1.2 解三角形应用举例第一课时
解三角形应用举例
1.2│ 新课感知 新课感知
在日常生活和工农业生产中，为了达到某种目的，常常 想测得一个点与另一个不可到达的点间的距离或在远处的 两个物体之间的距离，这样的想法能实现吗？如何实现呢？
测量距离的问题
例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出 75 ， C 60 AC的距离是55cm， A＝ ＝ ，求A、B 6 2.449 ). 两点间的距离(精确到0.1m ，
10 A
50 40
B
BC 28
∴我舰的追击速度为14n mile/h
又在△ABC中由正弦定理得：
AC BC sin B sin A
即 B=38.2° 故我舰行的方向为北偏东
AC sin A 5 3 故 sin B BC 14
50°- 38.2°=11.8°
课堂小结 1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。 2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知 与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余 弦定理解题。 3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程 图可表示为： 实际问题
15 45
解：在⊿ABC中， ∠A=15°, ∠C=45°-15°=30°. 根据正弦定理，
15 45
BC AB sin A sin C
AB sin A 5sin15 5( 6 2) BC 2.5875(km). sቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn C sin 30 2
CD=BC×tan∠DBC=BC×tan15°≈693(m) 答：山的高度约为693米。
28 cos30 sin 60 sin(60 30 ) 42( m)
高中数学教案】人教A版必修5第一章1.2《解三角形应用举例》教案
《解三角形应用举例》教案一、教学目标1.知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.2.过程与方法（1）通过解决“底部不可到达的物体高度测量”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形的问题的方法.（2）进一步提高利用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力.3.情感、态度与价值观进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力二、教学重点和难点教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学关键：将实际问题中的高度问题转化为数学问题.教学突破方法：通过分析实践、自主探究、合作交流等一系列的寻求问题解决方法的活动，讨论解决方法，步步改进方法，探求最佳方法.三、教法与学法导航教学方法：本节课是解三角形应用举例的延伸.采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架.通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法.教学形式要坚持“引导——讨论——归纳”，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯.作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间.学习方法：学生通过数学建模，自主探究、合作交流，在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华.四、教学过程1.创设情境，导入新课提问：现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.2.主题探究，合作交流例1 如图1，AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.图1分析：求AB 长的关键是先求AE ，在△ACE 中，如能求出点C 到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由点C 观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长.解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上.在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD =a ，测角仪器的高是h ，那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得： )sin(sin βαβ-=a AC ， h a h AC h AE AB +-=+=+=)sin(sin sin sin βαβαα. 例 2 如图2，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角0454'︒=α，在塔底C 处测得A 处的俯角150'︒=β.已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ，求出山高CD （精确到1m ）.图2教师：根据已知条件，大家能设计出解题方案吗（给时间给学生讨论思考）？若在△ABD 中求CD ，则关键需要求出哪条边呢？学生：需求出BD 边.教师：那如何求BD 边呢？学生：可首先求出AB 边，再根据∠BAD=α求得.解:在△ABC 中，∠BCA =90°+β，∠ABC =90°-α，∠BAC =αβ-，∠BAD =α.根据正弦定理， )sin(βα-BC =)90sin(β+︒AB.所以 AB =)sin()90sin(βαβ-+︒BC =)sin(cos βαβ-BC .在Rt △ABD 中，得：BD =AB sin ∠BAD =)sin(sin cos βααβ-BC .将测量数据代入上式，得：BD =)1500454sin(0454sin 150cos 3.27'-'''︒︒︒︒ =934sin 0454sin 150cos 3.27'''︒︒︒≈177.4（m ）.CD =BD -BC ≈177-27.3=150（m ）.学生：山的高度约为150 m.教师：有没有别的解法呢？学生：若在.△ACD 中求CD ，可先求出AC .教师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC ？学生：同理，在△ABC 中，根据正弦定理求得.（解题过程略）例3 如图3，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上，行驶5km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD （精确到1m ）.图3教师：欲求出CD ，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？学生：在△BCD 中教师：在△BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD ，根据条件，易计算出哪条边的长？ 学生：BC 边解:在△ABC 中， ∠A =15°，∠C = 25°-15°=10°，根据正弦定理，A BC sin =CAB sin ， BC =C A AB sin sin =︒︒10sin 15sin 5≈7.452 4（km ）. tan tan81047(m)CD BC DBC BC =⨯∠≈⨯︒≈答：山的高度约为1047m.教材第15页练习第1、2、3题.3.小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.4.课外作业（1）教材第19、20页习题1.2 A 组第6，7，8题（2）为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB 的高度为多少m ？答案：20+3320m。
高中数学《第一章解三角形1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶》347PPT课件 一等奖名师
2
思考：以上公式对任意的四边形是否都成立？
八、课后作业
南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积
术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，
余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，
求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三
角形的边长满足 a b 12, c 8.则此三角形面积的最大值=__8___5____.
六、师生小结
<1>海伦（Heron）:古希腊数学家主要著作有《量度论》，《体积求法》，《几何》
等，最著名的是已知三边长求三角形面积的海伦公式.
证明：如图，在△ABC中，过A作高AD交BC于D,
设 BD x ，那 么 DC a x .
由于AD是△ABD、△ACD的公共边.
h c2 x2 b2 a x2.
则x c2 b2 a2 . 2a
于是h
c2
c2
b2 2a
a2
2
.
又
SABC
1 2
ah
1 2
ac2c2源自b2 2a开平方得积．”若把以上这段文字写成公式, 即S
1 4
c 2 a 2
c2
a2 2
b2
2
在ABC 中，若 AB 13, BC 14, AC 15,D在AC上，且BD平分 ABC,
则 ABC 的面积=________; BD=____________.
[针对训练] 南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，
S
p p a p b p c
人教a版必修五课件：解三角形-应用举例：距离问题(59页)
(4)给出答案． 应用性ห้องสมุดไป่ตู้题在解题中往往会遇到一些非整数值(如带有 根号的数，不可约分的分数，小数等)，一般在运算过程中 不要急于查表或取值，而应保留其原来的形式，直到最后 才进行一次近似计算．这样不仅使保留的结果准确程度 高，而且有时运算也会简便些．
2．某人在平地上散步，已知正西方向有两根相距为6 m的标杆，当他向正北方向步行1 min后，看到一根标杆在 其西南方向，一根标杆在其南偏西30° 方向，求此人步行的 速度．(结果保留一位小数)
测量的精确度越高．
思考感悟
1．应用解三角形的知识解实际问题的步骤
提示：在应用解三角形的知识解决实际问题时，要分 析和研究问题中涉及的三角形，要明确它的哪些元素是已 知的，哪些元素是未知的，应该选用正弦定理还是余弦定 理进行求解． 应用解三角形的知识解实际问题的解题步骤是：
(1)根据题意作出示意图； (2)确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的 已知元素和未知元素； (3)选用正弦定理或余弦定理(有时需正、余弦定理并用) 进行求解，并注意运算的正确性；
类型二 [例2]
测量两个不可到达的点之间的距离 在一次反恐作战战前准备中，为了弄清基地组
3 织两个训练营地A和B之间的距离，盟军在两个相距为 a 2 的观测点C和D处，测得∠ADB＝30° ，∠BDC＝30° ，∠ DCA＝60° ，∠ACB＝45° ，如图所示．求基地组织的这两 个训练营地之间的距离．
变式训练1 在题设条件不变的情况下，求水田的宽 度．
解：过B作BD⊥AC，在Rt△BDA及Rt△BDC中 BD BD AD＝tan30° ，CD＝tan45° . BD BD 又AC＝AD＋CD＝tan30° ＋tan45° ＝8， 8 ∴BD＝ ＝4( 3－1) (m)． 3＋1 即水田的宽度为4( 3－1)米．
高中数学 1.2.2 解三角形应用举例(第1、2课时)5
福建省光泽县第二中学2014高中数学1.2.2 解三角形应用举例（第1、2课时）教案新人教A版必修5●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。
其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。
对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力●教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解●教学难点根据题意建立数学模型，画出示意图●教学过程Ⅰ.课题导入1、[复习旧知]复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、[设置情境]请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。
如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。
于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。
今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
Ⅱ.讲授新课（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解[例题讲解](2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=︒75。
教育部参赛__解三角形教学设计__安江华
课题: §1.2.1解三角形应用举例1——隔岸求距离新课标人教版A版必修5 授课类型：新授课（第1课时）一、教材分析《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。
比如对于正弦定理、余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。
学习了正弦定理、余弦定理后，并用它们来解决实际问题，让学生真正的体会到“数学是有用的”。
二、教学目标(一)知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决不可到达点的距离测量问题，了解常用的测量相关术语(二)过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。
其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。
对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正。
(三)情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。
三、教学重点、难点重点：分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，，得到实际问题的解。
难点：根据题意建立数学模型，画出示意图四、教学准备器材三角板、计算器等五、教学过程Ⅰ.课题导入1、[复习旧知]复习提问：什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、[设置情境]请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。
1.2解三角形的应用举例PPT课件
＝300＋1 200－2×10 3×20 3×12＝900，
∴CD＝30(海里)，则需要的时间 t＝3300＝1(小时)．
答：该救援船到达D点需要1小时．
-
36
总结
实际问题 实际问题的解
抽象概括 示意图
还原说明
数学模型 推演 理算 数学模型的解
-
37
1.三角形中线问题
例：△ABC 中，D 是 BC 的中点点，AB=2，AC=3，∠BAC=60°，
60° 75°
答： 5 6 海里
-
B
11
正弦定理和余弦 实定 际理 测在 量中有许 多应:用 (1)测量距离. (2)测量高度. (3)测量角度.
-
12
正弦定理和余弦 实定 际理 测在 量中有许 多应:用
(1)测量距离.
-
13
1.测量不可到达且不可视的两点间的距离
例1.为了开凿隧道,要测量隧道口D,E间的距离, 为此在山的一侧选取适当的点C(如图),测得 CA,CB,∠ACB,又测得A,B两点到隧道口的距离AD, BE。 (A,D,E,B在一直线上).计算隧道DE的长
B
D
A
-
19
C
B
A C
ACD 90o，BCD 60o， D BDC75o，ADC30o，
CD= 3
略解：△ACD中，利用正弦定理可求得AD=3， △BCD中，利用正弦定理可求BD= 2 。 由余弦定理在△ABD中可求AB= 5。
-
20
[例] (2010·陕西高考)如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3＋ 3)海 里的两个观测点．现位于 A 点北东 45°，B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出 求救信号，位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前 往营救，其航行速度为 30 海里/小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？
1.2解斜三角形应用举例教案(一)
1.2解斜三角形应用举例 教案（一）教学目标：1．掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法；2．懂得解三角形知识在实际中有着广泛的应用，从而培养学生分析问题、 解决问题的能力；3．规范学生的演算过程：逻辑严谨，表述准确，算法简练，书写工整，示意图教学重、难点：1．正弦定理及余弦定理的综合应用；2．数学建模。
教学过程：（一）复习：正弦定理及余弦定理。
（二）新课讲解：例1 假定自动卸货汽车装有一车货物，货物与车箱的底部的滑动摩擦系数为0.3，油泵顶点B 与车箱支点A 之间的距离为1.95米，AB 与水平线之间的夹角为620'，AC 长为1.40米，求货物开始下滑时BC 的长。
解： 设车箱倾斜角为θ，货物重量为m kg ， ∴cos f N mg μμθ==，当cos sin mg mg μθθ≤即θμtan ≤时货物下滑， 令θμtan =，得θtan 3.0=，∴'42163.0arctan==θ， 又∵'0223'206'4216=+， 在ABC ∆中，BAC AC AB AC AB BC ∠⋅-+=cos 2222 221.95 1.402 1.95 1.40cos 2302'0.7365=+-⨯⨯⨯=, 所以，0.859BC =()m ．例2 如图，一鱼船在海上由西向东航行，在A 处望见灯塔C 在船的东北方向，半小时后在B 处望见灯塔在船的北偏东30，若船速每小时30海里，当船行至D 处望见灯塔在船的西北方向时，求AD 两点的距离。
（精确到0.1，提供数据1.732==）解：300.515AB =⨯= 9030120ABC ∠=+=，∴180(12045)15ACB ∠=-+=，由正弦定理得：sin sin AB ACACB ABC =∠∠， ∴sin 15sin12050.19sin sin15AB ABC AC ACB ⋅∠===∠， 又∵180(4545)90ACD ∠=-+=，∴50.1971.0sin sin 45AC AD D ==≈（海里）答：AD 两点的距离为71.0海里。
解三角形应用举例
B C
α β
A
D
BC AB = sin(α β ) sin(90 + β )
BC sin(90 + β ) BC cos β = 所以，AB = sin(α β ) sin(α β )
解RtABD, 得 BC cos β sin α BD = AB sin ∠BAD = sin(α β ) 28 cos 30 sin 60 = sin(60 30 ) = 42(m)
视 线
N 仰角 俯角
水平线
方位角 60度
目标方向线
视 线
二、例 题 讲 解
例2、如图，要测底部不能到达的烟囱的高 ，从与烟囱底部在 、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB， 间的距离是12m.已知测角仪器高 已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。 求烟囱的高。 ， 间的距离是 求烟囱的高 β = 60° CD间的距离是 已知测角仪器高 想一想 图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 几何图形？已知什么， 求什么？ 求什么？
a sin β AC = sin(α β ) a sin α sin β AB = AE + h = AC sin α + h = +h sin(α β )
ห้องสมุดไป่ตู้
练习: 在山顶铁塔上B处测得地面 练习 在山顶铁塔上 处测得地面 上一点A的俯角 的俯角α＝ ° 上一点 的俯角 ＝ 60° ，在塔底 C处测得 处的俯角 ＝30°。已 处测得A处的俯角 处测得 处的俯角β＝ ° 知铁塔BC部分的高为 部分的高为28m，求出 知铁塔 部分的高为 ， 山高CD. 山高 分析：根据已知条件， 分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或 的长 法计算出 或AC的长 解：在⊿ABC中， 中 ∠BCA=90°+β, ° ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α° β, ∠BAD=α.根据正弦定理， 根据正弦定理， 根据正弦定理
最新1.2解三角形应用举例PPT课件
A 50
784
B 2 C8 ∴我舰的追击速度为14海里/小时，
40 B
பைடு நூலகம்在△ABC中由正弦定理得：
A C BC 故 sB i n A sC A i n 53
sB in sA in
BC 14
B38
故我舰航行的方向为北偏东 503812
总结
实际问题 实际问题的解
抽象概括 示意图
还原说明
数学模型 推演 理算 数学模型的解
解：在⊿ABC中， ∠A=15°, ∠C=25°15°=10°.
根据正弦定理，
BC AB sinA sinC
B C A ssiC B iA nn 5 s s1 i1 in n 0 5 7 .45 (k2 )m .
CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m)
答：山的高度约为1047米。
2 a km
练习2.一艘船以32.2n mile / hr的速度向正 北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔 在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这 艘船可以继续沿正北方向航行吗？
解：在ASB中，SBA＝115， S 45，由正弦定理得
人教版全日制普通高中课程标准实验教科书地 理必修1
气压带和风带
▪
主讲：张 丽 玲
▪
漳州市第二中学
说课内容
▪ 一 教材分析 ▪ 二 教法分析 ▪ 三 学法分析 ▪ 四 教学程序
一 教材分析
▪ 1. 教材的地位与作用 ▪ 2. 教学目标 ▪ 3. 教材重点与难点
1.1教材地位与作用
▪ 本章内容是在热力环流的基础上进行的，是 指导气候的重要原理。