4、解三角形应用举例(距离)
解斜三角形
1 2 sin B sin C = a 2 sin A
求证：a = b cos C + c cos B(课本18页第三题).
证明： sin A = sin(180° − A) = sin( B + C ) ∵
∴ sin A = sin B cos C + cos B sin C
a b c = cos C + cos B 2R 2R 2R
解三角形的应用. 解三角形的应用.
南偏西50°相距12海里 海里B处 例2、我舰在敌岛 南偏西 °相距 海里 处， 、我舰在敌岛A南偏西 发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里 海里/ 发现敌舰正由岛沿北偏西 °的方向以 海里 时的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰 小时追上敌舰， 时的速度航行，我舰要用 小时追上敌舰，则需 C 要的速度大小为 。
B D A C
分析：在四边形ABCD中欲求AB长 分析：在四边形ABCD中欲求AB长，只能去解三 ABCD中欲求AB 角形， AB联系的三角形有 ABC和 ABD， 联系的三角形有△ 角形，与AB联系的三角形有△ABC和△ABD，利 用其一可求AB AB。 用其一可求AB。
略解：Rt △ACD中，AD=1/cos30o ACD中
基本概念和公式.
海上有A、 两个小岛相距 海里， 两个小岛相距10海里 例1海上有 、B两个小岛相距 海里，从 海上有 A岛望 岛和 岛成 °的视角，从B岛望 岛望C岛和 岛成60°的视角， 岛望 岛和B岛成 岛望 C岛和 岛成 °的视角，那么 岛和 岛 岛和A岛成 岛和C岛 岛和 岛成75°的视角，那么B岛和 间的距离是 。
B间的距离？ 间的距离？
B A
想一想： 如何测定河两岸两点A、 想一想： 如何测定河两岸两点A
高中数学(人教A版)解三角形——应用举例之空间距离问题
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解析：在△ACD 中，∠DAC＝30° ， ∠ADC＝60° －∠DAC ＝30° ， 所以 CD＝AC＝0.1， 又∠BCD＝180° －60° －60° ＝60° ， 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BD＝BA， AB AC 在△ABC 中， ＝ ， sin ∠BCA sin ∠ABC ACsin 60° 3 2＋ 6 即 AB＝ ＝ ， sin 15° 20 3 2＋ 6 因此，BD＝ ≈0.33 km， 20 故 B、D 的距离约为 0.33 km.
解析：在△BCD 中，∠CBD＝π－α－β. BC CD 由正弦定理，得 ＝ . sin ∠BDC sin ∠CBD CDsin ∠BDC s· sin β 所以 BC＝ ＝ . sin ∠CBD sin α＋β s· tan θsin β 在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan ∠ACB＝ . sin α＋β
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一、选择填空题 1．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现 要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长( ) A．1公里 C.cos 10° 公里 B．sin 10° 公里 D．cos 20° 公里
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解析：如上图所示，在△ABC中，∠CAB＝15°，
∠ACB＝30°－15°＝15°，∴BC＝AB＝5 km，
在Rt△BCD中， CD＝BC×tan ∠DBC≈BC×tan 8°≈0.7025 km ≈703(m)． 答：山的高度约为703米．
解三角形应用举例
解三角形应用举例一、测量距离问题例1(1)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为km.答案6 4解析∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝DCsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB＝64km.∴A，B两点间的距离为64km.(2)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为m.答案900解析由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ ＝PA.在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900(m)，故PQ＝900 m，∴P，Q两点间的距离为900 m.二、测量高度问题例2如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B 两点间的距离为60 m，则树的高度为m.答案30＋30 3解析在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB ＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－2 4，由正弦定理得PB sin 30°＝AB sin 15°， 所以PB ＝12×606－24＝30(6＋2)， 所以树的高度为PB ·sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m ). 三、测量角度问题例3 已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇.岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？⎝⎛⎭⎫参考数据：sin 38°≈5314，sin 22°≈3314 解 如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为x 海里/小时，结合题意知BC ＝0.5x ，AC ＝5，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°.由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·ACcos 120°，所以BC 2＝49，所以BC ＝0.5x ＝7， 解得x ＝14.又由正弦定理得sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC＝5×327＝5314， 所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD ，故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船. 素养提升 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征.从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养.。
人教a版必修五课件：解三角形-应用举例：距离问题(59页)
(4)给出答案． 应用性ห้องสมุดไป่ตู้题在解题中往往会遇到一些非整数值(如带有 根号的数，不可约分的分数，小数等)，一般在运算过程中 不要急于查表或取值，而应保留其原来的形式，直到最后 才进行一次近似计算．这样不仅使保留的结果准确程度 高，而且有时运算也会简便些．
2．某人在平地上散步，已知正西方向有两根相距为6 m的标杆，当他向正北方向步行1 min后，看到一根标杆在 其西南方向，一根标杆在其南偏西30° 方向，求此人步行的 速度．(结果保留一位小数)
测量的精确度越高．
思考感悟
1．应用解三角形的知识解实际问题的步骤
提示：在应用解三角形的知识解决实际问题时，要分 析和研究问题中涉及的三角形，要明确它的哪些元素是已 知的，哪些元素是未知的，应该选用正弦定理还是余弦定 理进行求解． 应用解三角形的知识解实际问题的解题步骤是：
(1)根据题意作出示意图； (2)确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的 已知元素和未知元素； (3)选用正弦定理或余弦定理(有时需正、余弦定理并用) 进行求解，并注意运算的正确性；
类型二 [例2]
测量两个不可到达的点之间的距离 在一次反恐作战战前准备中，为了弄清基地组
3 织两个训练营地A和B之间的距离，盟军在两个相距为 a 2 的观测点C和D处，测得∠ADB＝30° ，∠BDC＝30° ，∠ DCA＝60° ，∠ACB＝45° ，如图所示．求基地组织的这两 个训练营地之间的距离．
变式训练1 在题设条件不变的情况下，求水田的宽 度．
解：过B作BD⊥AC，在Rt△BDA及Rt△BDC中 BD BD AD＝tan30° ，CD＝tan45° . BD BD 又AC＝AD＋CD＝tan30° ＋tan45° ＝8， 8 ∴BD＝ ＝4( 3－1) (m)． 3＋1 即水田的宽度为4( 3－1)米．
解三角形(4)---解三角形应用举例
解三角形(4)---解三角形应用举例例1、如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=︒51，∠ACB=︒75．求A 、B 两点的距离（精确到0.1m ）启发提问1：∆ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边。
解：根据正弦定理，得ACB AB ∠sin = ABCAC ∠sin AB =ABC ACB AC ∠∠sin sin =ABC ACB ∠∠sin sin 55 = )7551180sin(75sin 55︒-︒-︒︒ =︒︒54sin 75sin 55 ≈ 65.7(m) 答：A 、B 两点间的距离为65.7米变式练习：两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东30︒，灯塔B 在观察站C 南偏东60︒，则A 、B 之间的距离为多少？（画图建立数学模型。
答案：2a km ）例2、如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法。
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题．首先需要构造三角形，所以需要确定C 、D 两点．根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和BC ，再利用余弦定理可以计算出AB 的距离．解：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD=a ，并且在C 、D 两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA =δ，在∆ADC 和∆BDC 中，应用正弦定理得：AC = )](180sin[)sin(δγβδγ++-︒+a = )sin()sin(δγβδγ+++a BC = )](180sin[sin γβαγ++-︒a = )sin(sin γβαγ++a 计算出AC 和BC 后，再在∆ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离AB =αcos 222BC AC BC AC ⨯-+ 分组讨论：还没有其它的方法呢？变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠BCA=60︒，∠ACD=30︒，∠CDB=45︒，∠BDA =60︒（画图建立数学模型。
在生活中应用全等三角形测距离
在生活中应用全等三角形测距离在现实生活中，有很多问题需要用全等三角形的知识来解决。
下面，我们举例谈谈怎样构造全等三角形，测量两地的距离，看看在实际生活中的应用。
例1：有一池塘，要测池塘两端A、B间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA，连结BC并延长到E，使CE=CB，连结DE，量出DE的长，这个长就是A、B之间的距离。
（1）按题中要求画图。
（2）说明DE=AB的理由，并试着把说明的过程写出来。
解：（1）如图1。
（2）因为在△ABC和△DEC中，CA CDACB DCECB CE所以△ABC≌△DEC所以DE=AB例2、如图2，某同学把一块三角形的玻璃摔成了三块，现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以（）A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去。
析解：怎样做一个三角形与已知三角形全等，可以依据全等三角形的判定方法进行具体分析，题目中的一块三角形的玻璃被摔成三块，其中①仅留一个角，仅凭一个角无法做出全等三角形；而②没边没角；③存在两角和夹边，于是根据“ASA”不难做出与原三角形全等的三角形。
故应选C。
例3、如图3、小红和小亮两家分别位于A、B两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案。
分析：本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，使一个三角形在河岸的同一边，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，就可求出两家的距离。
方案：如图3，在点B所在的河岸上取点C，连结BC并延长到D，使CD=CB，利用测角仪器使得∠B=∠D，A、C、E三点在同一直线上。
测量出DE的长，就是AB的长。
因为∠B=∠D，CD=CB，∠ACB=∠ECD，所以△ACB≌△ECD所以AB=DE。
例4、如图4，点C是路段AB的中点，两人从C点同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到过D、E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E到路段AB 的距离相等吗？为什么？分析：因为两人是以相同的速度从点C同时出发，且同时到达D、E两点，所以CD=CE。
解三角形应用举例
B C
α β
A
D
BC AB = sin(α β ) sin(90 + β )
BC sin(90 + β ) BC cos β = 所以，AB = sin(α β ) sin(α β )
解RtABD, 得 BC cos β sin α BD = AB sin ∠BAD = sin(α β ) 28 cos 30 sin 60 = sin(60 30 ) = 42(m)
视 线
N 仰角 俯角
水平线
方位角 60度
目标方向线
视 线
二、例 题 讲 解
例2、如图，要测底部不能到达的烟囱的高 ，从与烟囱底部在 、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB， 间的距离是12m.已知测角仪器高 已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。 求烟囱的高。 ， 间的距离是 求烟囱的高 β = 60° CD间的距离是 已知测角仪器高 想一想 图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 几何图形？已知什么， 求什么？ 求什么？
a sin β AC = sin(α β ) a sin α sin β AB = AE + h = AC sin α + h = +h sin(α β )
ห้องสมุดไป่ตู้
练习: 在山顶铁塔上B处测得地面 练习 在山顶铁塔上 处测得地面 上一点A的俯角 的俯角α＝ ° 上一点 的俯角 ＝ 60° ，在塔底 C处测得 处的俯角 ＝30°。已 处测得A处的俯角 处测得 处的俯角β＝ ° 知铁塔BC部分的高为 部分的高为28m，求出 知铁塔 部分的高为 ， 山高CD. 山高 分析：根据已知条件， 分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或 的长 法计算出 或AC的长 解：在⊿ABC中， 中 ∠BCA=90°+β, ° ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α° β, ∠BAD=α.根据正弦定理， 根据正弦定理， 根据正弦定理
_解三角形应用举例课堂使用
③两点都不能到达
二、练习
（2009 湖北卷文）在锐角△ ABC 中，a、b、c 分别为 1. 角 A、B、C 所对的边，且 3a 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小： (Ⅱ)若 c＝ 7
3 3 ,且△ABC 的面积为 2 ,求 a＋b 的值。
2.在△ABC中,设角A ,B,C的对应边分别为a,b,c且 cos C 3a c 2 2 cos B b 3 (1)求sinB的值; (2)若b= 4 2 且a=c,求△ABC的面积 8 2
5 3 sin 38 14
0
45
75
解：设巡逻船沿AB方向经过x小时后在B处 追上走私船，则CB 10 x, AB 14 x, AC 9 0 0 0 ACB 75 45 120 由余弦定理得AB 2 AC 2 BC 2 2 AC BC cos1200
B
取某一点C , 测量得出 AC, BC距离为b, a以及 角C为，则
由余弦定理得：
A
a
b
C
AB a b 2abcos
2 2
变式2.如图河流的一岸有条公路，一辆汽车在公路上匀速 行驶，某人在另一岸的C点看到汽车从A 点到B点用了t秒，请你设计方案求 B 汽车的速度？
A
C
分析：用例1的方法，可以计算出AC,BC的 距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦 定理可以计算出A、B两点间的距离。
在RT ACE中，AE AC sin
a sin sin sin
AB AE BE
例3、某巡逻艇在A处发现北偏东450相距9海里的C处有 一艘走私船，正沿南偏东750的方向以10海里/小时的速 度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿 着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要 多少时间才追赶上该走私船？
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题，让同学们感受 到数学在推动历 史、推动人类进步
呼应
上的无可取代的 价值，彰显数学的
无穷魅力。
3
课后 小结 巩固 练习
课后练习：1、预习下节内容 2、教材 13 页练习题第一题。
预习下节课 内容，不仅有利于 下节课知识的理 解，同时更培养学 生自主学习、自主 思考的能力。做学 习的主人。
4
情感态度与价值观：使学生了解数学来源于生活，同时 又服务于生活，数学不仅不高冷神秘，更是与我们的生产生 活息息相关，不可分割。
重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐 教学重难
个解决三角形，得到实际问题的解。 点：
难点：根据题意建立数学模型，画出示意图
1
教学过程：
教学 环节
教学内容
师生活动
3、学生在学习方面可能遇到的困难和问题：从书本知 识到实际问题之间的跨越。实际问题比纯理论的数学问题在 背景和数据上往往更加复杂。
4、课堂生成期望值：能自主设计方案解决生活中测量 距离的问题。
知识与技能：能够运用正余弦定理解决有关测量距离的 实际问题，了解常用的测量相关术语。
过程与方法: 结合学生的实际情况，采用“提问—思考 —探索—总结—反馈”的教学过程，同时通过多媒体直观演 教学目标： 示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。
数学 建模 解决
两点在河的两岸，要测量两点 之间的距离，测量者在 A 的同 侧，在所在的河岸边选定一点 C ， 测 出 AC 的 距 离 是 55m ， BAC 75 , ACB 45 。求 A、B 两点的距离(精确到 0.1m)
学生分组讨论自主 探究 ，教师巡视指导。
老师引导学 生画图解题。体会 数学建模的思想 方法。
设计意图
“遥不可及的月亮离我们
地球究竟有多远？”在古代，
天文学家没有先进的仪器就已
经估算出了两者的距离，是什
么神奇的方法探索到这个奥秘
制造 悬念 引入 课题
的呢？ 我们知道，对于未知的距
离、高度等，存在着许多可供 选择的测量方案，比如可以应 用全等三角形、相似三角形的 方法，或借助解直角三角形等 等不同的方法，但由于在实际
第一届中小学青年教师教学竞赛教学片段设计表
教学标题： 解三角形的应用举例---距离问题（新授课）
1、知识点分析： 本节内容节选自必修 5 第一章第二节 应用举例第一课时。利用正余弦定理解决生活中不可到达点 的距离的测量问题。
2、学生的知识储备：已熟练掌握使用正余弦定理解三 角形及相关推论。 学情分析：
启发学生进行热烈 的讨论，生活中还有哪 些不可到达，可是又需 要计算距离的实例。
通过引言，让 学生感受到解三 角形在生活中的 广泛应用，激发学 生对于本堂课内 容的浓厚兴趣。
测量问题的真实背景下，上述
方法存在特殊性，不能完全实
施。今天我们就来学习更一般
的在实践中使用正弦定理和余
弦定理解决实际问题。
提问：如图所示，设 A、B
2
问题
在研究三角
形时，灵活根据两
个定理可以寻找
问题 1：如果，A,B 两点都
到多种解决问题
在河的对岸（不可到达），设
一题 计一种测量 A、B 两点间距离的
的方案，但有些过 学生分组讨论自主 程较繁复，如何找
多变 方法。
探究 ，教师总结规律。 到最优的方法，最
总结 规律
问题 2：请同学们想一想， 还有别的测量方法吗？
主要的还是分析 两个定理的特点， 结合题目条件来
选择最佳的计算
方式。
将整堂课前
后呼应，通过解决
同学们感兴趣的
解决
小结本节课的知识收获，
多媒体展示，历史 生产生活实际问
问题 前后
同时介绍历史上比较著名的测 量月球到地球距离的例子，并 解决课堂开始提出的疑惑。
பைடு நூலகம்
上著名的测量月地距离 的实例，并结合本节内 容分析。