三角函数培优
人教版九年级下册数学《锐角三角函数》培优说课教学复习课件
探究新知
【思考】一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它 的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
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任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，
∠A＝∠A'＝α，那么
BC AB
与 B' C'
A' B'
有什么关系？你能解释一
下吗？
B' B
A
C A'
C'
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因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， 所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 因此
50m，那么需要准备多长的水管？
B' B
35m 50m
A
C C'
AB'＝2B'C' ＝2×50＝100(m).
在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管
三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
1 2
.
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如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，A
∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比
AB BC A' B' B' C'
BC B' C' AB A'B'
在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角 形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值．
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归纳： 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的
对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即
OP OA2 AP2 32 42 5.
因此 sin AP 4 .
2024年暑期高一培优课2三角函数图象与性质(教师)
三角函数图象与性质一、选择题与填空题1．（2020·全国（理））设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9 B ． 7π6 C ．4π3D ．3π2解：由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭， 将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω= 所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω=== 故选：C2. 设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝( ) A.255 B ．55 C ．－255D．－55解：选C 利用辅助角公式可得f(x)＝sin x －2cos x ＝5sin(x －φ)，其中cos φ＝55，sin φ＝255.当函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值时，θ－φ＝2kπ＋π2(k ∈Z)，∴θ＝2kπ＋π2＋φ(k ∈Z)，则cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫2kπ＋π2＋φ＝－sin φ＝－255(k ∈Z)．故选C.3．（2018·全国（文））若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是 A ．4πB ．2π C ．34π D ．π解：因为π()cos sin )4=-=+f x x x x ，所以由π02ππ2π,(k Z)4+≤+≤+∈k x k 得π3π2π2π,(k Z)44-+≤≤+∈k x k 因此π3ππ3ππ[,][,],,044444-⊂-∴-<-≥-≤∴<≤a a a a a a a ，从而a 的最大值为π4，选A.4．（2017·全国（文））函数y ＝1＋x ＋2sin xx的部分图象大致为（ ） A ． B ． C ．D ．解：当x ＝1时，y ＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A 、C ； 当x →＋∞时，y →＋∞，排除B. 故选：D.5．（2015·湖南（理））将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的，，有，则ϕ=A ．512πB ．3πC ．4πD ．6π解：试题分析：向右平移个单位后，得到，又∵，∴不妨，，∴，又∵，∴，故选D.6．（2019·北京（文））如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β解：观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为2222βππ⨯⨯+S △POB + S △POA =4β+1||sin()2OP OB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖ 42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅.故选B .7．（2017·天津（文））设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0>ω，||ϕπ<.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则A ．23ω=，12πϕ=B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，724πϕ=解：由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．8.（2021·全国（理））已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．解：由图可知313341234T πππ=-=，即2T ππω==，所以2ω=； 由五点法可得232ππϕ⨯+=，即6πϕ=-；所以()2cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 因为7()2cos 143f π11π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，()2cos 032f 4π5π⎛⎫== ⎪⎝⎭；所以由74(()())(()())043f x f f x f ππ--->可得()1f x >或()0f x <； 因为()12cos 22cos 1626f πππ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以， 方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，即cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 解得,36k x k k π5ππ+<<π+∈Z ，令0k =，可得536x <<ππ，可得x 的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，又(2)2cos 406f π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，符合题意，可得x 的最小正整数为2.故答案为：2.9．（2020·北京）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．解：因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=. 故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.10．（2018·江苏）已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是________．解：由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以2πππππ()326k k k Z ϕϕ+=+=-+∈，，因为ππ22ϕ-<<，所以π0,.6k ϕ==- (2)最小正周期2πT ω=；(3)由ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴；(4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间.11．（2021·浙江）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，故3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤， 故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C.法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<， 由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222αγββγαγαβ++=++≤， 故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 424242αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C.12．（11年安徽9）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（A ）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （B ）,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ （C ）2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ （D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦解：若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，则()s i n ()163f ππϕ=+=，所以,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈.由()()2f f ππ>，（k Z ∈），可知sin()sin(2)πϕπϕ+>+，即s i n 0ϕ<，所以(21),6k k Z πϕπ=++∈，代入()sin(2)f x x ϕ=+，得()sin(2)6f x x π=-+，由3222262k x k πππππ+++，得263k x k ππππ++，故选C. 13．（2018·北京（理））设函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()4f x fπ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 解：因为()4f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以()f x 取最大值4f π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以22π()8()463k k Z k k Z ωωππ-=∈∴=+∈，，因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23. 14．（2017·上海）设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于________ 解： 由三角函数的性质可知111[,1]2sin 3α∈+，211[,1]2sin(2)3α∈+，所以121112sin 2sin(2)αα==++，即12sin sin(2)1αα==-，所以122,,24k k k Z ππαπαπ=-+=-+∈，所以12min |10|4ππαα--=.15.（2020·海南）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x - C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x - 解：由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ， 即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ 故选：BC.15. 2020·天津）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③解：因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象， 故③正确. 故选：B.16. （2016年I 卷12题）已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）517. （2019·全国（理））设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④解：当[0,2]x π时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点，∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确， 由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时， 令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，则(2)102ωππ+< ，即<3ϖ ， ∵1229510ω≤<，故③正确． 故选D ．二、解答题1．（2021·浙江）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈.（1）求函数22y fx π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.解：（1）由辅助角公式得()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，则2223332sin 1cos 21sin 22442y f x x x x x ππππ⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+=-+=- ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎪⎭⎦⎝，所以该函数的最小正周期22T ππ==;（2）由题意，()2sin sin 444y f x f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22sin cos x x x x x x ⎫=⋅=⎪⎪⎝⎭1cos 2222sin 224x x x x x π-⎛⎫===-+⎪⎝⎭， 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当242x ππ-=即38x π=时，函数取最大值12+. 2．（2018·上海）设常数R a ∈，函数()2sin 22cos f x a x x =+．（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求方程()1f x =[]ππ-，上的解． 解：（1）∵()2sin22cos f x a x x =+，∴()2sin22cos f x a x x -=-+，∵()f x 为偶函数，∴()()f x f x -=， ∴22sin22cos sin22cos a x x a x x -+=+， ∴2sin20a x =，∴0a =；（2）∵π14f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴2ππsin2cos 1124a a ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，∴a =∴()2π2cos cos212sin 216f x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，∵()1f x =∴π2sin 2116x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭∴πsin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴ππ22π64x k +=-+，或π52π2πZ 64x k k +=+∈，， ∴5ππ24x k =-+，或13ππZ 24x k k =+∈，， ∵[]ππx ∈-，， ∴5π24x =-或19π24x =或13π11π2424x x 或==-3．（2018·北京（文））已知函数()2sin cos f x x x x =.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的最小值.解：（Ⅰ）()1cos211π1cos2sin 222262x f x x x x x -⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦.要使得()f x 在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫-⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1. 所以ππ262m -≥，即π3m ≥. 所以m 的最小值为π3. 4.（2017·山东（理））设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=.（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值. 解：（Ⅰ）因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，所以1()cos cos 2f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=-1sin )2x x ωω=)3x πω=-由题设知()06f π=，所以63k ωπππ-=，k Z ∈.故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<， 所以2ω=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x π=-所以()))4312g x x x πππ=+-=-. 因为3[,]44x ππ∈-，所以2[,]1233x πππ-∈-，当123x ππ-=-，即4πx =-时，()g x 取得最小值32-.5.已知函数()()22f x sin x cos x x cos x x R =--∈ （I ）求2f 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.解：（Ⅰ）f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x -sin x cos x ，＝﹣cos2x x ， ＝﹣226sin x π⎛⎫+⎪⎝⎭， 则f （23π）＝﹣2sin （436ππ+）＝2，（Ⅱ）因为()2sin(2)6f x x π=-+． 所以()f x 的最小正周期是π． 由正弦函数的性质得3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 解得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以，()f x 的单调递增区间是2[,]63k k k ππ+π+π∈Z ，．6．（2017·北京（文））已知函数())2sin cos 3f x x -x x π=-.（I ）求f (x )的最小正周期； （II ）求证：当[,]44x ππ∈-时，()12f x ≥-．解:（Ⅰ）()31sin2sin2sin2sin 2223f x x x x x x x π⎛⎫=+-==+ ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. （Ⅱ）因为44x ππ-≤≤，所以52636x πππ-≤+≤. 所以1sin 2sin 362x ππ⎛⎫⎛⎫+≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()12f x ≥-.7．（2017·江苏）已知向量()([]30a cosx sinx b x π==∈r r，，，，． （1）若a b r P r，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅rr ，求函数y ＝f （x ）的最大值和最小值及对应的x 的值． 解：（1）∵向量()([]30a cosx sinx b x π==∈r r，，，，． 由a b r P r，可得：3sinx =，即3tanx =-， ∵x ∈[0，π] ∴56x π=． （2）由()233f x a b cosx x π⎛⎫=⋅==+⎪⎝⎭r r ∵x ∈[0，π]， ∴225333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴当2233x ππ+=时，即x ＝0时f （x ）max ＝3； 当2332x ππ+=，即56x π=时()min f x =- 8．（11年广东16.）（本小题满分12分）1()2sin(),36f x x x R π=-∈已知函数5(1)()4f π求的值;106(2),0,,(3),(32),cos()22135f f ππαβαβπαβ⎡⎤∈+=+=+⎢⎥⎣⎦设求的值.9．（11年北京15）（本小题共13分） 已知函数。
三角函数培优竞赛.doc
锐角三角函数题型：锐角三角函数基本概念(1)例：已知α为锐角，下列结论：（1）sin α+cos α=1;(2)若α>45°,则sin α>cos α;(3)若cos α>21,则α<60°; (4)ααsin 1)1(sin 2-=-。
正确的有（）A.(1)(2)(3)(4)B.(2)(3)(4)C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(3)变式：1、下列各式中，不正确的是（）A.160cos 60sin 0202=+ B .130cos 30sin 00=+ C.0055cos 35sin = D.tan45°>sin45°2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（）A.0°<∠A ≤90°B.90°<∠A <180°C.0°≤∠A <90°D.0°≤∠A ≤90°题型：锐角三角函数基本概念(2)例：已知sin α·cos α=81，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（） A.23B.23-C.43D.23±变式：1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（） A.sinA+cosB=sinC B.sinA+sinB=sinC C.2cos 2sin CB A +=D.2tan 2tan C B A +=2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（）A.m=nB.m=2n+1C.122+=n mD.n m 212-=题型：求三角函数值例：如图，菱形的边长为5，相交于点，=6，若，则下列式子正确的是（）A.sin α=54B.cos α=53C.tan α=34D.cot α=34变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α=1673,则sin α=2、已知sin α-cos α=51，0°<α<180°，则tan α的值是（） A.43 B.43- C.34 D.34-例：计算：000020246tan 45tan 44tan 42sin 48sin ⋅⋅-+=变式：1、计算：2002020010)60cot 4()60tan 25.0(⋅=2、计算：0000002000027tan 63tan 60cot 360sin 60cot 45cos )45sin 30)(cos 45cos 60(sin -++-例：化简根式：251cos 2451cos 4002+-=变式：1、化简下式：αααααααsin )90sin()90cos(21tan tan 21sin cos 21002+----+--=2、已知tanA=3,且∠A 为锐角，则cotA-A 2sin =例：在Rt △ABC 中，∠C=90°,斜边=5，两直角边的长a,b 是关于x 的一元二次方程0222=-+-m mx x 的两个实数根，求Rt △ABC 中较小锐角的正弦值。
高一数学 培优教材三角函数
高一年段数学培优教材第四讲 三角函数一、基础知识：1． 函数sin ()y x x R =∈的对称轴方程为,2x k k Z ππ=+∈，对称中心坐标是(,0),k k Z π∈；cos ()y x x R =∈的对称轴方程为,x k k Z π=∈，对称中心坐标是(,0),2k k Z ππ+∈tan (,)2y x x k k Z ππ=≠+∈的对称中心坐标是(,0),k k Z π∈，它不是轴对称图形.2． 求三角函数最值的常用方法：① 通过适当的三角变换，把所求的三角式化为sin()y A x b ωϕ=++的形式，再利用正弦函数的有界性求其最值.② 把所求的问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题. ③ 对于某些分式型的含三角函数的式子的最值问题（如sin cos a x by c x d+=+）可利用正弦函数的有界性来求.④ 利用函数的单调性求. 二、综合应用：1． 已知函数()y f x =是以5为最小正周期的奇函数，且(3)1f -=，则对锐角α，当1sin 3α=时，)f α=_________________2． 已知222,a b +=则sin cos a b θθ+的最大值是___________3． 函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++取最小值的x 的集合为______________4． 函数5cos 23sin ,[,]63y x x x ππ=+∈--的最大值和最小值的和为______________. 5． 函数sin cos sin ,y x x x cosx x R =+-∈的最大值为_____________6． 函数sin (0)2cos xy x xπ=<<+的最大值是_________________7． 函数()(cos sin )cos f x a x b x x =+有最大值2，最小值1-，求sin()4y a bx π=+的最小正周期.8．已知函数2()2sin sin cos f x a x x x a b =-++的定义域是[0,]2π，值域是[5,1]-，求,a b 的值.9． 已知函数()sin 2cos2f x x a x =+的图象关于直线8x π=-对称，求a 的值.10．已知()sin cos (,,f x A x B x A B ωωω=+是常数，且0)ω>的最小正周期为2，并且当13x =时，()f x 取最大值为2. （1）求()f x 表达式； （2）在区间2123[,]44上是否存在()f x 的图象的对称轴？若存在，求出其方程；若不存在，说明理由.11．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间[0,]2π上是单调函数，求,ϕω的值.12．已知定义在区间2[,]3ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线6π-=x 对称，当2[,]63x ππ∈-时，函数()s i n ()(0,0,)22f x A x A ππωϕωϕ=+>>-<<， 其图象如图所示.（1）求函数()y f x =在2[,]3ππ-的表达式；x（2）求方程()2f x =.三、强化训练：1．有四个函数2sin sin tancot sin 22x xy x y x y y x ===-=①②③④，其中周期为π，且在(0,)2π上是增函数的函数个数是（ ） .1.2.3.4A B C D2．设函数2()2c o s 3s i n 2f x x x a =+（a 为实常数）在区间[0,]2π上的最小值是4-,则a 的值是（ ）.4.6.4.3A B C D ---3．sin(2)cos()cos(2)sin()3636y x x x x ππππ=+--+-的图像中一条对称轴方程是（ ）3....422A x B x C x D x ππππ====4．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x) = f (x +2)，当x ∈[3，4]时，f(x) = x －2，则（ ）A ．f (sin12) < f (cos12) B ．f (sin3π) > f (cos3π) C ．f (sin1) < f (cos1) D ．f (sin32) > f (cos32)5．将函数y =f(x)sin x 的图象向右平移4π个单位后，再作关于x 轴对称的曲线，得到函数 y =1－2sin 2x , 则f (x )是 （ ）A ．cos xB ．2cos xC ．sin xD ．2sin x 6．曲线2sin()cos()44y x x ππ=+-和直线12y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依 次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|等于（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π7．设()()2cos fx x m ωϕ=++，恒有())3f x f x π+=-（成立，且(1)6f π=-，则实数m 的值为A ．1±B ．3±C ．－1或3D ．－3或18．使函数()sin(2))f x x x θθ=+++是奇函数，且在[0,]4π上是减函数的θ的一个值是_____________9．已知函数21()cos sin cos (0,0)2f x a x x x a ωωωω=+⋅->>2，其最小正周期为π.（Ⅰ）求实数a 与ω的值.（Ⅱ）写出曲线()y f x =的对称轴方程及其对称中心的坐标.参考答案：例1：(8)(3)(3)1f f f ==--=- 例2： 2例3：3())2;|,48f x x x x k k Z πππ⎧⎫=++=-∈⎨⎬⎩⎭例4：2()12sin 3sin ,1,45f x x x M N M N =-+=-=-+=- 例5：1例6例7：1,a b ==± 例8：21()2sin(2)2,sin(2)1,5626a f x a x ab x b ππ=⎧=-+++-≤+≤⎨=-⎩或21a b =-⎧⎨=⎩例9：1a =-例10：（1）()2sin()6f x x ππ=+（2）()2sin()6f x x ππ=+的对称方程为1,623x k x k k Z ππππ+=+⇒=+∈，由211235965,54341212k k k Z k ≤+≤⇒≤≤∈∴= 故存在.例11：03高考天津卷2223πϕωω==，，= 例12：（1）当2[,]63x ππ∈-时，()sin()3f x x π=+，当x ∈2[,]3ππ-时()sin f x x =-强化练习：1 C2 C3 C4 C5 B 6. A 7. D 8. 23πθ=9. （1）2111cos sin cos (1cos 2)sin 22222a y a x x x x x ωωωωω=+⋅-=++-11(sin 2cos 2)22a x a x ωω-=++1)22a x ωϕ-=++.∵y 的最小正周期T=π. ∴ω=1.∴12man a y -==∴a=1.（2）由（Ⅰ）知a=1，ω=1，∴1()(sin 2cos 2))224f x x x x π=+=+.∴曲线y=f(x)的对称轴方程为()28k x k Z ππ=+∈.对称中心的坐标为(,0)()28k k z ππ-∈.。
锐角三角函数培优讲义33113
讲义编号：组长签字：签字日期：（2）正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
2、坡角与坡度坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。
3、锐角三角函数关系：（1）平方关系： sin 2A + cos 2A = 1； 4、互为余角的两个三角函数关系若∠A+∠B=∠90，则sinA=cosB,cosA=sinB. 5、特殊角的三角函数：00 300450 600sin α2122 23 cos α 1 23 22 21 tan α33 1 （1）锐角的正弦值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)； （2）锐角的余弦值随角度的增加(或减小)而减小(或增加)； （3）锐角的正切值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)。
三、典型例题考点一：锐角三角函数的定义 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosB=54，则AC ：BC ：AB=（ ）A 、3：4：5B 、5：3：4C 、4：3：5D 、3：5：42、已知锐角α，cos α=35，sin α=_______，tan α=_______。
3、在△ABC 中，∠C=90°，若4a=3c ，则cosB=______.tanA = ______。
4、在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC 等于_______。
5、在△ABC 中，∠C=90°，若把AB 、BC 都扩大n 倍，则cosB 的值为（ ）A 、ncosBB 、1ncosB C 、cos nBD 、不变考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形1、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。
（1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。
三角函数的性质(培优)
三角函数的性质【典型例题】例1．求函数+的定义域。
=y 1tan --x x x sin 23log 123cos -+例2．设的图像经过点,，当0x 时，()c x b x a x f ++=cos sin ()5,0A ⎪⎭⎫ ⎝⎛5,2πB ≤≤2π，求c 的取值范围。
10)(≤x f 例3．已知,,且 求的值。
⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,4,ππy x R a ∈⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+02sin 21402sin 222a y y a x x )2cos(y x +例4．设函数的定义域为R ，对任意实数)(x f 有 ，βα,02(,21)3(),2()2(2)()(==-+=+ππβαβαβαf f f f f f 且（1）求证：)()()(x f x f x f --==-π(2) 若0x 时，，求证：上单调递减。
≤≤2π0)(>x f []π,0)(在x f （3）求的最小周期并加以证明。
)(x f 例5．已知a ，b ，A ，B 都是实数，若对于一切实数，x 都有，02sin 2cos sin cos 1)(≥----=x B x A x b x a x f 求证：。
1,22222≤+≤+B A b a 例6．关于x 的方程有解，求实数a 的取值范围。
01)23(2cos 3sin 222=---+a a x a x例7．若知,对任意c bx x x f R c b ++=∈2)(,,R∈βα,都有0)cos 2(,0)(sin ≤+≥βf a f （1）求f(1)的值。
（2）证明： （3）设的最大值为10 ，求f(x)。
3≥c )(sin a f 例8．给定数列，且，则的值是多少？{}n x ()()321321---+=+n n n x x x 4011001x x -【经典练习】1．求的值。
oo o o 80sin 40sin 50cos 10cos 22-+2．求的值。
oo o 70sin 50sin 10sin 3．设，则的大小关系是⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈0,21x πππ)1cos(),sin(cos ),cos(sin 321+===x a x a x a （ ）A . B. C . D . 123a a a <<231a a a <<213a a a <<132a a a <<4．已知，，则下列三数，，10<<b 40πα<<ααsin log )(sin b x =ααcos log )(cos b y = 的大小关系是（ ）ααcos log )(sin b z =A. B. C. D. y z x <<x z y <<y x z <<zy x <<5．是第三象限的角，且，则的α0cos 2cos sin sin622=-⋅+αααααα2cos 2sin +值是______。
第二节 三角函数及应用-学而思培优
第二节三角函数及应用-学而思培优
三角函数是数学中非常重要的一部分，其在数学以及其他科学
领域中有着广泛的应用。
在学而思培优的研究中，我们将研究三角
函数以及它的一些应用。
三角函数的定义
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们分别被定
义为：
- 正弦函数：sinθ = 对边/斜边
- 余弦函数：cosθ = 邻边/斜边
- 正切函数：tanθ = 对边/邻边
三角函数的图像特性
三角函数的图像特性对于我们研究函数的性质非常重要。
在学
而思培优中，我们将研究正弦函数和余弦函数的图像特性，如周期、最大值、最小值等。
三角函数的应用
三角函数在现实生活中有许多应用，以下是一些常见的应用场景：
- 三角函数在物理学中有广泛的应用，例如描述波动、振动等
现象。
- 三角函数在工程学中用于解决一些几何问题，例如计算角度、测量高度等。
- 三角函数在计算机图形学中被广泛使用，用于绘制各种图形、动画等。
总结
三角函数是数学中的重要概念，它的理解和应用对于我们在学
习和实际生活中都有很大的帮助。
通过学而思培优的学习，我们可
以掌握三角函数的基本概念、图像特性以及一些常见的应用场景。
三角函数培优001
三角函数恒等变换培优1．计算下列各式.(1)求27cos 45sin1827sin 45sin18sin cos ︒︒+︒︒-︒︒的值.(2)已知(),0,αβπ∈，且()11,27tan tan βαα-==-，求2βα-的值2．设函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=-+的图象关于直线x π=对称，其中常数1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．3．已知函数()4cos cos 23f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在区间,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．4．已知函数 。
（1）求函数 的最小正周期与对称轴； （2）当时，求函数的最值及单增区间. 5．已知02x π-<<， 1sin cos 5x x +=. （1） 求sin cos x x -的值. （2）求2sin 2sin 1tan x xx+-的值6．已知0απ<<，cos α=（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求sin 21cos 2αα+的值7．已知函数()2cos 2cos f x x x x =+．（1）求函数()f x 图象的相邻两条对称轴的距离；（2）求函数()f x 在区间63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值与最小值，以及此时x 的取值．8．已知33,,sin 22πππαπβαβ<<<<==.求（1）αβ-的值； （2）tan 2()αβ-的值9．已知1tan 42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭．（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求()()22sin 22sin 21cos 2sin παπαπαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭--+的值．10．已知函数()sin 2cos 263ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x x（1）求()f x 在[0,]π上的零点； （2）求()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围。
九年级数学锐角三角函数的专项培优练习题含答案
九年级数学锐角三角函数的专项培优练习题含答案一、锐角三角函数1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．2．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O 于点E．（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．【解析】试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．试题解析：（1）AE=CE．理由：连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD•AF．①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC•3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC•（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED==．考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD．（1）求证：△MED∽△BCA；（2）求证：△AMD≌△CMD；（3）设△MDE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2=175S1时，求cos∠ABC的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ABC=5 7 .【解析】【分析】（1）易证∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED∽△BCA；（2）由∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，可知MB=MC=AM，从而可证明∠AMD=∠CMD，从而可利用全等三角形的判定证明△AMD≌△CMD；（3）易证MD=2AB ，由（1）可知：△MED ∽△BCA ，所以2114ACB S MD S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭V ，所以S △MCB =12S △ACB =2S 1，从而可求出S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=25S 1，由于1EBDS ME S EB =V ，从而可知52ME EB =，设ME=5x ，EB=2x ，从而可求出AB=14x ，BC=72，最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】（1）∵MD ∥BC ， ∴∠DME=∠CBA ， ∵∠ACB=∠MED=90°， ∴△MED ∽△BCA ；（2）∵∠ACB=90°，点M 是斜边AB 的中点， ∴MB=MC=AM ， ∴∠MCB=∠MBC ， ∵∠DMB=∠MBC ，∴∠MCB=∠DMB=∠MBC ， ∵∠AMD=180°﹣∠DMB ，∠CMD=180°﹣∠MCB ﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC ， ∴∠AMD=∠CMD ， 在△AMD 与△CMD 中，MD MD AMD CMD AM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AMD ≌△CMD （SAS ）； （3）∵MD=CM ， ∴AM=MC=MD=MB ， ∴MD=2AB ，由（1）可知：△MED ∽△BCA ， ∴2114ACB S MD S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭V ，∴S △ACB =4S 1， ∵CM 是△ACB 的中线， ∴S △MCB =12S △ACB =2S 1， ∴S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=25S 1，∵1EBDS MES EB=V ，∴1125S MEEB S =，∴52ME EB =， 设ME=5x ，EB=2x ， ∴MB=7x ， ∴AB=2MB=14x ，∵12MD ME AB BC ==， ∴BC=10x ，∴cos ∠ABC=105147BC x AB x ==. 【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.4．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦//CD AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ OP =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20AB =，4cos 5AOC ∠=．设OP x =，CPF ∆的面积为y ．（1）求证：AP OQ =；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当OPE ∆是直角三角形时，求线段OP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）236030050(10)13x x y x x -+=<<；（3）8OP =【解析】【分析】（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP DQ =，联结OD 后还有OA DO =，再结合要证明的结论AP OQ =，则可肯定需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即POA QDO ∠=∠即可；（2）根据PFC ∆∽PAO ∆，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4cos 5AOC ∠=、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去． 【详解】（1）联结OD ，∵OC OD =， ∴OCD ODC ∠=∠， ∵//CD AB ， ∴OCD COA ∠=∠， ∴POA QDO ∠=∠． 在AOP ∆和ODQ ∆中，{OP DQPOA QDO OA DO=∠=∠=， ∴AOP ∆≌ODQ ∆， ∴AP OQ =；（2）作PH OA ⊥，交OA 于H ， ∵4cos 5AOC ∠=， ∴4455OH OP x ==，35PH x =， ∴132AOP S AO PH x ∆=⋅=． ∵//CD AB ， ∴PFC ∆∽PAO ∆， ∴2210()()AOPy CP x S OP x∆-==， ∴2360300x x y x-+=，当F 与点D 重合时，∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⨯⨯=， ∴101016x x =-，解得5013x =，∴2360300x x y x-+=50(10)13x <<； （3）①当90OPE ∠=o 时，90OPA ∠=o ， ∴4cos 1085OP OA AOC =⋅∠=⨯=； ②当90POE ∠=o 时，1010254cos cos 25OC CQ QCO AOC ====∠∠，∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622=-=， ∵501013OP <<， ∴72OP =（舍去）； ③当90PEO ∠=o 时，∵//CD AB ， ∴AOQ DQO ∠=∠， ∵AOP ∆≌ODQ ∆， ∴DQO APO ∠=∠， ∴AOQ APO ∠=∠，∴90AEO AOP ∠=∠=o ，此时弦CD 不存在，故这种情况不符合题意，舍去； 综上，线段OP 的长为8．5．如图以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点D 恰好为BC 的中点，过点D 作⊙O 的切线交AC 边于点F.（1）求证：DF ⊥AC ；（2）若∠ABC=30°，求tan ∠BCO 的值. 【答案】(1)证明见解析; (2) tan ∠3 【解析】试题分析：（1）连接OD ，根据三角形的中位线定理可求出OD ∥AC ，根据切线的性质可证明DE ⊥OD ，进而得证．（2）过O 作OF ⊥BD ，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB 表示出OF 、CF 的长，根据三角函数的定义求解． 试题解析：证明:连接OD∵DE为⊙O的切线, ∴OD⊥DE ∵O为AB中点, D为BC的中点∴OD‖AC∴DE⊥AC(2)过O作OF⊥BD,则BF=FD在Rt△BFO中，∠ABC=30°∴OF=12OB, BF=3OB∵BD=DC, BF=FD，∴FC=3BF=33OB在Rt△OFC中，tan∠BCO=13233OBOFFCOB==.点睛：此题主要考查了三角形中位线定理及切线的性质与判定、三角函数的定义等知识点，有一定的综合性，根据已知得出OF=12OB，BF=3OB，FC=3BF=33OB是解题关键．6．如图，MN为一电视塔，AB是坡角为30°的小山坡(电视塔的底部N与山坡的坡脚A在同一水平线上，被一个人工湖隔开)，某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度．在坡脚A处测得塔顶M的仰角为45°；沿着山坡向上行走40m到达C处，此时测得塔顶M的仰角为30°，请求出电视塔MN的高度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，结果保留整数)【答案】95m【解析】【分析】过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F．在△ACE中，求AE＝3m，在RT△MFC中，设MN＝x m，则AN＝xm．FC3xm，可得x＋33 ( x－20)，解方程可得答案..【详解】解：过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F．在△ACE中，AC＝40m，∠CAE＝30°∴CE＝FN＝20m，AE＝3设MN＝x m，则AN＝xm．FC＝3xm，在RT△MFC中MF＝MN－FN＝MN－CE＝x－20FC＝NE＝NA＋AE＝x＋203∵∠MCF＝30°∴FC＝3MF，即x＋203＝3 ( x－20)解得：x＝403 31＝60＋203≈95m答：电视塔MN的高度约为95m．【点睛】本题考核知识点：解直角三角形.解题关键点：熟记解直角三角形相关知识，包括含特殊角的直角三角形性质.7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（B′与B重合），且点D′刚好落在BC的延长上，A′D′与CD相交于点E．（1）求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分（如图1中阴影部分A′B′CE）的面积；（2）将△A′B′D′以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x 的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△AA′B′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．【答案】（1）452；（2）详见解析；（3）使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：0秒、32 秒、95- ． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2，由tan ∠B ′D ′A ′＝'''''=A B CEA D CD 可求出CE ，即可计算△CED ′的面积，S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′； （2）分类讨论，当0≤x ≤115时和当115＜x ≤4时，分别列出函数表达式； （3）分类讨论，当AB ′＝A ′B ′时；当AA ′＝A ′B ′时；当AB ′＝AA ′时，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：（1）∵AB ＝6cm ，AD ＝8cm ， ∴BD ＝10cm ，根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10cm ，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2cm ， ∵tan ∠B ′D ′A ′＝'''''=A B CE A D CD ∴682=CE ∴CE ＝32cm ，∴S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′＝8634522222⨯-⨯÷=（cm 2）； （2）①当0≤x ＜115时，CD ′＝2x +2，CE ＝32（x +1）， ∴S △CD ′E ＝32x 2+3x +32， ∴y ＝12×6×8﹣32x 2﹣3x ﹣32＝﹣32x 2﹣3x +452； ②当115≤x ≤4时，B ′C ＝8﹣2x ，CE ＝43（8﹣2x ） ∴()214y 8223x =⨯-＝83x 2﹣643x +1283． （3）①如图1，当AB ′＝A ′B ′时，x ＝0秒；②如图2，当AA ′＝A ′B ′时，A ′N ＝BM ＝BB ′+B ′M ＝2x +185，A ′M ＝NB ＝245， ∵AN 2+A ′N 2＝36， ∴（6﹣245）2+（2x +185）2＝36，解得：x＝6695-，x＝6695--（舍去）；③如图2，当AB′＝AA′时，A′N＝BM＝BB′+B′M＝2x+185，A′M＝NB＝245，∵AB2+BB′2＝AN2+A′N2∴36+4x2＝（6﹣245）2+（2x+185）2解得：x＝32．综上所述，使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：0秒、32秒、6695-．【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．8．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF AE=，连接DE，DF，EF. FH平分EFB∠交BD于点H.（1）求证：DE DF⊥；（2）求证：DH DF=：（3）过点H作HM EF⊥于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠， 得45DBF ∠=︒.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠, 所以DH DF =.（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得222BD AB AD AB =+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=︒∠=︒，，所以22sin 45HN BH HN HM ===︒. 由22cos 45DF EF DF DH ===︒，得22EF AB HM =-. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=︒.∴90EAD FCD ∠=∠=︒.∵CF AE =。
初中数学三角函数最值问题培优专题训练
初中数学三角函数最值问题培优专题训练
介绍
本文档旨在提供初中数学三角函数最值问题的培优专题训练，
帮助学生更好地理解和掌握该知识点。
问题1：求函数的最大值和最小值
给定函数$f(x) = \sin(x) + \cos(x)$，求函数的最大值和最小值。
解决思路：
1. 通过观察函数的周期性，可以发现函数的最大值和最小值都
出现在每个周期的两个关键点上。
2. 计算函数在一个周期内的最大值和最小值。
3. 结合函数的周期性，得出函数在整个定义域上的最大值和最
小值。
问题2：求函数的最大值和最小值
给定函数 $g(x) = \sin^2(x) + \cos^2(x)$，求函数的最大值和最
小值。
解决思路：
1. 利用三角函数的恒等式 $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$，可以将函数 $g(x)$ 转化为一个常数函数。
2. 结合函数的定义域，得出函数的最大值和最小值。
问题3：求函数的最大值和最小值
给定函数 $h(x) = \sin(x) \cdot \cos(x)$，求函数的最大值和最小值。
解决思路：
1. 通过观察函数的周期性，可以发现函数的最大值和最小值都出现在每个周期的两个关键点上。
2. 计算函数在一个周期内的最大值和最小值。
3. 结合函数的周期性，得出函数在整个定义域上的最大值和最小值。
总结
通过本文档的培优专题训练，学生可以掌握初中数学三角函数最值问题的求解方法。
这些问题涉及了三角函数的周期性和恒等式
的应用，通过解题过程，学生可以提高数学思维能力和问题解决能力。
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三角函数夯实基础
1.已知函数()sin()(0),24fxx+x，为()fx的零点，4x为()yfx图像的对
称轴，且()fx在51836，单调，则的最大值为
（A）11 （B）9 （C）7 （D）5
2.
函数()fx=cos()x的部分图像如图所示，则()fx的单调递减区间为( )
(A)13(,),44kkkZ (B)13(2,2),44kkkZ
(C)13(,),44kkkZ (D)13(2,2),44kkkZ
3.
设函数cxbxxfsin|sin|)(，则()fx的最小正周期（ ）
A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关
4.
已知函数sinfxx（，，均为正的常数）的最小正周期为，当23x时，
函数fx取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
（A）220fff （B）022fff
（C）202fff （D）202fff
5.
设函数()sin()fxAx（,,A是常数，0,0A）.若()fx在区间[,]62上具有单调
性，且2()()()236fff，则()fx的最小正周期为 .
6.
xy2sin与|)1ln(|xy
图象的交点的个数 .
7.
xnxmxf2cos2sin)(
图象过点(,3)12和点2(,2)3.
（Ⅰ）求,mn的值；
（Ⅱ）将()yfx的图象向左平移（0）个单位后得到函数()ygx的图象.若()ygx的
图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()ygx的单调增区间.
8.
某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2fxAx在某一个周期内的图象时，列表并填
入了部分数据，如下表：
x
0
π
2 π 3π2
2π
x
π
3 5π6
sin()Ax
0 5 5 0
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()fx的解析式；
（Ⅱ）将()yfx图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到()ygx的图象. 若()ygx图
象的一个对称中心为5π(,0)12，求的最小值.
9.
某实验室一天的温度（单位：C）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系；
)24,0[,12sin12cos310)(ttttf
.
（1）求实验室这一天的最大温差；
（2）若要求实验室温度不高于11C，则在哪段时间实验室需要降温？
三角函数基础答案
1.由题意知：
则，其中
在单调，接下来用排除法
若，此时，在递增，在递减，不满足在
单调若，此时，满足在单调递减.
2.
【解析】由五点作图知，1+4253+42，解得=，=4，所以()cos()4fxx，令
22,4kxkkZ，解得124k＜x＜324k
，kZ，故单调减区间为（124k，
3
24k
），kZ，故选D.
3.
2
1cos2cos21()sinsinsinsin222xx
fxxbxcbxcbxc
，其中当
0b
时，cos21()22xfxc，此时周期是；当0b时，周期为2，而c不影响周期．故选B．
4
【解析】由题意，sin(0,0,0)fxxA，22||T，所以2，
则sin2fxx，而当23x时，2322,32kkZ，解得
2,6kkZ，所以sin2(0)6fxxA，则当2262xk
，即
,6xkkZ
时，()fx取得最大值.要比较2,2,0fff的大小，只需判断
2,2,0
与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值越小，易知0,2与6比较近，2与56比
较近，所以，当0k时，6x，此时|0|0.526，|2|1.476，当1k时，56x，
此时5|2()|0.66，所以(2)(2)(0)fff，故选A.
5.
试题分析：由)(xf在区间]2,6[上具有单调性，且)6()2(ff知，函数)(xf的对称中心为
)0,3(
，由)32()2(ff知函数)(xf的对称轴为直线127)322(21x，设函数)(xf的最小
正周期为T，所以，6221T，即32T，所以43127T，解得T.
考点：函数)sin()(xAxf的对称性、周期性，容易题.
6.函数xy2sin与|)1ln(|xy图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，
7.
试题解析：（1）由题意知：()sin2cos2fxabmxnx.
因为()yfx的图象过点(,3)12和2(,2)3，
所以3sincos66442sincos33mnmn，即1332231222mnmn，
解得3,1mn.
（2）由（1）知：()3sin2cos22sin(2)6fxxxx.
由题意知：()()2sin(22)6gxfxx，设()ygx的图象上符合题意的最高点为0(,2)x，
由题意知：2011x，所以00x，即到点0,3（）的距离为1的最高点为0,2（）.
将其代入()ygx得sin(2)16，因为0，所以6，
因此()2sin(2)2cos22gxxx，由222,kxkkZ，得
,2kxkkZ，所以，函数()ygx的单调递增区间为[,],2kkkZ
.
8.【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A. 数据补全如下表：
x
0
π
2 π 3π2
2π
x
π12 π
3 7π12 5π6 13π12
sin()Ax
0 5 0 5 0
且函数表达式为π()5sin(2)6fxx.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 π()5sin(2)6fxx，得π()5sin(22)6gxx.
因为sinyx的对称中心为(π,0)k，kZ.
令π22π6xk，解得ππ212kx，kZ .
由于函数()ygx的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k，
解得ππ23k，kZ. 由0可知，当1k时，取得最小值π6.
9.【解析】（1）因为)312sin(210)12sin2112cos23(210)(ttttf，
又240t，所以373123t，1)312sin(1t，
当2t时，1)312sin(t；当14t时，1)312sin(t；
于是)(tf在)24,0[上取得最大值12，取得最小值8.
故在10时至18时实验室需要降温.