陈家璧版光学信息技术原理及应用习题解答47章.doc

第四章习题

4.1 若光波的波长宽度为λΔ，频率宽度为νΔ，试证明：

λ

λ

ν

ν

ΔΔ=

。设光波波长为

nm 8632=.λ，nm 8-10⨯2=λΔ，试计算它的频宽νΔ。若把光谱分布看成是矩形线型，

那么相干长度?=c l

证明：参阅苏显渝，李继陶《信息光学》P349，第4.1题答案。

42

1.510c λ

νλ∆∆=

=⨯赫，32010()c c c

l ct m ν

==

=⨯∆

4.2 设迈克尔逊干涉仪所用的光源为nm 0589=1.λ，nm 6589=.2λ的钠双线，每一谱线的宽度为nm 010.。（1）试求光场的复自相干度的模。（2）当移动一臂时，可见到的条纹总数大约为多少？（3）可见度有几个变化周期？每个周期有多少条纹？ 答：参阅苏显渝，李继陶《信息光学》P349，第4.2题答案。

假设每一根谱线的线型为矩形，光源的归一化功率谱为 ()^

1212rect rect νννννδνδνδν⎡--⎤

⎛⎫⎛⎫=

+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣

⎦G (1)光场的复相干度为

^

1()()exp(2)1

sin ()exp(2)[1exp(2)]2

r j d c j j τνπντν

δντπντπντ∞==+∆⎰G

式中12ννν-=∆，复相干度的模为

ντπδνττ∆=cos )(sin )(c r 由于νδν∆?

，故第一个因子是τ的慢变化非周期函数，第二个因子是τ的快变化周期函

数。相干时间由第一个因子决定，它的第一个零点出现在δντ1=c 的地方，

c τ为相干时间，故相干长度δλ

λδλλδντ2

2≈===c

c l c c 。

（2）可见到的条纹总数589301

.05893===

=

δλλλ

c

l N （3）复相干度的模中第二个因子的变化周期ντ∆=1，故

可见度的变化周期数601

.06==∆=∆==δλλδννττc n 每个周期内的条纹数98260

58930===n N

4.3假定气体激光器以N 个等强度的纵模振荡，其归一化功率谱密度可表示为

()()()

()

∑2

1-2

1

--=+-1=N N n n N

νννδνΔg

ˆ 式中，νΔ是纵模间隔，ν为中心频率并假定N 为奇数。（1）证明复自相干度的模为 ()()()

ντπντπτγΔΔsin sin N N =

(2)若3=N ，且ντΔ10≤≤，画出()τγ与ντΔ的关系曲线。 答：参阅《统计光学（基本概念个习题）》P131。

证明（1），复相干度）（τγ与归一化功率谱密度即光源的光谱特性间具有下列关系：

()^

20

()j e d πντγτνν∞-=⎰G

将（4.3.1）式带入得到

()()()(1)220

(1)2

(1)22(1)2

(1)(1)222001()111N j n N N j j n n n n n n n j j j n n n e d N

e e N e e e N πντπντπντπντπντπντγτδνννν

-∞

-=----∆=-----∆-∆===

-+∆=⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦

∑

⎰

∑∑∑

其中

()

∑

-=∆+∆∆--=

2

)1(0

22/)1(2211N n j N j n

j e e e

ντ

πντπντπ ()

ντ

πντπντπ∆-+∆--=∆---=∑22

/)1(22)1(0

211j N j N n n

j e e e

因而

(){[]()[][][][]}

)2ex p()2ex p(2/2/)1(2ex p 2/)1(2ex p 2/12ex p 2/)1(2ex p )2ex p(1

ντπντπντπντπντπντπτνπτγ∆--∆-+∆--+∆--∆-+-∆-=

j j N j N j N j N j j N

=

ντπντπντπτνπ∆-+∆--∆-2cos 12

/)1(2cos 2/)1(2cos 12N N e

N j =ντ

πντπτνπ∆∆-sin sin 12N e N j 复相干度的包络则为 ()()ντ

πντπτγτγ∆∆==sin sin N N

（2），当N=3时， ()ντ

πντ

πτγ∆∆=

sin 33sin

其ντγ∆-曲线如图1所示。

图1 多模激光复相干度包络曲线（N=3）

4.4 在衍射实验中采用一个均匀非相干光源，波长550nm =λ，紧靠光源之前放置一个直径1mm 的小圆孔，若希望对远处直径为1mm 的圆孔产生近似相干的照明，求衍射孔径到光源的最小距离。

答：参阅《统计光学（基本概念个习题）》P160。

用做衍射实验的相干度应当用上题中提到的沃尔夫用的阈值，由理想值1下降到0.88为最大容许偏离值，因而相干面积直径与光源半径之间满足下列关系： 0.16z

d a

λ= 则

310.5

10 5.680.16550

0.16da z m λ⨯=

=⨯=⨯

即光源小孔与衍射小孔之间最小相距5.68m 才能在衍射实验中较好地满足相干照明的要求。

4.5 用迈克尔逊测星干涉仪测量距离地面1光年(约1016

m) 的一颗星的直径.当反射镜1

M 与2M 之间距离调到6m 时,干涉条纹消失.若平均波长550nm =λ，求这颗星的直径。 答：km km d λD

αD φ69

1310⨯121=10

⨯6550

⨯22110=221==...，

4.6 在杨氏双孔干涉实验中(图 4.17),用缝宽为a 的准单色非相干缝光源照明,其均匀分布的辐射光强为0I ，中心波长nm 600=λ.(1)写出距照明狭缝z 处的间距为d 的双孔1Q 和

2Q （不考虑孔的大小）之间的复相干因子表达式。（2）若mm d m z mm a 3=1=10=,,.，

求观察屏上的杨氏干涉条纹的对比度。（3）若z 和d 仍然取上述值，要求观察屏上干涉条纹的对比度为0.41, 缝光源的宽度应为多少?(4)若缝光源用两个相距为a 的准单色点光源代替, 如何表达1Q 和2Q 两点之间的复相干因子?