一元一次方程追及应用题解题技巧
一元一次方程解题方法和技巧应用题
一元一次方程应用题解题方法和技巧一元一次方程应用题解题方法和技巧如下：方法：（1）和差倍分问题：①倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长，公率......”来体现。
②多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。
③基本数量关系：增长量=原有量×增长率，现在量=原有量+增长量。
（2）行程问题：基本数量关系：路程=速度×时间，时间=路程÷速度，速度=路程÷时间。
路程=速度×时间。
①相遇问题：快行距+慢行距=原距。
②追及问题：快行距-慢行距=原距。
③航行问题：顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度。
逆水（风）速度=静水（风）速度-水流（风）速度。
技巧：1、注意语言与解析式的互化：如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为(到)”、“同时”、“扩大为(到)”、“扩大了”等。
2、注意从语言叙述中写出相等关系：如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。
3、注意单位换算：如，“小时”、“分钟”的换算；s、v、t单位的一致等。
一元一次方程：一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。
一元一次方程只有一个根。
一元一次方程最早见于约公元前1600年的古埃及时期。
公元820年左右，数学家花拉子米在《对消与还原》一书中提出了“合并同类项”、“移项”的一元一次方程思想。
16世纪，数学家韦达创立符号代数之后，提出了方程的移项与同除命题。
1859年，数学家李善兰正式将这类等式译为一元一次方程。
一元一次方程应用题解题技巧
一元一次方程应用题解题技巧一元一次方程是数学中的一种基本方程，广泛应用于解决实际问题。
掌握一元一次方程的应用，对于提高数学解题能力具有重要意义。
本文将介绍一元一次方程应用题的基本概念、解题步骤和技巧。
一、基本概念一元一次方程是指未知数最高次数为1的方程，其形式为ax+b=0（a≠0）。
在实际应用中，一元一次方程常用来描述简单的一次性量与变量之间的关系，如速度与时间的关系、销售量与价格的关系等。
二、解题步骤1. 审题：仔细阅读题目，理解题意，找出题目中的等量关系。
2. 设未知数：根据题目中的等量关系，设定未知数。
3. 列方程：根据等量关系，列出方程。
4. 解方程：求出方程的解。
5. 检验：将解代入原方程，检验是否符合题意。
三、解题技巧1. 寻找等量关系：在应用题中，等量关系往往隐藏在题目中，需要仔细寻找。
常见的等量关系有速度相等、价格相等、数量相等等。
找到等量关系是解决应用题的关键。
2. 画图辅助：对于较为复杂的应用题，可以借助图形来辅助解题。
如行程问题中的路程图、销售问题中的价格走势图等。
通过图形，可以更加直观地理解题目中的信息。
3. 灵活运用未知数：在一元一次方程中，未知数的个数是有限的，可以通过设定不同的未知数来列出不同的方程，从而得到多个解。
但在实际问题中，有些解是不符合实际情况的，需要加以排除。
因此，在解题时要注意灵活运用未知数，不要盲目求解。
4. 利用公式法求解：对于一些特殊的一元一次方程，可以利用公式法求解。
如利用韦达定理求解一元二次方程的解。
对于一些特定的题目，利用公式法可以更加简便地得到答案。
四、例题解析【例题】某公司生产一种产品，每件成本为20元，售价为30元。
公司每天的人工、电费、设备折旧等固定成本为2000元。
为了降低成本并提高利润，公司决定采用新技术降低每件产品的成本。
如果新技术的成本每件降低5元，则每天的净收入可增加200元。
问是否需要采用新技术？【解析】设采用新技术后每天的生产量为x件，则采用新技术前每天的生产量为(x-1)件。
七年级一元一次方程应用题解题方法和技巧
一、一元一次方程的基本概念1. 什么是一元一次方程一元一次方程是指方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
通常可以用形如ax+b=0的形式表示，其中a和b为已知数，x为未知数。
2. 一元一次方程的解解一元一次方程就是找到满足方程的未知数的取值，使得方程成立。
一元一次方程的解可以有一个或者多个，也可能没有解。
二、一元一次方程应用题的解题方法1. 理解问题在解一元一次方程应用题时，首先要理解问题的意思，明确题目中的已知量和未知量，搞清楚问题的关键信息。
2. 建立方程根据问题的描述和已知量，可以建立相应的一元一次方程。
通常可以根据关键词归纳出方程的形式，比如“某数的5倍加3等于17”可以转化为5x+3=17的方程。
3. 求解方程利用一元一次方程的基本解法，将方程化简为最简形式，然后进行运算求解未知数的值。
可以采用加法、减法、乘法、除法等运算，将未知数的系数移到一边，把常数移到另一边，最终得出未知数的值。
三、一元一次方程应用题的解题技巧1. 画图辅助对于涉及几何或者图形的一元一次方程应用题，可以画图辅助理解问题，建立方程。
通过图形直观地表达问题，更容易理解和解决。
2. 注意单位转化在一些物理或者工程类的应用题中，可能涉及到不同的单位，需要进行单位转化。
在建立方程时，要注意统一单位，以免造成计算错误。
3. 严格审题在解一元一次方程应用题时，要仔细审题，理解题目的要求和条件，确保没有遗漏重要信息。
同时要注意解题的逻辑和推理过程，保证每一步都准确无误。
四、案例分析举例说明一元一次方程应用题的解题过程，包括问题的理解、建立方程、求解方程和最终得出答案的过程。
五、总结总结一元一次方程应用题的解题方法和技巧，强化重点和难点，提醒注意事项，巩固解题思路和方法。
六、练习题设计一些不同类型的一元一次方程应用题，供读者练习和巩固所学知识。
七、结语总结全文内容，强调一元一次方程应用题解题方法和技巧的重要性，鼓励读者多加练习，提高解题能力。
数学教案-一元一次方程的应用之追及问题
数学教案－一元一次方程的应用之追及问题引言追及问题是数学中常见的一类应用问题，也是一元一次方程的典型应用之一。
通过解一元一次方程，可以求解追及问题中涉及到的物体的运动轨迹、速度、时间等信息，从而帮助我们更好地理解和解决实际生活中的问题。
本教案将介绍一元一次方程的基本概念和追及问题的一般解法，以及一些典型的应用实例，帮助学生理解并掌握这一知识点。
一、一元一次方程的基本概念一元一次方程是指只含有一个未知数，并且该未知数的最高次数为1的代数方程。
一元一次方程的一般形式为：ax+b=0，其中，a和b为已知常数，a≠0。
解一元一次方程的基本步骤如下：1.将一元一次方程变形，使得方程左边只剩下未知数。
2.通过移项的方式，将未知数从等式的一边移到另一边。
3.将方程两边的系数化简。
4.最后，求得未知数的值。
二、追及问题的一般解法追及问题是描述两个或多个物体在同一起点出发，相互追赶的运动问题。
常见的追及问题有两种情况：1. A、B两个物体同时出发，一个从起点向东走，一个从起点向西走。
假设A物体的速度为v A，B物体的速度为v B，从起点到相遇点的距离为d。
根据追及问题的特点，可得到如下的一元一次方程：vt+(−vt)=d化简后可得：2vt=d通过解这个一元一次方程，可以求得从起点到相遇点的时间t。
2. A、B两个物体同时出发，A物体从起点向东走，B物体从追及点向东走。
假设A物体的速度为v A，B物体的速度为v B，从起点到相遇点的距离为d，B物体从追及点到起点的距离为x。
根据追及问题的特点，可得到如下的一元一次方程：vt+(vt+xv)=d化简后可得：2vt+xv=d通过解这个一元一次方程，可以求得从起点到相遇点的时间t，从追及点到起点的距离x。
三、实例分析实例1：小明和小红分别从同一起点出发，小明向东走，小红向西走。
已知小明的速度为6m/s，小红的速度为4m/s，他们相遇后共走了80米。
求他们相遇的时间。
解题步骤如下：1.假设相遇点到起点的距离为d，则根据追及问题可得方程：6t+(−4t)=80，其中，t为他们相遇的时间。
七年级一元一次方程应用题解题技巧总结
七年级一元一次方程应用题解题技巧总结在初中数学学习中，一元一次方程是一个基础且重要的内容。
在解一元一次方程的过程中，应用题是一个很关键的环节，需要掌握一定的解题技巧。
本文将总结七年级一元一次方程应用题解题技巧，帮助同学们更好地应对这类问题。
问题分析在解一元一次方程的应用题时，首先要将问题进行分析，明确问题的关键信息。
一般来说，应用题中会涉及到“未知数的设定”、“问题的条件”、“问题的要求”等内容。
我们需要将这些内容清晰地理解，并将其转化为数学语言。
步骤总结1.设定未知数：在遇到应用题时，首先明确未知数代表的意义，通常会直接用字母表示，如x，y等。
2.建立方程：根据问题的条件，建立方程。
根据关键信息，可以列出等式，将问题转化为方程。
3.解方程：根据方程的性质，进行化简和整理，找到方程的解。
可以通过合并同类项、移项、消项等方式求解方程。
4.验证解的正确性：解得方程后，要将所得的解代入原方程进行验证，确保解的正确性。
解题技巧1.仔细阅读题目：要仔细审题，理解问题的含义，注意问题的条件和要求。
2.逻辑清晰：在解题的过程中，逻辑要清晰，一步一步进行推理和求解，不要出现漏洞。
3.化繁为简：解题时可以适当化繁为简，简化问题的设定和条件，有助于更快地找到解题思路。
4.多练习：通过大量的练习，掌握应用题解题的技巧和思路，提高解题的速度和准确性。
实例演练实例一某个班级学生人数的2/5比3/4小15人，求这个班级学生的总人数。
解题过程： 1. 设这个班级学生的总人数为x，根据题意，可以得到方程：2/5x=3/4x−15。
2.化简方程，得到8x=15x−300。
3.移项整理，得到7x=300，解得x=300/7。
4.验证解，将x代入原方程验证，发现成立，得答案。
实例二某商店举办“满500减100”优惠活动，若小明在该商店买东西，总共花费480元，问他买了多少钱的商品。
解题过程： 1. 设小明买的商品总价为x，则根据题意，可以得到方程：x−100=480。
一元一次方程应用题(精选拔高-题型全-含详细答案)
一元一次方程的应用1、列方程解应用题的根本步骤和方法：注意：〔1〕初中列方程解应用题时，怎么列简单就怎么列〔即所列的每一个方程都直接的表示题意〕，不用担忧未知数过多，简化审题和列方程的步骤，把难度转移到解方程的步骤上．〔2〕解方程的步骤不用写出，直接写结果即可．〔3〕设未知数时，要标明单位，在列方程时，如果题中数据的单位不统一，必须把单位换算成统一单位，尤其是行程问题里需要注意这个问题．2、设未知数的方法：设未知数的方法一般来讲，有以下几种：〔1〕“直接设元〞：题目里要求的未知量是什么，就把它设为未知数，多适用于要求的未知数只有一个的情况；〔2〕“间接设元〞：有些应用题，假设直接设未知数很难列出方程，或者所列的方程比拟复杂，可以选择间接设未知数，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用．〔3〕“辅助设元〞：有些应用题不仅要直接设未知数，而且要增加辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是为了帮助列方程，同时为了求出真正的未知量，可以在解题时消去．〔4〕“局部设元〞与“整体设元〞转换：当整体设元有困难时，可以考虑设其一局部为未知数，反之亦然，如：数字问题．模块一：数字问题〔1〕多位数字的表示方法：一个两位数的十位数字、个位数字分别为a 、b ，〔其中a 、b 均为整数，19a ≤≤，09b ≤≤〕那么这个两位数可以表示为10a b +．一个三位数的百位数字为a ，十位数字为b ，个位数字为c ，〔其中均为整数，且19a ≤≤，09b ≤≤，09c ≤≤〕那么这个三位数表示为：10010a b c ++．〔2〕奇数与偶数的表示方法：偶数可表示为2k ，奇数可表示为21k +〔其中k 表示整数〕．〔3〕三个相邻的整数的表示方法：可设中间一个整数为a ，那么这三个相邻的整数可表示为1,,1a a a -+．【例1】 一次数学测验中，小明认为自己可以得总分值，不料卷子发下来一看得了96分，原来是由于粗心把一个题目的答案十位与个位数字写颠倒了，结果自己的答案比正确答案大了36，而正确答案的个位数字是十位数字的2倍．正确答案是多少?【解析】此题中数据96与列方程无关．与列方程有关的量就是小明粗心后所涉及的量．设正确答案的十位数字为x ，那么个位数字为2x ， 依题意，得(102)(102)36x x x x ⨯+-+=，解之得4x =． 于是28x =．所以正确答案应为48．【答案】48【例2】 某年份的号码是一个四位数，它的千位数字是2，如果把2移到个位上去，那么所得的新四位数比原四位数的2倍少6，求这个年份．【解析】设这个年份的百位数字、十位数字、个位数字组成的三位数为x ，那么这个四位数字可以表示为21000x ⨯+，根据题意可列方程：()1022210006x x +=⨯+-，解得499x =【答案】2499年【例3】 有一个四位数，它的个位数字是8，如果将个位数字8调到千位上，那么这个数就增加117，求这个四位数．【解析】设由原数中的千位数字、百位数字和十位数字组成的三位数为x ，那么这个四位数可以表示为108x +，那么调换后的新数可以表示为8000x +，根据题意可列方程1088000117x x +=+-，解得875x =，所以这个四位数为8758【答案】8758【例4】 五一放假，小明的爸爸开车带着小明和妈妈去郊游，他们在公路上匀速行驶，下表是小明每隔1小时看到的路边里程碑上数的信息．你能确定小明在7:00时看到的里程碑上的数是多少吗？【解析】设小明在7:00时看到的两位数的十位数字是x ，那么个位数字是7x -，根据题意可列方程：()()()()10071071071007x x x x x x x x +---+=-+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得1x =，所以76x -=．【答案】小明在7:00时看到的两位数是16．模块二：日历问题〔1〕、在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖列相邻两数相差7．〔2〕、日历中一个竖列上相邻3个数的和的最小值时24，最大值时72，且这个和一定是3的倍数． 〔3〕、一年中，每月的天数是有规律的，一、三、五、七、八、十、十二这七个月每月都是31天，四、六、九、十一这四个月每月都是30天，二月平年28天，闰年29天，所以，日历表中日期的取值是有范围的．【例5】 下表是2021年12月的日历表，请解答问题：在表中用形如下列图的平行四边形框框出4个数，〔1〕假设框出的4个数的和为74，请你通过列方程的方法，求出它分别是哪4天？ 〔2〕框出的4个数的和可能是26吗？为什么？【解析】〔1〕设第一个数是x ，那么根据平行四边形框框出4个数得其他3天可分别表示为1x +，6x +，7x +．根据题意可列方程：()()()16774x x x x ++++++=，解得15x =； 所以它分别是：15，16，21，22；〔2〕设第一个数为x ，那么41426x +=，3x =，本月3号是周六，由平行四边形框框出4个数， 得出结论：无法构成平行四边形．【答案】〔1〕15，16，21，22；〔2〕无法构成平行四边形．【例6】 如图，框内的四个数字的和为28，请通过平移长方形框的方法，使框内的数字之和为68，这样的长方形的位置有几个？能否使框内的四个数字之和为49？假设能，请找出这样的位置；假设不能，请说明理由．【解析】〔1〕设四个数字是a ，1a +，7a +，8a +，根据题意可列方程：17868a a a a ++++++=，解得13a =．那么平移后的四个数是13、14、20、21．〔2〕设四个数字是x ，1x +，7x +，8x +，那么41649x +=，334x =．不合题意，舍去． 【答案】平移后的四个数是13、14、20、21，这样的长方形的位置只有1个；不存在能使四个数字的和为49的长方形．【例7】 把2021个正整数1，2，3，4，…，2021按如图方式排列成一个表．〔1〕用如图方式框住表中任意4个数，记左上角的一个数为x ，那么另三个数用含x 的式子表示出来，从小到大依次是________________．〔2〕由〔1〕中能否框住这样的4个数，它们的和会等于244吗？假设能，那么求出x 的值；假设不能，那么说明理由．【解析】〔1〕∵记左上角的一个数为x ，∴另三个数用含x 的式子表示为：8x +，16x +，24x +．〔2〕不能．假设能够框住这样的4个数，那么：()()()81624244x x x x ++++++=，解得49x =． ∵49是第七行最后一个数，∴不可以用如图方式框住．【答案】〔1〕8x +，16x +，24x +；〔2〕不能．模块三：和差倍分问题和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几．〔1〕当较大量是较小量的几倍多几时，=⨯较大量较小量倍数+多余量； 〔2〕当较大量是较小量的几倍少几时，=⨯较大量较小量倍数-所少量． 【例8】 一部拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的23；第二天耕了剩下局部的13，还剩下42公顷没耕完，那么这片地共有多少公顷？【解析】设这片地共有x 公顷，第一天耕了这片地的23，那么耕地23x 公顷，第二天耕了剩下局部的13，那么第二天耕地1211339x x ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭〔公顷〕，根据题意可列方程：214239x x x --=，解得189x =．【答案】189．【例9】 牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方，一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来，他对牧羊人说：“你赶的这群羊大概有100只吧!〞牧羊人答道：“如果这群羊增加一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊一半的一半，连你这只羊也算进去，才刚好凑满100只．〞问牧羊人的这群羊共有多少只?【解析】设这群羊共有x 只，根据题意可列方程：112110024x x x +++=，解得36x =. 【答案】36【例10】 有粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛之长时粗蜡烛之长的2倍，细蜡烛点完需1小时，粗蜡烛点完需2小时，有一次停电，将这样的两支未使用过的蜡烛同时点燃，来电时，发现两支蜡烛所剩的长度一样，问停电的时间有多长？【解析】设停电时间为x 小时，粗蜡烛长l 米，那么细蜡烛长2l 米，那么细蜡烛每小时点燃2l 米，粗蜡烛没小时点燃2l 米，根据题意可列方程：222l l l x l x -⋅=-，解得23x =【答案】停电时间为23小时【例11】 2006年我市在全国率先成为大面积实施“三免一补〞的州市，据悉，2021年我市筹措农村义务教育经费与“三免一补〞专项资金3.6亿元【由中央、省、市、县〔区〕四级共同投入，其中，中央投入的资金约2.98亿元，市级投入的资金分别是县〔区〕级、省级投入资金的1.5倍、18倍】，且2021年此项资金比2021年增加1.69亿元．〔1〕2021年我市筹措农村义务教育经费与“三免一补〞专项资金多少亿元？〔2〕2021年省、市、县〔区〕各级投入的农村义务教育经费与“三免一补〞专项资金各多少亿元？ 〔3〕如果按2021-2021年筹措此项资金的年平均增长率计算，预计2021年，我市大约需要筹措农村义务教育经费与“三免一补〞专项资金多少亿元〔结果保存一位小数〕？【解析】〔1〕3.61 1.69 1.91-=〔亿元〕．〔2〕设市级投入x 亿元，那么县级投入23x 亿元，省级投入118x 亿元，由题意得：212.98 3.6318x x ++=，解得0.36x =．所以20.243x =〔亿元〕，10.0218x =〔亿元〕．〔3〕 1.693.61 6.81.91⎛⎫⨯+≈ ⎪⎝⎭〔亿元〕． 【答案】〔1〕1.91亿元；〔2〕省、市、县分别投入0.02亿元、0.36亿元、0.24亿元；〔3〕6.8亿元．模块四：行程问题一、 行程问题路程=速度×时间相遇路程=速度和×相遇时间追及路程=速度差×追及时间二、 流水行船问题顺流速度=静水速度+水流速度逆流速度=静水速度－水流速度水流速度=12×〔顺流速度－逆流速度〕 三、 火车过桥问题火车过桥问题是一种特殊的行程问题，需要注意从车头至桥起，到车尾离桥止，火车所行距离等于桥长加上车长，列车过桥问题的根本数量关系为：车速×过桥时间=车长+桥长．【例12】 有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙背向而行．甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米．出发后，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇，求花圃的周长．【解析】设甲、乙相遇时间为t 分钟，那么甲、丙相遇时间为()3t +分钟，根据题意，由相遇路程相等可列方程()()383634036t -=⨯+【答案】8892米【例13】 某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，假设每小时行18千米，那么比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，那么此人此时骑摩托车的速度应为多少？【解析】设此人从家里出发到火车开车的时间为x 小时，根据题意可列方程：151530()18()6060x x -=+，解得1x =， 此人打算在火车开车前10分钟到达，骑摩托车的速度应为1530(1)602710160⨯-=-〔千米/时〕 【答案】27【例14】 甲、乙两车同时从A ，B 两地出发，相向而行，在A ，B 两地之间不断往返行驶．甲车到达B 地后，在B 地停留了2个小时，然后返回A 地；乙车到达A 地后，马上返回B 地；两车在返回的途中又相遇了，相遇的地点距离B 地288千米．甲车的速度是每小时60千米，乙车的速度是每小时40千米．请问：A ，B 两地相距多少千米？【解析】设A 、B 两地相距x 千米，根据题意可列方程：228828824060x x -+-=，解得420x = 【答案】420千米【例15】 某人骑自行车从A 地先以每小时12千米的速度下坡后，再以每小时9千米的速度走平路到B 地，共用了55分钟．回来时，他以每小时8千米的速度通过平路后，再以每小时4千米的速度上坡，从B 地到A 地共用112小时，问A 、B 两地相距多少千米？【解析】间接设未知数，设从A 地到B 地共用x 小时，根据题意可列方程：5531293438602t t t t ⎛⎫⎛⎫+-⨯=⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得14t =，所以A 、B 两地相距55129960t t ⎛⎫+-⨯= ⎪⎝⎭〔千米〕 【答案】9千米【例16】 一人步行从甲地去乙地，第一天行假设干千米，自第二天起，每一天都比前一天多走同样的路程，这样10天可以到达乙地；如果每天都以第一天所行的相同路程步行，用15天才能到达乙地；如果每天都以第一种走法的最后一天所行的路程步行到乙地，需要几天？【解析】设a 是第一次第一天走的路程，b 是第二天起每天多走的路程，x 是所求的天数．那么根据题意可列方程：1523456789a a a b a b a b a b a b a b a b a b a b =++++++++++++++++++（）（）（）（）（）（）（）（）（）， 解得9a b =．又()159a x a b =+，解得7.5x =．【答案】7.5天【例17】 一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行多少小时？【解析】设小船在静水中的速度为a ，原来的水速为b ，那么2()3(2)a b a b -=-，解得4a b =，故所求时间为2()1(2)a b a b -=+〔小时〕.【答案】1【例18】 一个人乘木筏在河面顺流而下，漂到一座桥下时此人想锻炼一下身体，便跳入水中逆水游泳，10分钟后转身追赶木筏，终于在离桥1500米远的地方追上木筏，假设水流速度及此人游泳的速度都一直不变，那么水流速度为多少？【解析】因为向上游了10分钟，所以返回追赶也要10分钟〔流水中的相遇时间与追及时间都与水流速度无关〕，即水流20分钟的路程为1500米，水流速度为11.5 4.53÷=〔千米∕时〕．【答案】水流速度为4.5千米/时【例19】 一小船由A 港到B 港顺流需行6小时，由B 港到A 港逆流需行8小时，一天，小船从早晨6点由A港出发顺流行至B 港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立即返回，1小时后找到救生圈．问： 〔1〕假设小船按水流速度由A 港漂流到B 港需多少小时？ 〔2〕救生圈是何时掉入水中的？【解析】〔1〕设小船在静水中的速度为a ，水流速度为b ，那么6()8()a b a b +=-，解得7a b =，故小船按水流速度由A 港漂流到B 港所需时间为6()48a b b+=〔小时〕； 〔2〕设小船行驶x 小时后，救生圈掉入水中，那么(61)()1(6)()x b a b x a b -++-⨯=-+，将7a b =代入上式，得到5x =，故救生圈是上午11点掉入水中的【答案】48；5模块五：工程问题工作总量=工作时间×工作效率 各局部工作量之和=1【例20】 有甲、乙、丙三个水管，独开甲管5小时可以注满一池水；甲、乙两管齐开，2小时可注满一池水；甲、丙两管齐开，3小时注满一池水．现把三管一齐开，过了一段时间后甲管因故障停开，停开后2小时水池注满．问三管齐开了多少小时？【解析】由题意知，甲管注水效率为15，甲、乙两管的注水效率之和为12，甲、丙两管的注水效率之和为13，设三管齐开了x 小时，根据题意可列方程：()1112215235x x ⎛⎫++-+= ⎪⎝⎭，解得419x =【答案】419小时【例21】 检修一住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天．前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后2天由乙、丙两人合作完成，问乙中途离开了几天？【解析】设乙中途离开了x 天，根据题意可列方程()1111772114181812x ⎛⎫⨯+-+⨯+= ⎪⎝⎭，解得3x = 【答案】乙中途离开了3天【例22】 某中学库存假设干套桌凳，准备修理后支援贫困山区学校，现有甲、乙两木工组，甲每天修桌凳16套，乙每天修桌凳比甲多8套，甲单独修完这些桌凳比乙单独修完多用20天，学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费．〔1〕问该中学库存多少套桌凳？〔2〕在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③甲、乙合作同时修理．你认为哪种方案省时又省钱为什么？【解析】〔1〕设该中学库存x 套桌凳，根据题意可列方程：201624x x -=，解得960x =． 〔2〕方案①所需费用：()9608010540016⨯+=〔元〕； 方案②所需费用：()96012010520024⨯+=〔元〕； 方案③所需费用：()960801201050401624⨯++=+〔元〕． 综上，方案③最省钱．【答案】〔1〕960套；〔2〕方案③最省钱．模块六：商品销售问题在现实生活中，购置商品和销售商品时，经常会遇到进价、标价、售价、打折等概念，在了解这些根本概念的根底上，还必须掌握以下几个等量关系：()=1+⨯标价进价利润率利润=售价－进价 =100%⨯利润利润率进价 利润=进价×利润率实际售价=标价×打折率【例23】 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率.【解析】设经销这种商品原来的利润率为x ，原进价为a ，根据题意可列方程：(1)(1 6.4%)(18%)a x a x +=-++，解得17%x =．【答案】17%【例24】 某商品月末的进货价为比月初的进货价降了8%，而销售价不变，这样，利润率月末比月初高10%，问月初的利润率是多少？【解析】设月初进货价为a 元，月初利润率为x ，那么月初的销售价为()1a x +元，月末进货价为()18%a -元，销售价为()()18%110%a x -++⎡⎤⎣⎦元，根据月初销售价与月末销售价相等可列方程：()()()118%110%a x a x +=-++⎡⎤⎣⎦，解得0.15x =．【答案】15%【例25】 某公司生产一种饮料是由A ，B 两种原料液按一定比例配制而成，其中A 原料液的本钱价为15元/千克，B 原料液的本钱价为10元/千克，按现行价格销售每千克获得70%的利润率．由于市场竞争，物价上涨，A 原料液上涨20%，B 原料液上涨10%，配制后的总本钱增加了12%，公司为了拓展市场，打算再投入现总本钱的25%做广告宣传，如果要保证每千克利润不变，那么此时这种饮料的利润率是多少？【解析】原料液A 的本钱价为15元/千克，原料液B 的本钱价为10元/千克，涨价后，原A 价格上涨20%，变为18元；B 上涨10%，变为11元，总本钱上涨12%，设每100千克成品中，二原料比例A 占x 千克，B 占〔100-x 〕千克，那么涨价前每100千克本钱为()1510100x x +-，涨价后每100千克本钱为()1811100x x +-，根据题意可列方程：()()()18111001510100112%x x x x +-=+-⨯+⎡⎤⎣⎦，解得1007x =，所以6001007x -= 即二者的比例是：:1:6A B =，那么涨价前每千克的本钱为156075777+=〔元〕，销售价为127.57元，利润为7.5元． 原料涨价后，每千克本钱变为12元，本钱的25%为3元，保证利润为7.5元，那么利润率为：()7.512350%÷+=．【答案】50%．模块七：方案决策问题在实际生活中，做一件事情往往会有多种选择，这就需要从几种方案中，选择最正确方案，如网络的使用，到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，把每一种方案的结果先算出来，进行比拟后得出最正确方案．【例26】 某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购置商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%．方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．〔1〕请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？〔注：=100%⨯投资收益投资收益率实际投资额〕 〔2〕对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？【解析】〔1〕设商铺标价为x 万元，那么按方案一购置，那么获投资收益()120%110%50.7x x x -+⋅⨯=，投资收益率为0.7100%70%x x⨯=按方案二购置，那么获投资收益()()120%0.8510%110%30.62x x x -+⋅⨯-⨯=， 投资收益率为0.62100%72.9%0.85x x ⨯≈． 所以投资者选择方案二获得的投资收益率高．〔2〕由题意得，0.70.625x x -=，解得62.5x =，所以甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元【答案】略【例27】 有一个只允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人．一天王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能有3人通过道口，此时，自己前面还有36个人等待通过，通过道口后，还需7分钟到达学校．〔1〕假设绕道而行，要15分钟到达学校。
一元一次方程应用题题型及解题技巧
一元一次方程应用题题型及解题技巧列一元一次方程解应用题的一般步骤如下：1.审题：理解题意，确定已知量和未知量，以及相等关系。
2.设元：找出能够表示问题含义的相等关系，设出未知数并列出方程。
3.用含未知数的代数式表示相关量。
4.寻找相等关系，列出方程，未知数个数与方程个数相同。
5.解方程并检验。
6.写出答案。
综上所述，列方程是解应用题的关键。
在解一元一次方程应用题时，常见的类型包括：1.和差倍分问题，其中倍数关系通过“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率”等关键词语来体现，多少关系通过“多、少、和、差、不足、剩余”等关键词语来体现。
2.行程问题，其中基本数量关系包括路程=速度×时间，时间=路程÷速度，速度=路程÷时间。
相遇问题中，快行距＋慢行距＝原距；追及问题中，快行距－慢行距＝原距；航行问题中，顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度，逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度。
例题如下：甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
慢车先开出1小时，快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇？两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？这类问题通常需要根据溶质质量或溶剂质量的配比来寻找等量关系。
为了更好地理解题意，可以采用列表的方法进行分析。
比例分配问题的一般解决思路是：假设其中一份为x，然后根据已知的比例关系，列出相应的代数式。
在解决过程中，常用的等量关系是各部分之和等于总量。
《一元一次方程——应用一元一次方程—追赶小明》数学教学PPT课件(4篇)
七年级上册
学习目标
1
能借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而列出方程，解决
问题．
熟悉行程问题中路程、速度、时间之间的关系，从而实现从文字语
2
言到符号语言的转换．
自主学习
自主学习任务1：阅读课本 152页-153页，掌握下列知识要点。
用图示法分析应用题的数量关系
4千米，3小时后两人相遇，设小刚的速度为x千米/时，
列方程得( C )
A．4＋3x＝25.2
B．3×4＋x＝25.2
C．3(4＋x)＝25.2
D．3(x－4)＝25.2
2.一列长30米的队伍以每分钟60米的速度向前行进，队尾一名同
90
学用1分钟从队尾走到队头，这位同学走的路程为____米，速度是
90
驶路程=慢车行驶路程+相距路程.
解:设快车x小时后追上慢车,
根据题意得85x=450+65x.
解得x=22.5.
答:快车22.5小时后追上慢车.
随堂检测
4一列匀速前进的火车,从它的车头进入600米长的隧道至车尾
离开共需30秒,已知在隧道顶部有一盏固定的灯,灯光垂直照射
到火车上的时间为5秒,那么这列火车长多少米?
从B地出发每秒走6米,那么甲出发几秒与乙相遇?
甲
乙
相遇
解:设甲出发t秒与乙相遇,根据题意得8t+6t=280.解得t=20.
答:甲出发20秒与乙相遇.
做一做
育红学校七年级学生步行到郊外旅行，1班的学生组成前队，步行的速度
为4千米/小时，2班的学生组成后队，速度为6千米/小时，前队出发１小
时后，后队出发， 同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地
初一数学-第三十讲一元一次方程——追及问题1
第二十九讲一元一次方程——追及问题【知识要点】1.行程类应用题基本关系：路程=速度×时间相遇问题：甲、乙相向而行，则：相遇距离=相遇时间×速度和追及问题：甲、乙同向不同地，则：追及路程=速度差×追及时间环形跑道问题：①甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发：快的必须多跑一圈才能追上慢的。
②甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向出发：两人第一次相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度.2.航行问题基本等量关系：3.顺水速度=静水速度＋水速逆水速度=静水速度－水速顺水速度－逆水速度=2×水速注意：抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静水速）不变的特点考虑相等关系. 【经典例题】【例1】甲、乙两人从相距为180千米的A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙开汽车，沿同一条路线相向匀速行驶。
已知甲的速度为15千米/小时，乙的速度为45千米/小时。
（1）经过多少时间两人相遇？（2）相遇后经过多少时间乙到达A地？变式：甲、乙两人从A，B两地同时出发，甲骑自行车，乙开汽车，沿同一条路线相向匀速行驶。
出发后经3 小时两人相遇。
已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经 1小时乙到达A地。
问甲、乙行驶的速度分别是多少？【例2】市实验中学学生步行到郊外旅行。
(1)班学生组成前队，步行速度为4千米/时，(2)班学生组成后队，速度为6千米/时。
前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。
（1）后队追上前队需要多长时间？（2）后队追上前队时间内，联络员走的路程是多少？（3）两队何时相距3千米？（4）两队何时相距8千米？变式1：甲，乙两人登一座山，甲每分钟登高10米，并且先出发30分钟，乙每分钟登高15米，两人同时登上山顶。
甲用多少时间登山？这座山有多高？变式2：甲骑自行车从A地到B地，乙骑自行车从B地到A地，两人均匀速前进。
解一元一次方程应用题的技巧(综合)
解一元一次方程应用题的技巧（综合）一元一次方程应用题是七年级上学期的重点当然也是难点,它的学习对今后不等式解应用题以及函数问题有着决定性的意义,如果没有学好它,那今后的学习将显得比较困难. 一般在解决问题时第一步就是要设出未知数,未知数的设法主要有以下几种:1,有比较关系时,如甲比乙多8,我们一般设较小的为X,这样计算时主要用的是加法不易出错;2,有倍数关系时,如数学小组人数是英语小组的5倍,我们设一倍量为X,用乘法表示其余量利于计算;3,在分数应用题中,我们设单位'1'为X,4,在有比的问题中,我们设一份数为X,5,在有和的问题中,我们设其中任意一个为X都可以,比如说两个班共有50人.解应用题的基本步骤有:1,依据题目要求设出合适的未知数;2,根据题目实际情况找出等量关系,用文字关系式表示出来;3,依据等量关系,把关系式中的每一项用数或者未知数表示出来列出方程;4,解方程,依据题目问题计算;5,把方程的解代入原题目检验. 其中的难点是第二步,找出等量关系,有些题目中的关系是比较明显的,而有的则是隐含的,需要大家去用心体会,下面我给大家示例两题:1: 爷爷与孙子下棋，爷爷赢一盘记1分，孙子赢一盘记3分，两人下了12盘（未出现和棋）后，得分相同，他们各赢了多少盘？分析:属于和的问题,所以任意设一个为X。
设爷爷赢了X题,则孙子赢了(12-X)盘,题目中的等量关系是：爷爷得分=孙子得分,爷爷得分用X表示,孙子得分用3(12-X)表示,所以本题方程为：X=3(12-X),解之得X=9,则12-X=12-9=3,所以爷爷赢9盘,孙子赢3盘.2:在一只底面直径为30cm，高为8cm，的圆锥形容器中倒满水，然后将水倒入一只底面直径为10cm的圆柱形空容器里，圆柱形容器中的水有多高？分析:本题没有明显类型，所以直接设问题,设圆柱形容器中的水有X 厘米。
题目中的等量关系是隐含的：圆锥形容器中的水的体积=圆柱形容器中水的体积1/3×3.14×(30/2)×(30/2)×8=3.14×(10/2)×(10/2)X解之得X=24.列方程解应用题的过程，是提高分析问题和解决问题能力的重要过程，列方程解应用题的关键是找出题目中的等量关系，再把各部分分别用代数式表示出来，根据题意中的相等关系列出方程，对于设未知数时，一般是问什么就直接设什么，若直接设未知数有难度，可间接设未知数，列方程时，要检查等量关系是否正确，方程两边的量所用单位是否统一，求得方程的解后必须检验，对照应用题看其是否合理。
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一元一次方程追及应用题解题技巧
概述
在数学中，一元一次方程追及应用题是常见的应用题型之一。
它通常
涉及到两个或多个变量之间的追及问题，需要通过建立数学模型、解方程
等方法来求解问题。
本文将介绍一些解题技巧和方法，帮助读者更好地理
解和解决一元一次方程追及应用题。
一、问题背景分析
在解决一元一次方程追及应用题之前，首先需要明确问题的背景和条件。
通常，这类问题描述了两个物体或人以不同的速度运动，并在某一时
刻相遇或离开的情况。
通过给定的条件和问题描述，我们可以建立一元一
次方程来表示问题，然后通过解方程求解。
二、建立数学模型
在解决一元一次方程追及应用题时，最重要的一步就是建立数学模型。
根据题目给出的条件和问题要求，我们可以得出以下一般性方程：
$x=v t+s$
其中，$x$表示两个物体或人的距离，$v$表示速度，$t$表示时间，
$s$表示初位置。
根据题目具体的情况，我们可以确定方程中的各个参数。
三、解题步骤
解决一元一次方程追及应用题的一般步骤如下：
1.阅读题目，明确问题的条件和要求。
2.根据题目描述，建立数学模型，确定方程中的参数。
3.将问题转化为一元一次方程的形式。
4.解方程，求解未知数的值。
5.根据问题的要求，对结果进行判断和验证。
四、例题分析
$1.$问题描述：
小明以每小时$60$公里的速度骑自行车从甲地出发，$4$小时后，小
红以每小时$40$公里的速度从已地出发，两人相遇于路程的
$\fr ac{5}{6}$处，求甲地与已地的距离。
解题步骤：
1.确定物体的初始距离和初位置：
甲地与已地的距离为$x$公里，小明从甲地出发，初位置为$x$公里。
2.根据题目描述，建立小明和小红的数学模型：
小明的速度$v_1=60$公里/小时，小红的速度$v_2=40$公里/小时。
小红出发后经过$4$小时，因此小红的初位置为$4\ti me s40=160$公里。
3.将问题转化为一元一次方程的形式：
根据相遇时路程的$\f ra c{5}{6}$处的条件，可得方程：
$\fr ac{5}{6}x=vt+s$
4.解方程，求解未知数的值：
将已知的数值代入方程，得到：$\f ra c{5}{6}x=60\ti me s4+160$，
化简得到：$\f ra c{5}{6}x=400$
5.根据问题的要求，对结果进行判断和验证：
代入求解得到的结果，可得：$x=\fr ac{400\ti me s6}{5}=480$公里。
结果验证：
小明以每小时$60$公里的速度骑自行车经过$4$小时后，总共骑行
$240$公里。
小红以每小时$40$公里的速度骑自行车经过相同的时间后，总共骑行
距离为$4\ti me s40=160$公里。
两人相遇于路程的$\f ra c{5}{6}$处，距离甲地的距离为
$\fr ac{5}{6}\t ime s480=400$公里。
因此，甲地与已地的距离为$480-400=80$公里。
五、总结
通过本文的解题步骤和例题分析，我们可以看出解决一元一次方程追及应用题的关键在于建立数学模型和解方程。
在实际解题过程中，可以借助图表、变量设定等方法来帮助理解和求解。
希望本文对读者解决一元一次方程追及应用题有所帮助，同时也提醒读者在解题过程中注意题目的条件和要求，避免出现漏解或误解的情况。