空间向量立体几何(夹角)
专题03 立体几何中的夹角问题(解析版)
第三篇 立体几何专题03 立体几何中的夹角问题常见考点考点一 线线角典例1．如图，在多面体ABCEF 中，ABC 和ACE 均为等边三角形，D 是AC 的中点，EF BD ∥，2BD EF ==(1)证明：AC BF ⊥；(2)若平面ABC ⊥平面ACE ，求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析【解析】 【分析】（1）证明一条直线垂直于另一条直线，可以先证明前者垂直于后者所在的那个平面； （2）求异面直线的夹角，优先考虑建立空间直角坐标系，用向量的方法来计算. (1)证明：连接DE .因为AB BC =，且D 为AC 的中点，所以AC BD ⊥. 因为AE EC =，且D 为AC 的中点，所以AC DE ⊥.因为BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，且BD DE D ⋂=，所以AC ⊥平面BDE . 因为EF BD ∥，所以BF ⊂平面BDE ，所以AC BF ⊥；(2)由（1）可知DE AC ⊥.因为平面ABC ⊥平面ACE ，平面ABC 平面ACE AC =，DE ⊂平面ACE ， 所以DE ⊥平面ABC ，所以DC ，DB ，DE 两两垂直.以D 为原点，分别以DC ，DB .DE 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.则()1,0,0A -，()B ，F ⎛ ⎝，(E ，从而(AE =，0,2BF ⎛=- ⎝. 则15cos 5AE BF AE BF AE BF⋅==⋅，，即异面直线AE 与BF变式1-1．如图，在平行四边形ABCD 中，AB AC =，90ACD ︒=∠，以AC 为折痕将ACD ∆折起，使点D 到达点M 的位置，且AB AM ⊥.(1)证明：平面ACM ⊥平面ABC ；(2)E 为线段AM 上一点，F 为线段BC 上一点，且13AE CF AD ==，求异面直线AC 与EF 所成的角的余弦.【答案】(1)证明见解析【解析】 【分析】（1）由题易知AB AC ⊥，由根据线面垂直的判定定理可推出AB ⊥平面ACM ，再由面面垂直的判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值； (1) 证明：平行四边形ABCD ，//AB CD ∴，90BAC ACD ∴∠=∠=︒，即AB AC ⊥，AB AM ⊥，AC AM A ⋂=，AC 、AM ⊂平面ACM ， AB ∴⊥平面ACM ，AB ⊂平面ABC ，∴平面ACM ⊥平面ABC ．(2)解：由（1）平面ACM ⊥平面ABC ，MC AC ⊥，平面ACM ⋂平面ABC AC =，MC ⊂平面ACM ，所以CM ⊥平面ABC ，因为CD ⊂平面ABC ，所以MC CD ⊥，如图建立空间直角坐标系，令3AB AC ==，所以()0,0,0C ，()0,3,0A ，()1,1,0F -，()0,2,1E ，所以()0,3,0CA =，()1,1,1FE =，设异面直线AC与EF 所成的角为θ，则3cos 33CA FE CA FEθ⋅===⋅， 故异面直线AC 与EF变式1-2．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ，1AB =，AC =2BAC π∠=，D 是棱1CC 上一点．(1)若1A C BD ⊥，求1CDCC ； (2)在（1）的条件下，求直线1B D 与11AC 所成角的余弦值． 【答案】(1)112CD CC=【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量求解即可；（2）利用向量求解即可. (1)如图，以AB ，AC ，1AA 的单位向量为正交基底建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,0,0B，()C，(1A，(1B，(1C ．设()D a，则()BD a =-，又(1AC =，1A C BD ⊥，∴130AC BD ⋅==，∴a =D 为1CC 的中点， ∴112CD CC =．(2)由（1）得1B D ⎛=- ⎝⎭，()11AC =，∴111cos ,B D AC ==．变式1-3．如图，在正方体1111ABCDA B C D -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点.(1)求证：1D F AE ⊥；(2)求直线EF 和1CB 所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)6π 【解析】 【分析】（1）以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，计算得出10D F AE ⋅=，即可证得结论成立；（2）利用空间向量法可求得直线EF 和1CB 所成角的大小. (1)解：以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0D 、()2,0,0A 、()10,0,2D 、()2,2,1E 、()0,1,0F 、()0,2,0C 、()12,2,2B ，()10,1,2D F =-，()0,2,1AE =，所以，112210D F AE ⋅=⨯-⨯=，1D F AE ∴⊥.(2)解：()2,1,1EF =---，()12,0,2CB =，111cos ,6EF CB EF CB EF CB ⋅<>===⋅，因此，直线EF 和1CB 所成角为6π.考点二 线面角典例2．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，2ABC π∠=，22AB BC AD ===，E ，F 分别为边AB ，CD 上的动点，且EF BC ∥，G 是BC 的中点，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ．(1)求AE 为何值时，BD EG ⊥；(2)在（1）的条件下，求BD 与平面ABF 所成角的正弦值． 【答案】(1)1 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用0BD EG ⋅=，得出1AE =；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法得出BD 与平面ABF 所成角的正弦值． (1)沿EF 将梯形ABCD 翻折后，以E 为原点，以EB 所在直线为x 轴，EF 所在直线为y 轴，EA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.设,(0,2)EA t t =∈，则(0,0,0),(0,0,),(2,0,0)E A t B t -，(0,1,),(2,1,0)D t G t -(2,1,)BD t t ∴=-，(2,1,0)EG t =-,0BD EG BD EG ⊥∴⋅=，即2(2)10t --+=，解得1t =或3t =（舍）故当1AE =时，BD EG ⊥(2)在（1）的条件下，(0,0,1)A ，3(1,0,0),0,,0,(0,1,1)2B F D ⎛⎫ ⎪⎝⎭3(1,1,1),(1,0,1),1,,02BD BA BF ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭设平面ABF 的法向量为(,,1)n a b =，由0,0n BA n BF ⋅=⋅=，解得21,3a b == 故21,,13n ⎛⎫= ⎪⎝⎭设BD 与平面ABF 所成角为θ，则sin cos ,BD n θ=1||||3BD n BD n -+⋅===⋅⋅ 故BD 与平面ABF . 变式2-1．如图所示的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，E ，F 分别是棱BC ，CD 上的点，且2BE EC =，2DFFC =，点G 为棱1CC 上的动点，13AA =，1O 为上底面1111D C B A 的中心，1AO ∥平面EFG .(1)求CG 的长度；(2)求直线1BO 与平面EFG 所成的角的正弦值. 【答案】(1)1(2)11【解析】 【分析】（1）假设当1CG =时，1AO ∥平面EFG ，连11A C ，取棱AC 的中点O ，连1OC ，得到11AO OC ∥，设OC EF H ⋂=，连接GH ，易证1AO HG ∥，再利用线面平行的判定定理证明；（2）分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，求得平面EFG 的一个法向量为(),,n x y z =，设直线1BO 与平面EFG 所成的角为α，由111sin cos ,n BO n BO n BO α⋅==求解. (1)解：假设当1CG =时，1AO ∥平面EFG ， 如图所示，连11A C ，因为1O 为上底面的中心，所以1O 是棱11A C 的中点. 连AC ，取棱AC 的中点O ，连1OC ，则11AO OC ∥， 设OC EF H ⋂=，连接GH ，由2BE EC =，2DF FC =；得13CH CO =， 又因为113CG CC =，所以1OC HG ∥， 所以1AO HG ∥，又因为GH ⊂平面EFG ，1AO ⊄平面EFG ， 所以1AO ∥平面EFG ，所以假设成立，即1CG =. (2)由题可知DA ，DC ，1DD 两两相互垂直，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则2,2,03E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，40,,03F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,2,1G ，()11,1,3O ，()2,2,0B ，所以()11,1,3BO =--，22,,033EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，2,0,13EG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面EFG 的一个法向量为(),,n x y z =，则0,0,n EF n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()22,,,,00332,,,0,103x y z x y z ⎧⎛⎫⋅--= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，令3x =，得3y =-，2z =，所以()3,3,2n =-， 设直线1BO 与平面EFG 所成的角为α，则111sin cos ,n BO n BO n BO α⋅==，=. 变式2-2．如图，三棱锥P －ABC 中，PAB △为正三角形，侧面P AB 与底面ABC 所成的二面角为150°，AB ＝AC ＝2，AB AC ⊥，E，M ，N 分别是线段AB ，PB 和BC 的中点.(1)证明：平面PEN ⊥平面ABC ；(2)求直线PN 与平面MAC 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析【解析】 【分析】（1）由PAB △为正三角形，可得PE AB ⊥，再由三角形中位线定理结合已知条件可得EN AB ⊥，再由线面垂直和面面垂直的判定可得结论，（2）以E 为原点，EB 、EN 所在的直线分别为x 、y 轴，过点E 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可 (1)由PAB △为正三角形，E 是AB 的中点，则知PE ⊥AB ， 因为E ，N 分别是线段AB 和BC 的中点， 所以EN ∥AC ，因为AB ⊥AC ，所以EN ⊥AB ， 又PE EN E ⋂=，所以AB ⊥平面PEN ， 因为AB 平面ABC 所以平面PEN ⊥平面ABC . (2)由（1）知，∠PEN ＝150°，以E 为原点，EB 、EN 所在的直线分别为x 、y 轴，过点E 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B （1，0，0），C （－1，2，0），A （－1，0，0），30,2P ⎛- ⎝⎭，13,24M ⎛- ⎝⎭，N （0，1，0），∴50,,2PN ⎛= ⎝⎭，33,24AM ⎛=- ⎝⎭，()0,2,0AC =， 设平面MAC 的法向量为(),,n x y z =，则00n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2033024y x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩， 令x ＝1，则y ＝0，z =-(1,0,n =-，设直线PN 与平面MAC 所成角为θ，则sin cos ,7PN n PN n PN nθ⋅====故直线PN 与平面MAC变式2-3．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1222AC AB AA ===，11A B AB M =，11A B B C ⊥.(1)求证：AB AC ⊥；(2)若点N 在线段1A C 上，满足MN ∥平面ABC ，求直线1B N 与平面1A BC 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)49【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明出AC ⊥平面11AA B B ，即可证明AC AB ⊥. （2）连接1A C ，MN ，1B N .先证明出N 为1A C 的中点.以A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. (1)∵111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AA ⊥平面ABC ，∴1AA AB ⊥，1AA AC ⊥， 又1AA AB =，所以四边形11AA B B 为正方形， ∴11A B AB ⊥，又11A B B C ⊥，111AB B C B ⋂=， ∴1A B ⊥平面1AB C ，又AC ⊂平面1AB C ，∴1A B AC ⊥，又1AC AA ⊥，111A B AA A ⋂=，∴AC ⊥平面11AA B B ，又AB 平面11AA B B ， ∴AC AB ⊥. (2)连接1A C ，MN ，1B N .∵MN ∥平面ABC ，又MN ⊂平面1A BC ，平面1A BC 平面ABC BC =， ∴MN BC ∥.又M 为1A B 的中点，∴N 为1A C 的中点.如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,1A ，()1,0,0B ，()0,2,0C ，()11,0,1B ，10,1,2N ⎛⎫⎪⎝⎭.∴111,1,2B N ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭设平面1A BC 的法向量为(),,n x y z =，又()11,0,1A B =-，()10,2,1AC =-， 由1100n A B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得020x z y z -=⎧⎨-=⎩，不妨取z =2，所以平面1A BC 的一个法向量为()2,1,2n =∴直线1B N 与平面1A BC 所成角θ的正弦值为11124sin cos ,3932B N n B N n B N nθ⋅====⨯.考点三 二面角典例3．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 是矩形，AC AB ⊥，12AB AA ==，3AC =，1120A AB ∠=︒，E ，F 分别为棱11A B ，BC 的中点，G 为线段CF 的中点．(1)证明：1//AG 平面AEF ； (2)求二面角A EF B --的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；【解析】 【分析】（1）作图，由对应比例证明1//OF A G ，即可证明1//AG 平面AEF ；（2）建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，从而得对应平面向量的坐标，求解出法向量，利用向量夹角计算公式代入计算. (1)连接1A B ，交AE 于点O ，连接OF ，由题意，四边形11ABB A 为平行四边形，所以11AB A B =，因为E为11A B 中点，∴112A E AB =，∴1AOE BOA △△，且相似比为12，∴112AO OB =，又∵F ，G 为BC ，CF 中点，∴12GF BF =，∴1//OF A G ，又OF ⊂平面AEF ，1AG ⊄平面AEF ，∴1//AG 平面AEF .(2)连接1AB ，因为1120A AB ∠=︒，12AB AA ==，所以11AB A B ⊥，112,AB A B ==间直角坐标系，则()()1130,1,0,,,0,,222A B E F ⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则333313,,0,,,0,3,1,22222AE BE EF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设平面AEF 和平面BEF 的法向量分别为()()111222,,,,,m x y z n x y z ==，则{AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅m ⃑⃑ =0EF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅m ⃑⃑ =0⇒{√32x 1−32y 1=0−√3x 1+y 1+32z 1=0⇒m ⃑⃑ =(3√3,3,4)，{BE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ =0EF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ =0⇒{3√32x 2−12y 2=0−√3x 2+y 2+32z 2=0⇒n ⃑ =(√3,9,−4)，所以927cos ,13213m n m n m n⋅+===，因为二面角A EF B --的平面角为锐角，所以二面角A EFB --.【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.变式3-1．如图，ABC中AB BC⊥，且2=，将AEF沿中位线EF折起，使得AE BEAB BC⊥，连结AB，AC，M为AC的中点.(1)证明：MF⊥平面ABC；(2)求二面角E MF C--的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由勾股定理以及等腰三角形的性质得出FM AC⊥，MF BM⊥，再由线面垂直的判定证明即可；（2）以点E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，由向量法得出面面角. (1)设2BC =，则1,2,EF AE BE AF FC =====,AE EF AE BE ⊥⊥，EFBE E =，AE ⊥平面BCFEEC ⊂平面BCFE ，AE EC ∴⊥连接BM ，BF，AC AE ==2,BC AB ==222,AC BC AB BC AB ∴=+⊥12BM AC ∴==MF BF ===222BF MF BM ∴=+，即MF BM ⊥又,AF FC FM AC =∴⊥BM AC M ⋂=，∴MF ⊥平面ABC(2),,AE BE AE EF EF BE ⊥⊥⊥，∴以点E 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系(0,0,2),(2,2,0),(1,1,1)(0,1,0),(0,0),0,A C M F E(1,0,1),(1,1,1),(2,1,0)MF EM FC ∴=--==设平面EMF 的法向量为()111,,n x y z =，平面MFC 的法向量为()222,,m x y z =11111000x z MF n x y z EM n ⎧--=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨++=⋅=⎩⎪⎩，令11z =-，则(1,0,1)n =- 同理可得(1,2,1)m =--，2cos ,||||32m n m n m n ⋅〈〉===⋅⨯ 又二面角E MF C --为钝角，故二面角E MF C --的余弦值为变式3-2．如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB DC ∥，90DAB ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，且112PA AD DC AB ====，M 是棱PB 的中点.(1)证明：平面PAD ⊥平面PCD ；(2)求平面AMC 与平面BMC 的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)23【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先证明DC ⊥平面P AD ，再根据面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面PCD ；（2）建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，继而求得相关向量的坐标，再求出相关平面AMC 和平面BMC 的法向量，根据向量的夹角公式求得答案 (1)∵PA ⊥底面ABCD ，DC ⊂底面ABCD ，∴PA DC ⊥,又由题设知AD DC ⊥，且直线P A 与AD 是平面P AD 内的两条相交直线， ∴DC ⊥平面P AD .又DC ⊂平面PCD ，∴平面PAD ⊥平面PCD . (2)∵PA AD ⊥，PA AB ⊥，AD AB ⊥，∴以A 为坐标原点，以AD 为x 轴，以AB 为y 轴，以AP 为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0A ，()0,2,0B ，()1,1,0C ，()0,0,1P ,10,1,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，10,1,2AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(1,1,0)AC =,设平面AMC 的法向量为()1,,n x y z =，则由1100n AM n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1020y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得2z y x y =-⎧⎨=-⎩，令1y =，得()11,1,2n =--为平面AMC 的一个法向量.由10,1,2BM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,0,2MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,设平面BMC 的一个法向量为()2,,n a b c =，则2200n BM n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即102102b c a c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 令1a = ,可得平面BMC 的一个法向量为()21,1,2n =. ∴1212122cos ,3n n n n n n ⋅==-, 故所求平面AMC 与平面BMC 的夹角的余弦值为23.变式3-3．如图，三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA AC ⊥，AB AC ⊥，2AB AC ==，4PA =，点M 是P A 的中点，点D 是AC 的中点，点N 在PB 上，且2PN NB =.(1)证明：BD 平面CMN ；(2)求平面MNC 与平面ABC 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)23【解析】 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，得到相关点和相关向量的坐标, （1）求出平面CMN 的法向量，利用BD n =0证明即可；（2）由（1）知平面CMN 的法向量，再求平面ABC 的法向量，利用向量的夹角公式即可求解. (1)证明：三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA AC ⊥，AB AC ⊥∴分别以AB ，AC ，AP 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系∵2AB AC ==，4PA =，点M 是P A 的中点，点D 是AC 的中点，点N 在PB 上且2PN NB =∴()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,2M ，44,0,33N ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,0D设平面CMN 的法向量()000,,n x y z =，()0,2,2CM =-，44,2,33CN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2,1,0BD =-，由00000220442033n CM y z n CN x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩得00012x zy z ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 令02z =- 得0012x y =-⎧⎨=-⎩ ∴()1,2,2n =---∵()()2,1,01,2,20BD n ⋅=-⋅---= ∴BD n ⊥又BD ⊄平面CMN ∴BD 平面CMN ； (2)PA AB ⊥，PA AC ⊥，AB AC A ⋂=∴PA ⊥平面ABC∴PA 为平面ABC 的法向量 ()0,0,4AP =则AP 与n 的夹角α的补角是平面ABC 与平面CMN 所成二面角的平面角θ82cos cos 433AP n AP nθα⋅-=-=-=-=⨯⋅. ∴平面MNC 与平面ABC 所成角的余弦值为23.巩固练习练习一 线线角1．如图，在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB ⊥AC ，AB =AC =2，AA 1=4，点D 是BC 的中点，求异面直线 A 1B 与C 1D 所成角的余弦值.【解析】 【分析】建立空间直角坐标系,利用空间向量法求解. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系：则()()()()110,0,4,2,0,0,0,2,4,1,1,0A B C D ， 所以()()112,0,4,1,1,4A B C D =-=--， 设异面直线 A 1B 与C 1D 所成的角为θ，所以111111cos cos ,25A B C D A B C D A B C Dθ⋅====⋅. 2．如图，直棱柱111,ABC A B C -在底面ABC 中，1,90CA CB BCA ∠===，棱12,,AA M N =分别为111,A B A A 的中点.（1）求异面直线1BA ､1CB 成角的余弦值； （2）求证：BN ⊥平面1C MN .【答案】（1（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据条件中的垂直关系，以点C 为原点，建立空间直角坐标系，求向量1BA 和1CB 的坐标，再根据公式11cos ,BA CB <>的值；（2）利用向量数量积证明11,C M BN C N BN ⊥⊥，证明线面垂直. 【详解】（1）如图所示，以C 为原点，建立空间直角坐标系C xyz -，依题意得()()()()()110,1,0,1,0,1,1,0,2,0,0,0,0,1,2,B N A C B()()111,1,2,0,1,2BA CB ∴=-= ()111011223BA CB ∴⋅=⨯+-⨯+⨯= 又116,5BA CB ==11111130cos<,10BA CB BA CB BA BB⋅∴>==故11,BA CB （2）证明：依题意得()()()()11111,0,2,0,0,2,0,1,0,1,0,1,,,2,22A CB N M ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()1111,,0,1,0,1,1,1,122C M CC N BN ⎛⎫∴==-=- ⎪⎝⎭()()()111111010,11011122C M BN C N BN ∴⋅=⨯+⨯-+⨯=⋅=⨯+⨯-+-⨯=0,11,C M BN C N BN ∴⊥⊥11,BN C M BN C N ∴⊥⊥又：1111,C M C N C C M ⋂=⊂面11,C MN C N ⊂面1C MNBN ∴⊥平面1.C MN3．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2,,,AC AB A A AB AC D E F ⊥===分别为1,,AB BC BB 的中点.（1）证明：//DF 平面11AB C ；（2）证明：11AFB E ⊥； （3）求异面直线111A F B C 与所成角的余弦值.【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3 【解析】 【分析】（1）通过证明1//DF AB 来证得//DF 平面11AB C .（2）建立空间直角坐标系，利用向量法证得11AFB E ⊥. （3）利用向量法求得异面直线1A F 与11BC 所成角的余弦值. 【详解】（1）在三角形1ABB 中，,D F 分别是1,AB BB 的中点，所以DF 是三角形1ABB 的中位线，所以1//DF AB ，由于DF ⊂平面11AB C ，1AB ⊂平面11AB C ，所以//DF 平面11AB C . （2）以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()1110,0,2,0,2,1,0,2,2,2,0,2,1,1,0A F B C E ，所以()()110,2,1,1,1,2A F B E =-=--，11220A F B E ⋅=-+=，所以11A F B E ⊥，即11AF B E ⊥.（3）()()1110,2,1,2,2,0A F B C =-=-，设异面直线1A F 与11B C 所成角为θ，则1111cos 55A F B E A F B Eθ⋅===⋅. 所以异面直线1A F 与11B C4．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是1DD ，BD ，1BB 的中点.（1）求证：EF CF ⊥；（2）求EF 与CG 所成角的余弦值； （3）求CE 的长.【答案】（1）证明见解析；（2（3【解析】 【分析】（1）以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，证明0EF CF ⋅=即可；（2）求出cos cos ,EF CG EF CG EF CGθ⋅=<>=⋅即可；（3）利用空间两点间距离公式即可求出. 【详解】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系， 则()11110,0,,,,0,0,1,0,1,1,2222E F C G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）111,,222EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,022CF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则111110022222EF CF ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯+⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, EF CF ∴⋅，∴EF CF ⊥； （2）设EF 与CG 所成角为θ，111,,222EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,0,2CG ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1cos cos ,153EF CG EF CG EF CGθ⋅=<>===⋅所以EF 与CG（3）CE ==练习二 线面角5．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B ⊥底面11,60,ABC AA BAA ABC =∠=︒为等腰直角三角形，2AC BC ==．(1)若O 为AB 的中点，求证：1CO AA ⊥； (2)求直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析【解析】 【分析】(1)根据题意可得CO AB ⊥，由面面垂直的性质可得CO ⊥平面11AA B B ，结合线面垂直的性质即可证明；(2)建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面11ACC A 的法向量和1BC ， 结合空间向量的数量积计算即可. (1)ABC 为等腰直角三角形，2AC BC ==，由O 为AB 的中点，CO AB ∴⊥，又平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B 平面ABC AB =．CO ∴⊥平面11AA B B ，又1AA ⊂平面111AA B B CO AA ∴⊥，． (2)ABC为等腰直角三角形，2AC BC AB ==∴=，又11260AA BAA =∠=︒∴，四边形11AA B B 为菱形，1AA B 为正三角形，1A O AB ∴⊥，又平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B 平面ABC AB =，1AO ∴⊥平面ABC，建立如图所示的空间直角坐标系，1(0,A B C A ，，，，111(2,BC BC CC BC AA =+=+=+=．又1(2,2,0)(0,2,AC AA ==，，设(,,)n x y z =是平面11ACC A 的一个法向量，则100n AA n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,0,+== 令1z =，则(3,x y n ===-． 设直线1BC 与平面11ACC A 所成的角为θ，则1201sin cos ,7n BC θ⨯+===．6．如图，已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，AB CD ∥，1AB =，1BC =，2CD =，点A 在平面PCD 内的投影恰好是△PCD 的重心G ．(1)求证：平面PAB ⊥平面PBC ；(2)求直线DG 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；. 【解析】 【分析】（1）通过线线垂直先证明BC ⊥平面PAB ，即可由线面垂直证明面面垂直；（2）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，即可由向量法求得线面角的正弦值. (1)因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥， 因为90ABC ∠=︒，所以BC AB ⊥，因为PA AB A =，PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ， 所以BC ⊥平面PAB ，又因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBC ． (2)取CD 中点E ，连接AE ，因为90ABC ∠=︒，AB CD ∥，1AB BC ==，2CD =， 所以四边形ABCE 是矩形，所以AB AE ⊥， 因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AE ⊥，所以AB 、AE 、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系：(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)E ，(1,1,0)D -，设(0,0,)(0)P t t >，则20,,33t G ⎛⎫⎪⎝⎭，20,,33t AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11,,33t CG ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，11,,33t DG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为点A 在平面PCD 内的投影恰好是△PCD 的重心G ，所以AG CG ⊥，所以0CG AG ⋅=，所以220099t -+=，t =(0,1,0)BC =，(1,0,PB =，令(2,0,1)m =，因为0BC m ⋅=，0PB m ⋅=， 所以m 是平面PBC 的法向量，DG 的方向向量是11,,33DG ⎛=- ⎝⎭，所以直线CG 与平面PBC 所成角θ的正弦值为||3sin |cos ,|3||||3m DG m DG m DG θ⋅=〈〉===⋅. 故直线DG 与平面PBC 所成角的正弦值为3. 7．已知平行四边形ABCD ，2AB =，1BC =，3A π∠=，点E 是AB 的中点，沿DE 将ADE 翻折得PDE △，使得PC =，且点F 为PC 的中点.(1)求证：BF ∥平面PDE ；(2)求直线PE与平面BCDE 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)34【解析】【分析】（1）取PD 的中点H ，证明四边形FHEB 为平行四边形，由线面平行判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可.(1)取PD 的中点H,连接EH,HF∵F ，H 分别为PC ，PD 的中点，∴1//2FH CD FH CD =，又∵E 为AB 的中点，∴1//,2EB CD BE CD =，∴//,FH EB FH EB =，∴FHEB 为平行四边形，∴FB HE ∥，又∵BF ⊄面PDE ，HE ⊂面PDE ，∴BF ∥平面PDE .(2)∵2AB =，1AD =，3A π∠=，∴AD BD ⊥，如图建立平面直角坐标系：令(),,P x y z ，由条件可知()1,0,0A，()B，12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()C -，由11PD PE PC ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，∴()(22222222211121014x y z x y z x y z ⎧++=⎪⎪⎛⎪⎛⎫-++= ⎨ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪+++=⎩，∴1834x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴1384P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.∴53,884EP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，又∵面BCDE 的法向是()0,0,1m =，记PE 与面BCDE 所成角为θ. ∴||3sin 4||EP n n →→→⋅==θ， 即PE 与面BCDE 所成角的正弦值为34.8．如图1，在△MBC 中，24,BM BC BM BC ==⊥，A ，D 分别为棱BM ，MC 的中点，将△MAD沿AD 折起到△P AD 的位置，使90PAB ∠=，如图2，连结PB ，PC ，BD ．(1)求证：平面P AD ⊥平面ABCD ；(2)若E 为PC 中点，求直线DE 与平面PBD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；【解析】【分析】(1)推导出PA AD ⊥，PA AB ⊥，利用线面垂直的判定定理可得PA ⊥平面ABCD ，再利用面面垂直的判定定理即可证明；(2)以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A xyz -，利用向量法即可求出直线DE 与平面PBD 所成角的正弦值.(1)由题意知，因为点A 、D 分别为MB 、MC 中点，所以//AD BC ，又BM BC ⊥，所以BM AD ⊥，所以PA AD ⊥.因为90PAB ︒∠=，所以PA AB ⊥，又AB AD A ⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ，又PA ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)因为PA AB ⊥，PA AD ⊥，90PAB ︒∠=，所以AP AB AD 、、两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A xyz -，(0,0,0)(2,0,0)(2,2,0)(0,1,0)(0,0,2)(1,1,1)A B C D P E ，，，，，，则(1,0,1)(2,1,0)(2,0,2)DE BD BP ==-=-，，，设平面PBD 的一个法向量为()n x y z =，，，则0202200n BD x y x z n BP ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩，令2y =，得11x z ==，， 所以(1,2,1)n =，设直线DE 与平面PBD 所成角为θ，则1sin cos 2DE n DE n DE n θ⋅====， 所以直线DE 与平面PBD练习三 二面角9．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB DC ∥，AB AD ⊥，224CD AB AD ===，四边形11ADD A 为菱形，1A 在平面ABCD 内的射影O 恰好为AD 的中点，M 为AB 的中点.(1)求证：BC ⊥平面1AOM ； (2)求平面11A BC 与平面11AA D D 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）先证明1A O BC ⊥，BC OM ⊥，即可证明BC ⊥平面1AOM ； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.(1)因为O 为1A 在平面ABCD 内的射影，所以1A O ⊥平面ABCD ，因为BC ⊂平面ABCD ，所以1A O BC ⊥.如图，连接BD ，在Rt △ABD 中，BD =设CD 的中点为P ，连接BP ，因为//AB DC ，AB AD ⊥，224CD AB AD ===，所以BP CD ⊥，且2BP PC ==，则BC =因为22216BD BC CD +==，所以BC BD ⊥，易知//OM BD ，所以BC OM ⊥.因为1A O ⊂平面1AOM ，OM ⊂平面1AOM ，1A O OM O ⋂=， 所以BC ⊥平面1AOM . (2)由（1）知1A O ⊥平面ABCD ，所以可以点O 为坐标原点，以OA ，1OA ，所在直线分别为x ，z ，以平面ABCD 内过点O 且垂直于OA 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,2,0B，(1A ，()1,4,0C -，(12,C -所以(1,0,0)OA =,1OA =,(11,2,A B =，(1BC =-，设平面11AA D D 的法向量为()111,,m x y z =，0m OA ⋅=，10m OA ⋅=，则110,0,x =⎧⎪=可取平面11AA D D 的一个法向量为()0,1,0m =. 设平面11A BC 的法向量为()222,,n x y z =，10n BC ⋅=，10n A B ⋅=，则222222320,20,x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩令2y 11A BC的一个法向量为()23,n =.设平面11A BC 与平面11AA D D 的平面角为α，由法向量的方向可知α与法向量的夹角大小相等，所以3cos 311m nm n α⋅===⨯⋅， 所以平面11A BC 与平面11AA D D . 10．如图所示，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD为菱形，SAD 为等边三角形，120ABC ∠=︒，点S 在平面ABCD 内的射影O 为线段AD 的中点.(1)求证：平面SOB ⊥平面SBC ；(2)已知点E 在线段SB 上，32SE BE =，求二面角B OE C --的余弦值.【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）证明OB BC ⊥和OS BC ⊥，利用线面垂直的判定定理证明出BC ⊥平面SOB ，再利用面面垂直的判定定理证明出平面SOB ⊥平面SBC .（2）以,,OA OB OS 为正方向建立空间直角坐标系O xyz -，用向量法求解.(1)（1）如图，连接BD .在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，故ABD △为等边三角形.因为O 为AD 的中点，所以OB AD ⊥.因为AD BC ∥，所以OB BC ⊥.由条件可知SO ⊥底面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，所以OS BC ⊥，因为OS OB O =，OS ，OB ⊂平面SOB ，所以BC ⊥平面SOB .因为BC ⊂平面SBC ，故平面SOB ⊥平面SBC .(2)因为SO ⊥底面ABCD ，OB AD ⊥，所以可以以,,OA OB OS 为正方向建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设1OA =，则OS OB =因为()0,0,0O ，()B ，()C -，(S ，所以()OC =-.由32SE BE =，得35OE OS SB ⎛=+= ⎝⎭， 设(),,m x y z =是平面OEC 的法向量，由{OE ⃑⃑⃑⃑⃑ ·m ⃑⃑ =0OC ⃑⃑⃑⃑⃑ ·m ⃑⃑ =0得32020y z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令2y =，则x =3z =-，则()3,2,3m =-，又因为平面BOE 的一个法向量为()1,0,0n =，所以cos ,3m n m n m n ⋅===+，故由图可知二面角B OE C --的平面角为锐角，所以二面角B OE C -- 11．如图，在直棱柱111ABC A B C -中，1CA CB ==，90BCA ∠=︒，12AA =，,M N 分别是11A B ，1AA 的中点.(1)求BN 的长；(2)求证：11A B C M ⊥；(3)求二面角11A BC B --的余弦值.【答案】(2)证明见解析【解析】【分析】（1）以点C 为原点建立空间直角坐标系，求得向量BN 的坐标求解； （2）求得向量1A B ，1C M 的坐标，利用向量的数量积运算求解； （3）先求得平面1A BC 的一个法向量(,,)n x y z =，易知(1,0,0)CA =为平面1B BC 的一个法向量，再由cos<n CA n CA n CA ⋅⋅>=⋅求解.(1) 解：依题意，以点C 为原点建立空间直角坐标系（如图），则(1,0,0)A ,(0,1,0)B ，(0,0,0)C ，11(,,2)22M ，(1,0,1)N ,1(1,0,2)A ,1(0,1,2)B ,1(0,0,2)C ， 所以向量(1,1,1)BN =-则21BN ==(2) 向量1(1,1,2)A B =--，向量111(,,0)22C M =，因为11A B C M ⋅()11112022=-⨯+⨯+-⨯0= ，所以11A B C M ⊥ 所以11A B C M ⊥；(3)向量1(1,1,2)A B =--，向量()11,0,2AC =--， 设(,,)n x y z =为平面1A BC 的一个法向量，则1100A B n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y z x z -+-=⎧⎨--=⎩, 不妨令2x =-，可得(2,0,1)n =-，又(1,0,0)CA =为平面1B BC 的一个法向量， 则cos<n CAn CA n CA⋅⋅>=⋅= 12．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，4AB =，AD EF ∥，2AF EF ==，90FAD AEC ∠=∠=︒.(1)证明：AF ⊥平面ABCD ；(2)求二面角B ED C --的正弦值．【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）取AD 的中点为M ，连接EM ，易证AE ⊥平面ECD ，得到AE CD ⊥，再由CD AD ⊥，得到CD ⊥平面ADEF ，进而得到CD AF ⊥，再利用线面垂直的判定定理证明； （2）连接BE ，BD，以A 为原点，AB ，AD ，AF 所在方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得平面BED 的一个法向量(),,m a b c =和平面CED 的一个法向量(),,n x y z =，然后由cos ,n m n m n m ⋅=求解. (1)证明：取AD 的中点为M ，连接EM ，则2EF AM AF ===，又90FAD ∠=︒，//AD EF ，故四边形AFEM 为正方形，故2EM AM MD ===，故90AED ∠=︒，又AE EC ⊥，EC ED E =，故AE ⊥平面ECD ，则AE CD ⊥．又CD AD ⊥，AE AD A =，故CD ⊥平面ADEF ，则CD AF ⊥．又AF AD ⊥，AD CD D =，AD ，CD ⊂平面ABCD ，故AF ⊥平面ABCD ．(2)连接BE ，BD ，以A 为原点，AB ，AD ，AF 所在方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，如图：则B （4，0，0），C （4，4，0），D （0，4，0），E （0，2，2），则()4,4,0BD =-，()4,2,2BE =-，()4,0,0CD =-，()0,2,2DE =-．设平面BED 的一个法向量为(),,m a b c =．则0,0,m BD m BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即440,4220,a b a b c -+=⎧⎨-++=⎩令1a =，则()1,1,1m =．设平面CED 的一个法向量为(),,n x y z =， 则0,0,n CD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即40,220,x y z -=⎧⎨-+=⎩令1y =，则()0,1,1n =，2cos ,32n m n m n m ⋅===⨯，则3sin ,3n m =，故二面角B ED C --。
高中数学第二章空间向量与立体几何2.5.3直线与平面的夹角10121数学
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12/13/2021
设平面 ADE 法向量 n2＝(x2，y2，z2)， 则 n2·D→E＝n2·A→D＝0 解得：n2＝(1,0， 2) 设平面 ABD 与平面 ADE 夹角为 θ，
cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝1＋4×0＋32＝
3 2
∴平面 ABD 与平面 ADE 的二面角平面角为π6.
5.3直线与平面的夹角
12/13/2021
• 1．共面直线的夹角 • 当 角两中条，直范线围在l1与__l2_共_面_[0_，时_π2_]，__我__们内把的两角条叫直作线两交直
线的夹角． • 2．异面直线的夹角 • 当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取
一点A作AB∥l2，我们把直线l1与直线AB的夹 角叫作异面直线l1和l2的夹角．
12/13/2021
4．平面夹角的概念 在两个平面所成的二面角的平面角中，称范围在 ___[_0_，__π2_]____ 内的角为两个平面的夹角． 5．平面夹角的求法 设平面 α 与平面 β 的法向量分别为 n1 与 n2，两平面的夹角为 θ.当 0≤〈n1，n2〉≤π2时，θ＝_〈__n_1_，__n_2_〉___；当π2<〈n1，n2〉≤π 时，θ＝_π_－__〈__n_1，__n__2〉_．即 cosθ＝|_c_o_s〈__n_1_，__n_2_〉_.|
立体几何中的夹角、距离、向量归纳
D BA C α一、空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角 1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π。
（2）求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决（3）具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角 2、直线与平面所成的角（1）直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。
（2）求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
（3）具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。
3、二面角（1）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指],0(π，解题时要注意图形的位置和题目的要求。
（2）作二面角的平面角常有三种方法图一 图二 图三 ①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角； 如图一示②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角； 如图二示③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角 如图三示1、点到直线的距离：点Ｐ到直线a 的距离为点Ｐ到直线a 的垂线段的长，常先找或作直线a 所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作a 的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a 的距离。
在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可。
例1、在△ABC 中，AB=2，BC=3，AC=4，求点A 到BC 的距离。
解：作BC AD ⊥，垂足为D ，又 AB=2，BC=3，AC=4， 874322432cos 222222=⨯⨯-+=⋅-+=∴BC AC AB BC AC C815)87(1sin 2=-=∴C41538154321sin 4321=⨯⨯⨯=⨯⨯=∴∆C S ABC AD BC S ABC ⋅=∆21又 2153415322=⨯==∴∆BCS AD ABC∴点A 到BC 的距离为2152、点到平面的距离：点Ｐ到平面α的距离为点Ｐ到平面α的垂线段的长．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面α的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为n m :，则点Ａ，Ｂ到平面α的距离之比也为n m :．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面α的距离相等；③体积法例2、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，,22,2,51===AA BC AB E 在AD 上，且AE=1，F 在AB 上，且AF=3，（1）求点1C 到直线EF 的距离；（2）求点C 到平面EF C 1的距离。
立体几何五 夹角的计算
空间向量在立体几何中的应用一：两直线的夹角：1.当两条直线1l 与2l 共面时，我们把两条直线交角中，范围在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的角叫作两直线的夹角．当直线1l 与2l 是异面直线时，在直线1l 上任取一点A 作AB ∥2l ，我们把直线1l 和直线AB 的夹角叫作异面直线1l 与2l 的夹角．异面直线的夹角的范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦.2. 直线夹角的向量计算方法：已知空间两条直线a ，b ，且A ，C 是直线a 上不同的两点，B ，D 是直线b 上不同的两点，设直线a ，b 的夹角θ由向量AC BD ，确定，满足||cos ||||AC BD AC BD θ⋅=⋅.要点诠释：空间两直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角.例1. 如图所示，在四棱锥P ABCD －中，底面是矩形，⊥底面. 是的中点，已知，，，求异面直线与所成的角的大小．【变式2】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB =2=，AC BC =，D 为1BB 的中点，若异面直线1AB 与CD 的夹角为，求AC 的长．要点二：平面间的夹角1. 平面间的夹角的定义：平面1π与2π相交于直线l ，点R 为直线l 上任意一点，过点R ，在平面1π上作直线1l ⊥l ，在平面2π上作直线2l ⊥l ，则12l l =R 。
我们把直线1l 和2l 的夹角叫做平面1π与2π的夹角.2. 平面间夹角的向量计算方法：设平面1π与2π的法向量分别为1n 和2n ，平面1π与2π的夹角为θ，则121212cos =cos =.θ⋅n n n n n n ，两平面的夹角范围是02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 3. “平面间的夹角”不同于“二面角” （1）二面角的有关概念半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫半平面.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 如图，可记作二面角--a αβ或--AB αβ.（2）区别：平面间的夹角 二面角 构成 面-线-面半平面-线-半平面范围 02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， []0π，表示法语言叙述语言叙述或符号表示例2. 如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，AF AB BC FE====12AD，求平面ACD和平面CDE的夹角的余弦值.变式：如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD DC=，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．(1)求证：PB⊥平面EFD；(2)求平面与平面的夹角的大小．三：直线和平面的夹角1.斜线与平面的夹角：平面的一条斜线与它在该平面内的射影的夹角叫作该直线与此平面的夹角.如图，l 是平面α的一条斜线，斜足为O ，OA 是l 在平面α内的射影，POA ∠就是直线l 与平面α的夹角.（1）直线和平面所成角的范围是02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.（2）最小角定理：斜线和射影所成的角，是斜线 和这个平面内所有直线所成角中最小的角；2. 线面角的向量计算方法设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的角为ϕ，则有||sin |cos |||||θϕ⋅==⋅a u a u .例3. 如图，在正四面体ABCD 中，E 为AD 的中点，求直线CE 与平面BCD 成的角．变式:四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，45ABC =∠，2AB =，22BC =，侧面SBC ⊥底面ABCD ．3SA SB ==． （Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的正弦值．DBCAS变式:如图，四棱锥P ABCD -中，AB AP =，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，4AB AD +=，CD =2，45CDA ∠=︒．若直线PB 与平面PCD 所成的角为︒30，求线段AB 的长.习题1：如图，在ABC ∆中，ABC ∠︒=60，90,BAC ∠=︒AD BC 是上的高，沿AD 把ABD 折起，使090BDC ∠=. 设E 为BC 的中点，求AE与DB 夹角的余弦值.习题2：如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥AC ，D E 、分别为11AA B C 、的中点，DE ⊥平面1BCC ，若平面ABD 和平面BCD 为60°,求1B C 与平面BCD 的夹角的大小.。
3.2立体几何中的向量方法-夹角
0
题型一：利用空间向量求线线角、线面角
【例 1】(2010· 课标全国)如图，已知四棱椎 P－ABCD 的底 面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点． (1)证明：PE⊥BC； (2)若∠APB＝∠ADB＝60° ，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值． 解：以 H 为原点，HA，HB，HP 分别为 x，y，z 轴， 线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图， 则 A(1,0,0)B(0,1,0)． (1)证明：设 C(m,0,0)， P(0,0，n)(m<0，n>0)，
※注：由于两条直线所成的角，线面角都是锐角或 直角，因此可直接通过绝对值来表达，故可直接求 出，而二面角的范围是[0，π]，有时比较难判断二面 角是锐角还是钝角，因为不能仅仅由法向量夹角余 弦的正负来判断，故这是求二面角的
题型一：利用空间向量求线线角、线面角 空间中的角 题目如下：
【例 1】(2010· 课标全国)如图，已知四棱椎 P－ABCD 的底 面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点． (1)证明：PE⊥BC； (2)若∠APB＝∠ADB＝60° ，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值． 解：以 H 为原点，HA，HB，HP 分别为 x，y，z 轴， 线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图， 则 A(1,0,0)B(0,1,0)． (1)证明：设 C(m,0,0)， P(0,0，n)(m<0，n>0)，
0
2012•山东18题
由已知线线平行关系 面EFG//面ABCD.由EA 面ABCD EA 面EFG. Z E Z F Z G, 设G （x，， 0 z），AC=m，AD=n D(0，n，， 0) C （m，0,0） n 1 1 m M (0， ，， 0) B(m， -n，。又 0) EG // AC EG // AC （x，0,0）（ = ，0,0）。 2 2 2 2 m m m n x=（ ，0,z） G （ ，0,z） GM （- ， ，）。可表示出 -z AE =（0，， 0 z）， 2 2 2 2 AB =(m， -n，。由共面向量定理：只要 0) GM =p AE +q AB （）（p，q为未知数）即可。 m n 把（）代入整理 （- ， ，）（ -z = 0，0,pz） +(qm， -qn， 0)=(qm， -qn，pz) 2 2 m n 1 - =qm， =-qn， -z=pz q=- ，p=-1。故成立！ 2 2 2
空间向量夹角计算
空间向量夹角的ห้องสมุดไป่ตู้算可以通过以下步骤进行：
1.首先，确定两个空间向量的坐标。假设有两个向量A=(Ax,Ay,Az)和B=(Bx,By,Bz)。
2.计算两个向量的点积（也称为数量积或内积）。点积的计算公式为：
A⋅B=Ax×Bx+Ay×By+Az×Bz
3.计算两个向量的模（也称为长度或大小）。模的计算公式为：
∣A∣=Ax2+Ay2+Az2
∣B∣=Bx2+By2+Bz2
4.使用点积和模来计算两个向量之间的夹角θ。夹角的计算公式为：
cosθ=∣A∣×∣B∣A⋅B
5.最后，使用反余弦函数arccos来找到夹角θ的实际值。注意，由于arccos的值域是[0,π]，因此θ的值也将在这个范围内。
θ=arccos(∣A∣×∣B∣A⋅B)
这就是计算空间向量夹角的方法。
3.2.4立体几何中的向量方法求夹角
30 . 10
42
所以 B D与1 所A F成1 角的余弦值为
30 10
[题后感悟] 如何用坐标法求异面直线所成的 角？
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)找到两条异面直线的方向向量的坐标形式；
(3)利用向量的夹角公式计算两直线的方向向 量的夹角；
(4)结合异面直线所成角的范围得到异面直线 所成的角．
别为X轴、Y轴、Z轴，建立空间直角坐标系， 设BE=m，则 A ( 0 ,0 ,0 ) ,P ( 0 ,0 ,1 ) ,D (3 ,0 ,0 ) ,E ( m ,1 ,0 ) ,
2、二面角
①方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的 方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）
的夹角。如图（2），设二面角l 的大小为
其中AB l,A B ,C D l,C D
cos cosAB,CD ABCD
B
ABCD
A
C
D
L
2、二面角
②法向量法如将图，二向面量角转n 化 为， 二m 面 角的两，个面的法向量的夹角。
(3)向量求法:设直线l的方向向量为 a ,平面的法
向量为 u ,直线与平面所成的角为 , a 与 u 的
夹角为 ,则有
cos |cos||au| 或 cossin
|a||u|
如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1 的底面边长为a，侧棱长为 2a，求AC1与侧面 ABB1A1所成角的大小．
平 面 A B C 的 法 向 量 平 移 到 A 1 B 1 C 1 位 置 ， 已 知
BCCACC1， 取 A 1B 1 、 A 1 C 1 的 中 点 D 1 、 F 1 ，
选2-13.2立体几何中的向量方法(夹角问题)
∴AE⊥平面DBC，
∴∠ADE即为AD与平面CBD所成的角。
E
∵AB＝BD，∠CBA=∠DBC，EB＝EB
∴∠ABE＝∠DBE
∴△DBE≌△ABE
∴DE⊥CB且DE＝AE
∴∠ADB＝45°
∴AD与平面CBD所成的角为45°
（2）由（1）知CB⊥平面ADE ∴AD⊥BC即AD与BC所成的角为90°
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°. (2)证明 由AM (1 ,1, 1),CE (1,0,1), AD (0,2,0),
22
可得CE AM 0，CE AD 0.因此CE AM,CE AD. 又AM∩AD=A，故CE⊥平面AMD.而CE 平 面
CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.
求法向量坐标
求两法向量夹角
定值
例5 如图5，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD
中，AD//BC，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，
SA 1 , AB=BC=1， AD 1 .
2
2
求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦 。
z S
A
By
D
x
C
图5
解： 以A为原点如图建立空间直角坐标系，
则
S
例3 如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，
侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD= 3，在线段BC
上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450? 若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。
P
Az By
E
D
C
x
设BE=m，则 A(0, 0, 0), P(0, 0,1), D( 3, 0, 0), E(m,1, 0),
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关键：观察二面角的范围
ur uur
cos | cos n1, n2 |
•引入
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结
▪ 例2如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是 AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦 值为_____.
z
A1
D1
B1
C1
A M
3 2
a
,0)
A1(
a 2
,0,).
C(-
a 2
,0,
2a)
▪ 设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)
▪ 得 AB ( a , 2
3 2
a,0),AA1源自(0,0,2a)▪ ▪
a
x
3 ay 0 0
由 ，解得 2 2
2az 0
取y= ,得n=(3, ,0)， 3
x 3y z0
3
，
直线与平面所成角的范围： [0, ]
A
r n
2 思考：
B O
r uuur
n, BA 与的关系？
r uuur
结论： sin | cos n, AB |
•引入
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结
题型三：二面角
二面角的范围： [0, ]
uur
n2ur
A
O
B n1
uur
n2
ur n1
ur uur
z S
A
B x
y D
C
解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则 B（1， 0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0， 0，1）.
▪ 设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由
▪ SC (1,1,1), CD (1,1,0) 得
▪
xxyyz00, 解得
x y
z
2 z
, 取z
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：
0,
2
C
D
思考：
A D1 B
uuur uuur
CD, AB 与的关系？
uuur uuur
DC, AB 与的关系？
uuur uuur
结论： cos | cos CD, AB |
•引入
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结
题型二：线面角
题型二：线面角
2得
n1=(1,1,2).
2
▪ 而面SAD的法向量n2 = (1,0,0). ▪ 于是二面角A-SD-C的大小θ满足
▪
cos cos n1,n2
1
1 6,
11 4 100 6 6
▪ ∴二面角A-SD-C的大小为 arccos 6.
6
x
B
D
y
C
C
▪ 解: 以A为原点建立如图所示的直角坐标 系A- xyz, 设正方体的棱长为2, 那么
M(1,0, 0), C(2,2,0), B1(2, 0, 2), D(0,2 ,0),
于是：CM (1,2,0) DB1 (2,2,2)
▪设DB1与CM所成角为θ, DB与1 CM所成角为α,
▪ 设AC1 (a,0, 2a)与n夹角为α
▪ 而 sin | cos
| 3a 0 0 |
3a 1
▪ ∴ 30.
9 3 0 a2 0 2a2 2 3 3a 2
▪ 故：AC1与侧面ABB1A1所成的角大小为30°.
▪ 例4 在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°， 侧棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求 二面角A-SD-C的大小.
▪∴cosθ =|cosα|
240
2 15
1 4 0 4 4 4 5 4 3 30
▪ 例3正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高 为 2a ，求AC1与侧面ABB1A1所成的角。
z
C1
A1
A x
B1
C O
B y
▪ 解:建立如图示的直角坐标系,则
▪
A(
a 2
,0,0),B(0,