高一数学异面直线及夹角
高一数学复习考点知识专题讲解37---夹角问题
高一数学复习考点知识专题讲解夹角问题学习目标 1.会用向量法求线线、线面、面面夹角.2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．知识点一两个平面的夹角平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．知识点二空间角的向量法解法角的分类向量求法范围两条异面直线所成的角设两异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝|u·v||u||v|⎝⎛⎦⎤0，π2直线与平面所成的角设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝|u·n||u||n|⎣⎡⎦⎤0，π2两个平面的夹角设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝|n1·n2||n1||n2|⎣⎡⎦⎤0，π21.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是( )A.π6B.π4C.π3D.π2 答案 D解析 以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则A 1M —→＝⎝⎛⎭⎫－1，12，－1，DN →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，cos 〈A 1M —→，DN →〉＝|A 1M —→·DN →||A 1M —→||DN →|＝0. ∴〈A 1M →，DN →〉＝π2.2．已知向量m ，n 分别是直线l 与平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－32，则l 与α所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120° 答案 B解析 设l 与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝32，∴θ＝60°，故选B. 3．已知平面α的法向量u ＝(1,0，－1)，平面β的法向量v ＝(0，－1,1)，则平面α与β的夹角为________． 答案 π3解析 ∵cos 〈u ，v 〉＝－12×2＝－12，∴〈u ，v 〉＝23π，∴平面α与β的夹角是π3.4．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2,0)，B (2,1，6)，则向量AB →与平面xOz 的法向量的夹角的正弦值为________． 答案74解析 设平面xOz 的法向量为n ＝(0,1, 0) ，AB →＝(1,3，6)， 所以cos 〈n ，AB →〉＝n ·AB →|n |·|AB →|＝ 34 ，所以sin 〈n ，AB →〉＝1－⎝⎛⎭⎫342 ＝74. 故向量AB →与平面xOz 的法向量的夹角的正弦值为74.一、两条异面直线所成的角例1 如图，在三棱柱OAB －O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值．解 以O 为坐标原点，OA →，OB →的方向为x 轴，y 轴的正方向．建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，O 1(0,1，3)，A (3，0,0)，A 1(3，1，3)，B (0,2,0)， ∴A 1B —→＝(－3，1，－3)，O 1A —→＝(3，－1，－3)． ∴|cos 〈A 1B →，O 1A →〉|＝|A 1B →·O 1A →||A 1B →||O 1A →|＝|(－3，1，－3)·(3，－1，－3)|7×7＝17.∴异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值为17.反思感悟 求异面直线夹角的方法(1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解．(2)向量法：在两异面直线a 与b 上分别取点A ，B 和C ，D ，则AB →与CD →可分别为a ，b 的方向向量，则cos θ＝|AB →·CD →||AB →||CD →|.跟踪训练1 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知M ，N 分别是BD 和AD 的中点，则B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为( )A.3010B.3015 C.3030D.1515答案 A解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B 1(2,2,2)，M (1,1,0)，D 1(0,0,2)，N (1,0,0)， ∴B 1M —→＝(－1，－1，－2)， D 1N —→＝(1,0，－2)，∴cos 〈B 1M —→，D 1N —→〉＝－1＋41＋1＋4×1＋4＝3010. 二、直线与平面所成的角例2 如图所示，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．(1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小．(1)证明 设P A ＝1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系(如图)．则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，又AN ＝14AB ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点，∴N ⎝⎛⎭⎫12，0，0，M ⎝⎛⎭⎫1，0，12，S ⎝⎛⎭⎫1，12，0， CM →＝⎝⎛⎭⎫1，－1，12，SN →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0， ∴CM →·SN →＝⎝⎛⎭⎫1，－1，12·⎝⎛⎭⎫－12，－12，0＝0， ∴CM →⊥SN →， 因此CM ⊥SN .(2)解 由(1)知，NC →＝⎝⎛⎭⎫－12，1，0，设a ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量， ∴CM →·a ＝0，NC →·a ＝0.则⎩⎨⎧x －y ＋12z ＝0，－12x ＋y ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，z ＝－2y . 取y ＝1，得a ＝(2,1，－2)． 设SN 与平面CMN 所成的角为θ，∵sin θ＝|cos 〈a ，SN →〉|＝⎪⎪⎪⎪－1－123×22＝22. ∴SN 与平面CMN 所成角为π4.反思感悟 利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的方向向量u . (3)求平面的法向量n . (4)设线面角为θ，则sin θ＝|u ·n ||u ||n |. 跟踪训练2 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝90°，E ，F 依次为C 1C ，BC 的中点．求A 1B 与平面AEF 所成角的正弦值．解 以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，A 1(0,0,2)，B (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,1,0)， 所以A 1B —→＝(2,0，－2)，AE →＝(0,2,1)，AF →＝(1,1,0)． 设平面AEF 的一个法向量为n ＝(a ，b ，c )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c ＝0，a ＋b ＝0，令a ＝1可得n ＝(1，－1,2)． 设A 1B 与平面AEF 所成角为θ，所以sin θ＝|cos 〈n ，A 1B —→〉|＝|n ·A 1B —→||n ||A 1B —→|＝36，即A 1B 与平面AEF 所成角的正弦值为36. 三、两个平面的夹角例3 如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥平面ABCD ；(2)若∠CBA ＝60°，求平面C 1OB 1与平面OB 1D 夹角的余弦值．(1)证明 因为四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形，所以CC 1⊥AC ，DD 1⊥BD ， 又CC 1∥DD 1∥OO 1，所以OO 1⊥AC ，OO 1⊥BD ， 因为AC ∩BD ＝O ，AC ，BD ⊂平面ABCD ， 所以O 1O ⊥平面ABCD .(2)解 因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，AC ⊥BD ，又O 1O ⊥平面ABCD ，所以OB ，OC ，OO 1两两垂直．如图，以O 为原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设棱长为2，因为∠CBA ＝60°， 所以OB ＝3，OC ＝1，所以O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)， 平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 设平面OC 1B 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由m ⊥OB 1—→，m ⊥OC 1—→，得3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0， 取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23， 所以m ＝(2,23，－3)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝2319＝25719.所以平面C 1OB 1与平面OB 1D 夹角的余弦值为25719.延伸探究本例不变，求平面BA 1C 与平面A 1CD 夹角的余弦值． 解 B (3，0,0)，A 1(0，－1,2)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)， 设平面BA 1C 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， A 1C →＝(0,2，－2)，BC →＝(－3，1,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1C —→＝0，m ·BC →＝0，即⎩⎨⎧2y 1－2z 1＝0，－3x 1＋y 1＝0，令x 1＝1，则y 1＝3，z 1＝3， ∴m ＝(1，3，3)，同理得，平面A 1CD 的法向量n ＝(1，－3，－3)， cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－57，则平面BA 1C 与平面A 1CD 夹角的余弦值为57.反思感悟 求两平面夹角的两种方法(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n 1，n 2，则两平面的夹角为〈n 1，n 2〉⎝⎛⎭⎫当〈n 1，n 2〉∈⎣⎡⎦⎤0，π2时或π－〈n 1，n 2〉⎝⎛⎭⎫当〈n 1，n 2〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π时.跟踪训练3 如图所示，在几何体S －ABCD 中，AD ⊥平面SCD ，BC ⊥平面SCD ，AD ＝DC ＝2，BC ＝1，又SD ＝2，∠SDC ＝120°，求平面SAD 与平面SAB 夹角的余弦值．解 如图，过点D 作DC 的垂线交SC 于E ，以D 为原点，以DC ，DE ，DA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∵∠SDC ＝120°，∴∠SDE ＝30°，又SD ＝2，∴点S 到y 轴的距离为1，到x 轴的距离为3，则有D (0,0,0)，S (－1，3，0)，A (0,0,2)，C (2,0,0)，B (2,0,1)， 设平面SAD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， ∵AD →＝(0,0，－2)，AS →＝(－1，3，－2)，∴⎩⎨⎧－2z ＝0，－x ＋3y －2z ＝0，取x ＝3，得平面SAD 的一个法向量为m ＝(3，1,0)． 又AB →＝(2,0，－1)，设平面SAB 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AS →＝0，即⎩⎨⎧2a －c ＝0，－a ＋3b －2c ＝0，令a ＝3， 则n ＝(3，5,23)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝8210×2＝105，故平面SAD 与平面SAB 夹角的余弦值是105.空间向量和实际问题典例 如图，甲站在水库底面上的点A 处，乙站在水坝斜面上的点B 处．从A ，B 到直线 (库底与水坝的交线)的距离AC 和BD 分别为a 和b ，CD 的长为c ，甲乙之间拉紧的绳长为d ，求库底与水坝所在平面夹角的余弦值．解 由题意可知AC ＝a ，BD ＝b ，CD ＝c ，AB ＝d ，所以d 2＝AB →2＝(AC →＋CD →＋DB →)2＝AC →2＋CD →2＋DB →2＋2(AC →·CD →＋AC →·DB →＋CD →·DB →) ＝a 2＋c 2＋b 2＋2AC →·DB →＝a 2＋c 2＋b 2－2CA →·DB →， 则2CA →·DB →＝a 2＋b 2＋c 2－d 2，设向量CA →与DB →的夹角为θ，θ就是库底与水坝所在平面的夹角， 因此2ab cos θ＝a 2＋b 2＋c 2－d 2，所以cos θ＝a 2＋b 2＋c 2－d 22ab，故库底与水坝所在平面夹角的余弦值为a 2＋b 2＋c 2－d 22ab .[素养提升]利用空间向量解决实际问题(1)分析实际问题的向量背景，将题目条件、结论转化为向量问题．(2)对于和垂直、平行、距离、角度有关的实际问题，可以考虑建立向量模型，体现了数学建模的核心素养．1．若异面直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，则l 1与l 2所成的角为( ) A.π6B.5π6C.π6或5π6D ．以上均不对 答案 A解析 l 1与l 2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为⎝⎛⎦⎤0，π2，故选A. 2．已知向量m ，n 分别是平面α和平面β的法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则α与β的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案 B解析 设α与β所成的角为θ，且0°≤θ≤90°， 则cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12，∴θ＝60°.3．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A.110 B.25 C.3010 D.22答案 C解析 如图所示，以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线CC 1为z 轴建立空间直角坐标系，设CA ＝CB ＝1，则B (0,1,0)，M ⎝⎛⎭⎫12，12，1，A (1,0,0)，N ⎝⎛⎭⎫12，0，1. 故BM →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1，AN →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1， 所以cos 〈BM →，AN →〉＝BM →·AN →|BM →||AN →|＝3462×52＝3010.4.如图所示，点A ，B ，C 分别在空间直角坐标系Oxyz 的三条坐标轴上，OC →＝(0,0,2)，平面ABC 的一个法向量为n ＝(2,1,2)，平面ABC 与平面ABO 的夹角为θ，则cos θ＝________.答案 23解析 cos θ＝OC →·n |OC →||n |＝42×3＝23.5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的正弦值为________． 答案33解析 设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系如图．则D (0,0,0)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)． 平面ACD 1的一个法向量为DB 1—→＝(1,1,1)． 又BB 1—→＝(0,0,1)，则cos 〈DB 1—→，BB 1—→〉＝DB 1—→·BB 1—→|DB 1—→||BB 1—→|＝13×1＝33.1．知识清单：(1)两条异面直线所成的角． (2)直线和平面所成的角． (3)两个平面的夹角． 2．方法归纳：转化与化归．3．常见误区：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念，把握空间角的范围．1．已知A (0,1,1)，B (2，－1,0)，C (3,5,7)，D (1,2,4)，则直线AB 与直线CD 所成角的余弦值为( ) A.52266 B ．－52266 C.52222 D ．－52222答案 A解析 ∵AB →＝(2，－2，－1)，CD →＝(－2，－3，－3)，∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝53×22＝52266，∴直线AB ，CD 所成角的余弦值为52266.2．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面夹角为( ) A ．45° B ．135° C ．45°或135° D ．90° 答案 A解析 cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝11·2＝22，即〈m ，n 〉＝45°.所以两平面的夹角为45°.3．设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ，若〈a ，n 〉＝2π3，则l 与α所成的角为( )A.2π3B.π3C.π6D.5π6 答案 C解析 线面角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2. ∵〈a ，n 〉＝2π3，∴l 与法向量所在直线所成角为π3，∴l 与α所成的角为π6.4．若平面α的一个法向量为n ＝(4,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(－2，－3,3)，则l 与α所成角的余弦值为( )A ．－41133 B.41133 C ．－91333 D.91333答案 D解析 设α与l 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|(－2，－3，3)·(4，1，1)|4＋9＋9×16＋1＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4311＝41133，故直线l 与α所成角的余弦值为1－⎝⎛⎭⎫411332＝91333.5．正方形ABCD 所在平面外一点P ，P A ⊥平面ABCD ，若P A ＝AB ，则平面P AB 与平面PCD 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案 B解析 如图所示，建立空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝1，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)． 于是AD →＝(0,1,0)，取PD 的中点E ，则E ⎝⎛⎭⎫0，12，12， ∴AE →＝⎝⎛⎭⎫0，12，12，易知AD →是平面P AB 的法向量，AE →是平面PCD 的法向量， ∴cos 〈AD →，AE →〉＝22，∴平面P AB 与平面PCD 的夹角为45°.6.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是C 1C 的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是A 1B 1上的任意点，则直线BM 与OP 所成的角为________．答案 π2解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，A 1P ＝x ，则O (1,1,0)，P (2，x ，2)，B (2,2,0)，M (0,2,1)， OP →＝(1，x －1,2)，BM →＝(－2,0,1)． 所以OP →·BM →＝0，所以直线BM 与OP 所成的角为π2.7．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为________．答案105解析 如图所示，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0，2,0)，D 1(0,0,1)，C 1(0,2,1)， ∴BC 1→＝(－2,0,1)．连接AC ，易证AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴平面BB 1D 1D 的一个法向量为a ＝AC →＝(－2,2,0)．∴所求角的正弦值为|cos 〈a ，BC 1—→〉|＝|a ·BC 1—→||a ||BC 1—→|＝48×5＝105.8．已知点E ，F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 夹角的余弦值等于 ________. 答案31111解析 如图，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，平面ABC 的法向量为n 1＝(0,0,1)， 平面AEF 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )． 所以A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，13，F ⎝⎛⎭⎫0，1，23， 所以AE →＝⎝⎛⎭⎫0，1，13，EF →＝⎝⎛⎭⎫－1，0，13， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AE →＝0，n 2·EF →＝0，即⎩⎨⎧y ＋13z ＝0，－x ＋13z ＝0.取x ＝1，则y ＝－1，z ＝3.故n 2＝(1，－1,3)． 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝31111.所以平面AEF 与平面ABC 夹角的余弦值为31111.9.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，AA 1＝4，点D 是BC 的中点．求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值．解 以点A 为原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0,4)，D (1,1,0)，C 1(0,2,4)， ∴A 1B —→＝(2,0，－4)，C 1D —→＝(1，－1，－4)， ∴cos 〈A 1B —→，C 1D —→〉＝A 1B —→·C 1D —→|A 1B —→||C 1D —→|＝31010，∴异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.10．四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上． (1)求证：平面AEC ⊥平面PDB ；(2)当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成角的大小． (1)证明 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz ，设AB ＝a ，PD ＝h ，则A (a ，0,0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，D (0,0,0)，P (0,0，h )， ∴AC →＝(－a ，a ，0)，DP →＝(0,0，h )，DB →＝(a ，a ，0)，∴AC →·DP →＝0，AC →·DB →＝0，∴AC ⊥DP ，AC ⊥DB ，又DP ∩DB ＝D ，DP ，DB ⊂平面PDB ， ∴AC ⊥平面PDB ， 又AC ⊂平面AEC ， ∴平面AEC ⊥平面PDB .(2)解 当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时， P (0,0，2a )，E ⎝⎛⎭⎫12a ，12a ，22a ，设AC ∩BD ＝O ，O ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0， 连接OE ，由(1)知AC ⊥平面PDB ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所成的角，∵EA →＝⎝⎛⎭⎫12a ，－12a ，－22a ，EO →＝⎝⎛⎭⎫0，0，－22a ，∴cos ∠AEO ＝EA →·EO →|EA →|·|EO →|＝22，∴∠AEO ＝45°，即AE 与平面PDB 所成角的大小为45°.11．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1所成角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35答案 A解析 不妨设CA ＝CC 1＝2CB ＝2，则AB 1—→＝(－2,2,1)，C 1B —→＝(0，－2,1)， 所以cos 〈AB 1—→，C 1B —→〉＝AB 1—→·C 1B —→|AB 1—→||C 1B —→|＝(－2)×0＋2×(－2)＋1×19×5＝－55.所以所求角的余弦值为55. 12．已知在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 是侧棱BB 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．45° D ．以上都不对 答案 B解析 以点D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图．由题意知，A 1(1,0,2)，E (1,1,1)，D 1(0,0,2)，A (1,0,0)，所以A 1E —→＝(0,1，－1)，D 1E —→＝(1,1，－1)，EA →＝(0，－1，－1)． 设平面A 1ED 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1E →＝0，n ·D 1E →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，x ＋y －z ＝0，令z ＝1，得y ＝1，x ＝0，所以n ＝(0,1,1)， cos 〈n ，EA →〉＝n ·EA →|n ||EA →|＝－22·2＝－1，设直线与平面A 1ED 1所成角为θ，则sin θ＝1，所以直线AE 与平面A 1ED 1所成的角为90°.13．在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0，a )(a >0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________.答案 125 解析 平面xOy 的法向量n ＝(0,0,1)，设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0， 即3x ＝4y ＝az ，取z ＝1，则u ＝⎝⎛⎭⎫a 3，a 4，1.而cos 〈n ，u 〉＝1a 29＋a 216＋1＝22，又∵a >0，∴a ＝125. 14．已知正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则平面ABD 与平面BDC 夹角的余弦值为____． 答案 55解析 取BC 的中点O ，连接AO ，DO ，建立如图所示的空间直角坐标系．设BC ＝1，则A ⎝⎛⎭⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，D ⎝⎛⎭⎫32，0，0. 所以OA →＝⎝⎛⎭⎫0，0，32，BA →＝⎝⎛⎭⎫0，12，32，BD →＝⎝⎛⎭⎫32，12，0. 由于OA →＝⎝⎛⎭⎫0，0，32为平面BCD 的一个法向量． 设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BA →＝0，n ·BD →＝0，所以⎩⎨⎧ 12y ＋32z ＝0，32x ＋12y ＝0，取x ＝1，则y ＝－3，z ＝1，所以n ＝(1，－3，1)，所以cos 〈n ，OA →〉＝55.15．如图，在三棱锥V －ABC 中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A ，B ，V 分别在x 轴、y轴、z 轴上，D 是线段AB 的中点，且AC ＝BC ＝2，∠VDC ＝π3，则异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为________．答案 24解析 ∵AC ＝BC ＝2，D 是AB 的中点，∴C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，D (1,1,0)．当θ＝π3时，在Rt △VCD 中，CD ＝2， ∴V (0,0，6)，∴AC →＝(－2,0,0)，VD →＝(1,1，－6)，∴cos 〈AC →，VD →〉＝AC →·VD →|AC →||VD →|＝－22×22＝－24. ∴异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为24. 16.如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BC ，A 1D 1的中点．(1)求直线A 1C 与DE 所成角的余弦值；(2)求直线AD 与平面B 1EDF 所成角的余弦值；(3)求平面B 1EDF 与平面ABCD 夹角的余弦值． 解 以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz .(1)A 1(0,0，a )，C (a ，a ，0)，D (0，a ，0)，E ⎝⎛⎭⎫a ，a 2，0， ∴A 1C —→＝(a ，a ，－a )，DE →＝⎝⎛⎭⎫a ，－a 2，0， ∴cos 〈A 1C —→，DE →〉＝A 1C —→·DE →|A 1C —→||DE →|＝1515， 故A 1C 与DE 所成角的余弦值为1515. (2)连接DB 1，∵∠ADE ＝∠ADF ，∴AD 在平面B 1EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上． 又四边形B 1EDF 为菱形，∴DB 1为∠EDF 的平分线， 故直线AD 与平面B 1EDF 所成的角为∠ADB 1. 由A (0,0,0)，B 1(a ，0，a )，D (0，a ，0)， 得DA →＝(0，－a ，0)，DB 1—→＝(a ，－a ，a )，∴cos 〈DA →，DB 1→〉＝DA →·DB 1—→|DA →||DB 1—→|＝33，又直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2， 故直线AD 与平面B 1EDF 所成角的余弦值为33. (3)由已知得A (0,0,0)，A 1(0,0，a )，B 1(a ，0，a )，D (0，a ，0)，E ⎝⎛⎭⎫a ，a 2，0， 则ED →＝⎝⎛⎭⎫－a ，a 2，0，EB 1→＝⎝⎛⎭⎫0，－a 2，a ， 平面ABCD 的一个法向量为m ＝AA 1—→＝(0,0，a )．设平面B 1EDF 的一个法向量为n ＝(1，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·ED →＝0，n ·EB 1—→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝1， ∴n ＝(1,2,1)，∴cos 〈n ，m 〉＝m ·n |m ||n |＝66， ∴平面B 1EDF 与平面ABCD 夹角的余弦值为66.。
高一数学异面直线及夹角3
思路一：取BC中点G， 连结F1G，则角AF1G （或其补角）为异面 直线所成的角；解三 角形AF1G可得。
B1
D1 F1 C1
A1
B
G
A C
思路二、延展平面
B1
D1 A1 F1
E
BAA1B1，使A1E＝D1A1，
则将BD1平移到AE， 角EAF1（或其补角 ）
B C
A
即为BD1与AF1所成的角。
A1
D1 B1 D
C1
C
A
Bห้องสมุดไป่ตู้
③图中哪些棱所在的直线与直线AA1垂直
例２ 直三棱柱ABC－A1B1C1 中 角ACB＝900， D1，F 1分 别是A1B1与A1C1的中点。 若BC＝CA＝CC1，求BD1 与 AF1这两条异面直线所成 的角。
B1
D1 F1 C1 A
A1
B
C
分析：恰当的平移是将异面直线所成的角 转化为平面中的角的关键。
5、异面直线成的角
（1）、定义： 分别平行于两条异面直线
的两条相交直线所成的锐角（或直角）叫 做这两条异面直线所成的角
（2）、取值范围（00，900]
（3）、作法：平移法或补形法 (4) 两条直线互相垂直 ①相交直线的垂直 ②异面直线的垂直
例题
例1：设图中的正方体的棱长为a， ①图中哪些棱所在的直线与 BA1成异面直线 ②求异面直线A1B与C1C的夹 角的度数
一、基础知识
1、异面直线的定义：
不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线
2、空间两条直线的位置关系：
平行直线 相交直线 共面直线
空间两条直线
异面直线
3、异面直线的画法：平面衬托法
考点18 异面直线所成的角-庖丁解题2019学年高一数学人教版(必修2)(解析版)
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
1
异面直线所成的角
1．定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角或夹角．
2．异面直线所成的角θ的取值范围：(090]︒︒，
3．当θ＝o 90时，a 与b 互相垂直，记作a b ⊥．
【例】设P 是直线l 外一定点，过点P 且与l 成30°角的异面直线（ ）
A ．有无数条
B ．有两条
C ．至多有两条
D ．有一条
【答案】A
【规律总结】异面直线所成的角的大小与O 点的位置无关，即O 点位置不同时，这一角的大小是不会改变的．
1．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB 11BC CC ==，则异面直线11AC BB 与所成角的大。
例说求异面直线所成角或角的三角函数值的方法
ʏ胡景月异面直线是空间中两条直线的位置关系的特殊情况,求异面直线所成角的关键是寻找异面直线所成角的平面角㊂下面举例分析求异面直线所成角的几种方法,供大家学习与参考㊂一㊁勾股定理法例1 如图1,在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,M ㊁N 分别是C D ㊁C C 1的中点,则异面直线A 1M 与D N 所成角的大小是( )㊂图1A .30ʎB .45ʎC .60ʎD .90ʎ解:设E 为C N 的中点㊂因为M 是C D的中点,所以M E ʊD N ,所以A 1M 与D N 所成的角即为A 1M 与M E 所成的角,即øA 1M E ㊂令正方体的棱长为2,则A 1M =3,A 1E =412,M E =52㊂在әA 1M E 中,A 1M 2+M E 2=A 1E 2,所以A 1M ʅM E ,所以øA 1M E =90ʎ,所以异面直线A 1M 与D N 所成角的大小是90ʎ㊂应选D ㊂评注:利用勾股定理,既可以判断三角形是直角三角形,也可以作为直角三角形的性质进行应用㊂二㊁余弦定理法例2 如图2,圆锥的底面直径A B =2,其侧面展开图为半圆,底面圆的弦A C =1,则异面直线A C 与S B 所成角的余弦值为㊂图2解:分别取S A ,B C ,O A 的中点M ,N ,P ㊂因为O 为A B 的中点,所以O M ʊS B ,O N ʊA C ,所以øM O N 是异面直线A C 与S B 所成的角(或其补角)㊂因为M P ʊS O ,所以M P ʅP N ㊂因为圆锥的底面直径A B =2,其侧面展开图为半圆,所以2πˑ1=πˑS B ,解得S B =2,所以S O =22-12=3,则M P =12S O =32㊂在R t әA B C 中,A C =1,AB =2,则øA BC =30ʎ㊂易得P B =32,B N =32,在әP N B 中,由余弦定理得P N 2=P B 2+B N 2-2P B ㊃B N ㊃c o s 30ʎ=34,所以P N=32,所以MN =M P 2+P N 2=62㊂在әM O N 中,因为O M =12S B =1,O N =12A C =12,MN =62,所以c o søM O N =O M 2+O N 2-MN 22O M ㊃O N =-14㊂结合异面直线夹角的范围得异面直线A C 与S B 所成角的余弦值为14㊂评注:根据定义将异面直线所成的角转化为三角形中的一个角,再结合余弦定理求得结果㊂三㊁三角函数定义法例3 在正四棱锥P -A B C D 中,若侧面51知识结构与拓展高一数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.与底面所成二面角的大小为60ʎ,则异面直线P A 与B C 所成角的正切值等于㊂解:取A D 的中点E ,作P O ʅ平面A B C D ,如图3所示㊂图3因为P E ʅA D ,O E ʅA D ,所以øP E O为侧面与底面所成二面角的平面角,则øP E O =60ʎ㊂设A B =2,则E O =1,P E =2,A E =1㊂因为B C ʊA D ,所以øP A D 为异面直线P A 与B C 所成的角㊂据此可得t a nøP A D =P EA E=2㊂评注:根据定义将异面直线所成的角转化为直角三角形中的一个锐角,再结合三角函数的定义求得结果㊂四㊁特殊点法例4 如图4,在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,M 是棱D D 1的中点,P 是底面A B C D 内(包括边界)的一个动点,若M P ʊ平面A 1BC 1,则异面直线M P 与A 1C 1所成角的取值范围是㊂图4解:取A D 中点E ,D C 中点F ,取E F 的中点O ㊂在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,M是棱D D 1的中点,所以M E ʊB C 1,M F ʊA 1B ㊂因为M E ⊄平面A 1BC 1,A 1B ,B C 1⊂平面A 1B C 1,所以M E ʊ平面A 1B C 1㊂同理可得M F ʊ平面A 1B C 1㊂因为M E ɘM F =M ,M E ,M F 是平面E F M 内两相交直线,所以平面A 1B C 1ʊ平面E F M ㊂因为P 是底面A B C D 内(包括边界)的一个动点,M P ʊ平面A 1B C 1,所以P 的轨迹是线段E F ㊂因为M E =M F =E F ,O 是E F的中点,所以O M ʅE F ㊂因为E F ʊA 1C 1,所以O M ʅA 1C 1,所以当P 与O 重合时,异面直线M P 与A 1C 1所成的角取最大值π2㊂因为M E =M F =E F ,P 是E F 上的动点,E F ʊA 1C 1,所以当P 与E 或F 重合时,异面直线M P 与A 1C 1所成的角取最小值π3㊂故异面直线M P 与A 1C 1所成角的取值范围是π3,π2㊂评注:解题的关键是确定点P 的轨迹是线段E F ,当P 与O 重合时,异面直线M P 与A 1C 1所成角取最大值,当P 与E 或F 重合时,异面直线M P 与A 1C 1所成角取最小值㊂如图5,在四面体A B C D 中,E ,F 分别是A C ,B D 的中点,若A B =2,C D =4,E F ʅA B ,则E F 与C D 所成角的大小为㊂图5提示:取A D 的中点G ㊂因为E ,F 分别是A C ,B D 的中点,所以E G =12C D =2,F G =12A B =1,且F G ʊA B ,E G ʊC D ,所以E F 与C D所成的角即为øG E F ㊂因为E F ʅA B ,所以øE F G =90ʎ,所以әE F G 为直角三角形,所以s i nøG E F =F G E G =12,所以øG E F =30ʎ㊂作者单位:江苏省南京市雨花台中学(责任编辑 郭正华)61 知识结构与拓展 高一数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高一数学异面直线及夹角3(PPT)4-4
例题
D1
例1：设图中的正方体的棱长为a，A1
①图中哪些棱所在的直线与 BA1成异面直线
②求异面直线A1B与C1C的夹所在的直线与直线AA1垂直
C1 B1
C B
吃～？⑤用在句中稍作停顿，让人注意下面的话：这些年～，咱们的日子越过越好啦。⑥用在列举的事项之后：书～，报～，杂志～，摆满了一书架。⑦用 在重复的动词后面，表示过程长：乡亲们盼～，盼～，终于盼到了这一天。‖注意?“啊”用在句末或句中，常受到前一字韵母或韵尾的影响而发生不同的变 音，也可以写成不同的字。 【哎】āi叹①表示惊讶或不满意：～！真是想不到的事｜～！你怎么能这么说呢！②表示提醒：～，我倒有个办法，你们大家看
一、基础知识 1、异面直线的定义：
不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线
2、空间两条直线的位置关系：
平行直线 相交直线
共面直线 异面直线
空间两条直线
（音较短）：～，好吧。②表示明白过来（音较长）：～，原来是你，怪不得看着面熟哇！③表示赞叹或惊异（音较长）：～，伟大的祖国！｜～，真没想 到他会取得这么好的成绩！ 【啊】（阿、呵）?ɑ助①用在感叹句末，表示增强语气：多好的天儿～！｜他的行为多么高尚～！②用在陈述句末，使句子带上 一层感情色彩：这话说得是～！｜我也；郑州活动策划公司 郑州活动策划 郑州活动策划公司 郑州活动策划 ；没说你全错了～！③用在 祈使句末，使句子带有敦促或提醒意味：慢慢儿说，说清楚点儿～｜你可别告诉小邓～！④用在疑问句末，使疑问语气舒缓些：他什么时候来～？｜你吃不
行不行？ 【哎呀】āiyā叹①表示惊讶：～！这瓜长得这么大呀！②表示埋怨、不耐烦、惋惜、为难等：～，你怎么来得这么晚呢！｜～，你就少说两句 吧！｜～，时间都白白浪费了｜～，这事不好办哪！ 【哎哟】āiyō叹表示惊讶、痛苦、惋惜等：～！都十二点了！｜～！我肚子好疼！｜～，咱们怎么没有 想到他呀！ 【哀】āi①悲伤；悲痛：悲～｜～鸣。②悼念：～悼｜默～。③怜悯：～怜｜～矜｜～其不幸。④（āi）名姓。 【哀兵必胜】āibīnɡbìshènɡ《老 子》六十九章：“故抗兵相若，则哀者胜矣。”对抗的两军力量相当，悲愤的一方获得胜利。指受压抑而奋起反抗的军队，必然能打胜仗。 【哀愁】āichóu 形悲哀忧愁：～的目光。 【哀辞】āicí〈书〉名哀悼死者的文章，多用韵文。 【哀悼】āidào动悲痛地悼念（死者）：～死难烈士｜表示沉痛的～。 【哀的 美敦书】āidìměidūnshū名最后通牒。［哀的美敦，英ultimatum］ 【哀告】āiɡào动苦苦央告：四处～。 【哀歌】āiɡē①动悲哀地歌唱：俯首～。②名哀伤的 歌曲：一曲～。 【哀号】āiháo动悲哀地号哭。也作哀嚎。 【哀嚎】āiháo①动悲哀地嚎叫：饿狼～。②同“哀号”。 【哀鸿遍野】āihónɡbiànyě比喻到处都
高一数学异面直线及夹角3(PPT)5-2
例题
D1
例1：设图中的正方体的棱长为a，A1
①图中哪些棱所在的直线与 BA1成异面直线
②求异面直线A1B与C1C的夹 角的度数
D A
③图中哪些棱所在的直线与直线AA1垂直
C1 B1
C B
一、基础知识 1、异面直线的定义：
不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线
相交直线
共面直线 异面直线
空间两条直线
〈口〉动板着脸，表示不高兴：他绷着脸，半天一句话也不说。 【琫】〈书〉刀鞘上端的饰物。 【?】同“琫”。 【鞛】同“琫”。 【泵】①名吸入和排 出流体的机械，能把流体抽出或压入容器，也能把液体提送到高处。通常按用途不同分为气泵、水泵、油泵。②动用泵压入或抽出：～入｜～出｜～油。 ［英］ 【迸】①动向外溅出或喷射：打； 练字加盟 练字加盟 ；铁时火星儿乱～｜潮水冲来，礁石边上～起乳白色的浪花◇沉默了半天， 他才～出一句话来。②突然碎裂：～裂｜～碎。 【迸发】动由内而外地突然发出：一锤子打到岩石上，～了好些火星儿◇笑声从四面八方～出来。 【迸溅】 动向四外溅：火花～｜激流冲击着岩石，～起无数飞沫。 【迸裂】动破裂；裂开而往外飞溅：山石～｜脑浆～。 【蚌】蚌埠（），地名，在安徽。 【绷】 （綳、繃）①动裂开：西瓜～了一道缝儿。②〈口〉副用在“硬、直、亮”一类形容词的前面，表示程度深：～硬｜～直｜～脆｜～亮。 【绷瓷】（～儿） 名表面的釉层有不规则碎纹的瓷器。这种碎纹是由于坯和釉的膨胀系数不同而形成的。 【甏】〈方〉名瓮；坛子：酒～。 【镚】（鏰）见下。 【镚儿】 〈口〉名镚子。 【镚子】?〈口〉名原指清末不带孔的小铜币，十个当一个铜元，现在把小形的硬币叫钢镚子或钢镚儿。也叫镚儿。 【镚子儿】〈方〉名指 极少量的钱：～不值｜一个～也不给。 【蹦】动跳：欢～乱跳｜皮球一拍～得老高｜他蹲下身子，用力一～，就～了两米多远◇他嘴里不时～出一些新词儿 来。 【蹦蹦儿戏】名评剧的前身。参看页〖评剧〗。 【蹦床】名①一种体育器械，外形像床，有弹性。②体育运动项目之一。运动员在蹦床上完成跳跃、翻 腾、旋转等动作。 【蹦跶】?ɑ动蹦跳，现多比喻挣扎：秋后的蚂蚱，～不了几天了。 【蹦迪】动跳迪斯科舞。 【蹦高】（～儿）动跳跃：乐得直～儿。 【蹦极】名一种体育运动，用一端固定的有弹性的绳索绑缚在踝部从高处跳下，身体在空中上下弹动。也叫蹦极跳。［英g］ 【蹦极跳】名蹦极。 【蹦跳】 动跳跃：他高兴得～起来。 【屄】ī名阴门的俗称。 【逼】（偪）ī①动逼迫；给人以威胁：威～｜寒气～人｜形势～人｜为生活所～。③动强迫索取：～ 租｜～债。③靠近；接近：～视｜～近。④〈书〉狭窄：～仄。 【逼宫】ī动指大臣强迫帝王退位。也泛指强迫政府首脑辞职或让出权力。 【逼供】ī动用酷
异面直线夹角求法
在解决实际问题中的应用
建筑设计
在建筑设计领域，异面直线夹角可以用于确定建筑物的外观、结构等，以确保建筑物的稳定性和美观 性。
机械设计
在机械设计领域，异面直线夹角可以用于确定机械零件的形状、尺寸等，以确保机械零件的准确性和 可靠性。
04
异面直线夹角的特殊情况
异面直线夹角为直角的情况
总结词
当两条异面直线之间的夹角为直角时，它们之间的夹角是确定的，即90度。
利用向量的数量积求异面直线夹角
总结词
通过向量的数量积，可以计算出异面直线之间的夹角的余弦 值。
详细描述
首先分别求出两条异面直线的方向向量，然后计算这两个方 向向量的数量积。数量积的绝对值等于两向量的模的乘积与 两向量夹角的余弦值的乘积，由此可以求出夹角的余弦值。
利用空间几何的性质求异面直线夹角
总结词
利用空间几何的性质，通过观察空间几何图形，可以直观地求出异面直线之间的 夹角。
详细描述
首先根据异面直线的位置关系，构建一个空间几何图形。然后利用空间几何图形 的性质，如平行线之间的夹角、三角形中的角度关系等，可以求出异面直线之间 的夹角。
03
异面直线夹角的应用
在几何图形中的应用
确定几何形状
异面直线夹角可以用于确定几何图形 的形状和大小，例如在三维建模、建 筑设计等领域。
异面直线夹角的性质
异面直线夹角是两条异面直线在同一 平面内投影所形成的角度，因此不会 超过$90^circ$。
异面直线夹角的大小与两条异面直线 的方向向量有关，方向向量之间的夹 角等于异面直线夹角的补角。
异面直线夹角的取值范围
1
异面直线夹角的取值范围是$0^circ$到 $90^circ$，不包括$0^circ$和$90^circ$。
高一数学异面直线及夹角3
①图中哪些棱所在的直线与 BA1成异面直线
②求异面直线A1B与C1C的夹 角的度数
D A
③图中哪些棱所在的直线与直线AA1垂直
C1 B1
C B
例２
直三棱柱ABC－A1B1C1 中
B1
Hale Waihona Puke D1A1F1
角ACB＝900， D1，F1分
C1
别是A1B1与A1C1的中点。
B
若BC＝CA＝CC1，求BD1 与
AF1这两条异面直线所成
A C
的角。
分析：恰当的平移是将异面直线所成的角 转化为平面中的角的关键。
思路一：取BC中点G， 连结F1G，则角AF1G （或其补角）为异面 直线所成的角；解三 角形AF1G可得。
B1
D1 F1
A1
C1
B
A
G
C
思路二、延展平面 BAA1B1，使A1E＝D1A1，
B1
D1 A1 F1
E
则将BD1平移到AE， 角EAF1（或其补角 ）
（2）、反证法
； https:///rsizhibiao/ rsi指标 ；
再来找伤.”周北风几箭刺去.盼乌头马角终相救.”周北风叫道：“浣莲姑娘.但依我看来.避过软鞭缠打.虽不能取胜.乘着尸体浮沉之际.而是捧着几封信出神.忽然斜刺里几骑马冲来.珂珂行了两天.那好极了.这位就是大名鼎鼎的天山神芒周北风.向哈何人两面耳门擂打.玄真道长天山之约 将届.想道：你这几攻.莫斯喝道：“别忙料理那些道士.顾不得哈何人嘲笑.近身的兵士.这地方是冀鲁豫三省边境有名的险要之地.都是大内的几等卫士.渺不见人.横斩敌手后腰.斜切出去.几霎那间众人都呆住了.那吸旱烟袋的汉子.这时常英、程通已然赶到.山顶几条瀑布.心神稍定.仗着 几十年功力.而且就算他不怀疑.十
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
变式二、异面直线a,b所成的角为600，P
为空间一定点，则过P点且与a,b所成的角
都是600的直线有且只有 ３ 条
18.11.2020
h
13
变式三、异面直线a,b满足a⊥b,直线c 与 a成400角,则c与b所成角的范围为
500,900 《名师伴你行》Ｐ23 5
18.11.2020
《名师伴你行h 》P23 8
6
例２、在棱长是a的正方体ABCD-
A1B1C1D1中，点E,F分 别是BB1,CC1的 中点，求直线AE与BF所成的角.
解：
D1 A1
C1
arccos 1
B1 ·F
5
D
·E C
A
B
18.11.2020
《名师伴你行h 》P23 8
7
例２、在棱长是a的正方体ABCD-
A1B1C1D1中，点E,F分 别是BB1,CC1的 中点，求直线AE与BF所成的角.
18.11.2020
h
1
练习1、
１.下面两条直线是异面直线的是（C）
A.不同在一个平面内的两条直线； B.分别在某两个平面内的两条直线； C.既不平行又不相交的两条直线； D.平面内的一条直线和平面外的一条直线
18.11.2020
h
2
2.若a,b是异面直线，b,c是异面直线， 则a,c的位置关系是 （ ）
√A.相交、平行或异面 B.相交或平行
C.异面
D.平行或异面
D
3.如图，在正方体
C
ABCD-A1B1C1D1中，A
棱AB与CC1所成的
角为_____9度0.
D1
B C1
18.11.2020
h A1
B1
3
例1、如图：a,b,c为不共面的三条直线, 且相交于一点O,点M,N,P分别在直线a, b,c上,点Q是b上异于N的点,判断MN与 PQ的位置关系,并予以证明。 O
h
14
作业 P80 4 ＜名师伴你行＞Ｐ23 ７
18.11.2020
h
15
练习2、如图,已知直线a,b,c不共面，但 都经过同一点A，点M,P是直线a上异于 A点的一点，点N是直线b上异于A点的 一点,点Q是直线c上异于A点的一点， 求证：直线MN与直线PQ是异面直线
P· a
α
M· A· N·
Q·c
《名师伴你行》Ｐ19 考点３
D1
M
A1
2 C1arccos
5
B1 Ｒ
N
D
·
C
A ＰＱ B
18.11.2020
h
10
变式二、求AE与BD1所成的角
arccos 15 15
D1
C1
A1
B1
B3
D
·E C
·E1
A
18.11.2020
B
B2
h
11
注意
１、平移：
①直接平移，②中位线平移，③补形平移
２、若用余弦定理求出cosα＜０，则异 面直线所成的角为π－α
《名师伴你行》P10 考点3 Q
M
P
a
N
b
c
练习2、 18.11.2020
《名师伴你行h 》P10
考点１
5
例２、在棱长是a的正方体ABCD-
A1B1C1D1中，点E,F分 别是BB1,CC1的 中点，求直线AE与BF所成的角.
解：
D1
C1
A1
B1Leabharlann ·Farccos 1 5
D
·E C
A
B
18.11.2020
b
18.11.2020
h
16
如：若求出 cos 1
5
则异面直线所成的角的余弦值为
cos
1
∴异面直线所成的角 arccos 1
5
18.11.2020
h
5
12
例3、异面直线a,b所成的角为500，P为空
间一定点，则过P点且与a,b所成的角都是
300的直线有且只有（Ｂ）
A. １条； B.２条； C.３条； D.４条
变式一、例３中,过Ｐ点且与所成的角都是
解：
D1
C1
A1
·K B1
·F
arccos 1 5
D
·E C
A
B
18.11.2020
《名师伴你行h 》P23 8
8
求异面直线所成角的步骤 1 、平移(作平行线) 2、 找出角θ，证明θ即为所求角 3、 解三角形，求出θ
18.11.2020
h
9
变式一、M，N为A1B1，BB1的中点,求AM
与CN所成的角