异面直线夹角的求法

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异面直线所成角的几种求法资料讲解

异面直线所成角的几种求法仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。

因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。

在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。

一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。

求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。

解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。

作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ，连结GH ，有GH//A 1E 。

过F 作CD 的平行线RS ，分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。

由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。

在△GHS 中，设正方体边长为a 。

GH=46a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ， B A CD FEB 1 A 1 D 1C 1G HSRPQ仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3连QH ，可知△GQH 为直角三角形），HS=26a （连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形）， GS=426a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。

∴Cos ∠GHS=61。

所以直线A 1E 与直线B 1F解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。

以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，设BC 长度为2。

向量方法求异面直线的夹角

x
DF1 i BE1 15 15 cos < DF1 , BE1 > = = = 17 i 17 17 | DF1 || BE1 | 15 所以 DF1 与 BE1 所成角的余弦值为
17
方法总结
向量法求异面直线夹角的一般步骤
(1) 恰当的构建空间直角坐标系；恰当的构建空间直角坐标系； (2) 正确求得所对应点的坐标，空正确求得所对应点的坐标，间向量的坐标表示及其数量积；间向量的坐标表示及其数量积； (3) 代入空间向量的夹角公式，代入空间向量的夹角公式，求得其余弦值；求得其余弦值； (4) 根据题意，转化为几何结论. 根据题意，转化为几何结论
D(0, 0, 0), F1 (0,1, 4) B(4, 4, 0), E1 (4,3, 4)
所以： DF1 = (0,1, 4)
BE1 = (0, −1, 4)
D1 A1 D A
F1
C1 E1 B1
C
| DF1 |= 17
| BE1 |= 17
y
B
DF1 i BE1 = 0 × 0 + 1× (−1) + 4 × 4 = 15理论分析 Nhomakorabea结论
互补
cos θ
=
| ABiCD | | cos < AB, CD >|= | AB || CD |
应用举例
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E1、 F1分别为A1B1，C1D1的一个四等分点，求DF1与BE1所成角的余弦值。
D1 A1 D A B F1 E1 B1 C1
C
解：以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设 DD1 = 4 则： z
1、必做课本P98 5、10 2、选做练习册P76 变式训练4

异面直线成角求法

求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A ）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。

还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B ）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。

例：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角。

解法1：平移法设A 1C 1与B 1D 1交于O ，取B 1B 中点E ，连接OE ，因为OE//D 1B ，所以∠C 1OE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角△C 1OE 中211E B C B E C 2312221BD 21OE 25C A 21OC 22212111221111=+=+==++⋅====()552325222325OEOC 2E C OE OC OE C cos 2221212211=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-+=∠所以55a r c c o sOE C 1=∠所以所以异面直线111BD C A 与所成的角为55arccos图1解法2：补形法在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面BC 1上补上一个同样大小的长方体，将AC 平移到BE ，则∠D 1BE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角，在△BD 1E 中，BD 1=3，5BE =，5224E D 221=+=()()555325253BE BD 2E D BE BD BE D cos 2221212211-=⨯⨯-+=⋅-+=∠所以异面直线A 1C 1与BD 1所成的角为55arccos图2解法3：利用公式21cos cos cos θθθ⋅=设OA 是平面α的一条斜线，OB 是OA 在α内的射影，OC 是平面α内过O 的任意一条直线，设OA 与OC 、OA 与OB 、OB 与OC 所成的角分别是θ、θ1、θ2，则21cos cos cos θθθ⋅=（注：在上述题设条件中，把平面α内的OC 换成平面α内不经过O 点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D 1B 在平面ABCD 内射影是BD ，AC 看作是底面ABCD 内不经过B 点的一条直线，BD 与AC 所成的角为∠AOD ，D 1B 与BD 所成角为∠D 1BD ，设D 1B 与AC 所成角为θ，AOD cos BD D cos cos 1∠⋅∠=θ，55BD BD BD D cos 11==∠。

异面直线所成角的几种求法

D。求异面直线 AE 与 CD 所成的角的大小。
P
解：过 E 作的平行线 EF 交 AD 于 F，
E
由 PA⊥底面 ABCD 可知，直线 AE 在平面
ABCD 内的射影为 AD，
D
直线 AE 与平面 ABCD 所成的角为∠DAE，其大小为 60°，
A
F
射影 AD 与直线 CD 所成的角为∠CDA，其大小为 45°，
所以 cosθ= cosθ1·cosθ2。
A
b B
α O
这一问题中，直线 a 和 b 可以是相交直线，也可以是异面直线。我们不妨把 θ1 叫做线面角，θ 叫做线线角，θ2 叫做线影角。很明显，线线角是这三个角中最大的一个角。我们可以利用这个模型来求两条异面直线 a 和 b 所成的角，即引理中的角 θ。从引理中可以看出，我们需要过 a 的一个平面 α，以及该平面的一条斜线 b 以及 b 在 α 内的射影。
个向量两两之间的夹角是已知的），空间中任何一个向量都可以用这三个向量的线性组合
表示出来，因而也可以运用向量的数乘来求出空间中任意二个向量间的夹角。
例 2：已知空间四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N 分别为 BC
和 AD 的中点，设 AM 和 CN 所成的角为 α，求 cosα 的值。
异面直线所成角的几种求法
异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。
解：取 AC 上点 G，使 AG：GC=1：2。连结 EG、FG，

异面直线夹角的求法

一、等角定理：一个角的二边分别取另一个角的二边仄止，
则二个角相等或者互补.之阳早格格创做
二：同里曲线夹角
（1）意思：（2）0，]
注：二同里曲线夹角为
时，也喊干二曲线互相笔曲. 三、同里曲线夹角的供法：
1、仄移没有改变线段少度[主要适用于柱体]{曲交法}
2 .A1B1C1—ABC 是曲三棱柱，∠BCA=90°，面D1、F1分别是A1B1、A1C1的中面
若BC=CA=CC1，供BD1取AF1所成角的余弦值. 3.正在棱少为1的正圆体ABCD —A1B1C1D1中，M 战N 分别为A1B1
战BB1的中面，
供曲线A 取CN 所成角的余弦值
二、仄移改变线段少度[主要适用于锥体] 注：采用仄移目标的规则：正在二条同里曲线上，各采用一个面产死线段，则该线段的中面便是仄移的目标位子.
注：正三棱锥对于棱笔曲.[本量]
三、补形[主要适用于线段的位子没有简单爆收移动，如体对于角线，共时央供正在准则的柱体中如正圆体、少圆体中战一些正棱柱中] 例：正圆体ABCD －中，供同里曲线所成的角. B 1 (第6题) A 1 A B C 1 D 1
C
D M
N (第5题) F 1
A B C D 1
C 1
A 1
B 1。

异面直线夹角求法

在解决实际问题中的应用
建筑设计
在建筑设计领域，异面直线夹角可以用于确定建筑物的外观、结构等，以确保建筑物的稳定性和美观性。
机械设计
在机械设计领域，异面直线夹角可以用于确定机械零件的形状、尺寸等，以确保机械零件的准确性和可靠性。
04
异面直线夹角的特殊情况
异面直线夹角为直角的情况
总结词
当两条异面直线之间的夹角为直角时，它们之间的夹角是确定的，即90度。
利用向量的数量积求异面直线夹角
总结词
通过向量的数量积，可以计算出异面直线之间的夹角的余弦值。
详细描述
首先分别求出两条异面直线的方向向量，然后计算这两个方向向量的数量积。数量积的绝对值等于两向量的模的乘积与两向量夹角的余弦值的乘积，由此可以求出夹角的余弦值。
利用空间几何的性质求异面直线夹角
总结词
利用空间几何的性质，通过观察空间几何图形，可以直观地求出异面直线之间的夹角。
详细描述
首先根据异面直线的位置关系，构建一个空间几何图形。然后利用空间几何图形的性质，如平行线之间的夹角、三角形中的角度关系等，可以求出异面直线之间的夹角。
03
异面直线夹角的应用
在几何图形中的应用
确定几何形状
异面直线夹角可以用于确定几何图形的形状和大小，例如在三维建模、建筑设计等领域。
异面直线夹角的性质
异面直线夹角是两条异面直线在同一平面内投影所形成的角度，因此不会超过$90^circ$。
异面直线夹角的大小与两条异面直线的方向向量有关，方向向量之间的夹角等于异面直线夹角的补角。
异面直线夹角的取值范围
1
异面直线夹角的取值范围是$0^circ$到 $90^circ$，不包括$0^circ$和$90^circ$。

高中数学：异面直线所成的角求法(汇总大全)

异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

直角平移法：1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。

在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。

2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．正确答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN ，则QN ∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ，易证∠GNA 是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6， cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+。

投影法求异面直线夹角

ｓｉｎ＝器・ＤＯ・ ∞ ｃ。ｓ＋ＢＤ
ＢＯＤ上面ＤＯＣ．令ＯＢ，ＯＡ与平面所成的线面角为／＿ＢＯＤ
收稿日期：２０１７— ０５— ０１
・ｓｉｎ０２ｃｏｓ・ＣＯＳ０ｌ。ＣＯＳ０２＋ｓｉｎ０ｌ‘ｓｉｎ０２．
参考文献：
［１］蔡勇全．回归定义
七、特殊化或极限化
把研究对象特殊化或极限化向来是探究数学问题的重要手段，在解答一些解析几何问题时，若能善加运用，
究，２０１４（１）．
［２］蔡勇全． “ １ ” 在数学解题中的几种妙用［Ｊ］．数理
Ｃ，连接ＢＣ．当异面直线在投影面同侧
ｓｉｎ／ＡＯＢｓｉｎＡ．ＡＯＣ，其中０为二面
角Ｃ—ＯＡ— Ｂ的平面角．
时，容易知道二面角Ａ一０ｃ—Ｂ０的平面角大小为ＣＢＤ．我们用
移异面直线所成角的余弦值为ＣＯＳＯｔ・ＣＯＳ０１ ‘ ＣＯＳ０２一ｓｉｎ０ｌ
・ｓｉｎ０．考虑到异面直线所成角取值范围是（０，＂／Ｔ，所以
椭圆上，Ｉ：Ｙｊ：ＡＰＦ，Ｆ２的内ｌｆ，，直线交长轴于Ｑ，且：
投影法求异面直线夹角
王寒山
（上海市向明中学，上海２０００２０）
摘要：在学习异面直线夹角时，有同学提出问题 “ 已知两异面直线在同一平面内的投影垂直，那

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一、等角定理：一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则两个角相等或互补。

二：异面直线夹角
（1）意义：（2）0，]
注：两异面直线夹角为时，也叫做两直线互相垂直。

三、异面直线夹角的求法：
1、平移不改变线段长度[主要适用于柱体]{直接法
}
2 .A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点
若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成角的余弦值.
3.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，
求直线A与CN所成角的余弦值
二、平移改变线段长度[主要适用于锥体]
注：选择平移方向的法则：在两条异面直线上，各选择一个点形成线段，则该线段的中点就是平移的目标位置。

B1
(第6题)
A1
A B
C1
D1
C
D
M
N (第5题)
F1
A
B
C
D1
C1
A1
B1
注：正三棱锥对棱垂直。

[性质]
三、补形[主要适用于线段的位置不易发生移动，如体对角线，同时要求在规则的柱体中如正方体、长方体中和一些正棱柱中]
例：正方体ABCD－中，求异面直线所成的角.。