分式的概念及性质

第10讲 分式的概念及性质

知识目标：

模块一 分式的概念 知识导航

一、分式的定义

一般的，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式．分式A

B

中，A 叫分子，B 叫分母．

二、分式有意义（或分式存在）的条件

分式的分母不等于零，即A

B

中的B ≠0． 三、分式的值为零的条件

分式在有意义的前提下分式的分子为零．即当A ＝0且B ≠0时，A

B

＝0． 例1 （1）（2015-2016江岸区八上期末）

下列代数式中：1a ，2334a b c ，56x +，7x ＋8

y

，9x ＋10y ，其中是分式的有（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个 （2）当x 时，分式2x x -有意义；当x 时，分式21

1

x +有意义．

练习

（1）在代数式－234a b ，1x ，3x y +，2a ，1a b +，221x x +-，212x －2

3

，223b a 中，分式有个．

（2）当x 取何值时，下列分式有意义？

（1）13

x x -- （2）2131x x -+ （3）22

1x -

例2

当x 为何值时，下列分式的值为零？

①213x x -+②661x x x --+③()()21641x x x -+-④288x

x +⑤()22

255x x --

模块二 分式的基本性质 知识导航

一、分式的基本性质：

分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．即A B ＝A C B C ⨯⨯（C ≠0），A B

＝

A C

B C

÷÷（C ≠0）． 二、约分

利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分． 分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式．

三、通分

利用分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．

为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．

题型一 分式基本性质 例3

（1）下列式子中，正确的是（ ） A ．a b c --＝－a b c - B ．a b c --＝－a b

c +-

C ．

a b c --＝a b c -- D ．a b c

--＝－a b

c +

（2）（2015-2016江汉区八上期末）

若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？ ①x y x y +-②xy x y -③22x y x y -+ （3）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项系数都化成整数：

12231134

x y x y

-+＝ ；02003004a b a b -+．．．＝ ；

10421035a b

a b -+．．＝ ． 练习

（1）（2015-2016武昌区八上期末）下列分式与分式

2y

x

相等的是（ ） A ．224y x B ．22xy x C ．2y x D ．－2y x

--

（2）下列各式变形正确的是（ ） A ．

1x ＝2x x B ．52a ＝2254a a C ．a b a b

+--＝

a b a b

-++ D ．0205003x y x +．．．＝253x y

x +

（3）如果把5x

x y

+的x 与y 都扩大10倍，那么这个代数式的值（ ）

A ．不变

B ．扩大50倍

C ．扩大10倍

D ．缩小到原来的1

10

题型二 约分

例4

（1）下列分式为最简分式的是（ ）

A ．3315b

a B ．22a

b b a -- C ．23x x D ．22x y x y ++

（2）约分

3

3mn

m ＝ ； 2332510x y x y z --＝ ；

23326a a a --＝ ； 2

2121x x x --+＝ ．

练习 约分：

（1）231620x y xy - （2）22n m m n -- （3）222122x x x ++-

题型三 通分 例5

（1）分式3x

y 与232x y 的最简公分母是 ．

（2）通分： ①

3x y 与232x y ②22x y x y -+与()2

xy x y + ③b a ，23c b ，2a bc

④()11x x x +-，21x x -，2221x x -+ ⑤()()1a b a c --，()()1b c b a --，()()

1c a c b --

练习

（1）分式－256x y 与3

4xyz

的最简公分母是 ． （2）通分

①232a b

与2

a b ab c - ②1y x -与122x y + ③2a b ，23b a ，4a

ab

模块三 分式的基本运算

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c d

＝a d b c

题型一 分式的乘除 例6 计算： （1）34a b ·2169b a （2）125xy a

÷82x y

（3）3310a b ab -·23

22

25a b a b - （4）222242y x x xy y -++÷222x y x xy -+

练习 计算：