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两直线的夹角
两直线的夹角
一 二.夹角的定义： 夹角的求法：
d2
d1
2 1
d d θ 1.余弦形式： 平面上两条直线相交时，构成了四个角。它们 θ 是两对对顶角。规定两条直线相交成的锐角（或直 L1 :a1x b1y c1 0 角）称为两直线的夹角。
如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0 设 L1 ， L2的 夹 角 为 α 。直线L 1 ， L2的 一 个 方 向 向 量 夹角的范围：[00 , 900] y 分别为： d1 ( b1 ,a1 ),d2 ( b 2 ,a 2 )y则 L2： L1 L1 π L2 α ； (1)若d1 ,d2夹角为θ [0 ， ]，则：α＝ α 2 x x π O O (2)若d1 ,d2夹角为θ ( , π)，则：α＝π -. 2 a1a 2 b1b 2 cosα ……夹角公式的余弦形式 2 2 2 2 a 1 b1 a 1 b 1
D A(- 5,3) B(0,6) B1
0
P(x,0)
C(0,2) C C O x O L B O O A(1,-2) B
x L xx
练习： 1.已 知 直 线 1 L ： 3x y 4 0 ,L 2 : mx 4y 7 0, 当m
0 为 何 值 时 ，1 L 与 L2夹 角 为 45 。
若直线L ，L2的斜率分别为k k2 (k1 k2 1) 1 1,
则： α＝θ θ 2 1
或： α＝π (θ θ 1 2)
x
O
k 2 k1 tanα 1 k 2 k1
……夹角公式的正切形式
π 注：当 k1 k 2＝ 1时，α＝ 。 2
例 2.已 直 线 L过 点 P（ 角 2 ， 3） ， 且另 与 直线 L ： x 3y 例5.已知B（0，6 ），C（0，2），在 x轴的负半轴上求 4.已知 知 正 方 形 AB CD的 对 角 线 AC在 直 线 x 2y 1 0 2 0 3.等 腰 RtΔ AB C的 直 顶 点 C和 一 点 B都 在 直 线 0 π 一点P，使 BPC最大，并求出最 大值。 上 ， 且 A（ 5， ， 3） ， 1， B（ m ,0） (m AB， 5), 求 顶 点 y B， C， 2x 3y 6 0上 A（ 2） ， 求 AC所 在 的 夹 角 为 ， 求 直 线 L的 方 程 。 y y y 3。 D的 直 线坐 的标 方 程 P(2, 3 ) L
一 二.夹角的定义： 夹角的求法：
d2
d1
2 1
d d θ 1.余弦形式： 平面上两条直线相交时，构成了四个角。它们 θ 是两对对顶角。规定两条直线相交成的锐角（或直 L1 :a1x b1y c1 0 角）称为两直线的夹角。
如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0 设 L1 ， L2的 夹 角 为 α 。直线L 1 ， L2的 一 个 方 向 向 量 夹角的范围：[00 , 900] y 分别为： d1 ( b1 ,a1 ),d2 ( b 2 ,a 2 )y则 L2： L1 L1 π L2 α ； (1)若d1 ,d2夹角为θ [0 ， ]，则：α＝ α 2 x x π O O (2)若d1 ,d2夹角为θ ( , π)，则：α＝π -. 2 a1a 2 b1b 2 cosα ……夹角公式的余弦形式 2 2 2 2 a 1 b1 a 1 b 1
D A(- 5,3) B(0,6) B1
0
P(x,0)
C(0,2) C C O x O L B O O A(1,-2) B
x L xx
练习： 1.已 知 直 线 1 L ： 3x y 4 0 ,L 2 : mx 4y 7 0, 当m
0 为 何 值 时 ，1 L 与 L2夹 角 为 45 。
若直线L ，L2的斜率分别为k k2 (k1 k2 1) 1 1,
则： α＝θ θ 2 1
或： α＝π (θ θ 1 2)
x
O
k 2 k1 tanα 1 k 2 k1
……夹角公式的正切形式
π 注：当 k1 k 2＝ 1时，α＝ 。 2
例 2.已 直 线 L过 点 P（ 角 2 ， 3） ， 且另 与 直线 L ： x 3y 例5.已知B（0，6 ），C（0，2），在 x轴的负半轴上求 4.已知 知 正 方 形 AB CD的 对 角 线 AC在 直 线 x 2y 1 0 2 0 3.等 腰 RtΔ AB C的 直 顶 点 C和 一 点 B都 在 直 线 0 π 一点P，使 BPC最大，并求出最 大值。 上 ， 且 A（ 5， ， 3） ， 1， B（ m ,0） (m AB， 5), 求 顶 点 y B， C， 2x 3y 6 0上 A（ 2） ， 求 AC所 在 的 夹 角 为 ， 求 直 线 L的 方 程 。 y y y 3。 D的 直 线坐 的标 方 程 P(2, 3 ) L
高二数学两条直线的夹角
A1A2+ B1B2
例3.等腰三角形一腰所在直线l1 的
方程是 x -2y –2=0 ，底边所在直线
l2 的方程是 x+y –1=0，点（- 2，0）
在另一条腰上，求这条腰所在直线
l3 的方程.
（图见黑板）
α的取值范围是（ 0，π2].
直线 l1：y = k1 x +b 1 、l2： y =
k2 x +b 2 ，的夹角为α，
若 1+k1 k2= 0时，α=
π
2
；
若 1+k1 k2≠ 0时，
பைடு நூலகம்
tanα=
k2 - k1 1+k2 k 1 .
约生长排列着五彩斑斓、风流寒酸的如同毒虫般的低矮植物和沉甸甸，轻飘飘，飘悠悠的怪异瓜果……两列高高的黑豹模样的闪着灵光的花柱在怪物丛中突兀而立，只 见从闪着灵光的花柱顶部垂下缕缕簇簇弧光般的光影，看上去仿佛深红色的流星伴随着深黄色的幻境飘飘而下……大道左侧不远处是一片乳白色的雪山，雪山旁边紫、 黑、红三色相交的林带内不时出现闪动的异影和怪异的叫声……大道右侧远处是一片水绿色的绿地，那里似乎还跳跃着一片墨灰色的风梅树林和一片纯蓝色的云榕树林 ……见有客到，随着一阵不易察觉的声响，大道两旁亮灰色的闪月钢基座上，正在喧闹的雾狗神和玉鹅魔立刻变成了一个个凝固的雕像……这时，静静的泉水也突然喷 出一簇簇、一串串直冲云霄的五光十色的钻石般的水柱和水泡般的水花……突然，满天遍地飞出数不清的彗星，顷刻间绚丽多姿的彗星就同时绽放，整个大地和天空立 刻变成了怪异的海洋……空气中瞬间游动出神奇的幽光之香……飞进主楼巍巍的淡橙色莲花形前门，无比空阔豪华的大厅让人眼前一亮，扑面而来的空气飘散着一种极 稀有的清亮幽香并能传出动听风声，这让人感觉有些迷茫怪异……大厅前方三尊超大的紫宝石色翡翠坐姿神像神态诡秘地笑着，好像想出了一个得意的妙计。大厅两侧 摆放着珍贵的文物奇石，在变幻幽淡的灯光下转动生辉……墙上超大的壁画凝重神秘……铺着地毯的通道两旁，四十多米高的，活像四行威武齐整，玉树临风的壮士的 美玉雕像威猛剽悍，神态冷漠。雕像之间八十多米高的，巨盆的葱绿色的秋角鼓锤形的霞虹奇花，肃穆而淡雅……抬头看去，大厅顶部上亿颗焰火雾淞般的梦幻吊灯， 把大厅装点得分外辉煌。大厅正面中央的宝座上仍然坐着主考官Ｙ．依佛奇兹首相两旁还是坐着那些副考官和监考官！一阵的钟声响过，主考官Ｙ．依佛奇兹首相站起 身来，然后看着蘑菇王子和知知爵士问道：“你们两个准备好没有？”蘑菇王子答道：“我们准备好了！”主考官Ｙ．依佛奇兹首相大声道：“那就开始吧！”Ｙ．依 佛奇兹首相刚刚说完，就见银橙色个穿着银橙色圣牛圣牛衣的司仪官同时用手朝空中一指，随着五道闪光，整个大厅像菊花一样展开怒放，然后纷纷向远方退去，逐渐 消失在地平线之下……接着只见一座几乎无底透明、正在凌空摇曳的巨大草根形运动场，发疯般地在蘑菇王子和知知爵士的脚下展现出来，而悬空摇曳的巨大运动场下 面竟然是一片壮丽空幽、清凉中有些温润的青远山色河滩！悬浮在半空的考场宏大巍峨、气势非凡，整个考场由八十座水滴形的青兰花色大型看台和一个东西长五公里 ，南北长六公
例3.等腰三角形一腰所在直线l1 的
方程是 x -2y –2=0 ，底边所在直线
l2 的方程是 x+y –1=0，点（- 2，0）
在另一条腰上，求这条腰所在直线
l3 的方程.
（图见黑板）
α的取值范围是（ 0，π2].
直线 l1：y = k1 x +b 1 、l2： y =
k2 x +b 2 ，的夹角为α，
若 1+k1 k2= 0时，α=
π
2
；
若 1+k1 k2≠ 0时，
பைடு நூலகம்
tanα=
k2 - k1 1+k2 k 1 .
约生长排列着五彩斑斓、风流寒酸的如同毒虫般的低矮植物和沉甸甸，轻飘飘，飘悠悠的怪异瓜果……两列高高的黑豹模样的闪着灵光的花柱在怪物丛中突兀而立，只 见从闪着灵光的花柱顶部垂下缕缕簇簇弧光般的光影，看上去仿佛深红色的流星伴随着深黄色的幻境飘飘而下……大道左侧不远处是一片乳白色的雪山，雪山旁边紫、 黑、红三色相交的林带内不时出现闪动的异影和怪异的叫声……大道右侧远处是一片水绿色的绿地，那里似乎还跳跃着一片墨灰色的风梅树林和一片纯蓝色的云榕树林 ……见有客到，随着一阵不易察觉的声响，大道两旁亮灰色的闪月钢基座上，正在喧闹的雾狗神和玉鹅魔立刻变成了一个个凝固的雕像……这时，静静的泉水也突然喷 出一簇簇、一串串直冲云霄的五光十色的钻石般的水柱和水泡般的水花……突然，满天遍地飞出数不清的彗星，顷刻间绚丽多姿的彗星就同时绽放，整个大地和天空立 刻变成了怪异的海洋……空气中瞬间游动出神奇的幽光之香……飞进主楼巍巍的淡橙色莲花形前门，无比空阔豪华的大厅让人眼前一亮，扑面而来的空气飘散着一种极 稀有的清亮幽香并能传出动听风声，这让人感觉有些迷茫怪异……大厅前方三尊超大的紫宝石色翡翠坐姿神像神态诡秘地笑着，好像想出了一个得意的妙计。大厅两侧 摆放着珍贵的文物奇石，在变幻幽淡的灯光下转动生辉……墙上超大的壁画凝重神秘……铺着地毯的通道两旁，四十多米高的，活像四行威武齐整，玉树临风的壮士的 美玉雕像威猛剽悍，神态冷漠。雕像之间八十多米高的，巨盆的葱绿色的秋角鼓锤形的霞虹奇花，肃穆而淡雅……抬头看去，大厅顶部上亿颗焰火雾淞般的梦幻吊灯， 把大厅装点得分外辉煌。大厅正面中央的宝座上仍然坐着主考官Ｙ．依佛奇兹首相两旁还是坐着那些副考官和监考官！一阵的钟声响过，主考官Ｙ．依佛奇兹首相站起 身来，然后看着蘑菇王子和知知爵士问道：“你们两个准备好没有？”蘑菇王子答道：“我们准备好了！”主考官Ｙ．依佛奇兹首相大声道：“那就开始吧！”Ｙ．依 佛奇兹首相刚刚说完，就见银橙色个穿着银橙色圣牛圣牛衣的司仪官同时用手朝空中一指，随着五道闪光，整个大厅像菊花一样展开怒放，然后纷纷向远方退去，逐渐 消失在地平线之下……接着只见一座几乎无底透明、正在凌空摇曳的巨大草根形运动场，发疯般地在蘑菇王子和知知爵士的脚下展现出来，而悬空摇曳的巨大运动场下 面竟然是一片壮丽空幽、清凉中有些温润的青远山色河滩！悬浮在半空的考场宏大巍峨、气势非凡，整个考场由八十座水滴形的青兰花色大型看台和一个东西长五公里 ，南北长六公
【数学课件】两条直线的位置关系---夹角
k3 1 1 k3
因为L1、L2、L3所围成的三角形 是等腰三角形，所以θ1=θ2
∴tanθ2=tanθ1= －3
k3 1 3 1 k3
解得 k3 =2 y=2 [ x－（－2）]
即2x－y+4 = 0
∴L3的方程是：2x－y+4 = 0
小 结：
1、L1到L2的角和L1与L2的夹角的定义； “到角有序，夹角无序”
或θ=π-（α1－α2）=π+（α2－α1）
∴tanθ=tan（α2－α1）或tanθ=tan π+（α2－α1） =tan（α2－α1）
tan tan2 tan1 k2 k1 1 tan2 tan1 1 k1k2
直线L1到L2的角公式：
tan k2 k1
2、求下列两条直线的夹角： ⑴y=3x－1，y=－1/3 ·x+4 （900）
⑵x－y=5；y=4，
（450）
⑶y=2x+1 ; x=2
(π/2-arctan2)
注意！！
求两条直线的到角和夹角的步骤：
1、看两直线的斜率是否都存在； 2、若都存在，看两直线是否垂直； 3、若两直线斜率都存在且不垂直
用公式求。
L1 L1
L2
是哪一条 呢？
A
一、直线L1到L2的角：
直线L1按逆时针方向旋转到与L2重合时所转的角，
叫做L1 到 L2的角。 图中θ1是L1到L2的角， θ2是L2到L1的角。
1 2
到角的范围：
0,
注 意
到角具有方向性！
θ2 θ1
L2 L1
做一做：
如图：德州市在城市建设中，需过A地修一 条道路L1与原有的高速公路L2连接，且与高速公 路成45度的角。由于设计者疏忽，在图纸上没有 标出L1，你能否在图纸上将L1标出，以使工程能 正常进行？
高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 课件
11.3 两条直线的夹角
我们已经学习了两直线的位置关系有 平行、重合和相交。当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置 关系呢？
1、两条直线的夹角的定义
问题
2、求两条直线的夹角
系数确定直线的方程，方程确定直线及其位置， 所以可以利用方程系数来计算夹角。
例1
例2
例3
为你制造一些困难和障碍的人未必是你的敌人，把你从困境里拉出来的人未必是你的朋友。不要用眼前的利益得失看人，要看长远，所谓路遥 知马力，日久见人心！
身体健康，学习进步！ 漫无目的的生活就像出海航行而没有指南针。
合理安排时间，就等于节约时间。——培根 书都读得来的人，还怕有什么做不来的。 能说不能做，不是真智慧。 一分耕耘，一分收获。孩子们，你想明天收获幸福吗？那今天就努力学习吧。——刘玉春
小结
本节课学习了哪பைடு நூலகம்内容？
萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。 小时候画在手上的表没有动，却带走了我们最好的时光。 你身边总有这样一种人：你成功了，他（她）当面恭喜你，暗地里妒嫉你；你失败了，他（她）当面安慰你，背地里笑话你。 通过云端的道路，只亲吻攀登者的足迹。 君子赠人以言，庶人赠人以财。——荀况 我的财富并不是因为我拥有很多，而是我要求的很少。 要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃 时间总会过去的，让时间流走你的烦恼吧！ 这个是世界上没有天才，所谓的天才只是比普通人多了百分之一的天赋。如果这个天赋运用不好，那么他就可能变成百分之十的累赘。 如果要给美好人生一个定义，那就是惬意。如果要给惬意一个定义，那就是三五知己、谈笑风生。 世上的事，不如己意者，那是当然的。 生命假如给予你的是一颗柠檬，不要抱怨，下工夫把它榨成一杯柠檬汁吧。 当你被压力压得透不过气来的时候，记住，碳正是因为压力而变成闪耀的钻石。 愚痴的人，一直想要别人了解他。有智慧的人，却努力的了解自己。
两条直线的 夹角
θ的取值范围是（0,π）.
设l1 到l2 的角是θ1， l2到 l1的角是θ2，
则θ1与θ2不一定相同，它们的关系是：
θ1+θ2= π其中θ1，θ2∈（0， π）
直线l1的斜率存在而直线l2的斜率不存在
y l2 l1
y l1
l2
1
1
2
o
x
1
2 o
1 x
1
2
1
1
2
1
求“两条直线的夹角 ”
l2
l1
l1
l2
设直线 l1：y = k1 x +b 1 、l2： y = k2 x +b2 ，
的夹角为α， l1 到l2 的角是θ1， l2到 l1的角
是θ2 若 若
1+k1 1+k1
k2= k2≠
0时， 0时，
2
1
2
tg1
k2 1
k1 k2k1
l2
:
y
x
1 5 0 l2 : 2x 3y 1 0
(3) l1 : x 5 0
l2 : 2x 4y 3 0
(4) l1 : 2 y 3 0
l2 : x 3y 2 0
例2、已知锐角△ABC的三边所在的 直线方程为：lAB:y=x+6; lBC:y=0; lCA:7x+4y-35=0,求△ABC 的三个内角。
1 ( 1) 1
8 11
26
tg 2
km k2 1 km k2
(
1 2
)
设l1 到l2 的角是θ1， l2到 l1的角是θ2，
则θ1与θ2不一定相同，它们的关系是：
θ1+θ2= π其中θ1，θ2∈（0， π）
直线l1的斜率存在而直线l2的斜率不存在
y l2 l1
y l1
l2
1
1
2
o
x
1
2 o
1 x
1
2
1
1
2
1
求“两条直线的夹角 ”
l2
l1
l1
l2
设直线 l1：y = k1 x +b 1 、l2： y = k2 x +b2 ，
的夹角为α， l1 到l2 的角是θ1， l2到 l1的角
是θ2 若 若
1+k1 1+k1
k2= k2≠
0时， 0时，
2
1
2
tg1
k2 1
k1 k2k1
l2
:
y
x
1 5 0 l2 : 2x 3y 1 0
(3) l1 : x 5 0
l2 : 2x 4y 3 0
(4) l1 : 2 y 3 0
l2 : x 3y 2 0
例2、已知锐角△ABC的三边所在的 直线方程为：lAB:y=x+6; lBC:y=0; lCA:7x+4y-35=0,求△ABC 的三个内角。
1 ( 1) 1
8 11
26
tg 2
km k2 1 km k2
(
1 2
)
两条直线的夹角(2020年整理).ppt
11.3-2两条直线的夹角
例2.已知直线l 经过点P(-2,1),与直线l0：3x-4y+5=0
的夹角为arccos 3 ，求直线l 的方程。 5
y
•P(2,1)
o
x
10:57:33
11.3-2两条直线的夹角
练习1
1.已知直线l经过原点，且与直线 y 3x 1
的夹角为
6
，求直线l的方程；
10:57:33
a2 + 12 ? 12 (- a)2
2
10:57:33
典型例题
11.3-2两条直线的夹角
例2.已知直线l 经过点P(-2,1),且与直线l0：3x-4y+5=0
的夹角为arccos 3 ，求直线l 的方程。
解:
5 1）直线斜率不存在时，验证知x+2＝0也满足题意;
2）当直线斜率存在时，设直线方程为y-1=k(x+2),
(3)l1 : y 3x 12,l2 : x y 0;
解：l1的方程化为一般式为：3x+y-12=0 根据 l1与l2的方程及两直线夹角公式可得:
cos 311 (1) 5
(1)2 32 12 (1)2 5
因为 0，,所2 以
arccos 5
5
即直线
10:57:33
l1和
l2的夹角为
为 l1与 l2的方向向量. 由向量的夹角公式得: cos
uur uur duur1 udur2
a1a2 b1b2
由cos cos
d1 d2
a12 b12 a22 b22
所以两直线的夹角公式: cos
a1a2 b1b2
问题:此时角 是唯一确定的吗?
两条直线的夹角
直线夹角 的大小. uur
uur
解:根据l1与l2的方程,取 d1 (b1, a1), d2 (b2, a2 )
为 l1与 l2的方向向量. 由向量的夹角公式得: cos
uur uur duur1 udur2
a1a2 b1b2
由cos cos
d1 d2
a12 b12 a22 b22
所以两直线的夹角公式: cos
典型例题
例1.求下列各组直线的夹角 ：
(2)l1 : 3x y 12 0,l2 : x 0;
解：（2）根据l1与l2的方程及两直线夹角公式可得:
cos 311 0 3 10
(1)2 32 12 02 10
因为 0，,所2 以
arccos 3 10
10
即直线
l1 和
l2 的夹角为
p
cos a =
= 0, \ a =
a2 + 12 ? 12 (- a)2
2
05:21:23
典型例题
例2.已知直线l 经过点P(-2,1),且与直线l0：3x-4y+5=0
的夹角为arccos 3 ，求直线l 的方程。
解:
5 1）直线斜率不存在时，验证知x+2＝0也满足题意;
2）当直线斜率存在时，设直线方程为y-1=k(x+2),
三、两直线夹角公式的推导 uur uur
两直线 l1、l2的夹角为 ;方向向量 d1、d2的夹角为
若 时: 若 为钝角时:
2
d1
于是得:cos cos
y
yd1
d2
d2
l2
d
x
2
l2
x
d1
o l1
直线与直线的夹角
角度计算
通过测量直线与直线的夹 角，可以计算其他角度， 如三角形中的角度、多边 形的内角和等。
空间几何
在三维空间中，直线与直 线的夹角是确定物体位置 和方向的重要参数，如方 向向量、法向量等。
建筑学中的夹角
建筑设计
建筑师在设计中会考虑到结构稳 定性、美观性和功能性，而直线 与直线的夹角是影响这些因素的
垂直线的夹角
总结词
垂直线之间的夹角为90度。
详细描述
当两条直线垂直时，它们之间的夹角为90度。这是因为垂直线与水平线垂直，形成直角，所以它们的 夹角为90度。
特殊角度的直线夹角
总结词
当两条直线之间的夹角为45度或135度时，它们是特殊角度的直线夹角。
详细描述
当两条直线之间的夹角为45度或135度时，它们形成特殊的直线夹角。这些角 度在几何学中具有特殊性质，常常用于解决几何问题或构造特殊的图形。
利用几何定理计算夹角
总结词
几何定理提供了一种直观的方式来计算直线与直线的夹角。这种方法通常适用于二维平 面上的直线。
详细描述
我们可以使用几何定理中的“角平分线定理”来计算夹角。这个定理告诉我们，如果一 条线段被两条直线所平分，那么这两条直线与线段所形成的角是相等的。通过这个定理
，我们可以找到两条直线的夹角。
夹角的范围
直线与直线的夹角范围是$0^{circ}$ 到$180^{circ}$，不包括$0^{circ}$ 和$180^{circ}$。
当两条直线垂直时，夹角为 $90^{circ}$；当两条直线平行或重合 时，夹角为$0^{circ}$或$180^{circ}$。
夹角的计算方法
计算直线与直线的夹角需要使 用三角函数和斜率的概念。
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到角的范围：
0,
注 意
“到角”具有方向 性！
θ2 θ1
L2 L1
做一做：
如图：湖州市在城市建设中，需过A地修一 条道路L1与原有的高速公路L2连接，且L1到L2高 速公路的角45度。由于设计者疏忽，在图纸上没 有标出L1，你能否在图纸上将L1标出，以使工程 能正常进行？
L1 L1
L2
是哪一条 呢？
数学之美：美丽的分形几何图形
两条直线的位置关系
——两条直线的交点与夹角
忆一忆：
当直线L1和L2有斜截式方程： L1：y=k1x+b1，L2： y =k2x+b2
L1∥L2
K1=K2 且b1 b2
L1⊥L2
K1×K2= -1
一、两条直线的交点
(一)两直线交点与方程组解的关系 设两直线的方程是 L1：A1x+B1y+C1=0，L2 ： A2x+B2y+C2=0．
A2 A2 B1B2
证明：设两条直线L1，L2的斜率分别为k1、k2，则
k1
A1 B1
, k2
A2 B2
tan
k2 k1 1 k1k2
A2
A1
B2
B1
1 A2
A1
B2
B1
A1B2 A2 B1 A2 A2 B1B2
思考题：等腰三角形一腰所在直线L1的方程是x－2y－2=0， 底边所在直线L2的方程是x+y－1=0，点（－2，0）在另一 腰上，求这条腰所在直线L3的方程。（如下图）
A
练一练：
根据下列直线方程，在同一坐标系中作出直线L1，L2； 并标出L1到L2和L2到L1的角；同时探求两角的大小。
1、L1：y=x+1 L2:x=1
2、L1: y=x+1 L2: y= 3 x
L2
y
θ2 θ1
L1
y
θ1
L1
θ2
α11
α2
0
1
x
图一
α1 α2
0
x
L2 图二
已知两条相交直线 L1：y=k1x+b1，L2： y =k2x+b2。
tan k2 k1 1 2 3 1 k1k2 11 2
arctan 3, arctan 3.
利用计算器或查表可得：θ≈108026′,α≈71034′
练一练：
1、求下列直线L1到L2的角与L2到L1的角：
⑴L1：y= 12·x+2；L2：y=3x+7
⑵L1：x－y=5，L2：x+2y－3=0
求 直线L1到L2的角为θ。 当 k1k2= －1 时，L1⊥L2
则θ= 。
2
当k1k2≠－1 时，
Y L2 θ L1
α1 α2
O
X
Y L1
θ α2 O
L2 α1
X
图一
图二
设L1，L2的倾斜角分别是α1和α2，则k1=tanα1，k2=tanα2 由图可知θ=α2－α1
或θ=π-（α1－α2）=π+（α2－α1）
∴tanθ=tan（α2－α1）或tanθ=tan π+（α2－α1） =tan（α2－α1）
tan tan2 tan1 k2 k1 1 tan2 tan1 1 k1k2
直线L1到L2的角公式：
tan k2 k1
1 k1k2
注意：k1与 k2的顺序！
二、直线L1与L2的夹角：
当直线L1与L2相交但不垂直时，在θ和π－θ中有且仅 有一个角是锐角，我们把其中的锐角叫两直线的夹角， 记夹角为α。 直线L1与L2的夹角公式：
解：设L1，L2，L3的斜率分别为k1
Y
k2、k3，L1到L2的角是θ1，L2
L2
L3
到L3的角是θ2 ，则
θ2
k1
1 2 , k2
1
L1
O
X
tan1
k2 k1 1 k1k2
1ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
1 1
1 2
3
θ1
tan 2
k3 k2 1 k3k2
k3 1 1 k3
思考题：等腰三角形一腰所在直线L1的方程是x－2y－2=0， 底边所在直线L2的方程是x+y－1=0，点（－2，0）在另一 腰上，求这条腰所在直线L3的方程。（如下图）
1、看两直线的斜率是否都存在； 2、若都存在，看两直线是否垂直； 3、若两直线斜率都存在且不垂直
用公式求。
练习：已知直线L1：A1x+B1y+C1=0和L2：A2x+B2y+C2=0 （B1≠0，B2≠0，A1A2+B1B2≠0）直线L1到直线L2
的角是θ，求证: tan A1B2 A2 B1
没有解 平行。
2．(教材第35页，1．9练习第2题)判断 下列各对直线的位置关系，如果相交， 则求出交点的坐标：
1相交 2重合 3平行
一、直线L1到L2的角：
直线L1按逆时针方向旋转到与L2重合时所转的角，
叫做L1 到 L2的角。 图中θ1是L1到L2的角， θ2是L2到L1的角。
1 2
是否有唯一解．
例1 求下列两条直线的交点：
L1：3x+4y-2=0， L2： 2x+y+2=0
．解：方程组32xx
4y2 0 y20
x
y
2 2
∴L1与L2的交点是M(-2，2)．
推广：
方程组
A1x A2 x
B1 y C1 0 B2 y C2 0
有唯一解 相交；
有无数解 重合；
如果两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，交点 的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个 二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的 点必是直线L1和L2的交点。
因此，两条直线是否相交，就要看这两条直线的方程
所组成的方程组
A1x A2 x
B1 y C1 0 B2 y C2 0
tan k2 k1
1 k1k2
当直线L1⊥L2时，直线L1和L2的夹角是 2 。
夹角的范围： 00＜α≤900
三、应用：
3
例1：已知直线L1：y= －2x+3，L2：y=x－2
求L1到L2的角和L1、L2的夹角（用角度制表示）
解：由两条直线的斜率k1=－2，k2=1，得
tan k2 k1 1 2 3 1 k1k2 112
因为L1、L2、L3所围成的三角形
是等腰三角形，所以θ1=θ2
L2
Y
L3
∴tanθ2=tanθ1= －3
θ2
k3 1 3
L1
1 k3
O
X
θ1
解得 k3 =2
(L1到L2的角450 L2到L1的角1350 ） （L1到L2的角为π－arctan3，L2到L1的角为arctan3）
2、求下列两条直线的夹角：
⑴y=3x－1，y=－1 ·x+4 ⑵x－y=5；y=4，3 ⑶y=2x+1 ; x=2
（900）
（450）
( -arctan2)
2
注意！！
求两条直线的到角和夹角的步骤：