两种反常积分敛散性的判别方法

两种反常积分敛散性的判别方法

定理I 设"P 定义于「1•十•且在任何有械区间［lz ］上町积，则有 (i)

竺

/：：f V F

V I 时*

q 攵敛；

(ii) 当pi 叭厂心皿发敬. 证 寸N+ »便A 匕C « — 1 “订 (1)冈为

!

｛壬一J ' < r < l ，/(j) > 0 , J e ［1・十8).所以

=j V(J >

x >d.r + J

rA

即F(A) = /(.r)d.r 在[E + oo>上单调递增有上界宀

JI

1 —

J ( JT ) th ■收敛.

/(jJdj .由单调冇界性定理知Hm F(A)

j*l -*4-™

存柱.丙而

⑹因为虫口・卜S 所必卄爪》"

［V(j?>dj = i ： /(jr)d L i L

4-

/{jr)djr + **' + L)J 于 A f + 8 时 M -H- 8

> /(j)dr4- HjJcir F 」1

J 2

/(.r >dj - /(J -+ l)d-rH ---- 1- /(JT + M —3)dx ]'

'

J i

L

A (fl-2)

■而 lim(^-2) /3(k =+8.故 \knF(A)不存在•因而 ■-*8 J ] A-*«

比值判别锂的扱限形戌:

f\L r)dr

发散.

推论I 设f")定文于JCHXO ，在任何有限区何［1』］上可积*且lim

=

r^- +era J I 龙丿

⑴当A < I 时*£"/(x>(k 收埶 (ii)当 A > 1 HL 发散.

1E 因为1血

化+「= A +即V E >0.3M>0.当心M 时.有

A -e <

门；f V A +« ■

⑴当A < 1时・取武=匕二 AOVMi A0・当，r>M t 时吊牛=古<1^<1 T 由定理

(ii)当入〉1 时，取 e = ^-^>0* 3M t >0,当 JT >M J 时•有 f “ > 苇土 > 1 * 由定理

-可编辑修改-

1 知 发

散.

f( r)

I /< r)d.r =

f(_r)dr +『八刃右 +…I

/( r)d r

定理2 设J （-L >盧文于［l ・ + s>.屮丄，上0.11在枉何有限区何口“］上可积•如黑 2L L ±12I

2

> 0 I > 科*tn

>r> 1 心皿收敛* 1 •则 /(j)dr 笈散.

/

证 ⑴由丁 fJ ）宦义于［1”十=0）"仃）豪0・且mMAO,当』>W 时*有」［】一心、

心+匸1-工

由真数的黑嶽性却存在实数彷快!

J * + *

Lirn j *+*

4一]

1

1-(1-丄)

——=史<1・所以3M>0,当Vf 时.寂 ------------------ -

<】•即

1_7<

（］ _

7）*

⑵

兰F 允分大吋.必仔杜q 旨尽.便%

/（j + “<（】—j /（J ） *

< 3

反貝应用d ）式得

1 P 1 t 1 p

+ 1） < p-y ）（】_77?7）…卩一扫）门丄‘，

即/（.r + l ）<•曲于P>】加比较刿別范知J 「F2 + l ）cLr 收«t*因而J 「F （D 壮 收散.

若 3 xr > 0 .当kA 就时•有 丁< 1 •则

JQ + 1）鼻 ^―ty （j> *

⑷

■J -

当丁充分览时.存在T ff e ［A^./VT + I ）.应旨应用（4）式得：

J f

| |、、」、一1 _r — 2 -r Q — 1 /（x + 1J > ---- ---- … ------ ”心»

j 」—】 J （I

EP 丿心+打步 牛丄八如）”由比较判别仕知『「门工+ 1加工发散.因而「/（"dj 发触”

推论2 设 2、世文于［1，+ oo>./（x>莎叭在任何右眼仪间［1.«］上可积•且 皿匹「1 _

尹：广

「>］ = I •则

<0

> 1时骨f^JUOd-r 收敛骨

J L 当< I 时fCr ）山农散.

由以上m 如比值判别旅埋号护=】时先紅此时血用定理2进-步判别. 刚】求无穷积升［円”

丁⑴丄的敛散性..

lim r-

►十

y £Cr+jD /3

(« _L | UTHll Km

b + ：弋 =-< 1 • fit [tl 推论1知对任您—无警积分

j--»+w

_/ t

C

r- d i 收敛、

例2考緊J 一 厂早士- <-« <

的第散性.

J ： j In J7 解令Inr = /^ f = J 諾亦

.-L Af ±1)- <■

芒厂宀广 -I

A

—丄比f77T -「怛戶吋石匸帀—戶* 披 ⑴当j^>l Bt*A <1 T 无力积分】=「咼匚

收做.

< I +无穷枳分I = I*

舱亂

(iii) 当/> = 1SJ . / = 也.故当1 N 收戏.当q< 1时发fit J r*

的敛散性.

i +77 解 lim W ： +

L 「= lim

1 +

^ = 1 *比值网别法失瓶

—严八

1 + 4 + 1

=lim ---------

---- ―^ ------- = 4~ V ] *

上*少{ J 工 + ]_ + } ( 1 + J_r 丰 T) 2

由推论2知「」_^昭发散.

Jj

1 十

r+™ L