分式的概念及基本性质分式的运算
分式与分式的运用
分式的概念及运算一、知识梳理知识点1：. 分式：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式。
三个热点：①有意义；②无意义；③值为0知识点2：1．分式的基本性质：2．分式的变号法则：知识点3：分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.二、例题（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例题1】、下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有：.题型二：考查分式的三个热点【例题2】、当x有何值时，下列分式①有意义；②无意义；③值为0？（1）42||2--x x（2）232+x x （3）3||6--x x【例题3】、若2||323x x x ---的值为零，则x 的值是．MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=bab a b a b a =--=+--=--题型三：考查分式的值为正、负的条件【例题4】、（1）当x为何值时，分式x-84为正；（2）当为何值时，分式为负；（3）当为何值时，分式为非负数.（二）分式的基本性质及有关题型题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例题5】、不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1） （2）题型二：分数的系数变号【例题6】、不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx yx --+-（2）ba a ---（3）题型三：化简求值题【例题7】、已知：，求y xy x yxy x +++-2232的值.x 2)1(35-+-x x x 32+-x x y x y x 41313221+-ba ba +-04.003.02.0ba ---511=+yx【例题8】、已知：，求的值.三）分式的运算题型一：通分【例题9、将下列各式分别通分.（1）；（2）；（3）；（4）题型二：约分【例题10】、约分：（1）；（3）；（3）2244xy yx x--+21=-xx221xx+cbacababc225,3,2--abbbaa22,--22,21,1222--+--xxxxxxx aa-+21,2 322016xyyx-nmmn--22题型三：分式的混合运算化简求值题【例题11】、计算：化简22424422x x xx x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，其结果是（ ） A ．82x --B ．82x - C ． D ．题型四：【例题12】、先化简，再求值4421642++-÷-x x x x ，其中 x = 3 ．题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x N x M x x ，试求NM ,的值.三、课堂练习1.要使分式有意义，则x 应满足的条件是（ ） A ．1x ≠B ．1x ≠-C ．0x ≠D ．1x >2.若分式33x x -+的值为零，则x 的值是（ ） A ．3 B ．3- C ．3± D ．03.化简222a b a ab -+的结果为（ ）A ．b a -B ．a b a -C ．a b a +D ．82x -+82x +11x +b -4.化简的结果是（ ） A ． B ． C ．2a b - D ．2b a+5.计算22()ab a b-的结果是（ ）A ．aB ．bC ．1D ．－b6.学完分式运算后，老师出了一道题“化简：23224x xx x +-++-”小明的做法是：原式；小亮的做法是：原式；小芳的做法是：原式． 其中正确的是（ ）A ．小明B ．小亮C ．小芳D ．没有正确的7．化简的结果是（ ） A ．2a b -- B ．2b a - C ．2a b - D ．2b a +二、填空题1．当时，分式无意义．2. a 、b 为实数，且ab =1，设P =，Q =，则PQ （填“＞”、“＜”或“＝”）．3．某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树a 棵。
分式及分式的基本性质
2、分式有意义的条件：当B≠0时，分式有意义）。
3、分式的值为零的条件：当A=0，B≠0时，分式值为0。
4、有理式：整式和分式统称为有理式。
5、分式的基本性质：分式的分子、分母同乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变。
注：（1）约分和通分的依据都是分式的基本性质
（2）分式的约分和通分都是互逆运算过程。
①约分——最简分式②通分——最简公分母
6、分式的约分步骤：
（1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
（2）分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
注：公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
7、最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。
8、分式的通分步骤：
先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母。同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子。
注：最简公分母的确定方法：
系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积。
分式的概念及性质
分式的概念及性质一、分式的基本概念：【例1】下列各式2x ，22a b +，a b π+，2x +，1a m +中，分式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【拓1】（1）当x 满足条件_________时，分式21xx -有意义．（2）若分式()11x x +有意义，则x 需满足____________；若分式()1xx x +有意义，则x 需满足_____________．【拓2】当x 为何值时，下列分式的值为0：①31x x + ②2213x x - ③242x x -+ ④212x x x -+-【例2】已知：当x =2时，分式x m x n -+无意义；当x =-6时，分式x mx n-+的值为0，则 m -n =_______．【拓3】当x ________时，分式36x -的值为正数；当x ________时，分式26xx--的值为负数．【拓4】（21广陵期末）关于x 的方程1233x kx x -=+--的解为非负数，则k 的取值范围是___．【拓5】若分式1324x x x x ++÷++有意义，则x 的取值范围为__________．【拓6】（2021·扬州）不论x 取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）A ．1x +B ．21x -C ．11x + D ．2(1)x +二、分式的基本性质：①x y x y +- ②xy x y - ③22x y x y +- ④2xx y+【拓7】（21邗江期末）把分式2xyx y+中的x 和y 都扩大2倍，分式的值（ ） A ．不变 B ．扩大4倍 C ．缩小12D ．扩大2倍【拓8】不改变分式的值，把分式的分子和分母系数都化为整数：①0.10.51.5x y x y -+ ②21321334x y x y -+ ③10.3210.55a ba b -+【拓9】（1）不改变分式的值，把分式的分母化为6ab 2：23a b 22a bab+（2）不改变分式的值，把分式的分母化为()()11x x x -+：()11x x x -+ 21xx -【例4】（1）下列等式，从左到右的变形正确的是（ ）A ．1x y x y --=-- B ．0.220.50.353x y x yx y x y++=-- C ．x a ax b b+=+ D ．()2x y x y y x -=-+-（2）将下列格式约分：3439x x =-__________322384a b a b c -=-___________ 23224x x x -=-___________ 2442a a a-+=-_________【拓10】下列分式：2x x ，1m m +，x xπ+，a bb a --中，最简分式的个数有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个【拓11】（21扬州期末）当2021a =时，分式293a a --的值是________．【拓12】分式2214a b 与36a bab c+的最简公分母是________．【拓13】通分：①()()112x x --，2121x x -+；②()11a a a -+，21a a -，2221a a ++．【拓14】（18邗江期中）先约分，再求值：32322444a ab a a b ab --+，其中2a =，12b =-．【拓15】（15邗江月考）已知：y z z x x y x y z +++==，其中0x y z ++≠，求x y zx y z+-++的值．三、分式的运算：（1）2222463ab cc a b -⋅ （2）32422ab c ac c ab b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）()()222142y x x y xy x y x +-÷⋅- （4）23x y x y x y y x x y ++----（5）a b b c ab bc ++- （6）24142x x +-+【拓16】化简，求值：22211111m m m m m m -+-⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中m =四、真题演练：1．（21邗江月考）已知：23a b b c c a m cab+++=++，且0abc >，0a b c ++=．则m 共有x 个不同的值，若在这些不同的m 值中，最小的值为y ，则x y +=（ ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．32．（19扬州一模）已知111m n -=，则代数式222m mn nm mn n--+-的值为（ ） A ．3 B ．1 C ．1- D ．3-3．（19江都期中）已知113x y +=，则分式2322x xy yx xy y-+++的值为（ ） A ．35 B ．9C ．1D ．不能确定4．（15扬州月考）已知x 为整数，且222218329x x x x ++++--为整数，则所有符合条件的x 值的和为________．5．（21仪征期末）若关于x 的分式方程312mx -=+的解为负数，则m 的取值范围为________．6．（20邗江期末）关于x 的方程1242k xx x -=--的解为正数，则k 的取值范围是________．7．（21广陵期末）先化简，再求值222124424x x x x x x x ++++÷--，其中2021x =．8．（19宝应期中）已知实数A 、B 使得等式34(1)(2)12x A Bx x x x -=+----成立，求实数A 、B ．9．（18高邮期中）已知13x x +=，求221x x+的值．10．（18江都月考）定义，如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----，232252255211111x x x x x x x x -+-+-==+=-+++++，则 11x x +-和231x x -+都是“和谐分式”． （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①1x x+；②22x +；③21x x ++；④221y y +（2）将“和谐分式2231a a a -+-化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：2231a a a -+=-________+________．（3）应用：先化简22361112x x x x x x x +---÷++，并求x 取什么整数时，该式的值为整数．11．（20仪征期中）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：11x x -+，21x x -这样的分式就是假分式；再如：31x +，221x x +这样的分式就是真分式，假分数74可以化成314+（即314）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：1(1)221111x x x x x -+-==-+++． 解决下列问题： （1）分式3x 是____（填“真”或“假”）分式；假分式64x x ++可化为带分式________形式； （2）如果分式42x x --的值为整数，求满足条件的整数x 的值； （3）若分式22251x x ++的值为m ，则m 的取值范围是________（直接写出答案）．。
分式的概念、性质及运算
分式的概念和性质要点一、分式的概念一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式.其中A 叫做分子，B 叫做分母.要点诠释：分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2x y x是分式，与xy 有区别，xy 是整式，即只看形式，不能看化简的结果. 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M B B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M 是不等于零的整式）. 要点诠释：在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了. 要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有b b a a -=-，b b a a-=-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与a b-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分. 要点六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.【典型例题】1. 下列各式中，m 取何值时，分式有意义？（1）2m m +；（2）1||2m -；（3）239m m --．2. 若分式6522+--x x x 的值为0，则x 的值为___________________.3. 当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为负数？4. 填写下列等式中未知的分子或分母．（1）22?x y x y x y +-=-； （2）()()?()()()b a c b a c a b b c a c --=----．【变式1】将下列各式约分：（1）23412ax x ；（2）243153n n x y x y+-；（3）211a a --；（4）321620m m m m -+-．【变式2】将下列各式通分：（1）4b ac ，22a b c ；（2）22x x +，211x -．（3）232a b 与2a b ab c -；（4）12x +，244x x -，22x -．5. 若2x y =-，求22222367x xy y x xy y----的值．要点七、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc ÷=⋅=，其中a b cd 、、、是整式，0bcd ≠. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.要点八、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数）. 要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭写成n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如()222222a ba b a bb b b---⎛⎫=≠⎪⎝⎭.6、计算：(1)422449158a b xx a b；(2)222441214a a aa a a-+--+-．7、计算：(1)222324a b a bc cd-÷；(2)2222242222x y x yx xy y x xy-+÷+++．8、计算：（1）432xy⎛⎫⎪-⎝⎭；（2）323a bc⎛⎫⎪-⎝⎭．9、计算：（1）23422x y yy x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）222223()a b aba abb b a⎛⎫-⎛⎫÷+⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．。
初中数学分式及其计算
1、分式的概念
A
A
一般地，用 A、B 表示两个整式，A÷B 就可以表示成 的形式，如果 B 中含有字母，式子 就叫做
B
B
分式。其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。
A
A
A
当 B≠0 时，分式 有意义，当 B=0 时，分式 无意义；当 A=0 且 B≠0，分式 的值等于 0.
＝
＝
，
．
故选：A．
)
，
D．
5.下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误(
A．①
B．②
【解答】解：
＝
﹣
﹣
＝
＝
．
故从第②步开始出现错误．
故选：B．
)
C．③
D．④
﹣
6.已知 P＝
(a≠±b)
(1)化简 P；
(2)若点(a，b)在一次函数 y＝x﹣
解：(1)P＝
﹣
＝
(2)∵点(a，b)在一次函数 y＝x﹣
)
【解析】(x+3
x3
x3
x2 9
7
2 x2 8x
=(
)
x 3 x 3
x3
x 3
( x 4)( x 4)
·
2 x( x 4)
x 3
x4
，
2x
当 x=1 时，原式
1 4 5
．
2 1 2
a b 2 2a 2b
4a 2
3a
14 先化简，再求值：(
B
B
B
2、分式的性质
(1)分式的基本性质：
分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式， 分式的值不变。
分式分式及其基本性质分式
求解最值问题
通过建立分式方程，可以求解某 些数学问题的最值。
简化计算
分式方程可以用于简化某些计算 ，例如分数计算等。
05
分式的应用
分式在生活中的应用
物理学
分式在物理学中被广泛应用，例如用 于描述物体的运动状态、力的分解和 合成、能量转换等。
工程学
在工程学中，分式用于描述各种物理 量之间的关系，如电阻、电容、电感 等。
分式的乘除法
概念
分式的乘除法是指将两个或多个分式进行乘除运算的过程。
运算法则
分式的乘法是将分式的分子与分子相乘，分母与分母相乘；分式的除法是将除式 的分子与分母相乘，被除式的分子与分子相乘，分母与分母相乘。
分式的混合运算
概念
分式的混合运算是指将加减乘除等运算结合在一起进行计算的过程。
运算法则
混合运算先乘除后加减，有括号的先算括号。
分式在数学中有广泛的应用，如解方 程、求导数、计算面积和体积等等。
02
分式的基本性质
分式的约分
分子和分母同时除以最大公约数，化简为最简分式。
约分可以化简分数，使其更易于比较大小或计算。
分式的通分
01
找到几个分式的最简公分母。
02
将各个分式的分子与最简公分母相乘，得到通分后的分式。
通分可以将几个分式化为同分母分式，便于比较大小或进行运
分式的符号
一个分式可以表示成 a/b 的形式，其中 a 和 b 都是整式，b 不等于 0。
如果 b 是正数，那么分式的值是正数或负数 ；如果 b 是负数，那么分式的值是正数或负
数，具体取决于 a 和 b 的3
分式是一种数学运算的结果，表示两 个整式相除的结果。
分式的值可以是一个具体的数字，也 可以是一个未知数。
分式归纳总结
分式归纳总结分式是数学中常见的一种表达方式，它由一个分子和一个分母组成，分子和分母都是数或者代数式。
在日常生活和学习中，我们经常遇到各种各样的分式，学会对分式进行归纳总结，可以帮助我们更好地理解和应用分式。
一、分式的基本概念和性质1. 分式的定义：分式是由分子和分母用横线分隔表示的数或者代数式。
2. 分式的性质：分式可以进行加、减、乘、除等运算。
分式可以化简为最简形式，即分子与分母没有公因数。
二、分式的分类和举例1. 真分式：分子的绝对值小于分母的绝对值，如1/2、3/4等。
2. 假分式：分子的绝对值大于等于分母的绝对值，如5/4、7/2等。
3. 显分式：分子为非零数，如3/1、4/1等。
4. 隐分式：分子为零，如0/5、0/9等。
三、分式的运算与应用1. 分式的加法和减法：对于相同分母的分式，可以直接对分子进行加或减。
对于不同分母的分式，需要先通分再进行运算。
例如：1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/63/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/202. 分式的乘法和除法：将分子与分母分别相乘或相除。
例如：(2/3) * (3/4) = 6/12 = 1/2(4/5) / (2/3) = (4/5) * (3/2) = 12/10 = 6/53. 分式的应用：分式在实际生活中有很多应用，如比例、百分数、利润分成等问题。
例如：根据工资比例计算两人的收入比例：小明工资是2000元，小红工资是3000元，求两人工资的比例。
小明的工资比例为：2000 / (2000+3000) = 2000 / 5000 = 2/5小红的工资比例为：3000 / (2000+3000) = 3000 / 5000 = 3/5四、分式的化简与扩展1. 分式的化简：通过约分化简一个分式，使得分子与分母互质。
例如：8/12 = 2/3，可以将分式8/12化简为2/3。
2. 分式的扩展：将一个分式拆分为多个分式的和或差，扩展了分式的表达形式。
分式与分式运算(完整版)
分式的概念及基本性质一、同步知识梳理1．分式的概念形如AB (A ，B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子叫做分式．其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
2．与分式有关的“三个条件” (1)分式AB 无意义的条件是B ＝0；(2)分式AB 有意义的条件是B ≠0；(3)分式AB值为零的条件是A ＝0且B ≠0.二、同步题型分析题型一：考查分式的定义例1 指出下列各式中，哪些是分式？221x x -，45b c +，37，221x -，23a a ，2132a b +．题型二：考查分式有意义的条件例2（1）当x 时，分式2132x x ++有意义；当x 时，分式2323x x +-有意义.（2）下列各式中，无论x 取何，分式都有意义的是（ ）A ．121x +B ．21x x +C ．231x x+ D ．2221x x +题型三：考查分式的值为0的条件 例3 当m 为何值时，分式的值为0？（1）1m m -； （2）23m m -+； （3）211m m -+．．三、课堂达标检测1． 梯形的面积为S ，上底长为m ，下底长为n ，则梯形的高写成分式为 ．2． 下列各式11x +，1()5x y +，22a b a b --，23x -，0 中，是分式的有______ _____；是整式的有___ ______． 3． 当x =_______ ___时，分式x x 2121-+无意义；当x =______ ____时，分式2134x x +-无意义． 4． 当x =____ __时，分式392--x x 的值为零；当x =______ ____时，分式2212x x x -+-的值为零.5． 当x =___ ___时，分式436x x +-的值为1；当x ___ ____时，分式271x -+的值为负数． 6． 下列各式①3x ，②5x y +，③12a-，④2x π-（此处π为常数）中，是分式的有 （ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①②③④ 7． 分式21x ax +-中，当x a =-时，下列结论正确的是 （ ） A ．分式的值为零 B ．分式无意义 C ．若12a ≠-时，分式的值为零 D ．若12a =-时，分式的值为零 8． 下列各式中，可能取值为零的是 （ ）A ．2211m m +-B ．211m m -+C ．211m m +- D ．211m m ++9． 使分式21aa -无意义，a 的取值是 （ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 10．已知234x y x-=-，x 取哪些值时： （1）y 的值是正数；（2）y 的值是负数；（3）y 的值是零；（4）分式无意义．1、分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
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分式的概念及基本性质-分式的运算————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:ﻩ分式的概念及基本性质分式的运算一. 知识精讲及例题分析（一)知识梳理1. 分式的概念形如AB(Ａ、B是整式,且Ｂ中含有字母,B≠0)的式子叫做分式。
其中A叫分式的分子，Ｂ叫分式的分母。
注:（１)分式的分母中必须含有字母(2）分式的分母的值不能为零，否则分式无意义 2. 有理式的分类有理式整式单项式多项式分式⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪3. 分式的基本性质分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。
A BA MB M=⨯⨯,ABA MB M=÷÷(M为整式,且M≠0）４. 分式的约分与通分（1)约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。
步骤：①分式的分子、分母都是单项式时②分子、分母是多项式时(2)通分:把n个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式,为进行分式加减奠定基础。
通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，即各分母所有因式的最高次幂的积。
求最简公分母的步骤:①各分母是单项式时②各分母是多项式时5. 分式的运算(1)乘除运算(2）分式的乘方（３)分式的加减运算(4）分式的混合运算【典型例题】例1. 下列有理式中，哪些是整式,哪些是分式。
ab a 2，1x，a3,--xx y，x+1π，14()x y-,1ya b()+，12a-例2．下列分式何时有意义(1)xx-+12ﻩﻩ（２)11||x-（３)412xx-(4）xx x22+例３. 下列分式何时值为零下列各式中x为何值时，分式的值为零？（1）433xx+ﻩﻩ（2）xx-12ﻩﻩ(3)212--+||()()xx x1. 填空。
(1）xxxyy+=≠1()()ﻩﻩ(2)3222xyx x x-=-()(3）x yx y x yx y-+=--≠()()220ﻩﻩ（4）a ababa b2-=-()2. 不改变分式的值,将下列分式的分子、分母中的系数化为整数。
（１）0300205...x yx y+-ﻩ（2）13141223x yx y-+例５. 约分(１)-215635210a b ca b dﻩ(2）31263ab a ba b a()()--（3）x xx22444-+-ﻩﻩ(4)()()()()32322532222a a a aa a a a---+-+例6. 通分：(1）345612222 a b b c ac，，-(2）xxxx x x ++---22223842，，例7. 分式运算1. 计算：(1)-⨯-a b c cd ab 22365(); （2）a a a a a a 2327844324+--⨯-+（３)x xy y xy y xy y x xy y22222222++-÷+-+ （4)()ab b a b a b -÷-+2222． 计算:（1)()()()-⋅-⋅-a b a b 8761； (2)()()()-⋅-÷--x yy x y x 222343. 计算：1111212x x x --+-+ 4. 计算:111a a +--５. 计算：()a a a a a a a +-+-÷+-+1412332226. 计算：14413212222-++÷-⋅++-x x x x x x x () ７. 计算：11122x yx y x y -÷++-()例８. 能力提高题1. 已知x x 2310-+=,求x x221+的值。
2． 已知115x y +=，求2322x xy yx xy y-+++的值课堂小测（答题时间：6０分钟）一. 填空1． 分式xx -5有意义,则x___＿_____＿＿＿_ ２. 若分式x x 242-+的值为零，则x=_＿＿_＿＿_＿___ 3. 计算:13692a a ---=_＿＿___＿___ 4. ()()-÷-=3432a bc ab ___＿____＿__＿ 5. 化简()ab b a b ab -÷-2的结果为＿___＿______ 6. 已知112x y -=，则分式222x xy yx xy y+---=______＿_＿7． 不改变分式的值，使它的分子、分母的最高次项的系数都是正数,则1123--+-=a a a a ___＿_＿___ ８. 若3332mn==，,则33m n-的值为__________9. 已知a a 269-+与()b -12互为相反数，则式子()()a b baa b -÷+的值是_＿＿_____＿ １0. 如果x x x mn÷=,则m 与n 的关系是_________＿__ 二. 选择题1. 下列运算正确的是（ ）A. a a a 33÷=Ｂ. 133624a b a a b ÷= C.126112844x x x ÷=ﻩﻩ D. a a a 1262÷= 2. 下列等式中不成立的是( ）A ． x y x y x y 22--=+ﻩ B. x xy y x y x y 22++-=+ Ｃ. xy x xy yx y2-=-ﻩﻩ D. y x x y y x xy -=-22 ３． 化简a b b a a b ab--+22的结果是( ）A ． ０ ﻩﻩB.2abﻩﻩﻩ ﻩ C. -2a bﻩﻩＤ. -2b a4. 计算a a a a-÷-11()的正确结果是（ ) Ａ． －1ﻩﻩ ﻩ B. 1ﻩﻩC.11a +ﻩﻩ ﻩ D.11a - 5. 下列各式与x yx y-+相等的是（ ) A ． ()()x y x y -+++55ﻩ B. 22x y x y-+ﻩﻩC. ()x y x y --222ﻩﻩＤ. x y x y 2222-+6. 分式2xyx y-中x 、y 都扩大2倍,那么分式的值( ) A. 变为原来的2倍ﻩﻩ B. 不变 ﻩﻩ C. 变为原来的4倍ﻩ D ． 无法确定7． 下列各式正确的是（ ) A.-+--=-+x y x y x y x y ﻩ Ｂ． -+-=---x y x y x yx yC. -+--=+-x y x y x y x y ﻩD. x y x y x y x y +--=-+ 8． 如果分式x x21-的值为零，那么x 等于( ）Ａ． -1或1ﻩﻩﻩﻩ B. 1 ﻩ C. １ﻩ ﻩﻩD ． １或29. 小明从家到学校每小时走a 千米,从学校返回家里每小时走b 千米,则他往返家里和学校的平均速度是每小时走( ) A.a b +2千米ﻩﻩ B. ab a b +千米ﻩ Ｃ. 2ab a b +千米 ﻩ D. aba b 2()+千米 １0． 若代数式()()||x x x -+-211的值为零，则x 的取值应为（ ）Ａ. x =2或x =-1ﻩ ﻩＢ. x =-1 ﻩＣ. x =±1ﻩﻩﻩD. x =2三． 解答题 1. 已知a a mn ==35，,求a m n 43-的值。
２． 计算：(１)129232a a-+- （2)a ab a a b b a 22-÷-() (3）()a a a a a a 224441212--+--÷++3. 先化简再求值(1）11312x x x +-+-，其中x =-2 （2)a a a a a 22212-+-+，其中a =2（3)()32242x x x x x x--+⋅-，其中x =-4四. 阅读理解题1. 请你阅读下列计算过程，再回答所提出的问题。
x x x----31312 =-+---x x x x 31131()() ﻩA=-+--++-x x x x x x 3113111()()()()()Ｂ=--+x x 331()ﻩﻩC=--26x ﻩ ﻩﻩ D（1)上述计算过程中，从哪一步开始出现错误：__________ (２）从B 到C 是否正确：＿＿＿_＿__＿_（3)请你写出正确的解题过程。
2. 先阅读,然后回答问题。
若ab=-2,求a ab ba ab b22222367----的值。
解：因为ab=-2,所以a b=-2（第一步)所以a ab ba ab b22222367----=--------()()()()222326272222b b b bb b b b=5922bb=59（第二步)（1）回答问题:①第一步运用了__＿_____＿__＿的基本性质；②第二步的解题过程运用了_____＿＿_＿_的方法，由5922bb得59,是对分式进行了__＿____。
（２）模仿运用,已知x y z346==≠,求x y zx y z+--+的值。
培优练习：例1：计算x xx xx xx x22222662----÷+-+-的结果是（)Ａ. xx--13B.xx+-19ﻩC．xx2219--ﻩﻩＤ．xx2213++例2:已知abc=1,求aab abbc bcac c++++++++111的值。
例3:已知：250m n -=，求下式的值: ()()11+--÷+-+n m m m n n m m m n例４：已知a 、b 、ｃ为实数,且ab a b bc b c ca c a +=+=+=131415，，,那么abc ab bc ca ++的值是多少?例5:化简:()x x x x x x 322121241+-+-+⋅-+ 例6、计算： 12442222+--÷--+n m m n m n m mn n例7、已知:M x y xy y x yx yx y 222222-=--+-+,则M =＿__＿＿__＿_。