．2．体会两条直线被第三条直线所截产生的同位角、错角、同旁角概念．3．会识别两条直线被第三条直线所截产生的同位角、错角、同旁角．4．培养由较复杂的图形中分解出简单的、基本图形的能力．◆要点讲解1．两条直线被第三条直线所截时，构成了八个角，简称“三线八角”．2．两条直线被第三条直线所截时，•要分清是哪两条直线被哪一条直线所截（即第三条直线）．3．每对同位角（或错角或同旁角）的四条边仅涉及三条直线，•两个角的边涉及的同一条直线就是截其余两条直线的“第三条直线”，其余涉及的两条即为被截的两条直线． 4．通过一定数量的变式图形的辨认，大量正反例子的辨认来形成同位角、•错角、同旁角的正确认识．◆学法指导1．在被截两条直线的同一方向，•在截线（即第三条直线）的同一侧的一对角为同位角；在被截两条直线之间，在截线（即第三条直线）的两侧的一对角为错角；在被截两条直线之间，在截线（即第三条直线）的同一侧的一对角为同旁角．2．在同位角、错角、•同旁角中的“同”指在被截两条直线的同一方向或截线（即第三条直线）的同一侧：“”指被截两条直线之间；“错”指在截线（即第三条直线）的两侧． 3．同位角的形状像英文字母“F”；错角的形状像英文字母“Z”；•同旁角的形状像英文字母“C”或“n”．4．同位角、错角、•同旁角都是两条直线被第三条直线所截形成的没有公共顶点的一些所对的角．如果两角由四条直线构成（即它们没有公共截线），那么肯定既不是同位角，也不是错角、同旁角．5．对于有些较复杂的图形，刚开始识别时有一定困难，•解决这一困难的有效措施是：将指定的三条直线用有色笔描出来，突出研究截线，再去辩认角．若图形不标准，可根据情况把线段（或射线）向两边（或一边）作适当延长．例题分析【例1】如图所示，∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4•分别是哪两条直线被哪一条直线所截而成的？它们是同位角、错角、同旁角中的哪一类角？【分析】由于∠1和∠4的公共边是BD，则BD为截线，AB，CE为被截直线，且∠1•和∠4在BD同一侧，在AB和CE的同一方向，∠2和∠3的公共边是AC，则AC为截线，CE，AB为被截直线，且∠2和∠3在AC的两侧，在AB和CE之间．∠3和∠4的公共边是AB，则AB为截线，AC、BC为被截直线，且∠3和∠4在AB的同一侧，在BC和AC之间．【解】∠1和∠4是直线AB和CE被直线BD所截而成的同位角．∠2和∠3是直线AB和CE被直线AC所截而成的错角．∠3和∠4是直线AC和BC被直线AB所截而成的同旁角．【注意】识别同位角、错角、同旁角的方法是：首先分清“两条直线”和“第三条直线”，再用“两条直线”分外，“第三条直线”分两旁来确定每一个角的位置．【例2】如图所示，直线DE交射线BA和BC于点E和D，请找出∠1•的同位角与∠B的同旁角．【分析】∠1的同位角应与∠1有一条公共边DE或BC，若公共边是DE，则DE是截线，BA和BC是被截两线．此时在直线DE同一侧，在直线BA和BC同一方向的角是∠5；•若公共边是BC，则BC为截线，DE和BA为被截两线，此时在BC同一侧，DE和BA同一方向的角是∠B．同理，∠B的同旁角也有两个．【解】∠1的同位角是∠5与∠B．∠B的同旁角是∠2与∠3．【注意】（1）三条线两两相交，任何一条线都可以看作是截线，•而其余两条为截线，故需要分类讨论．（2）找同位角、错角、同旁角应根据图形特点找出与角有关的线，•剔除与相关的角无联系的线．（3）若图形不标准，•可视情况把线段（或射线）向两边（或一边）延长或者剔除一部分线段．【例3】平行线EF、MN与两相交直线AB、CD相交成如图的图形．请你找出图中共有多少对同旁角？【分析】因为每一个“三线八角”基本图形中都有2对同旁角，从图中可以分解出下列4类基本图形（图1，图2，图3，图4）．图1 图2图3 图4对于图1，三条直线AB、CD、EF两两相交，找同旁角时，有三种情形：•两直线AB和CD被第三条直线EF所截；两直线AB和EF被第三条直线CD所截；两直线CD和EF被第三条直线AB所截．因此，对于图1，可分解出三个基本图形，每个基本图形有2对同旁角，共有6对同旁角．类似地，对图2，也可分解出三个基本图形，共有6对同旁角．对于图3，由于EF和MN两直线平行，所以只有这一个基本图形，从而有2•对同旁角．类似地，对于图4，也只有2对同旁角．【解】图中共有16对同旁角．【注意】将复杂的图形分解为基本图形，是解决几何问题的重要方法．◆练习提升一、基础训练1．如图所示，AB、CD分别交EF于G、M，GH、MN分别与AB、CD交于G、M，•有下列结论：①∠1与∠4是同位角；②∠2与∠5是同位角；③∠EGB与∠GMD是同位角；④∠3与∠4是同旁角．其中正确的结论个数有（）A．4个 B．3个 C．8对 D．12对3．下图中，∠α和∠β不是同位角的是（）A B C D4．如图所示，E是BC延长线上一点，则直线AB和CD被AC所截而成的错角是（）A．∠2与∠3 B．∠1与∠4 C．∠D与∠5 D．∠1与∠ACE(第4题) (第5题)5．如图所示，已知直线MN分别交AB、AC于点D、E．（1）直线DE和BC被AB所截而成的同位角是______，同旁角是______．（2）∠2与∠6是直线_____和_____被直线_____所截而成的错角．（3）∠A与∠3是直线_____和_____被直线_____所截而成的_______．6．如图所示，回答下列问题：（1）∠1和∠B构成什么角？（2）∠2和∠A构成什么角？（3）∠B和哪些角构成同旁角？7．如图所示，直线a和直线b被直线L所截而成的同位角、错角、同旁角分别有多少对？请写出这些同位角、错角、同旁角．8．如图所示，BD是四边形ABCD的对角线，E是CD延长线上一点．（1）∠1与∠2是哪两条直线被哪条直线所截得的什么角？（2）AB和CD被BD所截，其错角是哪一对角？9．如图所示，若以AB、CD为两条被截直线，那么第三条直线有几种可能？•都出现什么角？分别写出来．10．如图所示，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的一点，连结DE、•EF．（1）∠1和∠2是哪两条直线被哪一条直线所截得的什么角？（2）∠1和∠B是哪两条直线被哪一条直线所截得的什么角？∠EFC和∠C呢？二、提高训练11．下列图中，∠1与∠2不是同旁角的是（）12．如图所示，下列判断正确的是（）A．4对同位角，4对错角，2对同旁角B．4对同位角，4对错角，4对同旁角C．6对同位角，4对错角，4对同旁角D．以上判断都不对13．如图所示，直线a∥b∥c，则图中共有错角（）A．4对 B．6对 C．8对 D．10对14．如图所示，直线DE和BC被直线AB所截．（1）∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4各是什么角？（2）∠1与∠5是错角吗？（3）如果∠1=∠4，那么∠1=∠2呢？∠1和∠3互补吗？为什么？15．如图所示，直线a、b被直线c所截，若∠1的同旁角等于60°56′，求∠1的错角的度数．三、拓展训练16．如图所示，如果与∠1成同位角的角的个数为a，与∠1成错角的角的个数为b，那么a、b的大小关系是：a_____b．（填“>”、“=”或“<”）(第16题) (第17(1)题) (第17(2)题) 17．（1）如图所示，直线a，b，c两两相交于A，B，C三点，则图中有______对对顶角；有______对同位角；有______对错角；______对同旁角．（2）如图所示，若四条直线两两相交于不同点，则图中有_____对对顶角；• 有______对同位角；有_____对错角；______对同旁角．（3）若n条直线两两相交于不同点，则图中有____对对顶角；有_____对同位角；有_____对错角；有_____对同旁角．答案:1．B 2．B 3．A 4．B5．（1）∠1和∠B，∠6和∠B （2）AB，AC，DE （3）•AB，•DE，AC，同位角6．（1）同位角（2）错角（3）∠3，∠A，∠BCD7．4对同位角：∠1•与∠6，∠4与∠5，∠2与∠8，∠3与∠7；2对错角：∠3与∠6，∠4与∠8；2对同旁角：∠4与∠6，∠3与∠88．（1）∠1与∠2是BC、AD被BD所截而成的错角．（2）∠ABD与∠BDC9．略（提示：分四种情况，第三条直线可能是AD，AC，CE或BC．）10．（1）∠1和∠2是AB，EF被DE所截得的错角（2）∠1和∠B是DE，BC•被AB•所截得的同位角；∠EFC和∠C是EF，EC被FC所截得的同旁角11．B 12．C 13．B14．（1）错角、•同旁角、同位角（2）不是（3）∠1=∠2，∠1+∠3=180°．理由略15．119°4′16．<17．（1）6，12，6，6 （2）12，48，24，24（3）n（n-1），2n（n-1）（n-2），n（n-1）（n-2），n（n-1）（n-2）（提示：三条直线两两相交共有3个三线八角的基本图形，•四条直线两两相交于不同点共有12个三线八角的基本图形，n条直线两两相交于不同点共有12n（n-1）（n-2）个三线八角的基本图形，而每个三线八角基本图形有4对同位角，2对错角，2对同旁角）。
异面直线所成的角公式
异面直线所成的角公式
异面直线，也叫做垂直直线，指的是两条互相垂直、不平行的直线。
异面直线有一个重要的作用，那就是它们可以定义一个角。
一条线与一个平面上的两条线构成的角被称为锐角。
异面直线所构成的角的公式是：角度θ= 90° 。
这个公式告诉我们，任何两条垂直直线之间所形成的角都是90°。
所以，只要两条直线是垂直的，就可以构成一个90°锐角，也就是一个直角。
直角在数学、几何和微积分中非常常见，它在建筑、机械、电子、消防及绘图中也有着广泛的应用。
直角的含义是可以拆分为两个90°的角度，两条直线可以垂直的切割，在很多图表中直角比较有意义，并且有助于达到更好的完美。
垂直直线的公式表明，两条互相垂直的线可以构成90°的角，这种角就叫直角，它可以在数学、几何和微分学中作为一种特殊的角。
它有着广泛的应用，并且也在图表中发挥着重要作用。
异面直线所成角公式
异面直线所成角公式
异面直线所成角是指两条直线在同一平面内，但并不重合，且有一个交点的角度。
这种角度可以用以下公式来计算：
所成角（°）= 180° - 倾斜角1 - 倾斜角2
其中，倾斜角1和倾斜角2分别表示两条直线的倾斜角度。
注意，倾斜角是指直线与水平面的夹角，一般情况下，倾斜角的取值范围是0°~90°。
举个例子，如果有两条直线，倾斜角分别为30°和45°，那么它们所成角的大小就可以用以下公式计算：
所成角（°）= 180° - 30° - 45° = 105°
总之，异面直线所成角是指两条直线在同一平面内，但并不重合，且有一个交点的角度，可以使用以上公式来计算。
两直线相交对顶角相等的推导过程
两直线相交对顶角相等的推导过程一、引言在几何学中，我们常常会遇到两条直线相交的情况。
而当两条直线相交时，它们所形成的四个角中，对面的两个角被称为对顶角。
在这篇文章中，我们将探讨当两条直线相交时，对顶角相等的推导过程。
二、定义在开始推导之前，我们需要先明确一些几何术语的定义：1. 直线：没有端点的无限延伸的路径。
2. 角：由两条射线共享一个端点所形成的图形。
3. 对顶角：当两条直线相交时，它们所形成的四个角中，对面的两个角被称为对顶角。
三、推导过程现在我们开始探讨当两条直线相交时，对顶角相等的推导过程。
1. 假设有两条直线AB和CD相交于点O，并且∠AOC和∠BOD是对顶角。
2. 我们可以画一条经过点O并且垂直于AB和CD的直线OE。
这样就可以将∠AOC和∠BOD分别划分为∠AOE、∠COE和∠BOE、∠DOE两个小角度。
3. 根据垂直平分线定理可知，在一个平面内，如果有一条直线与另外两条垂直相交，那么它将把这两条直线所形成的角度平分成相等的两个部分。
因此，∠AOE和∠COE以及∠BOE和∠DOE都是相等的。
4. 根据角的加法原理可知，∠AOC = ∠AOE + ∠COE，而∠BOD = ∠BOE + ∠DOE。
由于∠AOE = ∠BOE和∠COE = ∠DOE，因此我们可以得出结论：∠AOC = ∠BOD。
四、总结通过以上推导过程，我们可以证明当两条直线相交时，对顶角是相等的。
这个结论在几何学中有着重要的应用，并且也为我们理解其他几何定理提供了基础。
五、延伸应用1. 在三角形中，如果一条边上的一个点向另一边引垂线，则所形成的两个角是对顶角。
2. 在平行四边形中，对顶角互为补角。
3. 对顶角定理也可以被推广到三维空间中。
当两个平面相交时，它们所形成的对顶角也是相等的。
线面、面面平行和垂直的八大定理-平面八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理-平面八大定理
一、直线面平行定理
定理：如果两条直线平行，那么任何一个由两条直线夹成的角都是相等的。
证明：设直线AR、AB为两直线，角A、A’R为AR与AB所成角，角A’B为AB与AR
所成角，设AR ∥ AB，则知AR与AB所成的角A = A’B（因两条直线平行），∴角A＝
A’R，证毕。
证明：设平面Alpha、Beta为两个平面，角α为Alpha与Beta所成角，角β为
Beta与Alpha所成角，设Alpha ∥ Beta，则β＝α（因两个平面平行），∴角β＝α，证毕。
证明：设直线AB与平面S、T垂直，则知AB∥S；AB∥T；∴S∥T，证毕。
结论：当直线与两个不同的平面都垂直时，两个平面一定是平行的。
这就是平面八大定理。
它揭示了直线与平面之间的相互关系，也提供了重要的绘画几
何图形的基础。
【高中数学】高中数学知识点：异面直线所成的角
【高中数学】高中数学知识点：异面直线所成的角异面直线所成角的定义：直线a和B是具有不同平面的直线。
如果它们通过空间中的任意点O并分别引导直线a′和B′B，则直线a′和B′形成的锐角（或直角）称为直线a和B与不同平面形成的角，如下图所示。
两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。
在不同平面上直线形成的角度定义中，空间中的点O是可选的，与点O的位置无关。
求异面直线所成角的步骤：a、通过定义构造角度，一个可以固定，另一个可以平移，或者两个可以同时平移到特定位置，并且可以在特定位置选择顶点。
b、证明作出的角即为所求角；c、使用三角形来寻找角度。
特别提醒:（1）两条直线在不同平面上形成的角度与点O（平移后两条直线的交点）的选择无关(2)两异面直线所成角θ的取值范围是0<θ≤90．（3）判断空间中两条直线是不同平面直线的方法① 判断定理：平面外a点与平面内B点之间的连线与平面内的直线，但B点是不同的平面直线；② 相反的证明：不可能证明两条直线是共面的线线角的求法：（1）定义方法：使用“平移变换”使其成为两条相交直线形成的角度。
当不同平面上的直线垂直时，使用直线平面垂直度的定义或三垂线定理和逆定理来确定角度为90．(2)向量法：设两条直线所成的角为θ（锐角），直线l一和l二的方向向量分别为高中数学相关知识点：直线与平面的夹角直线与平面所成的角的定义：① 直线和平面形成三个角：a．斜线和平面所成的角：一条直线与平面α相交，但不和α垂直，这条直线叫做平面α的斜线．斜线与α的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面α内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．b、垂直线与平面之间的角度：如果直线与平面垂直，则它们形成的角度为直角。
c．一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为0零.② 取值范围：0≤ θ≤90．求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。
七年级下册数学书第五页内容
七年级下册数学书第五页内容第五章相交线与平行线1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补;相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。
性质是对顶角相等。
2、三线八角：对顶角(相等)，邻补角(互补)，同位角，内错角，同旁内角。
3、两条直线被第三条直线所截：同位角F(在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧)内错角Z(在两条直线内部，位于第三条直线两侧)同旁内角U(在两条直线内部，位于第三条直线同侧)4、两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。
5、垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足6、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
7、垂线段最短。
8、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
9、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
如果b//a,c//a,那么b//c10、平行线的判定：①同位角相等，两直线平行。
②内错角相等，两直线平行。
③同旁内角互补，两直线平行。
11、推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
12、平行线的性质：①两直线平行，同位角相等;②两直线平行，内错角相等;③两直线平行，同旁内角互补。
13、平面上不相重合的两条直线之间的位置关系为_______或________14、平移：①平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。
②对应点的线段平行且相等。
平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。
对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样两个点叫做对应点。
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两条直线所成的角
两条直线所成的角
一.教学目标
(一)知识教学点
一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式,两直线的夹角公式,能熟练运用公式解题．
(二)能力训练点
通过课题的引入,训练学生由特殊到一般,定性.定量逐层深入研究问题的思想方法;通过公式的推导,培养学生综合运用知识解决问题的能力．
(三)学科渗透点
训练学生由特殊到一般,定性.定量逐步深入地研究问题的习惯．
二.教材分析
1．重点:前面研究了两条直线平行与垂直,本课时是对两直线相交的情况作定量的研究．两直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直接得到,教学时要讲请l1.l2的公式的推导方法及这一公式的应用．
2,难点:公式的记忆与应用．
3．疑点:推导l1.l2的角公式时的构图的分类依据．
三.活动设计
分析.启发.讲练结合．
四.教学过程
(一)引入新课
我们已经研究了直角坐标平面两条直线平行与垂直的情况,对于两条相交直线,怎样根据它们的直线方程求它们所成的角是我们下面要解决的问题．
(二)l1到l2的角正切
两条直线l1和l2相交构成四个角,它们是两对对顶角．为了区别这些角,我们把直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角,叫做l1到l2的角．图1-27中,直线l1到l2的角是θ1,l2到l1的角是θ2(θ1+θ2=180°)．
l1到l2的角有三个要点:始边.终边和旋转方向．
现在我们来求斜率分别为k1.k2的两条直线l1到l2的角,设已知直线的方程分别是
l1∶y=k1_+b1 l2∶y=k2_+b2
如果1+k1k2=0,那么θ=90°,
下面研究1+k1k2≠0的情形．
由于直线的方向是由直线的倾角决定的,所以我们从研究θ与l1和l2的倾角的关系入手考虑问题．
设l1.l2的倾斜角分别是α1和α2(图1-32),甲图的特征是l1到l2的角是l1.l2和_轴围成的三角形的内角;乙图的特征是l1到l2的角是l1.l2与_轴围成的三角形的外角．
tgα1=k1,tgα2=k2．
∵θ=α2-α1(图1-32),
或θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1),
∴tgθ=tg(α2-α1)．
或tgθ=tg[π(α2-α1)]=tg(α2-α1)．
可得
即
eq \_( )
上面的关系记忆时,可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆．
(三)夹角公式
从一条直线到另一条直线的角,可能不大于直角,也可能大于直角,但我们常常只需要考虑不大于直角的角(就是两条直线所成的角,简称夹角)就可以了,这时可以用下面的公式
(四)例题
解:k1=-2,k2=1．
∴θ=arctg3≈71°34′．
本例题用来熟悉夹角公式．
例2 已知直线l1: A1_+B1y+C1=0和l2:
A2_+B2y+C2=0(B1≠0.B2≠0.A1A2+B1B2≠0),l1到l2的角是θ,求证:
证明:设两条直线l1.l2的斜率分别为k1.k2,则
这个例题用来熟悉直线l1到l2的角．
例3等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是_-2y-2=0,底边所在的直线l2的方程是_+y-1=0,点(-2,0)在另一腰上,求这腰所在直线l3的方程．
解:先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等,并且与两腰到底的角与底到另一腰的角相等,并且与两腰的顺序无关．
设l1.l2.l3的斜率分别是k1.k2.k3,l1到l2的角是θ1,l2到l3的角是θ2,则
．
因为l1.l2.l3所围成的三角形是等腰三角形,所以
θ1=θ2．
tgθ2=tgθ1=-3．
解得 k3=2．
因为l3经过点(-2,0),斜率为2,写出点斜式为
y=2[_-(-2)],
即 2_-y+4=0．
这就是直线l3的方程．
讲此例题时,一定要说明:无须作图,任一腰到底的角与底到另一腰的角都相等,要为锐角都为锐角,要为钝角都为钝角．
(五)课后小结
(1)l1到l2的角的概念及l1与l2夹角的概念;
(2)l1到l2的角的正切公式;
(3)l1与l2的夹角的正切公式;
(4)等腰三角形中,一腰所在直线到底面所在直线的角,等于底边所在直线到另一腰所在直线的角．
五.布置作业
1．(教材第32页,1．8练习第1题)求下列直线l1到l2的角与l2到l1的角: ∴θ1=45°．
l2到l1的角θ2=π-θ1=arctg3．
2．(教材第32页,1．8练习第2题)求下列直线的夹角:
∵k1·k2=-1,
∴l1与l2的夹角是90°．
(2)k1=1, k2=0．
两直线的夹角为45°．
∴l1与l2的夹角是90°．
3．(习题三第10题)已知直线l经过点P(2,1),且和直线5_+2y+3=0的夹角为45o,求直线l的方程．
即3_+7y-13=0或7_-3y-11=0．
4．等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是2_-y+4=0,底面所在的直线l2的方程是_+y-1=0,点(-2,0)在另一腰上,求这腰所在的直线l3的方程．
解:这是本课例3将l1与l3互换的变形题,解法与例3相同,所求方程为:
_-2y-2=0．六.板书设计。