空间直线2--异面直线的概念及夹角
【最新】异面直线定义把不同在平面内的两条直线叫做异面
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(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形， ∴B1M1∥BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形， ∴C1M1∥CM. 由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐 角． 由等角定理得∠BMC＝∠B1M1C1.
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法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形． ∴B1M1＝BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形． ∴C1M1＝CM， 又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1. ∴∠BMC＝∠B1M1C1.
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[例2] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M， M1分别是棱AD和A1D1的中点． (1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形； (2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
[自主解答] (1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为 AD，A1D1的中点， ∴MM1綊AA1，又∵AA1綊BB1， ∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1， ∴四边形BB1M1M为平行四边形．
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(2)连接A1C1，∵AA1C1C为平行四边形， ∴AC∥A1C1， ∴∠BA1C1是异面直线A1B与AC所成的角． 连接BC1，△A1BC1是正三角形，∴∠BA1C1＝60°， ∴异面直线A1B与AC所成的角为60°.
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求异面直线所成角的基本步骤 (1)作——即据定义作平行线，作出异面直线所成的角， 作平行线时，若遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直 线依附于某几何体，且直接对异面直线平移有困难时，可利 用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线． (2)证——证明这个角或其补角即为所求的角． (3)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形， 求出所找的角．
异面直线夹角公式
异面直线夹角公式在几何中，异面直线夹角（Tangent Line Angles）是指两条不同直线交汇时产生的夹角。
它们通常被简写为TLA。
任意一条直线上的点可以与另一条直线上的任一点产生一个夹角，在不同的实例中，夹角的大小是不同的。
在矩形，正方形，平行四边形和正多边形的情况下，将两条不同的直线称为异面直线，它们之间有两个不同的夹角：边夹角和夹角。
边夹角是指直线的两个端点之间的夹角，而夹角是指两条直线之间的夹角，它们之间有一个共同的端点。
对于任意一个夹角，都可以用一个类似于异面直线夹角（TLA）公式来描述它：三角函数中的总共有三个关键因素：角度（α），角度（β）和边长（c），它们满足下面的关系：α + = 90°c2 = a2 + b2 2abcosαα = cos-1 ( (a2 + b2 c2) / 2ab )这里，α和β就是两条不同直线之间的边夹角和夹角，而c就是这两条直线之间的边长。
给定两条异面直线所构成的夹角，可以用这三种证明方法来找出其大小：1、使用“影子法”。
即可以用一条给定的直线（不同直线所影响的边）来表示第二条直线在第一条直线上的位置，然后根据它们之间的距离来估算夹角的大小。
2、使用“直角勾股定理”。
根据两条直线的端点，使用直角勾股定理来求解夹角的大小。
3、使用“延长线定理”。
设置两条延长线，以便延长线和第二条直线之间的距离来估算夹角的大小。
这里定义的异面直线夹角公式亦可用于计算平行四边形和正多边形中的夹角大小。
若已知两条异面的边的长度，可以使用上述的公式来求出相应的夹角。
此外，还可以使用异面直线夹角公式来解决其他几何问题，比如：1、求直线的斜率2、求三角形的外接圆的半径3、求两个不同的点之间的距离4、求不同直线之间的夹角5、求反三角形的边长从上面的定义可以看出，异面直线夹角公式可以用于求解不同形状几何问题中的夹角大小，从而使解决几何问题变得更加容易。
它也是数学中最古老的关于三角运算的方法之一，在今天仍然被广泛使用，同时也增加了我们对三角学的理解和认识。
空间的平行直线与异面直线
b
a’
O
α
O
α
a
a'
θ ∈(0,
π
2
]
如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说两条直 如果两条异面直线所成的角是直角 那么就说两条直 线互相垂直. 线互相垂直
1.异面直线 异面直线 2.异面直线所成的角 异面直线所成的角
2'垂直 如图, 哪些棱所在直线与直线 哪些棱所在直线与直线AA 垂直? 例 如图 (1)哪些棱所在直线与直线
已知两条异面直线a、 经过空间任一点O, 已知两条异面直线 、b, 经过空间任一点 分别作 直线a 所成的锐角(或直角 或直角)叫做异 直线 ' ∥a，b' ∥b，把a'与b'所成的锐角 或直角 叫做异 ， ， 面直线a、 所成的角 或夹角). 所成的角(或夹角 面直线 、b所成的角 或夹角
b
θ
b’
θ ∈(0,
π
]
3.练习 练习: 练习
1)若a、b是异面直线 b、c也是异面直线 则a、c位置关 若 、 是异面直线 是异面直线, 、 也是异面直线 也是异面直线, 、 位置关 异面直线不具有传递性. 异面直线不具有传递性 系是( 系是 A ) A. 相交、平行或异面 相交、 B. 平行 C. 异面 D. 平行或异面 2)直线 和b是两条异面直线 点A、C在直线 上, 点B、D 直线a和 是两条异面直线 是两条异面直线, 在直线a上 直线 、 在直线 、 在直线b上 那么直线AB和 一定是 一定是( 在直线 上, 那么直线 和CD一定是 C ) A. 平行直线 B. 相交直线 C. 异面直线 D. 以上都可能
(2)求直线 ' 分别和 ' 、 DC' 、AD' 的夹角的度数 求直线BA 分别和CC 的夹角的度数. 求直线 D' 与直线AA 垂直的直线有: 解:(1)与直线 ' 垂直的直线有 与直线 C' AB、BC、CD、DA、 A' B' 、B' C' 、 、 、 、 、 A' B' C' D' 、D' A' O (2)由BB'||CC', 可知 ∠B'BA'等于异面 由 D 的夹角, 所以BA 直线 '与CC'的夹角 所以 ' 与 C 直线BA CC' 的夹角为 °. 的夹角为45 A B BA'与DC' 的夹角为 °. 的夹角为90 BA' 与DC' 的夹角为 °. 的夹角为60 求角的一般步骤: 求角的一般步骤 1)找(作)角; 2)求角 解三角形 找作角 求角(解三角形 求角 解三角形).
异面直线夹角取值范围
异面直线夹角取值范围异面直线指的是位于不同平面上的两条直线，其在三维空间中的夹角的取值范围可以在以下三种情况下讨论：1. 直线相交的情况下：当异面直线相交时，它们在三维空间中的交点可以视为共同的起点。
此时，两条直线围成了一个锐角和一个钝角。
具体的夹角取值范围如下：- 锐角：夹角在 0 到 90 度之间，即 $0<\\theta<\\frac{\\pi}{2}$。
- 钝角：夹角在 90 到 180 度之间，即 $\\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\pi$。
2. 直线平行但不共面的情况下：当异面直线平行但不共面时，它们之间的夹角为零，即 $\\theta=0$。
3. 直线不相交也不平行的情况下：当异面直线既不相交也不平行时，它们之间的夹角可以通过向法线投影的方式求解。
具体来说，我们可以使用以下公式计算夹角：$$\\cos \\theta=\\frac{\\vec{n_1}\\cdot\\vec{n_2}}{\\left |\\vec{n_1} \\right |\\left |\\vec{n_2} \\right |},$$其中 $\\vec{n_1}$ 和 $\\vec{n_2}$ 分别为两条直线所在平面的法向量，$\\left |\\vec{n_1} \\right |$ 和 $\\left |\\vec{n_2} \\right |$ 分别为两个法向量的模长。
在这种情况下，夹角的取值范围为 $0<\\theta<\\pi$。
需要注意的是，在实际应用中，在使用上述公式计算夹角时，由于计算精度的限制，$\\cos \\theta$ 可能会略微大于 1 或小于 -1。
因此，在计算 $\\cos \\theta$ 值时，可能需要对其进行修正，以确保它落在 [-1, 1] 的范围内，从而避免由于精度问题导致的计算错误。
空间几何量的计算板块三异面直线所成的角学生版
空间几何量的计算板块三异面直线所成的角学生版异面直线是空间几何中的基本概念之一，也是解题时常需要考虑的情况。
在空间几何中，我们经常需要计算异面直线所成的角度，这一方面能够帮助我们解决实际问题，另一方面也有助于我们深入理解异面直线的性质和特点。
本文将为大家介绍异面直线所成角的计算方法和应用。
首先，我们需要明确什么是异面直线。
异面直线是指在空间中不在同一个平面上的两条直线。
异面直线有一些独特的性质，如不相交、不平行等，但与平面几何不同的是，两条异面直线之间的夹角不再是常见的钝角、直角或者锐角，需要一些特殊的方法来计算。
计算异面直线所成角的方法有很多种，下面将分别介绍三种常见的计算方法。
第一种方法是通过投影法来计算异面直线所成角。
首先，将两条异面直线的方向向量分别投影到它们之间的公垂线上，得到它们在公垂线上的投影向量。
然后，计算这两个投影向量之间的夹角，即可得到异面直线所成角的大小。
这种方法适用于直线的方向向量已知的情况。
第二种方法是通过坐标法来计算异面直线所成角。
对于已知的两条异面直线，我们可以选择其中一条直线为基准直线，建立直角坐标系，并在该直线上选择一个点作为坐标原点。
然后，根据已知直线的方程，确定基准直线上的一个单位向量。
接下来，计算另一条直线与基准直线的夹角，即可得到异面直线所成角的大小。
这种方法适用于直线的方程已知的情况。
第三种方法是通过向量法来计算异面直线所成角。
向量法是一种比较常用的计算异面直线所成角的方法。
首先，我们可以求解两条异面直线的方向向量，并计算它们之间的夹角。
然后，利用向量的点积和模长等基本运算，可以得到异面直线所成角的大小。
这种方法适用于直线的方向向量已知或两点确定的情况。
除了上述的计算方法，我们还可以通过解析几何等其他方法来计算异面直线所成角。
无论采用哪种计算方法，都需要对空间直线的性质有一定的了解，并学会将题目中的问题抽象成数学模型，进而计算出异面直线所成角的大小。
异面直线所成角的计算方法不仅仅限于学术的计算，还可以应用于实际问题的解决。
异面直线所成角的定义
异面直线所成角的定义
异面直线是指不在同一平面内的两条直线，它们的交点是一个点，这个点不在它们所在的平面内。
而异面直线所成角则是指这两条异面直线之间的夹角。
在三维空间中，我们可以通过向量的概念来理解异面直线所成角。
两条异面直线可以看作是两个不同的向量，它们的夹角就是这两个向量之间的夹角。
这个夹角可以通过向量的点积来计算，公式为：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)
其中，a和b分别是两个向量，|a|和|b|分别是它们的模长，θ是它们之间的夹角。
需要注意的是，由于异面直线不在同一平面内，因此它们之间的夹角是没有方向的。
也就是说，无论我们从哪个方向来看这两条直线，它们之间的夹角都是相同的。
异面直线所成角在几何学中有着广泛的应用。
例如，在计算两个物体之间的夹角时，我们可以将它们的边界看作是由异面直线组成的，然后计算它们之间的夹角。
这个夹角可以帮助我们判断两个物体之间的相对位置，从而更好地进行设计和制造。
在计算空间中的角度时，异面直线所成角也是一个重要的概念。
例
如，在计算两个平面之间的夹角时，我们可以将它们的法向量看作是两条异面直线，然后计算它们之间的夹角。
这个夹角可以帮助我们判断两个平面之间的相对位置，从而更好地进行建模和渲染。
异面直线所成角是一个重要的几何概念，它在三维空间中有着广泛的应用。
通过理解和掌握这个概念，我们可以更好地理解和应用空间几何学的知识。
空间直线间的夹角
(A)
y O D
B
C
因为A(0,0,0),C1(2,1,3),A1(0,0,3),D(0,1,0) 所以AC1 (2,1,3), A1D (0,1, 3). z
因此 cos s1 , s2
8 0 140
s1 s2 | s1 || s2 |
自主探究
活动:请同学们阅读P43例1之前的内容，回答下列问题:
1、画一画：两条直线l1和l2的夹角 与方向向量 s1 和 s2 的夹角 s1 , s2 有什么关系？ 2、想一想：请说出两条直线l1和l2的夹角 与方向
向量 s1 和 s2 的夹角 s1 , s2 的具体关系？
A.
6
B.
3
C.
4
D.
2Hale Waihona Puke 课堂小结本节课我们学会了那些知识？有什么收获？
当两条直线l1与l2是异面直线时, 在直线l1上任取一点A作AB//l2 我们把直线l1与直线AB的夹角叫作 异面直线l1与l2的夹角.
l2 B A
l1
C
创设情境
如何利用向量法解决空间中两条直线间的夹角 问题呢？ 空间直线由一点和一个方向确定,所以空间 两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角 确定.
北师大版选修 2-1
§5.1 直线间的夹角
知识回顾
空间中直线与直线之间的位置关系
（1）当直线l1与l2共面时，两条直线的夹 角的范围。
（2）异面直线所成的角。
当两条直线l1与l2共面时,我们把两条 直线交角中，范围在 两直线的夹角
l1 l2 A C B
0， 2
内的角叫作
高二数学异面直线及其夹角
O, P c O, M a 即直线 a, b, c 共面，与已知直线 a, b, c 不共面矛盾． 所以直线MN与PQ异
异面直线的判定定理：
连结平面内一点与平面外一点的直线，和 这个平面内不经过此点的直线是异面直线。
A B
点A 平面
点B
B 直线l
直线AB与l异面.
例4．如图，a、b为异面直线，直线a上的线段 AB=6cm，直线b上的线段CD=10cm， E、F分别为 AD、BC的中点，且EF=7cm，求异面直线a与b所 成的角的度数． A B a 解:连结AC,并取AC中点P,连结EP,FP. P F E b ∵E为AD中点，∴EP∥DC. C ∵F为AD中点，∴FP∥AB. ∴∠EPF(或其补角)为异面直线a与b所成的角。 △ABC中，EF=7cm，EP=5cm，FP=3cm。 由余弦定理EF2=EP2+FP2-2EP· FPcos∠EPF， 解得cos∠EPF=取中点 0.5,∴∠EPF=120º ． 故其补角60º 为异面直线a与b所成的
演示
空间的两条直线有三种位置关系：
相交 共面 平行 唯一公共点 记为：a∩b=A.
无公共点 记为：a∩b=φ .
异面
画异面直线时，常以辅助平面作衬托，以加强直观性。
b b
b
a
a
a
例1.如果相异点A、B和相异点C、D分别在异面直 线a，b上，那么正确的结论是（ C ） A．直线AC与BD可能相交 B．直线AD和BC可能相交 C．AC与BD，AD与BC都是异面直线 D．AC与BD，AD与BC不一定都是异面直线
点C 平面AA1 B1 B.
D
C
A
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14.2.2 空间直线与直线的位置关系(二)
教学目标： 1. 理解异面直线的定义，会画出两条异面直线；
2．理解异面直线所成的角；
3. 初步了解反证法。
教学重点：异面直线所成的角概念
教学难点：异面直线所成的角概念
教学过程：
1. 引入:
提问：请叙述“公理4”和“等角定理”？
我们知道：公理4可以用来证明空间两条直线平行；等角定理用来判定空间中两个角相等。
那么我们就把在同一平面中的“平行直线的传递性” 和等角定理，推广到空间。
那么空间中，任意的两条直线的位置关系该如何界定呢？
2. 新课
（1）定义
由平面几何知识我们知道：在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交。
那么我们就把“不能置于同一平面的两条直线叫做异面直线”。
怎么理解“不能置于同一平面”？ 不同在任何一个平面内。
请在教室内，找一找异面直线？
（2）画法
在作两条异面直线的直观图时，为了使它们有“异面”的视觉效果，有时需要借助于辅助平面来表示。
见课本P10
例1：课本P10 例2 反证法证明两条直线是异面直线。
（3）异面直线所成的角
在长方体中找与同一条棱异面的两条棱，那么这两对异面直线的相对位置是不同的。
我们如何进一步区分，如何寻找一个合适的几何量来刻划两条异面直线之间的相对位置（及远近距离）呢？（角）问题1、两条直线相交就构成角，而两条异面直线不相交哪来
的“角”呢？如何规定两条异面直线所成的角呢？
问题2、能否找出两条相交直线所成的角来刻划两条异面直线所成的角呢？
根据等角定理这些角都相等，因此，这样作出的角是合理的，唯一的。
归纳：
①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置关系决定的，与角的顶点O的位置的取法无关。
②正因为点O的位置可以任意选取，这就给我们确定两条异面直线所成的角带来了方便，在运用时，为了简便，可以把点O取在两条异面直线中的其中一条上，甚至取在其中一条的一个已知或特殊点上。
③要找到两条异面直线所成的角，关键是经过平移把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的锐角（或直角），因此，若两条异面直线所成的角为θ，则 。
④当两条异面直线所成的角为直角时，则说这两条异面直线相互垂直。
两条异面直线a、b相互垂直，记作a⊥b.
两条直线互相垂直，它们不一定相交。
⑤得出两条异面直线所成角的定义：
经过空间任意一点，分别作两条异面直线的平行线，这两条直
线相交所成的锐角（或直角）称为两条异面直线所成的角。
3. 例题：
课本P11 例3。