2014年全国数学竞赛初三决赛试题(含答案)

2014年全国初中数学联赛决赛试题

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441

111211

()()()3x y x y x y

+

+=--，则x y +的可能的值有（ ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个 【答】 C.

由已知等式得2244

224423x y x y x y xy x y x y ++-⋅=⋅，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-.

若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又,x y 为整数，可求得12,

x y =-⎧⎨

=⎩，

或

21.x y =-⎧⎨=⎩

，

所以1x y +=或1x y +=-. 因此，x y +的可能的值有3个.

2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ）

A ．

47 B ．59 C ．916 D ．12

25

【答】 A.

21

222()2()()4

t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++

212(1)(1)4

x x x =-+-2731424x x =-++2734

()477x =--+，

易知：当37x =，27

y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值4

7.

3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则AE

＝ （ ）

A

B

C

D

【答】 B.

因为AD BC ⊥，BE AC ⊥，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BC BP BE ⋅=⋅=，又2BC BD =

，所以BD =

DP =.

又易知△AEP ∽△BDP ，所以

AE PE

BD DP =

，

从而可得PE AE BD DP =⋅==. 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片

上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ ）

A ．

12 B ．25 C ．23 D ．34

【答】 B.

若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.

要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.

因此，所求概率为

82205

=. 5．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足3

31

18x x

+=，则1{}{}x x

+=

（ ）

A ．

12 B

．3 C

．1

(32

D ．1 【答】 D. 设1x a x +

=，

则32223211111

()(1)()[()3](3)x x x x x a a x x x x x

+=++-=++-=-，所以2

(3)18a a -=，因式分解得2

(3)(36)0a a a -++=，所以3a =.

由13x x +

=

解得1(32x =，显然10{}1,0{}1x x <<<<，所以1

{}{}x x

+=1. 6．在△ABC 中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得

△ADE 为等腰直角三角形, 90ADE ∠=︒ ,则BE 的长为

（ ）

A

．4- B

．2- C

．1

1)2

D

1 【答】 A.

过E 作EF BC ⊥于F ，易知△ACD ≌△DFE ，△EFB ∽△ACB . 设EF x =，则2BE x =，22AE x =-

，)DE x =

-，

1DF AC ==

，故2221)]x x +=-，即2410x x -+=.又01x <<，故

可得2x =

A

故24BE x ==-二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，111

1a b c b c a c a b

++=+-+-+-，则abc =

____．

【答】 0.

由题意知

111

1121212c a b

++=---，所以 (12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)a b b c a c a b c --+--+--=---

整理得22()8a b c abc -++=，所以abc =0. 2．使得不等式981715

n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ． 【答】144.

由条件得7889k n <<，由k 的唯一性，得178k n -≤且189

k n +≥，所以211871

9872

k k n n n +-=-≥-=

，所以144n ≤. 当144n =时，由78

89

k n <<可得126128k <<，k 可取唯一整数值127.

故满足条件的正整数n 的最大值为144.

3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ∠= ．

【答】48︒.

由题意可得PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠， 而180PEA PEB AED ∠+∠+∠=︒，

所以60PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠=︒， 从而可得30PCA ∠=︒.

又108BPC ∠=︒，所以12PBE ∠=︒，从而24ABD ∠=︒. 所以902466BAD ∠=︒-︒=︒，

11

()(6630)1822

PAE BAD CAE ∠=

∠-∠=︒-︒=︒， 所以183048PAC PAE CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒.

4．已知正整数,,a b c 满足:1a b c <<<，111a b c ++=，2b ac =，则b = ． 【答】36.

设,a c 的最大公约数为(,)a c d =，1a a d =，

1c c d =，11,a c 均为正整数且11(,)1a c =，11a c <，则2211b ac d a c ==，所以22|d b ，从而|d b ，设1b b d =（1b 为正整数），则有