异面直线夹角习题及答案
立体几何练习题7异面直线夹角的计算
异面直线夹角的计算1.如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中, ∠ACB=90。
,AA 1=2,AC=BC=1,则异面直线A 1B 与AC 所成角的大小是＿＿.2. 如图,在四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD ⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=√2,底面ABCD 为直角梯形,其中BC ∥AD,AB ⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为AD 中点. 求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值.3. 如图,正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中, AA 1=2AB,则异面直线与所成角的余弦值为＿＿.4.如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点,则异面直线EF 与GH 所成的角等于＿＿.BA CA 1C 1B 1PCDBAOABCD A 1B 1C 1D 1D ABCA 1B 1C 1D 1EFH G5. 如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩形,已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2√2, ∠PAB=60。
. 求异面直线PC 与AD 所成角的大小.6. 如图，在Rt △AOB 中，∠OAB=π/6，斜边AB=4，Rt △AOC 可以通过以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B-AO-C 是直二面角，D 是AB的中点.求异面直线AO 与CD 所成角的大小.7. 如图,在四棱锥O-ABCD 中,底面ABCD 是边长为1的菱形, ∠ABC=π/4,OA ⊥底面ABCD,OA=2,M 为OA 的中点. 求异面直线AB 与MD 所成角的大小.8.如图，α和β为平面，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，AB=5，A 、B 在棱l 上的射影分别为A ′、B ′，AA ′=3，BB ′=2，若二面角α-l-β的大小为2π/3.求异面直线l 与AB 所成的角.(用反三角函数表示)A DBCPACODB OBCDAMB ′ ABβA ′αl。
异面直线所成的角专题训练
异面直线所成的角专题训练1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AC和XXX所成的角为多少度？答案：90度。
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB的中点M，DD1的中点N，则异面直线B1M与CN所成的角是多少度？答案：60度。
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AC的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为多少度？答案：无法确定，题目中缺少信息。
4.在三棱锥ABC-A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，AB=4，AA1=6.若E是棱BB1上的点，且BE=B1E，则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为多少？答案：1/3.5.在三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角形，PA=PC=4，平面PAC⊥平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为多少？答案：-1/2.6.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，直线AM与CN所成角的余弦值是多少？答案：-3/5.7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，且CA=CC1=10，则直线B1C与直线AB1所成角的余弦值为多少？答案：5/13.8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，A1B1=2，AB⊥BC，点M是AC1的中点，则异面直线MB与AA1所成角的余弦值为多少？答案：-1/3.9.正三棱锥A-PBC的侧棱两两垂直，D，E分别为棱PA，BC的中点，则异面直线PC与DE所成角的余弦值为多少？答案：-3/5.10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BC的中点，点F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1D所成角的大小为多少度？答案：无法确定，题目中缺少信息。
中，ABCD是正方形，E是AD的中点，F是BC的中点，异面直线EF与AC所成的角的正弦值为(。
)A．12B．13C．23D．110.在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BC的中点，异面直线EF与直线AC所成的角的正切值为(。
异面直线夹角习题及答案
1.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=12,BC=3,AA1=4，N在A1B1上，且B1N=1/3A1B1，求BD1与C1N所成角的余弦值。
你可以在AB上找一点N1，使AN1=1/3AB,然后连接CN1，这样的话，C1N平行与CN1,然后再连接AD1，在AD1上找一点E，使AE=2ED1,连接EN1，这样辅助线就做完了，然后计算CN1=5,BD1=13,那么根据三角形相似的性质，EN1=26/3，接下来求EC的长度，连接BC1,在BC1上找一点F，使FC1=1/2BF,连接CF,在面BCC1B1面上求出CF的长度，然后EF垂直于CF，这样在直角三角形中，求出CE，再根据余弦定理，在三角形CEN1中，求出角CN1E就是要求的角了。
看起来很麻烦，可是只要你看懂了，在根据我说的，画出图来，这道题还是很简单的，用高中的知识很容易就解决了。
要有耐心啊~~~~2.在空间四边形ABCD中，AB=CD=6，M，N分别是对角线AC，BD的中点，MN=5，求异面直线AB与CD所成角的大小。
做MH//CD交AD于H，连结HN角MHN是所成角或其补角MH=NH＝3，MN＝5cos角MHN=(MH^2+NH^2-MN^2)/2*MH*NH=(9+9-25)/2*3*3=-7/18所成角为arccos7/18（）1、设P=｛两异面直线所成的角｝，M=｛直线与平面所成的角｝，N=｛二面的平面角｝，则有A、PÌMÌNB、P=MÌNC、PÉMÉND、PÌM=N（）2、正四面体A—BCD中E、F分别是棱BC和AD之中点，则EF和AB 所成的角A、45°B、60°C、90°D、30°（）3、正方体ABCD—A¢B¢C¢D¢中，与BD成60°角的面对角线的条数为A、0B、2C、4D、8（）4、把一个正方形的纸折成一个底面为正方形的长方体，正方形的对角线就成为在长方体四侧面的一条折线，则这条折线相对的两段所成角是A、45°B、60°C、90°D、120°5、a、b为异，面直线，二面角a—a—b为q，a^a，b^b，则a、b的夹角为_______6、正方体ABCD—A¢B¢C¢D¢中，E、F分别是BC、A¢D¢之中点，则ADE所成的角是_______7、空间四边形ABCD中，P、R分别是AB、CD之中点，且PR=3，AC=4，BD=2 EQ R(,5) ，则AC和BD所成的角是_________8、A、CD阳两条异面直线，A=CD=3，E、F分别是线段AD、BC上的点，且AE：ED=BF：FC=1：2，EF= EQ R(,7) ，则AB与CD所成角为________ 9、正四面体S—ABC中，D、E是SA、BC之中点，求AE与BD所成角的余弦10、DABC的ÐC=90°，PA^面ABC，M、N分别是边AC、PB的中点，求证“MN^AC。
第二章空间向量与立体几何中异面直线夹角问题
平面 ， ．
又在 中， ， ， ， ．
（2）
解法一：如图建立空间直角坐标系
则 、 、 、 ，所以 、 ，10分
则向量 与
所成角 满足 ．
异面直线 与 所成的角等于 ．
解法二：
取 的中点 ，连 、 ．
， 四边形 为平行四边形， ， 等于异面直线 与 所成的角或其补角． ， ， ，得 ， ， ，
(1)写出图中M、N的坐标；
(2)求直线AM与NC所成角的余弦值.
4．在正三棱柱 中，若 ，求 与 所成角的大小.
5．在四棱锥 中， 平面 ，底面四边形 为直角梯形， ， ， ， ， 为 中点．
（1）求证： ；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值．
6．如图，在三棱柱 中，H是正方形 的中心， ， 平面 ，且 ，求异面直线AC与 所成角的余弦值.
详解1设aba?adb?1aac?所以1cos602abab?????c01o6sccaa?????c01o6sccbb?????因为acab??所以平行四边形11aacc中11acacabaac?????????22211cacbaac??????????222222acabccbba?????222coscoscos606062022babcabcca?????????1112114222??????11?111ac?所以对角线1ac的长为
， ．
异面直线 与 所成的角等于 ．
3．(1)M（2，1，2），N（2，2，1）.(2) ．
【分析】
(1)根据正方体的棱长，直接写出坐标；
(2)利用向量夹角公式能求出直线AM与CN所成的角的余弦值．
【详解】
(1)由于正方体 的棱长为2.
专题03 立体几何中的夹角问题(解析版)
第三篇 立体几何专题03 立体几何中的夹角问题常见考点考点一 线线角典例1．如图，在多面体ABCEF 中，ABC 和ACE 均为等边三角形，D 是AC 的中点，EF BD ∥，2BD EF ==(1)证明：AC BF ⊥；(2)若平面ABC ⊥平面ACE ，求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析【解析】 【分析】（1）证明一条直线垂直于另一条直线，可以先证明前者垂直于后者所在的那个平面； （2）求异面直线的夹角，优先考虑建立空间直角坐标系，用向量的方法来计算. (1)证明：连接DE .因为AB BC =，且D 为AC 的中点，所以AC BD ⊥. 因为AE EC =，且D 为AC 的中点，所以AC DE ⊥.因为BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，且BD DE D ⋂=，所以AC ⊥平面BDE . 因为EF BD ∥，所以BF ⊂平面BDE ，所以AC BF ⊥；(2)由（1）可知DE AC ⊥.因为平面ABC ⊥平面ACE ，平面ABC 平面ACE AC =，DE ⊂平面ACE ， 所以DE ⊥平面ABC ，所以DC ，DB ，DE 两两垂直.以D 为原点，分别以DC ，DB .DE 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.则()1,0,0A -，()B ，F ⎛ ⎝，(E ，从而(AE =，0,2BF ⎛=- ⎝. 则15cos 5AE BF AE BF AE BF⋅==⋅，，即异面直线AE 与BF变式1-1．如图，在平行四边形ABCD 中，AB AC =，90ACD ︒=∠，以AC 为折痕将ACD ∆折起，使点D 到达点M 的位置，且AB AM ⊥.(1)证明：平面ACM ⊥平面ABC ；(2)E 为线段AM 上一点，F 为线段BC 上一点，且13AE CF AD ==，求异面直线AC 与EF 所成的角的余弦.【答案】(1)证明见解析【解析】 【分析】（1）由题易知AB AC ⊥，由根据线面垂直的判定定理可推出AB ⊥平面ACM ，再由面面垂直的判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值； (1) 证明：平行四边形ABCD ，//AB CD ∴，90BAC ACD ∴∠=∠=︒，即AB AC ⊥，AB AM ⊥，AC AM A ⋂=，AC 、AM ⊂平面ACM ， AB ∴⊥平面ACM ，AB ⊂平面ABC ，∴平面ACM ⊥平面ABC ．(2)解：由（1）平面ACM ⊥平面ABC ，MC AC ⊥，平面ACM ⋂平面ABC AC =，MC ⊂平面ACM ，所以CM ⊥平面ABC ，因为CD ⊂平面ABC ，所以MC CD ⊥，如图建立空间直角坐标系，令3AB AC ==，所以()0,0,0C ，()0,3,0A ，()1,1,0F -，()0,2,1E ，所以()0,3,0CA =，()1,1,1FE =，设异面直线AC与EF 所成的角为θ，则3cos 33CA FE CA FEθ⋅===⋅， 故异面直线AC 与EF变式1-2．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ，1AB =，AC =2BAC π∠=，D 是棱1CC 上一点．(1)若1A C BD ⊥，求1CDCC ； (2)在（1）的条件下，求直线1B D 与11AC 所成角的余弦值． 【答案】(1)112CD CC=【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量求解即可；（2）利用向量求解即可. (1)如图，以AB ，AC ，1AA 的单位向量为正交基底建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,0,0B，()C，(1A，(1B，(1C ．设()D a，则()BD a =-，又(1AC =，1A C BD ⊥，∴130AC BD ⋅==，∴a =D 为1CC 的中点， ∴112CD CC =．(2)由（1）得1B D ⎛=- ⎝⎭，()11AC =，∴111cos ,B D AC ==．变式1-3．如图，在正方体1111ABCDA B C D -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点.(1)求证：1D F AE ⊥；(2)求直线EF 和1CB 所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)6π 【解析】 【分析】（1）以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，计算得出10D F AE ⋅=，即可证得结论成立；（2）利用空间向量法可求得直线EF 和1CB 所成角的大小. (1)解：以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0D 、()2,0,0A 、()10,0,2D 、()2,2,1E 、()0,1,0F 、()0,2,0C 、()12,2,2B ，()10,1,2D F =-，()0,2,1AE =，所以，112210D F AE ⋅=⨯-⨯=，1D F AE ∴⊥.(2)解：()2,1,1EF =---，()12,0,2CB =，111cos ,6EF CB EF CB EF CB ⋅<>===⋅，因此，直线EF 和1CB 所成角为6π.考点二 线面角典例2．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，2ABC π∠=，22AB BC AD ===，E ，F 分别为边AB ，CD 上的动点，且EF BC ∥，G 是BC 的中点，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ．(1)求AE 为何值时，BD EG ⊥；(2)在（1）的条件下，求BD 与平面ABF 所成角的正弦值． 【答案】(1)1 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用0BD EG ⋅=，得出1AE =；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法得出BD 与平面ABF 所成角的正弦值． (1)沿EF 将梯形ABCD 翻折后，以E 为原点，以EB 所在直线为x 轴，EF 所在直线为y 轴，EA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.设,(0,2)EA t t =∈，则(0,0,0),(0,0,),(2,0,0)E A t B t -，(0,1,),(2,1,0)D t G t -(2,1,)BD t t ∴=-，(2,1,0)EG t =-,0BD EG BD EG ⊥∴⋅=，即2(2)10t --+=，解得1t =或3t =（舍）故当1AE =时，BD EG ⊥(2)在（1）的条件下，(0,0,1)A ，3(1,0,0),0,,0,(0,1,1)2B F D ⎛⎫ ⎪⎝⎭3(1,1,1),(1,0,1),1,,02BD BA BF ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭设平面ABF 的法向量为(,,1)n a b =，由0,0n BA n BF ⋅=⋅=，解得21,3a b == 故21,,13n ⎛⎫= ⎪⎝⎭设BD 与平面ABF 所成角为θ，则sin cos ,BD n θ=1||||3BD n BD n -+⋅===⋅⋅ 故BD 与平面ABF . 变式2-1．如图所示的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，E ，F 分别是棱BC ，CD 上的点，且2BE EC =，2DFFC =，点G 为棱1CC 上的动点，13AA =，1O 为上底面1111D C B A 的中心，1AO ∥平面EFG .(1)求CG 的长度；(2)求直线1BO 与平面EFG 所成的角的正弦值. 【答案】(1)1(2)11【解析】 【分析】（1）假设当1CG =时，1AO ∥平面EFG ，连11A C ，取棱AC 的中点O ，连1OC ，得到11AO OC ∥，设OC EF H ⋂=，连接GH ，易证1AO HG ∥，再利用线面平行的判定定理证明；（2）分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，求得平面EFG 的一个法向量为(),,n x y z =，设直线1BO 与平面EFG 所成的角为α，由111sin cos ,n BO n BO n BO α⋅==求解. (1)解：假设当1CG =时，1AO ∥平面EFG ， 如图所示，连11A C ，因为1O 为上底面的中心，所以1O 是棱11A C 的中点. 连AC ，取棱AC 的中点O ，连1OC ，则11AO OC ∥， 设OC EF H ⋂=，连接GH ，由2BE EC =，2DF FC =；得13CH CO =， 又因为113CG CC =，所以1OC HG ∥， 所以1AO HG ∥，又因为GH ⊂平面EFG ，1AO ⊄平面EFG ， 所以1AO ∥平面EFG ，所以假设成立，即1CG =. (2)由题可知DA ，DC ，1DD 两两相互垂直，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则2,2,03E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，40,,03F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,2,1G ，()11,1,3O ，()2,2,0B ，所以()11,1,3BO =--，22,,033EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，2,0,13EG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面EFG 的一个法向量为(),,n x y z =，则0,0,n EF n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()22,,,,00332,,,0,103x y z x y z ⎧⎛⎫⋅--= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，令3x =，得3y =-，2z =，所以()3,3,2n =-， 设直线1BO 与平面EFG 所成的角为α，则111sin cos ,n BO n BO n BO α⋅==，=. 变式2-2．如图，三棱锥P －ABC 中，PAB △为正三角形，侧面P AB 与底面ABC 所成的二面角为150°，AB ＝AC ＝2，AB AC ⊥，E，M ，N 分别是线段AB ，PB 和BC 的中点.(1)证明：平面PEN ⊥平面ABC ；(2)求直线PN 与平面MAC 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析【解析】 【分析】（1）由PAB △为正三角形，可得PE AB ⊥，再由三角形中位线定理结合已知条件可得EN AB ⊥，再由线面垂直和面面垂直的判定可得结论，（2）以E 为原点，EB 、EN 所在的直线分别为x 、y 轴，过点E 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可 (1)由PAB △为正三角形，E 是AB 的中点，则知PE ⊥AB ， 因为E ，N 分别是线段AB 和BC 的中点， 所以EN ∥AC ，因为AB ⊥AC ，所以EN ⊥AB ， 又PE EN E ⋂=，所以AB ⊥平面PEN ， 因为AB 平面ABC 所以平面PEN ⊥平面ABC . (2)由（1）知，∠PEN ＝150°，以E 为原点，EB 、EN 所在的直线分别为x 、y 轴，过点E 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B （1，0，0），C （－1，2，0），A （－1，0，0），30,2P ⎛- ⎝⎭，13,24M ⎛- ⎝⎭，N （0，1，0），∴50,,2PN ⎛= ⎝⎭，33,24AM ⎛=- ⎝⎭，()0,2,0AC =， 设平面MAC 的法向量为(),,n x y z =，则00n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2033024y x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩， 令x ＝1，则y ＝0，z =-(1,0,n =-，设直线PN 与平面MAC 所成角为θ，则sin cos ,7PN n PN n PN nθ⋅====故直线PN 与平面MAC变式2-3．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1222AC AB AA ===，11A B AB M =，11A B B C ⊥.(1)求证：AB AC ⊥；(2)若点N 在线段1A C 上，满足MN ∥平面ABC ，求直线1B N 与平面1A BC 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)49【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明出AC ⊥平面11AA B B ，即可证明AC AB ⊥. （2）连接1A C ，MN ，1B N .先证明出N 为1A C 的中点.以A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. (1)∵111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AA ⊥平面ABC ，∴1AA AB ⊥，1AA AC ⊥， 又1AA AB =，所以四边形11AA B B 为正方形， ∴11A B AB ⊥，又11A B B C ⊥，111AB B C B ⋂=， ∴1A B ⊥平面1AB C ，又AC ⊂平面1AB C ，∴1A B AC ⊥，又1AC AA ⊥，111A B AA A ⋂=，∴AC ⊥平面11AA B B ，又AB 平面11AA B B ， ∴AC AB ⊥. (2)连接1A C ，MN ，1B N .∵MN ∥平面ABC ，又MN ⊂平面1A BC ，平面1A BC 平面ABC BC =， ∴MN BC ∥.又M 为1A B 的中点，∴N 为1A C 的中点.如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,1A ，()1,0,0B ，()0,2,0C ，()11,0,1B ，10,1,2N ⎛⎫⎪⎝⎭.∴111,1,2B N ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭设平面1A BC 的法向量为(),,n x y z =，又()11,0,1A B =-，()10,2,1AC =-， 由1100n A B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得020x z y z -=⎧⎨-=⎩，不妨取z =2，所以平面1A BC 的一个法向量为()2,1,2n =∴直线1B N 与平面1A BC 所成角θ的正弦值为11124sin cos ,3932B N n B N n B N nθ⋅====⨯.考点三 二面角典例3．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 是矩形，AC AB ⊥，12AB AA ==，3AC =，1120A AB ∠=︒，E ，F 分别为棱11A B ，BC 的中点，G 为线段CF 的中点．(1)证明：1//AG 平面AEF ； (2)求二面角A EF B --的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；【解析】 【分析】（1）作图，由对应比例证明1//OF A G ，即可证明1//AG 平面AEF ；（2）建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，从而得对应平面向量的坐标，求解出法向量，利用向量夹角计算公式代入计算. (1)连接1A B ，交AE 于点O ，连接OF ，由题意，四边形11ABB A 为平行四边形，所以11AB A B =，因为E为11A B 中点，∴112A E AB =，∴1AOE BOA △△，且相似比为12，∴112AO OB =，又∵F ，G 为BC ，CF 中点，∴12GF BF =，∴1//OF A G ，又OF ⊂平面AEF ，1AG ⊄平面AEF ，∴1//AG 平面AEF .(2)连接1AB ，因为1120A AB ∠=︒，12AB AA ==，所以11AB A B ⊥，112,AB A B ==间直角坐标系，则()()1130,1,0,,,0,,222A B E F ⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则333313,,0,,,0,3,1,22222AE BE EF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设平面AEF 和平面BEF 的法向量分别为()()111222,,,,,m x y z n x y z ==，则{AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅m ⃑⃑ =0EF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅m ⃑⃑ =0⇒{√32x 1−32y 1=0−√3x 1+y 1+32z 1=0⇒m ⃑⃑ =(3√3,3,4)，{BE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ =0EF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ =0⇒{3√32x 2−12y 2=0−√3x 2+y 2+32z 2=0⇒n ⃑ =(√3,9,−4)，所以927cos ,13213m n m n m n⋅+===，因为二面角A EF B --的平面角为锐角，所以二面角A EFB --.【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.变式3-1．如图，ABC中AB BC⊥，且2=，将AEF沿中位线EF折起，使得AE BEAB BC⊥，连结AB，AC，M为AC的中点.(1)证明：MF⊥平面ABC；(2)求二面角E MF C--的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由勾股定理以及等腰三角形的性质得出FM AC⊥，MF BM⊥，再由线面垂直的判定证明即可；（2）以点E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，由向量法得出面面角. (1)设2BC =，则1,2,EF AE BE AF FC =====,AE EF AE BE ⊥⊥，EFBE E =，AE ⊥平面BCFEEC ⊂平面BCFE ，AE EC ∴⊥连接BM ，BF，AC AE ==2,BC AB ==222,AC BC AB BC AB ∴=+⊥12BM AC ∴==MF BF ===222BF MF BM ∴=+，即MF BM ⊥又,AF FC FM AC =∴⊥BM AC M ⋂=，∴MF ⊥平面ABC(2),,AE BE AE EF EF BE ⊥⊥⊥，∴以点E 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系(0,0,2),(2,2,0),(1,1,1)(0,1,0),(0,0),0,A C M F E(1,0,1),(1,1,1),(2,1,0)MF EM FC ∴=--==设平面EMF 的法向量为()111,,n x y z =，平面MFC 的法向量为()222,,m x y z =11111000x z MF n x y z EM n ⎧--=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨++=⋅=⎩⎪⎩，令11z =-，则(1,0,1)n =- 同理可得(1,2,1)m =--，2cos ,||||32m n m n m n ⋅〈〉===⋅⨯ 又二面角E MF C --为钝角，故二面角E MF C --的余弦值为变式3-2．如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB DC ∥，90DAB ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，且112PA AD DC AB ====，M 是棱PB 的中点.(1)证明：平面PAD ⊥平面PCD ；(2)求平面AMC 与平面BMC 的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)23【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先证明DC ⊥平面P AD ，再根据面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面PCD ；（2）建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，继而求得相关向量的坐标，再求出相关平面AMC 和平面BMC 的法向量，根据向量的夹角公式求得答案 (1)∵PA ⊥底面ABCD ，DC ⊂底面ABCD ，∴PA DC ⊥,又由题设知AD DC ⊥，且直线P A 与AD 是平面P AD 内的两条相交直线， ∴DC ⊥平面P AD .又DC ⊂平面PCD ，∴平面PAD ⊥平面PCD . (2)∵PA AD ⊥，PA AB ⊥，AD AB ⊥，∴以A 为坐标原点，以AD 为x 轴，以AB 为y 轴，以AP 为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0A ，()0,2,0B ，()1,1,0C ，()0,0,1P ,10,1,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，10,1,2AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(1,1,0)AC =,设平面AMC 的法向量为()1,,n x y z =，则由1100n AM n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1020y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得2z y x y =-⎧⎨=-⎩，令1y =，得()11,1,2n =--为平面AMC 的一个法向量.由10,1,2BM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,0,2MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,设平面BMC 的一个法向量为()2,,n a b c =，则2200n BM n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即102102b c a c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 令1a = ,可得平面BMC 的一个法向量为()21,1,2n =. ∴1212122cos ,3n n n n n n ⋅==-, 故所求平面AMC 与平面BMC 的夹角的余弦值为23.变式3-3．如图，三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA AC ⊥，AB AC ⊥，2AB AC ==，4PA =，点M 是P A 的中点，点D 是AC 的中点，点N 在PB 上，且2PN NB =.(1)证明：BD 平面CMN ；(2)求平面MNC 与平面ABC 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)23【解析】 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，得到相关点和相关向量的坐标, （1）求出平面CMN 的法向量，利用BD n =0证明即可；（2）由（1）知平面CMN 的法向量，再求平面ABC 的法向量，利用向量的夹角公式即可求解. (1)证明：三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA AC ⊥，AB AC ⊥∴分别以AB ，AC ，AP 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系∵2AB AC ==，4PA =，点M 是P A 的中点，点D 是AC 的中点，点N 在PB 上且2PN NB =∴()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,2M ，44,0,33N ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,0D设平面CMN 的法向量()000,,n x y z =，()0,2,2CM =-，44,2,33CN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2,1,0BD =-，由00000220442033n CM y z n CN x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩得00012x zy z ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 令02z =- 得0012x y =-⎧⎨=-⎩ ∴()1,2,2n =---∵()()2,1,01,2,20BD n ⋅=-⋅---= ∴BD n ⊥又BD ⊄平面CMN ∴BD 平面CMN ； (2)PA AB ⊥，PA AC ⊥，AB AC A ⋂=∴PA ⊥平面ABC∴PA 为平面ABC 的法向量 ()0,0,4AP =则AP 与n 的夹角α的补角是平面ABC 与平面CMN 所成二面角的平面角θ82cos cos 433AP n AP nθα⋅-=-=-=-=⨯⋅. ∴平面MNC 与平面ABC 所成角的余弦值为23.巩固练习练习一 线线角1．如图，在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB ⊥AC ，AB =AC =2，AA 1=4，点D 是BC 的中点，求异面直线 A 1B 与C 1D 所成角的余弦值.【解析】 【分析】建立空间直角坐标系,利用空间向量法求解. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系：则()()()()110,0,4,2,0,0,0,2,4,1,1,0A B C D ， 所以()()112,0,4,1,1,4A B C D =-=--， 设异面直线 A 1B 与C 1D 所成的角为θ，所以111111cos cos ,25A B C D A B C D A B C Dθ⋅====⋅. 2．如图，直棱柱111,ABC A B C -在底面ABC 中，1,90CA CB BCA ∠===，棱12,,AA M N =分别为111,A B A A 的中点.（1）求异面直线1BA ､1CB 成角的余弦值； （2）求证：BN ⊥平面1C MN .【答案】（1（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据条件中的垂直关系，以点C 为原点，建立空间直角坐标系，求向量1BA 和1CB 的坐标，再根据公式11cos ,BA CB <>的值；（2）利用向量数量积证明11,C M BN C N BN ⊥⊥，证明线面垂直. 【详解】（1）如图所示，以C 为原点，建立空间直角坐标系C xyz -，依题意得()()()()()110,1,0,1,0,1,1,0,2,0,0,0,0,1,2,B N A C B()()111,1,2,0,1,2BA CB ∴=-= ()111011223BA CB ∴⋅=⨯+-⨯+⨯= 又116,5BA CB ==11111130cos<,10BA CB BA CB BA BB⋅∴>==故11,BA CB （2）证明：依题意得()()()()11111,0,2,0,0,2,0,1,0,1,0,1,,,2,22A CB N M ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()1111,,0,1,0,1,1,1,122C M CC N BN ⎛⎫∴==-=- ⎪⎝⎭()()()111111010,11011122C M BN C N BN ∴⋅=⨯+⨯-+⨯=⋅=⨯+⨯-+-⨯=0,11,C M BN C N BN ∴⊥⊥11,BN C M BN C N ∴⊥⊥又：1111,C M C N C C M ⋂=⊂面11,C MN C N ⊂面1C MNBN ∴⊥平面1.C MN3．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2,,,AC AB A A AB AC D E F ⊥===分别为1,,AB BC BB 的中点.（1）证明：//DF 平面11AB C ；（2）证明：11AFB E ⊥； （3）求异面直线111A F B C 与所成角的余弦值.【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3 【解析】 【分析】（1）通过证明1//DF AB 来证得//DF 平面11AB C .（2）建立空间直角坐标系，利用向量法证得11AFB E ⊥. （3）利用向量法求得异面直线1A F 与11BC 所成角的余弦值. 【详解】（1）在三角形1ABB 中，,D F 分别是1,AB BB 的中点，所以DF 是三角形1ABB 的中位线，所以1//DF AB ，由于DF ⊂平面11AB C ，1AB ⊂平面11AB C ，所以//DF 平面11AB C . （2）以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()1110,0,2,0,2,1,0,2,2,2,0,2,1,1,0A F B C E ，所以()()110,2,1,1,1,2A F B E =-=--，11220A F B E ⋅=-+=，所以11A F B E ⊥，即11AF B E ⊥.（3）()()1110,2,1,2,2,0A F B C =-=-，设异面直线1A F 与11B C 所成角为θ，则1111cos 55A F B E A F B Eθ⋅===⋅. 所以异面直线1A F 与11B C4．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是1DD ，BD ，1BB 的中点.（1）求证：EF CF ⊥；（2）求EF 与CG 所成角的余弦值； （3）求CE 的长.【答案】（1）证明见解析；（2（3【解析】 【分析】（1）以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，证明0EF CF ⋅=即可；（2）求出cos cos ,EF CG EF CG EF CGθ⋅=<>=⋅即可；（3）利用空间两点间距离公式即可求出. 【详解】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系， 则()11110,0,,,,0,0,1,0,1,1,2222E F C G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）111,,222EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,022CF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则111110022222EF CF ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯+⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, EF CF ∴⋅，∴EF CF ⊥； （2）设EF 与CG 所成角为θ，111,,222EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,0,2CG ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1cos cos ,153EF CG EF CG EF CGθ⋅=<>===⋅所以EF 与CG（3）CE ==练习二 线面角5．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B ⊥底面11,60,ABC AA BAA ABC =∠=︒为等腰直角三角形，2AC BC ==．(1)若O 为AB 的中点，求证：1CO AA ⊥； (2)求直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析【解析】 【分析】(1)根据题意可得CO AB ⊥，由面面垂直的性质可得CO ⊥平面11AA B B ，结合线面垂直的性质即可证明；(2)建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面11ACC A 的法向量和1BC ， 结合空间向量的数量积计算即可. (1)ABC 为等腰直角三角形，2AC BC ==，由O 为AB 的中点，CO AB ∴⊥，又平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B 平面ABC AB =．CO ∴⊥平面11AA B B ，又1AA ⊂平面111AA B B CO AA ∴⊥，． (2)ABC为等腰直角三角形，2AC BC AB ==∴=，又11260AA BAA =∠=︒∴，四边形11AA B B 为菱形，1AA B 为正三角形，1A O AB ∴⊥，又平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B 平面ABC AB =，1AO ∴⊥平面ABC，建立如图所示的空间直角坐标系，1(0,A B C A ，，，，111(2,BC BC CC BC AA =+=+=+=．又1(2,2,0)(0,2,AC AA ==，，设(,,)n x y z =是平面11ACC A 的一个法向量，则100n AA n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,0,+== 令1z =，则(3,x y n ===-． 设直线1BC 与平面11ACC A 所成的角为θ，则1201sin cos ,7n BC θ⨯+===．6．如图，已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，AB CD ∥，1AB =，1BC =，2CD =，点A 在平面PCD 内的投影恰好是△PCD 的重心G ．(1)求证：平面PAB ⊥平面PBC ；(2)求直线DG 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；. 【解析】 【分析】（1）通过线线垂直先证明BC ⊥平面PAB ，即可由线面垂直证明面面垂直；（2）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，即可由向量法求得线面角的正弦值. (1)因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥， 因为90ABC ∠=︒，所以BC AB ⊥，因为PA AB A =，PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ， 所以BC ⊥平面PAB ，又因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBC ． (2)取CD 中点E ，连接AE ，因为90ABC ∠=︒，AB CD ∥，1AB BC ==，2CD =， 所以四边形ABCE 是矩形，所以AB AE ⊥， 因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AE ⊥，所以AB 、AE 、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系：(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)E ，(1,1,0)D -，设(0,0,)(0)P t t >，则20,,33t G ⎛⎫⎪⎝⎭，20,,33t AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11,,33t CG ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，11,,33t DG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为点A 在平面PCD 内的投影恰好是△PCD 的重心G ，所以AG CG ⊥，所以0CG AG ⋅=，所以220099t -+=，t =(0,1,0)BC =，(1,0,PB =，令(2,0,1)m =，因为0BC m ⋅=，0PB m ⋅=， 所以m 是平面PBC 的法向量，DG 的方向向量是11,,33DG ⎛=- ⎝⎭，所以直线CG 与平面PBC 所成角θ的正弦值为||3sin |cos ,|3||||3m DG m DG m DG θ⋅=〈〉===⋅. 故直线DG 与平面PBC 所成角的正弦值为3. 7．已知平行四边形ABCD ，2AB =，1BC =，3A π∠=，点E 是AB 的中点，沿DE 将ADE 翻折得PDE △，使得PC =，且点F 为PC 的中点.(1)求证：BF ∥平面PDE ；(2)求直线PE与平面BCDE 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)34【解析】【分析】（1）取PD 的中点H ，证明四边形FHEB 为平行四边形，由线面平行判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可.(1)取PD 的中点H,连接EH,HF∵F ，H 分别为PC ，PD 的中点，∴1//2FH CD FH CD =，又∵E 为AB 的中点，∴1//,2EB CD BE CD =，∴//,FH EB FH EB =，∴FHEB 为平行四边形，∴FB HE ∥，又∵BF ⊄面PDE ，HE ⊂面PDE ，∴BF ∥平面PDE .(2)∵2AB =，1AD =，3A π∠=，∴AD BD ⊥，如图建立平面直角坐标系：令(),,P x y z ，由条件可知()1,0,0A，()B，12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()C -，由11PD PE PC ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，∴()(22222222211121014x y z x y z x y z ⎧++=⎪⎪⎛⎪⎛⎫-++= ⎨ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪+++=⎩，∴1834x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴1384P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.∴53,884EP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，又∵面BCDE 的法向是()0,0,1m =，记PE 与面BCDE 所成角为θ. ∴||3sin 4||EP n n →→→⋅==θ， 即PE 与面BCDE 所成角的正弦值为34.8．如图1，在△MBC 中，24,BM BC BM BC ==⊥，A ，D 分别为棱BM ，MC 的中点，将△MAD沿AD 折起到△P AD 的位置，使90PAB ∠=，如图2，连结PB ，PC ，BD ．(1)求证：平面P AD ⊥平面ABCD ；(2)若E 为PC 中点，求直线DE 与平面PBD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；【解析】【分析】(1)推导出PA AD ⊥，PA AB ⊥，利用线面垂直的判定定理可得PA ⊥平面ABCD ，再利用面面垂直的判定定理即可证明；(2)以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A xyz -，利用向量法即可求出直线DE 与平面PBD 所成角的正弦值.(1)由题意知，因为点A 、D 分别为MB 、MC 中点，所以//AD BC ，又BM BC ⊥，所以BM AD ⊥，所以PA AD ⊥.因为90PAB ︒∠=，所以PA AB ⊥，又AB AD A ⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ，又PA ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)因为PA AB ⊥，PA AD ⊥，90PAB ︒∠=，所以AP AB AD 、、两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A xyz -，(0,0,0)(2,0,0)(2,2,0)(0,1,0)(0,0,2)(1,1,1)A B C D P E ，，，，，，则(1,0,1)(2,1,0)(2,0,2)DE BD BP ==-=-，，，设平面PBD 的一个法向量为()n x y z =，，，则0202200n BD x y x z n BP ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩，令2y =，得11x z ==，， 所以(1,2,1)n =，设直线DE 与平面PBD 所成角为θ，则1sin cos 2DE n DE n DE n θ⋅====， 所以直线DE 与平面PBD练习三 二面角9．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB DC ∥，AB AD ⊥，224CD AB AD ===，四边形11ADD A 为菱形，1A 在平面ABCD 内的射影O 恰好为AD 的中点，M 为AB 的中点.(1)求证：BC ⊥平面1AOM ； (2)求平面11A BC 与平面11AA D D 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）先证明1A O BC ⊥，BC OM ⊥，即可证明BC ⊥平面1AOM ； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.(1)因为O 为1A 在平面ABCD 内的射影，所以1A O ⊥平面ABCD ，因为BC ⊂平面ABCD ，所以1A O BC ⊥.如图，连接BD ，在Rt △ABD 中，BD =设CD 的中点为P ，连接BP ，因为//AB DC ，AB AD ⊥，224CD AB AD ===，所以BP CD ⊥，且2BP PC ==，则BC =因为22216BD BC CD +==，所以BC BD ⊥，易知//OM BD ，所以BC OM ⊥.因为1A O ⊂平面1AOM ，OM ⊂平面1AOM ，1A O OM O ⋂=， 所以BC ⊥平面1AOM . (2)由（1）知1A O ⊥平面ABCD ，所以可以点O 为坐标原点，以OA ，1OA ，所在直线分别为x ，z ，以平面ABCD 内过点O 且垂直于OA 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,2,0B，(1A ，()1,4,0C -，(12,C -所以(1,0,0)OA =,1OA =,(11,2,A B =，(1BC =-，设平面11AA D D 的法向量为()111,,m x y z =，0m OA ⋅=，10m OA ⋅=，则110,0,x =⎧⎪=可取平面11AA D D 的一个法向量为()0,1,0m =. 设平面11A BC 的法向量为()222,,n x y z =，10n BC ⋅=，10n A B ⋅=，则222222320,20,x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩令2y 11A BC的一个法向量为()23,n =.设平面11A BC 与平面11AA D D 的平面角为α，由法向量的方向可知α与法向量的夹角大小相等，所以3cos 311m nm n α⋅===⨯⋅， 所以平面11A BC 与平面11AA D D . 10．如图所示，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD为菱形，SAD 为等边三角形，120ABC ∠=︒，点S 在平面ABCD 内的射影O 为线段AD 的中点.(1)求证：平面SOB ⊥平面SBC ；(2)已知点E 在线段SB 上，32SE BE =，求二面角B OE C --的余弦值.【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）证明OB BC ⊥和OS BC ⊥，利用线面垂直的判定定理证明出BC ⊥平面SOB ，再利用面面垂直的判定定理证明出平面SOB ⊥平面SBC .（2）以,,OA OB OS 为正方向建立空间直角坐标系O xyz -，用向量法求解.(1)（1）如图，连接BD .在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，故ABD △为等边三角形.因为O 为AD 的中点，所以OB AD ⊥.因为AD BC ∥，所以OB BC ⊥.由条件可知SO ⊥底面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，所以OS BC ⊥，因为OS OB O =，OS ，OB ⊂平面SOB ，所以BC ⊥平面SOB .因为BC ⊂平面SBC ，故平面SOB ⊥平面SBC .(2)因为SO ⊥底面ABCD ，OB AD ⊥，所以可以以,,OA OB OS 为正方向建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设1OA =，则OS OB =因为()0,0,0O ，()B ，()C -，(S ，所以()OC =-.由32SE BE =，得35OE OS SB ⎛=+= ⎝⎭， 设(),,m x y z =是平面OEC 的法向量，由{OE ⃑⃑⃑⃑⃑ ·m ⃑⃑ =0OC ⃑⃑⃑⃑⃑ ·m ⃑⃑ =0得32020y z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令2y =，则x =3z =-，则()3,2,3m =-，又因为平面BOE 的一个法向量为()1,0,0n =，所以cos ,3m n m n m n ⋅===+，故由图可知二面角B OE C --的平面角为锐角，所以二面角B OE C -- 11．如图，在直棱柱111ABC A B C -中，1CA CB ==，90BCA ∠=︒，12AA =，,M N 分别是11A B ，1AA 的中点.(1)求BN 的长；(2)求证：11A B C M ⊥；(3)求二面角11A BC B --的余弦值.【答案】(2)证明见解析【解析】【分析】（1）以点C 为原点建立空间直角坐标系，求得向量BN 的坐标求解； （2）求得向量1A B ，1C M 的坐标，利用向量的数量积运算求解； （3）先求得平面1A BC 的一个法向量(,,)n x y z =，易知(1,0,0)CA =为平面1B BC 的一个法向量，再由cos<n CA n CA n CA ⋅⋅>=⋅求解.(1) 解：依题意，以点C 为原点建立空间直角坐标系（如图），则(1,0,0)A ,(0,1,0)B ，(0,0,0)C ，11(,,2)22M ，(1,0,1)N ,1(1,0,2)A ,1(0,1,2)B ,1(0,0,2)C ， 所以向量(1,1,1)BN =-则21BN ==(2) 向量1(1,1,2)A B =--，向量111(,,0)22C M =，因为11A B C M ⋅()11112022=-⨯+⨯+-⨯0= ，所以11A B C M ⊥ 所以11A B C M ⊥；(3)向量1(1,1,2)A B =--，向量()11,0,2AC =--， 设(,,)n x y z =为平面1A BC 的一个法向量，则1100A B n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y z x z -+-=⎧⎨--=⎩, 不妨令2x =-，可得(2,0,1)n =-，又(1,0,0)CA =为平面1B BC 的一个法向量， 则cos<n CAn CA n CA⋅⋅>=⋅= 12．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，4AB =，AD EF ∥，2AF EF ==，90FAD AEC ∠=∠=︒.(1)证明：AF ⊥平面ABCD ；(2)求二面角B ED C --的正弦值．【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）取AD 的中点为M ，连接EM ，易证AE ⊥平面ECD ，得到AE CD ⊥，再由CD AD ⊥，得到CD ⊥平面ADEF ，进而得到CD AF ⊥，再利用线面垂直的判定定理证明； （2）连接BE ，BD，以A 为原点，AB ，AD ，AF 所在方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得平面BED 的一个法向量(),,m a b c =和平面CED 的一个法向量(),,n x y z =，然后由cos ,n m n m n m ⋅=求解. (1)证明：取AD 的中点为M ，连接EM ，则2EF AM AF ===，又90FAD ∠=︒，//AD EF ，故四边形AFEM 为正方形，故2EM AM MD ===，故90AED ∠=︒，又AE EC ⊥，EC ED E =，故AE ⊥平面ECD ，则AE CD ⊥．又CD AD ⊥，AE AD A =，故CD ⊥平面ADEF ，则CD AF ⊥．又AF AD ⊥，AD CD D =，AD ，CD ⊂平面ABCD ，故AF ⊥平面ABCD ．(2)连接BE ，BD ，以A 为原点，AB ，AD ，AF 所在方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，如图：则B （4，0，0），C （4，4，0），D （0，4，0），E （0，2，2），则()4,4,0BD =-，()4,2,2BE =-，()4,0,0CD =-，()0,2,2DE =-．设平面BED 的一个法向量为(),,m a b c =．则0,0,m BD m BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即440,4220,a b a b c -+=⎧⎨-++=⎩令1a =，则()1,1,1m =．设平面CED 的一个法向量为(),,n x y z =， 则0,0,n CD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即40,220,x y z -=⎧⎨-+=⎩令1y =，则()0,1,1n =，2cos ,32n m n m n m ⋅===⨯，则3sin ,3n m =，故二面角B ED C --。
异面直线所成的角专题训练
异面直线及其所成的角(一)1.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱BC 和棱1CC 的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为( ) A ．30︒ B ．45︒ C ．90︒ D ．60︒ 2．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，AB 的中点M ，1DD 的中点N ，则异面直线1B M 与CN 所成的角是( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 3.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11AC 的中点，则异面直线DE 与1B C 所成角的大小为( )A ．3π B ．4π C ．6π D ．12π 4．如图，在三棱锥111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，4AB =，16AA =．若E 是棱1BB 上的点，且1BE B E =，则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为( )A 13B 213C 513D 8135.如图，在三棱锥P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，PAC ∆为等腰直角三角形，4PA PC ==，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为( )A ．14B 2C ．2D ．126．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 和N 分别为11A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( ) A ．25- B ．25C ．35D ．10 7．如图，直三棱柱111ABC A B C -，AC BC ⊥，且12C A C C C B==，则直线1BC 与直线1AB 所成角的余弦值为( )A ．5 B ．5 C ．25 D ．358．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11AC 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为( )A ．13B ．22C ．32D ．129.正三棱锥A PBC -的侧棱两两垂直，D ，E 分别为棱PA ，BC 的中点，则异面直线PC 与DE 所成角的余弦值为( )A ．3 B ．5 C ．3 D ．6 10.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，若点E 为BC 的中点，点F 为11B C 的中点，则异面直线AF 与1C E 所成角的余弦值为( )A ．23B 5C 5D 2511．在三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，2AB =，12AA =，则异面直线1AB 和1BC 所成角的正弦值为( )A ．1B 7C ．12D 312．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，F 为11B C 的中点，则异面直线AF 与1C E 所成角的正切值为( )A 5B ．23C 25D 5异面直线及其所成的角(二)1.正四棱锥的侧棱与底面边长都相等,E 是SB 的中点,则AE 与SD 所成角的余弦值为( )A ．13BC ．23D 2.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AA =，1AC BC ==，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是( )3.四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,且PA ⊥平面ABCD ,PA AB =,则直线PB 与直线AC 所成角的大小为( )A.6π B.4π C.3π D.2π 4.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点,2AB =,AD =,2PA =,则异面直线BC 与AE 所成的角的大小为( )A.6π B.4π C.3π D.2π 5.在如图所示的正方体1111A B C D ABCD 中,E 是11C D 的中点，则异面直线DE 与AC 夹角的余弦值为( )A. B.120- C.1206.正方体1111ABCD A B C D -中,E 是AD 的中点,则直线1C E 与BC 所成的角的余弦值是( )C.137.如图,在正四面体ABCD 中,E 为AB 的中点,F 为CD 的中点,则异面直线EF 与AC 所成的角为( )A.90︒B.60︒C.45︒D.30︒ 8.在正方体1111ABCD A B C D -中,P 为11AC 的中点,则直线1DC 与AP 所成角的余弦值为( )C.129.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,12AA =,则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为( )C.1510.已知直三棱柱111ABC A B C -,120ABC ∠=︒,2AB =,11BC CC ==,则异面直线1AB 与BC 所成角的余弦值为( )A.1511.如图,在三棱锥A BCD -中,三条棱DA 、DB 、DC 两两垂直,且DA DB DC ==,M 、N 分别是棱BC 、AD 的中点,则异面直线AM 与BN 所成角的余弦值为( )A.1212.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M ,N 分别为11C D 和1CC 的中点,则异面直线AM 与BN 所成角的余弦值为( )13.三棱柱ABC A B C ''-'的所有棱长都等于2，并且AA '⊥平面ABC ,M 是侧棱BB '的中点,则直线MC '与A B '所成的角的余弦值是( )异面直线及其所成的角(一)答案1-6 DDCABB 7-12 ABDBAC异面直线及其所成的角(二)答案1-6 DDCBDC 7-13 CDABDAA。
异面直线所成的角经典例题
异面直线所成的角经典例题在正方体ABCD-ABCD中，求异面直线BA1和CC1所成的角。
解：首先找到两条直线的方向向量，BA1的方向向量为(-1,1,0)，CC1的方向向量为(0,1,-1)。
它们的夹角余弦值为：cosθ = (-1,1,0)·(0,1,-1) / √2√2 = -1/2所以异面直线BA1和CC1所成的角的余弦值为-1/2.求异面直线BA(3)AC和BD1和CB1所成的角。
解：这个问题有些问题，因为没有给出异面直线的具体定义。
不过我们可以求出两条直线之间的夹角余弦值。
BA(3)的方向向量为(-1,1,1)，AC的方向向量为(-1,0,1)，它们的夹角余弦值为：cosθ = (-1,1,1)·(-1,0,1) / √3√2 = -1/√6BD1的方向向量为(-1,-1,2)，CB1的方向向量为(1,-1,2)，它们的夹角余弦值为：cosθ = (-1,-1,2)·(1,-1,2) / √6√6 = 0所以求出的两个角的余弦值分别为-1/√6和0.若E为AD中点，求异面直线EC1和CB所成的角。
解：EC1的方向向量为(1,-1,-1)，CB的方向向量为(1,0,-1)，它们的夹角余弦值为：cosθ = (1,-1,-1)·(1,0,-1) / √3√2 = -1/√6所以异面直线EC1和CB所成的角的余弦值为-1/√6.若M,N分别为AB1和BB的中点，求AM和CN所成的角的余弦值。
解：AM的方向向量为(1,-1,0)，CN的方向向量为(0,-1,1)，它们的夹角余弦值为：cosθ = (1,-1,0)·(0,-1,1) / √2√2 = -1/2所以AM和CN所成的角的余弦值为-1/2.在四面体A-BCD中，E，F分别为AD,BC上的点，且AE=BF=1，已知AB=CD=3,EF=7/4，求异面直线AB和CD所成的角。
解：首先计算出EF的方向向量，EF的长度为7/4，所以EF的方向向量为(3/7,-4/7,0)。
异面直线夹角练习-普通用卷
异面直线夹角练习副标题题号一二总分得分一、选择题（本大题共3小题，共15.0分）1.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A. √33B. √66C. √34D. √362.直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘，AB=AC=1,AA1=√2，则异面直线AC1与CB1所成角的余弦值为( )A. −√36B. √33C. √36D. −√333.如图，A1B1C1-ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( ).A. √3010B. 12C. √32D. √1510二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）4.如图，E，F分别是三棱锥P－ABC的棱AP，BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为________．5.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，若AA1=2AB，则异面直线BD1与CC1所成角的正切值为______ ．6.如图所示，在正四面体S－ABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是________．7.8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M是DC的中点，N是AB的中点，AD=AA1=√2，AB=2，那么，NC与D1M所成角的余弦值是______．9.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，且AA1=2AB，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为______．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，考查空间向量基本定理，向量的数量积公式及应用，考查学生的计算能力．先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，然后利用夹角公式求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值即可．【解答】解：设=，=，=，棱长均为1，则=，=，=，∵=+，=+，∴=（+）•（-+）=+1=1，||====，||===，∴cos=，∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．故选B．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题．作出异面直线所成的角，利用余弦定理求解即可.【解答】解：联结A1C,交AC1于点M，取A1B1的中点为N，联结MN，AN，则MN//CB1，则AC1与CB1夹角为MN与AC1夹角或其补角，可知MN=CB1=1，NA1=,MA=，NA=,在三角形MNA中，所以cos∠AMN=．故选C.3.【答案】A【解析】【分析】先取BC的中点D，连接D1F1，F1D，将BD1平移到F1D，则∠DF1A就是异面直线BD1与AF1所成角，在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可．本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．【解答】解：取BC的中点D，连接D1F1，F1D.平行且等于BD,四边形为平行四边形，∴D1B∥DF1.∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角，设BC=CA=CC1=2，则AD=，AF1=，DF1=∴为等腰三角形，DF1的中位线垂直DF1则在△DF1A中，cos∠DF1A=，故选：A．4.【答案】60°【解析】【分析】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.利用三角形中位线定理把异面直线所成的角转化成平面角，利用余弦定理求解.【解答】解：取AC的中点M，连接EM,MF，如图所示.因为E，F分别是AP，BC的中点，所以MF∥AB，MF=AB=3，ME∥PC，ME= PC= 5，所以∠EMF即为AB与PC所成的角(或其补角).在三角形MEF中，cos∠EMF==-=-，所以∠EMF=120°，所以异面直线AB与PC所成的角为60°.故答案为60°.5.【答案】√22【解析】解：∵在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，CC1∥BB1，∴∠B1BD1是异面直线BD1与CC1所成角，设AA1=2AB=2，则B1D1=，BB1=2，∴tan∠B1BD1==．∴异面直线BD1与CC1所成角的正切值为．故答案为：．由CC1∥BB1，知∠B1BD1是异面直线BD1与CC1所成角，由此能求出异面直线BD1与CC1所成角的正切值．本题考查异面直线所成角的正切值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6.【答案】√36【解析】【分析】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．由题意画出图象再取AC的中点E，连接DE，BE，则可证得∠BDE就是BD与SA所成的角，在三角形BDE中利用余弦定理求解即可．【解答】解：如图取AC的中点E，连接DE、BE，则DE∥SA，∴∠BDE就是BD与SA所成的角．设SA=a，则BD=BE=，DE=，在△中，cos∠BDE===，∴BD与SA所成角的余弦值．故答案为．7.【答案】13【解析】解：由题意，M是DC的中点，N是AB的中点，连接AM，可得CN∥AM，∴NC与D1M所成角的平面角为∠AMD1．连接D1A，AD=AA1=，AB=2，在三角形AMD1中：AM=，D1M=，D1A=2余弦定理可得：cos∠AMD1===故答案为：．由M是DC的中点，N是AB的中点，连接AM，可得CN∥AM，NC与D1M所成角的平面角为∠AMD1．在三角形AMD1中，利用余弦定理求解即可．本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8.【答案】710【解析】解：以A为原点，在平面ABC内，过点A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系．设AA1=2，则A（0，0，0），，，C1（0，2，4），∴，，设异面直线AB1与BC1所成角为θ，则，∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．故答案为：．以A为原点，在平面ABC内，过点A作AC的垂线为x轴以AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．。
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1.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=12,BC=3,AA1=4，N在A1B1上，且
B1N=1/3A1B1，求BD1与C1N所成角的余弦值。
你可以在AB上找一点N1，使AN1=1/3AB,然后连接CN1，这样的话，C1N平行与CN1,然后再连接AD1，在AD1上找一点E，使AE=2ED1,连接EN1，这样辅助线就做完了，然后计算CN1=5,BD1=13,那么根据三角形相似的性质，EN1=26/3，接下来求EC的长度，连接BC1,在BC1上找一点F，使FC1=1/2BF,连接CF,在面BCC1B1面上求出CF的长度，然后EF垂直于CF，这样在直角三角形中，求出CE，再根据余弦定理，在三角形CEN1中，求出角CN1E就是要求的角了。
看起来很麻烦，可是只要你看懂了，在根据我说的，画出图来，这道题还是很简单的，用高中的知识很容易就解决了。
要有耐心啊~~~~
2.在空间四边形ABCD中，AB=CD=6，M，N分别是对角线AC，BD的中点，MN=5，求异面直线AB与CD所成角的大小。
做MH//CD交AD于H，连结HN
角MHN是所成角或其补角
MH=NH＝3，MN＝5
cos角MHN=(MH^2+NH^2-MN^2)/2*MH*NH=(9+9-25)/2*3*3=-7/18
所成角为arccos7/18
（）1、设P=｛两异面直线所成的角｝，M=｛直线与平面所成的角｝，N=｛二面的平面角｝，则有
A、PÌMÌN
B、P=MÌN
C、PÉMÉN
D、PÌM=N
（）2、正四面体A—BCD中E、F分别是棱BC和AD之中点，则EF和AB 所成的角
A、45°
B、60°
C、90°
D、30°
（）3、正方体ABCD—A¢B¢C¢D¢中，与BD成60°角的面对角线的条数为A、0B、2C、4D、8
（）4、把一个正方形的纸折成一个底面为正方形的长方体，正方形的对角线就成为在长方体四侧面的一条折线，则这条折线相对的两段所成角是
A、45°
B、60°
C、90°
D、120°
5、a、b为异，面直线，二面角a—a—b为q，a^a，b^b，则a、b的夹角为_______
6、正方体ABCD—A¢B¢C¢D¢中，E、F分别是BC、A¢D¢之中点，则ADE所成的角是_______
7、空间四边形ABCD中，P、R分别是AB、CD之中点，且PR=3，AC=4，BD=2 EQ R(,5) ，则AC和BD所成的角是_________
8、A、CD阳两条异面直线，A=CD=3，E、F分别是线段AD、BC上的点，且AE：ED=BF：FC=1：2，EF= EQ R(,7) ，则AB与CD所成角为________ 9、正四面体S—ABC中，D、E是SA、BC之中点，求AE与BD所成角的余弦
10、DABC的ÐC=90°，PA^面ABC，M、N分别是边AC、PB的中点，求证“MN^AC。