【高考数学】2018-2019学年数学高考江苏专版二轮专题复习训练：14个填空题综合仿真练(四)-含解析
2019届江苏高考数学14个填空题综合仿真训练(3)(含解析)
1．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0是________命题(选填“真”或“假”)．2．已知集合A ＝{1,3}，B ＝{1,2，m }，若A ⊆B ，则实数m ＝________.3．已知复数z ＝3－i 1＋i，其中i 为虚数单位，则复数z 的模是________． 4．某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________．5．如图是给出的一种算法，则该算法输出的t 的值是________． t ←1i ←2While i ≤4t ←t ×ii ←i ＋1End WhilePrint t6．男队有号码1,2,3的三名乒乓球运动员，女队有号码为1,2,3,4的四名乒乓球运动员，现两队各出一名运动员比赛一场，则出场的两名运动员号码不同的概率为________．7．等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13＝________.8．将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，可得函数g (x )＝sin 2x －cos 2x 的图象，则φ的最小值为________．9．已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥母线的长度取最小值时，该圆锥的体积为________．10.如图，点A ，B 分别在x 轴与y 轴的正半轴上移动，且AB ＝2，若点A 从(3，0)移动到(2，0)，则AB 的中点D 经过的路程为________．11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，D 是BC 的中点，E是AB 的中点，P 是△ABC (包括边界)内任一点．则AD ―→·EP ―→的取值范围是________．12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，A ，B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，直线P A ，PB 的倾斜角分别为α，β，则cos (α－β)cos (α＋β)＝________. 13．已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ ―→＝23AP ―→＋13AC ―→，则|BQ ―→|的最小值是__________． 14．已知函数f (x )满足f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ．若在区间⎣⎡⎦⎤13，3上，函数g (x )＝f (x )－ax 恰有一个零点，则实数a 的取值范围是________．1．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0是________命题(选填“真”或“假”)．解析：由x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2≥0，得∃x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0是真命题．答案：真2．已知集合A ＝{1,3}，B ＝{1,2，m }，若A ⊆B ，则实数m ＝________.解析：由A ⊆B 知m ∈A 且m ≠1，所以m ＝3.答案：33．已知复数z ＝3－i 1＋i，其中i 为虚数单位，则复数z 的模是________． 解析：法一：因为z ＝3－i 1＋i ，所以|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－i 1＋i ＝|3－i||1＋i|＝102＝ 5. 法二：因为z ＝3－i 1＋i＝(3－i )(1－i )2＝1－2i ，所以|z |＝12＋(－2)2＝ 5. 答案： 54．某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________．解析：样本中教师抽160－150＝10人，设该校教师人数为n ，则10n ＝1603 200，所以n ＝200. 答案：2005．如图是给出的一种算法，则该算法输出的t 的值是________． t ←1i ←2While i ≤4t ←t ×ii ←i ＋1End WhilePrint t解析：当i ＝2时，满足循环条件，执行循环t ＝1×2＝2，i ＝3；当i ＝3时，满足循环条件，执行循环t ＝2×3＝6，i ＝4；当i ＝4时，满足循环条件，执行循环t ＝6×4＝24，i ＝5；当i ＝5时，不满足循环条件，退出循环，输出t ＝24. 答案：246．男队有号码1,2,3的三名乒乓球运动员，女队有号码为1,2,3,4的四名乒乓球运动员，现两队各出一名运动员比赛一场，则出场的两名运动员号码不同的概率为________．解析：两队各出一名运动员的基本事件总数n ＝12，出场的两名运动员号码不同的对立事件是出场的两名运动员号码相同，共有3个基本事件，所以出场的两名运动员号码不同的概率P ＝1－312＝34. 答案：347．等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13＝________.解析：由题意及等差数列的性质得5a 7＝100，故a 7＝20,3a 9－a 13＝3(a 1＋8d )－(a 1＋12d )＝2a 7＝40.答案：408．将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，可得函数g (x )＝sin 2x －cos 2x 的图象，则φ的最小值为________．解析：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8， g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8，故将函数f (x )向右平移π4＋k π，k ∈Z 个单位可得g (x )的图象，因为φ>0，故φ的最小值为π4. 答案：π49．已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥母线的长度取最小值时，该圆锥的体积为________．解析：设圆锥的底面半径为r ，圆锥的高为h ，则有1r 2＋1h 2＝1，而母线长l ＝r 2＋h 2， 则l 2＝(r 2＋h 2)⎝⎛⎭⎫1r 2＋1h 2≥4，即可得母线最小值为2，此时r ＝h ＝2，则体积为13πr 2h ＝13(2)3π＝223π. 答案：223π 10.如图，点A ，B 分别在x 轴与y 轴的正半轴上移动，且AB ＝2，若点A 从(3，0)移动到(2，0)，则AB 的中点D 经过的路程为________．解析：连结D ′O ，DO (图略)，由题意得OD ＝OD ′＝1，故点D 的运动轨迹是以O 为原点，1为半径的圆，即点D 的运动轨迹方程为x 2＋y 2＝1，点D ⎝⎛⎭⎫32，12，点D ′⎝⎛⎭⎫22，22，则∠D ′Ox ＝π4，∠DOx ＝π6，所以∠D ′OD ＝π12，所以点D 经过的路程为D ′D 的长，为π12. 答案：π1211．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，D 是BC 的中点，E 是AB 的中点，P 是△ABC (包括边界)内任一点．则AD ―→·EP ―→的取值范围是________．解析：以C 为坐标原点，CB ，CA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,4)，B (2,0)，E (1，2)，D (1，0)，设P (x ，y )，则AD ―→·EP ―→＝(1，－4)·(x －1，y －2)＝x －4y ＋7，令z ＝x －4y ＋7，则y ＝14x ＋7－z 4，作直线y ＝14x ， 平移直线y ＝14x ，由图象可知当直线y ＝14x ＋7－z 4， 经过点A 时，直线的截距最大，但此时z 最小，当直线经过点B 时，直线的截距最小，此时z 最大．即z min ＝－4×4＋7＝－9，z max ＝2＋7＝9，即－9≤AD ―→·EP ―→≤9.故AD ―→·EP ―→的取值范围是[－9,9]． 答案：[－9,9] 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，A ，B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，直线P A ，PB 的倾斜角分别为α，β，则cos (α－β)cos (α＋β)＝________.解析：由题意可知A (－a,0)，B (a,0)，设P (x 0，y 0)，则k P A ·k PB ＝y 20x 20－a 2，又y 20＝b 2－b 2a 2·x 20，所以k P A ·k PB ＝－b 2a 2，即tan αtan β＝－b 2a 2.又e ＝c a ＝ a 2－b 2a 2＝32，所以－b 2a 2＝－14，即tan αtan β＝－14，所以cos (α－β)cos (α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βcos αcos β－sin αsin β＝1＋tan αtan β1－tan αtan β＝35. 答案：3513．已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ ―→＝23AP ―→＋13AC ―→，则|BQ ―→|的最小值是__________． 解析：以点A 为坐标原点，AB 为x 轴正半轴，使得C 落在第一象限，建立平面直角坐标系(图略)，设P (cos α，sin α)，则由AQ ―→＝23AP ―→＋13AC ―→ 得，Q 23cos α＋12，23sin α＋32，故点Q 的轨迹是以D ⎝⎛⎭⎫12，32为圆心，23为半径的圆．又BD ＝7，所以|BQ ―→|的最小值是7－23. 答案：7－2314．已知函数f (x )满足f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ．若在区间⎣⎡⎦⎤13，3上，函数g (x )＝f (x )－ax 恰有一个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤13，1时，1x ∈[1,3]，则f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2ln 1x＝－2ln x ，在同一直角坐标系中作y ＝ln x ，x ∈[1,3]与y ＝－2ln x ，x ∈⎣⎡⎦⎤13，1的图象如图所示，由图象知当y ＝ax 在直线OA 与y ＝ln x ，x ∈[1,3]的切线OB 之间及直线OA上，即k OB <a ≤k OA 时，g (x )＝f (x )－ax 恰有一个零点，由题易知k OA ＝6ln 3，设过原点的直线与y ＝ln x ，x ∈[1,3]的切点为(m ，ln m )，由y ′＝1x ，得k OB ＝1m，故直线的方程为y －ln m ＝1m (x －m )，∵直线过原点，∴ln m ＝1，即m ＝e ，∴k OB ＝1e ，故1e<a ≤6ln 3，又当a ＝0时，g (x )恰有一个零点，故a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤1e ，6ln 3∪{0}． 答案：⎝⎛⎦⎤1e ，6ln 3∪{0}。
江苏省2019高考数学二轮复习自主加餐的3大题型14个填空题综合仿真练七含解析
14个填空题综合仿真练(七)1．已知集合P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{y |y 2－3y －4<0}，则P ∩Q ＝________.解析：由y 2－3y －4<0得，－1<y <4，则Q ＝(－1,4)，而集合P 表示偶数集，故P ∩Q ＝{0,2}．答案：{0,2}2．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则＋z 2＝________.2z解析：＋z 2＝＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i.2z 21＋i 答案：1＋i3．某路段检测点对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为频率分布直方图，如图所示，则车速不小于90 km/h 的汽车约有________辆．解析：车速不小于90 km/h 的频率为(0.01＋0.02)×10＝0.3，车辆数为200×0.3＝60.答案：604．已知正四棱柱的底面边长为3 cm ，侧面四边形的对角线的长度是3 cm ，则这个正5四棱柱的体积是______cm 3.解析：由正四棱柱的底面边长为3 cm ，侧面四边形的对角线的长度是3 cm ，得该正四5棱柱的高为6 cm ，则这个正四棱柱的体积是32×6＝54 (cm 3)．答案：545．已知A ，B ∈{－3，－1,1,2}且A ≠B ，则直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0的概率为________．解析：所有的基本事件(A ，B )为(－3，－1)，(－1，－3)，(－3,1)，(1，－3)，(－3,2)，(2，－3)，(－1,1)，(1，－1)，(－1,2)，(2，－1)，(1,2)，(2,1)，共12种，其中(－3，－1)，(－1，－3)，(1,2)，(2,1)能使直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0，所以所求的概率为P ＝＝.41213答案：136．如图所示的算法流程图，当输入n 的值为10时，则输出S 的值为________．解析：根据算法流程图执行程序循环结果依次为：n 1098765432S101927344045495254当n ＝1时，结束循环，故输出的S ＝54.答案：547．若a >0，b >2，且a ＋b ＝3，则使得＋取得最小值时，实数a ＝________.4a 1b －2解析：∵a ＞0，b ＞2，且a ＋b ＝3，∴a ＋b －2＝1，∴[a ＋(b －2)]＝4＋1＋≥5＋2＝9，当(4a ＋1b －2)[4 b －2 a ＋ab －2]4 b －2 a ·a b －2且仅当2(b －2)＝a 时即取等号．联立Error!解得a ＝.23答案：238．若双曲线－＝1(a >0，b >0)的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离x 2a 2y 2b2心率为________．解析：由题意，c －＝2a ，即c 2－2ac －a 2＝0，即e 2－2e －1＝0，解得e ＝1±，又∵e >1，a 2c2故e ＝1＋.2答案：1＋29．已知函数f (x )＝，x ∈R ，则f (x 2－2x )<f (3x －4)的解集是________．x ＋2|x |＋2解析：由题意，f (x )＝Error!故若要使不等式成立，则有Error!得1<x <2.答案：(1,2)10．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝3，且数列{}也为等差数列，则a 11＝S n ________.解析：设等差数列{a n }的公差为d (d >0)，∵a 1＝3，且数列{}为等差数列，S n ∴2＝＋，S 2a 1S 3∴2＝＋，6＋d 39＋3d 即d 2－12d ＋36＝0，解得d ＝6，∴a 11＝3＋10×6＝63.答案：6311．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝4，a sinB ＝3b cos A ，若△ABC 的面积S ＝4，则b ＋c ＝________.3解析：由正弦定理，得sin A sin B ＝sin B cos A ，3又sin B ≠0，∴tan A ＝，∴A ＝.3π3由S ＝bc ×＝4，得bc ＝16，12323由余弦定理得，16＝b 2＋c 2－bc ，∴c 2＋b 2＝32，∴b ＋c ＝8.答案：812．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，设向量c 满足(2a －c )·(3b －c )＝0，则的|c |最大值为________．解析：因为(2a －c )·(3b －c )＝0，所以6a ·b ＋c 2－(2a ＋3b )·c ＝0.又因为a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，所以a ·b ＝0，所以2＝··cos θ(θ为2a ＋3b 与c 夹角)，所|c ||2a ＋3b ||c |以＝·cos θ≤＝＝，即|c |的最大值为.|c ||2a ＋3b ||2a ＋3b |12＋522626答案：2613．设函数f (x )＝Error!则满足f (f (a ))＝2(f (a ))2的a 的取值范围为________．解析：设t ＝f (a )，所以f (f (a ))＝2(f (a ))2可化为f (t )＝2t 2，由函数式得3t －1＝2t 2(t <1)或2t 2＝2t 2(t ≥1)，所以t ＝或t ≥1，即f (a )＝或f (a )≥1，所以a ＝或a ≥，12121223因此a 的取值范围为∪.{12}[23，＋∞)答案：∪{12}[23，＋∞)14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 1，圆O 2均与x 轴相切且圆心O 1，O 2与原点O 共线，O 1，O 2两点的横坐标之积为6，设圆O 1与圆O 2相交于P ，Q 两点，直线l ：2x －y －8＝0，则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为________．解析：设O 1(x 1，kx 1)，O 2(x 2，kx 2)，P (x 0，y 0)，则圆O 1的方程为(x －x 1)2＋(y －kx 1)2＝(kx 1)2，圆O 2的方程为(x －x 2)2＋(y －kx 2)2＝(kx 2)2，将点P (x 0，y 0)的坐标代入可得(x 0－x 1)2＋(y 0－kx 1)2＝(kx 1)2，①(x 0－x 2)2＋(y 0－kx 2)2＝(kx 2)2.②①－②得2x 0＋2ky 0＝x 1＋x 2.③由①得x ＋y ＝2x 1x 0＋2x 1ky 0－x .④202021将③代入④得x ＋y ＝x 1(x 1＋x 2)－x ＝x 1x 2＝6.202021故点P 在圆x 2＋y 2＝6上．又因为圆心O 到直线2x －y －8＝0的距离为，所以点P 与85直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为d －r ＝－.8556答案：－8556。
2019届江苏高考数学14个填空题综合仿真训练(9)(含解析)
1．设全集U ＝{x |x ≥3，x ∈N }，集合A ＝{x |x 2≥10，x ∈N }，则∁U A ＝________.2．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50,150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50,75)中的频数为100，则n 的值为________．3．若复数z 满足z ＋i ＝2＋i i，其中i 为虚数单位，则|z |＝________. 4．在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x 的值为________．5．从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为________．6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝25，则S 7＝________.7.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6.若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A -A 1EF 的体积是________．8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x >0，g (x )，x <0是奇函数，则f (g (－2))＝________. 9．如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π6，0中心对称，则|φ|的最小值为________．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA ―→＝(－1，t )，OB ―→＝(2,2)，若∠ABO ＝90°，则实数t的值为________．11．已知正实数a ，b 满足9a 2＋b 2＝1，则ab 3a ＋b的最大值为________． 12．已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝2(n ∈N *)，则满足1 0011 000<S 2n S n <1110的n 的最大值为________． 13．已知点A (2,3)，点B (6，－3)，点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，若满足等式AP ―→·BP ―→＋2λ＝0的点P 有两个，则实数λ的取值范围是________．14．已知函数f (x )＝e x －ax －1，g (x )＝ln x －ax ＋a ，若存在x 0∈(1,2)，使得f (x 0)g (x 0)<0，则实数a 的取值范围为________．1．设全集U ＝{x |x ≥3，x ∈N }，集合A ＝{x |x 2≥10，x ∈N }，则∁U A ＝________. 解析：∵全集U ＝{x |x ≥3，x ∈N }，A ＝{x |x 2≥10，x ∈N }＝{x |x ≥10，x ∈N }，∴∁U A ＝{x |3≤x ≤10，x ∈N }＝{3}．答案：{3}2．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50,150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50,75)中的频数为100，则n 的值为________．解析：由图可知，在[50,75)上的频率为0.1，所以n ＝1000.1＝1 000. 答案：1 0003．若复数z 满足z ＋i ＝2＋i i，其中i 为虚数单位，则|z |＝________. 解析：由z ＋i ＝2＋i i ，得z ＝2＋i i－i ＝－2i ＋1－i ＝1－3i ，则|z |＝12＋(－3)2＝10. 答案：104．在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x 的值为________．解析：由图可知x 2－2x ＋2＝26，解得x ＝－4或x ＝6，又x <4，所以x ＝－4.答案：－45．从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为________．解析：从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，基本事件总数n ＝15，所取2个数的和能被3整除包含的基本事件有：(1,2)，(1,5)，(2,4)，(3,6)，(4,5)，共有5个，所以所取2个数的和能被3整除的概率P ＝515＝13. 答案：136．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝25，则S 7＝________.解析：设S n ＝An 2＋Bn ，由题知，⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝9A ＋3B ＝9，S 5＝25A ＋5B ＝25，解得A ＝1，B ＝0， ∴S 7＝49.答案：497.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6.若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A -A 1EF 的体积是________．解析：因为在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1∥BB 1，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，BB 1⊄平面AA 1C 1C ，所以BB 1∥平面AA 1C 1C ，从而点E 到平面AA 1C 1C 的距离就是点B 到平面AA 1C 1C 的距离，作BH ⊥AC ，垂足为点H ，由于△ABC 是正三角形且边长为4，所以BH ＝23，从而三棱锥A -A 1EF 的体积VA -A 1EF ＝VE -A 1AF ＝13S △A 1AF ·BH ＝13×12×6×4×23＝8 3. 答案：8 38．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x >0，g (x )，x <0是奇函数，则f (g (－2))＝________. 解析：∵f (x )是奇函数，∴g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－(22－3)＝－1，则f (－1)＝－f (1)＝－(2－3)＝1，故f (g (－2))＝1.答案：19．如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π6，0中心对称，则|φ|的最小值为________．解析：由题意可知当x ＝5π6时，y ＝0， 即有sin ⎝⎛⎭⎫5π3＋φ＝0，解得φ＝k π－5π3，k ∈Z ， 化简得φ＝(k －2)π＋π3，k ∈Z ， 所以|φ|的最小值为π3. 答案：π310．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA ―→＝(－1，t )，OB ―→＝(2,2)，若∠ABO ＝90°，则实数t的值为________．解析：∵∠ABO ＝90°，∴OB ―→·AB ―→＝0，即有OB ―→·(OB ―→－OA ―→)＝0，∴OA ―→·OB ―→＝OB ―→2，代入坐标得－2＋2t ＝8，解得t ＝5.答案：511．已知正实数a ，b 满足9a 2＋b 2＝1，则ab 3a ＋b 的最大值为________． 解析：法一： ab 3a ＋b ≤ab 23ab ＝2·3ab 62≤9a 2＋b 262＝212，当且仅当3a ＝b 时等号成立，又因为9a 2＋b 2＝1，a >0，b >0，所以当a ＝26，b ＝22时，ab 3a ＋b取得最大值为212. 法二：令⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝cos θ，b ＝sin θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则ab 3a ＋b ＝13·sin θcos θcos θ＋sin θ.令t ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，则sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4∈⎝⎛⎦⎤22，1，所以t ∈(1，2]．所以ab 3a ＋b ＝13·(cos θ＋sin θ)2－12cos θ＋sin θ＝16·t 2－1t ＝16⎝⎛⎭⎫t －1t .因为y ＝t －1t 在t ∈(1， 2 ]上单调递增，所以当t ＝2时，ab 3a ＋b取得最大值为212. 答案：21212．已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝2(n ∈N *)，则满足1 0011 000<S 2n S n <1110的n 的最大值为________． 解析：由2a n ＋1＋S n ＝2，①可得当n ≥2时，2a n ＋S n －1＝2.②①－②得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，所以2a n ＋1＝a n .因为a 2＝12，所以a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝12(n ≥2)． 又因为a 2a 1＝12，所以a n ＋1a n ＝12，所以数列{a n }是以1为首项，12为公比等比数列，所以S n ＝1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n ，所以S 2n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫122n ，从而S 2n S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫122n 2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n ＝1－⎝⎛⎭⎫122n 1－⎝⎛⎭⎫12n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12n .由不等式1 0011 000<S 2n S n <1110， 得1 0011 000<1＋⎝⎛⎭⎫12n <1110，所以11 000<⎝⎛⎭⎫12n <110， 解得4≤n ≤9，所以满足条件的n 的最大值为9.答案：913．已知点A (2,3)，点B (6，－3)，点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，若满足等式AP ―→·BP ―→＋2λ＝0的点P 有两个，则实数λ的取值范围是________．解析：设P (x ，y )，则AP ―→＝(x －2，y －3)，BP ―→＝(x －6，y ＋3)，根据AP ―→·BP ―→＋2λ＝0，得(x －4)2＋y 2＝13－2λ⎝⎛⎭⎫λ<132.由题意知圆(x －4)2＋y 2＝13－2λ⎝⎛⎭⎫λ<132与直线3x －4y ＋3＝0相交，即圆心到直线的距离d ＝|3×4－4×0＋3|32＋(－4)2＝3<13－2λ，所以λ<2. 答案：(－∞，2)14．已知函数f (x )＝e x －ax －1，g (x )＝ln x －ax ＋a ，若存在x 0∈(1,2)，使得f (x 0)g (x 0)<0，则实数a 的取值范围为________．解析：若存在x 0∈(1,2)，使得f (x 0)g (x 0)<0，即[e x 0－(ax 0＋1)][ln x 0－a (x 0－1)]<0.在同一直角坐标系下作出函数y ＝e x ，y ＝ax ＋1，y ＝ln x ，y ＝a (x －1)的图象(图略)． 当a <0时，f (x 0)>0，g (x 0)>0恒成立，不满足题意；当a ＝1，x >1时，e x >x ＋1，ln x <x －1恒成立，满足题意；当a >1，x >1时，ln x －a (x －1)<x －1－a (x －1)＝(1－a )(x －1)<0，此时只需存在x 1∈(1,2)，使得e x 1>ax 1＋1，则e 2>2a ＋1，解得a <e 2－12，所以1<a <e 2－12； 当0<a <1，x >1时，e x －(ax ＋1)>x ＋1－(ax ＋1)＝(1－a )x >0，此时只需存在x 2∈(1,2)，使得ln x 2<a (x 2－1)，则ln 2<a (2－1)，解得a >ln 2，所以ln 2<a <1.综上所述，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫ln 2，e 2－12. 答案：⎝⎛⎭⎫ln 2，e 2－12。
2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题专项强化练(四) 导数及其简单应用
14个填空题专项强化练(四) 导数及其简单应用A 组——题型分类练 题型一 导数的概念与运算 1．y ＝ln xx 的导数为________．解析：y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. 答案：1－ln xx 22．已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1.答案：13．若曲线y ＝a cos x ＋1在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线2x ＋y ＋3＝0垂直，则a ＝________. 解析：因为y ＝a cos x ＋1的导函数为y ′＝－a sin x ，所以曲线在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线的斜率为k ＝－a ，由于切线与直线2x ＋y ＋3＝0垂直，则(－a )·(－2)＝－1，即a ＝－12.答案：－124．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)，则f ′(5)＝________. 解析：对f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)求导，得f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)．令x ＝2，得f ′(2)＝－12.再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝6.答案：6题型二 导数与函数的单调性1．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为________．解析：函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，令f ′(x )<0，解得0<x <1，所以单调递减区间是(0,1)．答案：(0,1)2．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx 在区间(－∞，－3)和(2，＋∞)上是增函数，在(－3,2)上是减函数，则ab ＝________.解析：因为f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，由已知条件可得－3,2是f ′(x )＝0的两根，所以a ＝－32，b ＝－18，从而ab ＝27.答案：273．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax ＋3a 在区间[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得，f ′(x )＝x 2＋2x －a ，根据题意知f ′(x )≥0，即x 2＋2x ≥a ，而x 2＋2x ＝(x ＋1) 2－1≥(1＋1) 2－1＝3，所以a ≤3.答案：(－∞，3]4．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝12x 2－9ln x ，所以f ′(x )＝x －9x (x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上f (x )是减函数，所以a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.答案：(1,2]题型三 导数与函数的极值、最值 1．函数y ＝2x －1x2的极大值是________．解析：y ′＝2＋2x 3，令y ′＝0，得x ＝－1.当x <－1时，y ′>0；当－1<x <0时，y ′<0. 所以当x ＝－1时，y 取得极大值－3. 答案：－32．已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1,2)上有极值，则实数a 的取值范围为________．解析：因为函数f (x )在(1,2)上有极值，则需函数f (x )在(1,2)上有极值点．法一：令f ′(x )＝x 2＋2x －2a ＝0，得x 1＝－1－1＋2a ，x 2＝－1＋1＋2a ，因为x 1∉(1,2)，因此则需1<x 2<2，即1<－1＋1＋2a <2，即4<1＋2a <9，所以32<a <4，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，4.法二：f ′(x )＝x 2＋2x －2a 的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝－1，则f ′(x )在(1,2)上是单调递增函数，因此⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3－2a <0，f ′(2)＝8－2a >0，解得32<a <4，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，4.答案：⎝⎛⎭⎫32，43．函数f (x )＝x sin x ＋cos x 在⎣⎡⎦⎤π6，π上的最大值为________． 解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，所以f ′(x )＝0在x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π上的解为x ＝π2.又f ⎝⎛⎭⎫π6＝π12＋32，f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2，f (π)＝－1，所以函数f (x )＝x sin x ＋cos x 在⎣⎡⎦⎤π6，π上的最大值为π2.答案：π24．已知函数f (x )＝a ln x －bx 2的图象在x ＝1处与直线y ＝－12相切，则函数f (x )在[1，e]上的最大值为________．解析：由题意知，f ′(x )＝ax－2bx ，因为函数f (x )＝a ln x －bx 2的图象在x ＝1处与直线y ＝－12相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝a －2b ＝0，f (1)＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12，即函数f (x )＝ln x －x 22.又当x ∈[1，e]时，f ′(x )＝1x －x ≤0， 所以函数f (x )在[1，e]上单调递减， 其最大值为f (1)＝－12.答案：－12B 组——高考提速练1．已知函数f (x )＝4ln x ＋ax 2－6x ＋b (a ，b 为常数)，且x ＝2为f (x )的一个极值点，则a 的值为________．解析：由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， ∵f ′(x )＝4x ＋2ax －6，∴f ′(2)＝2＋4a －6＝0，即a ＝1.答案：12．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝________.解析：∵f ′(0)＝－a sin 0＝0，∴g ′(0)＝2×0＋b ＝0，∴b ＝0， 又m ＝1＝a ，∴a ＋b ＝1. 答案：13．若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝________.解析：依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′| x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝e ，a ＝2e －12.答案：2e －124．函数f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极小值为________． 解析：f ′(x )＝2(x 2＋2)－2x (2x ＋1)(x 2＋2)2＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2. 由f ′(x )<0，得x <－2或x >1. 由f ′(x )>0，得－2<x <1.∴f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上是减函数，在(－2,1)上是增函数， ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－12.答案：－125．已知曲线y ＝a ln x (a ＞0)在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a ＝________.解析：因为y ＝a ln x ，所以y ′＝ax ，所以在x ＝1处的切线的斜率k ＝a ，而f (1)＝a ln 1＝0，故切点为(1,0)，所以切线方程为y ＝a (x －1)．令y ＝0，得x ＝1；令x ＝0，得y ＝－a .所以三角形面积S ＝12×a ×1＝4，所以a ＝8.答案：86．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值为________．解析：求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.则f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x .由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以对m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.答案：－47．已知函数f (x )＝x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，∴函数f (x )的导函数f ′(x )＝1＋a ·cos x ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立．令cos x ＝t ，t ∈[－1,1]，问题转化为g (t )＝at ＋1≥0在t ∈[－1,1]上恒成立，即g (－1)≥0，g (1)≥0成立，所以－1≤a ≤1.答案：[－1,1]8．设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1，2]，都有f (x )>a ，则实数a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝3x 2－x －2， 令f ′(x )＝0，得3x 2－x －2＝0， 解得x ＝1或x ＝－23，故f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－23，(1,2)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－23，1上单调递减，故f (x )在x ＝1处取得极小值，且f (1)＝72，f (－1)＝112，故f (x )min ＝72，所以a <72.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，72 9．f (x )＝13x 3－4x ＋m 的极小值为－43，则m 的值为________．解析：f ′(x )＝x 2－4，当f ′(x )＝0时，x ＝－2或x ＝2. 当f ′(x )<0时，－2<x <2. f ′(x )>0时，x <－2或x >2.∴f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，在(－2,2)上是减函数． ∴f (x )极小值＝f (2)＝13×23－4×2＋m＝－163＋m ＝－43.∴m ＝4. 答案：410．已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )<x 2＋12的解集为________．解析：设F (x )＝f (x )－⎝⎛⎭⎫x 2＋12， 则F (1)＝f (1)－⎝⎛⎭⎫12＋12＝1－1＝0，F ′(x )＝f ′(x )－12，对任意x ∈R ，有F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减，则F (x )<0的解集为(1，＋∞)，即f (x )<x 2＋12的解集为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)11．已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0.若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，则m 的取值范围为________．解析：因为f (x )在x ＝－1处取得极值，所以f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0， 所以a ＝1.所以f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1.故由f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合f (x )的图象(如图所示)可知，实数m 的取值范围是(－3,1)．答案：(－3,1)12．已知函数f (x )，g (x )满足f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，则函数h (x )＝f (x )＋2g (x )的图象在x ＝5处的切线方程为____________________．解析：由h ′(x )＝f ′(x )g (x )－(f (x )＋2)g ′(x )g 2(x )，得h ′(5)＝f ′(5)g (5)－(f (5)＋2)g ′(5)g 2(5)＝3×4－(5＋2)×142＝516.又h (5)＝f (5)＋2g (5)＝5＋24＝74，所以切线方程为y －74＝516(x －5)，即5x －16y ＋3＝0. 答案：5x －16y ＋3＝013．设直线y ＝a 分别与曲线y 2＝x 和y ＝e x 交于点M ，N ，则当线段MN 取得最小值时a 的值为________．解析：由题意，a >0，M (a 2，a )，N (ln a ，a )，故MN 的长l ＝|a 2－ln a |，设f (a )＝a 2－lna (a >0)，所以f ′(a )＝2a －1a ＝2a 2－1a ＝2⎝⎛⎭⎫a ＋22⎝⎛⎭⎫a －22a ，令f ′(a )>0，得a >22，所以f (a )在⎝⎛⎭⎫22，＋∞上单调递增；令f ′(a )<0，得0<a <22，所以f (a )在⎝⎛⎭⎫0，22上单调递减，所以当a ＝22时，f (a )min ＝f ⎝⎛⎭⎫22＝12－ln 22>0，所以l ＝|a 2－ln a |＝a 2－ln a ＝f (a )，所以当a ＝22时，线段MN 的长取得极小值，也是最小值．答案：2214．若函数f (x )＝e x ＋x 3－12x －1的图象上有且只有两点P 1，P 2，使得函数g (x )＝x 3＋m x的图象上存在两点Q 1，Q 2，且P 1与Q 1，P 2与Q 2分别关于坐标原点对称，则实数m 的取值集合是________．解析：设函数f (x )的图象上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则Q 1(－x 1，－y 1)，Q 2(－x 2，－y 2)，故有⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫e x 1＋x 31－12x 1－1＝－x 31＋m －x 1，－⎝⎛⎭⎫e x 2＋x 32－12x 2－1＝－x 32＋m －x 2，即方程－⎝⎛⎭⎫e x ＋x 3－12x －1＝－x 3－m x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两解，即方程x e x －12x 2－x ＝m 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两解，即函数h (x )＝x e x －12x 2－x (x ≠0)的图象与y ＝m 的图象有两个交点，令h ′(x )＝(e x －1)(x ＋1)＝0得，x ＝0(舍去)或x ＝－1，作出函数h (x )图象知，当且仅当x ＝－1时有两解，所以m ＝h (－1)＝e －22e.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫e －22e。
江苏省2019高考数学二轮复习自主加餐的3大题型14个填空题综合仿真练二含解析
14个填空题综合仿真练(二)1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{3,4}，则∁U (A ∪B )＝_________. 解析：因为A ＝{1,4}，B ＝{3,4}， 所以A ∪B ＝{1,3,4}， 因为全集U ＝{1,2,3,4}， 所以∁U (A ∪B )＝{2}． 答案：{2}2．若复数z 满足2z －z i ＝3i(i 为虚数单位)，则z 的虚部为________．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b 为实数)，则2z －z i ＝2a ＋2b i －(a －b i)·i＝(2a －b )＋(2b－a )i ＝3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝0，2b －a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，所以z 的虚部为2.答案：23．某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取________人．解析：设足球兴趣小组中抽取人数为n ，则n 24＝40120，所以n ＝8.答案：84．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为________．解析：由题意，n ＝1，a ＝1，第1次循环，a ＝5，n ＝3，满足a ＜16，第2次循环，a ＝17，n ＝5，不满足a ＜16，退出循环，输出的n 的值为5.答案：55．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为__________．解析：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，基本事件总数n ＝6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：(1,2)，(2,4)，共2个，故这两个数的和为3的倍数的概率P ＝26＝13. 答案：136．“x ＝2k π＋π6，k ∈Z ”是“sin x ＝12”成立的________条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．解析：sin x ＝12⇔x ＝π6＋2k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋2k π，k ∈Z ，所以“x ＝2k π＋π6，k∈Z ”是“sin x ＝12”成立的充分不必要条件．答案：充分不必要7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线C 的离心率为________．解析：由题意，双曲线C 的左焦点到渐近线的距离d ＝bca 2＋b 2＝b ，则b ＝2a ，因此双曲线C 的离心率e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5.答案： 58．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为________．解析：由题意q ≠1，设等比数列的公比为q (q ≠1)， 由a 1＝1，S 4－5S 2＝0，得1－q41－q －5(1＋q )＝0，化简得1＋q 2＝5，解得q ＝±2. ∵数列{a n }的各项均为正数， ∴q ＝2.故S 5＝1－251－2＝31.答案：319.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P BB 1C 1C 的体积为________．解析：因为四棱锥P BB 1C 1C 的底面积为16，高PB 1＝1，所以VP BB 1C 1C ＝13×16×1＝163.答案：16310．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(0≤x <π)，且f (α)＝f (β)＝13(α≠β)，则α＋β＝__________.解析：由0≤x <π，知π3≤2x ＋π3<7π3，因为f (α)＝f (β)＝13<32，所以⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2β＋π3＝2×3π2，所以α＋β＝7π6.611．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥0，－x ＋1，x ＜0.若函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是________.解析：当x <0时，－x >0，故－x ＋1>0， 所以f (－x ＋1)＝x 2－2x ＋1－1＝x 2－2x ， 当x ≥0时，f (x )＝x 2－1，当0≤x <1时，x 2－1<0，故f (x 2－1)＝－x 2＋2，当x ≥1时，x 2－1≥0，故f (x 2－1)＝x 4－2x 2.故f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x <0，－x 2＋2，0≤x <1，x 4－2x 2，x ≥1，作出函数f (f (x ))的图象如图所示，可知当1<k ≤2时，函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点．答案：(1,2]12．已知△ABC 外接圆O 的半径为2，且AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，|AB ―→|＝|AO ―→|，则CA ―→·CB ―→＝__________.解析：由AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，可得OB ―→＋OC ―→＝0，即BO ―→＝OC ―→，所以圆心在BC 中点上，且AB ⊥AC .因为|AB ―→|＝|AO ―→|＝2，所以∠AOC ＝2π3，C ＝π6，由正弦定理得AC sin 2π3＝AOsinπ6，故AC ＝23，又BC ＝4，所以CA ―→·CB ―→＝|CA ―→|·|CB ―→|·cos C ＝4×23×32＝12.答案：1213．设a ，b ，c 是三个正实数，且a (a ＋b ＋c )＝bc ，则ab ＋c的最大值为__________．解析：由a (a ＋b ＋c )＝bc ，得1＋b a ＋c a ＝b a ·c a ，设x ＝b a ，y ＝c a，则x ＋y ＋1＝xy ，ab ＋c＝1x ＋y ，因为x ＋y ＋1＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，所以x ＋y ≥2＋22，所以a b ＋c 的最大值为2－12.214．定义：点M (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的有向距离为ax 0＋by 0＋ca 2＋b 2.已知A (－1,0)，B (1,0)，直线m 过点P (3,0)，若圆x 2＋(y －18)2＝81上存在一点C ，使得A ，B ，C 三点到直线m 的有向距离之和为0，则直线m 的斜率的取值范围为________．解析：设直线m 的斜率为k ，C (x ，y )，则m ：kx －y －3k ＝0.由A ，B ，C 三点到直线m 的有向距离之和为0，得－4kk 2＋1＋－2k k 2＋1＋kx －y －3k k 2＋1＝0，化简得kx －y －9k ＝0.又点C 在圆x 2＋(y －18)2＝81上，所以直线kx －y －9k ＝0与圆有公共点，所以|－18－9k |k 2＋1≤9，解得k ≤－34.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34。
2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题专项强化练(三) 基本初等函数、函数与方程
14个填空题专项强化练(三) 基本初等函数、函数与方程A 组——题型分类练题型一 指数式与对数式 1．log 29·log 34＝________. 解析：log 29·log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. 答案：42．(0.000 1)-14＋2723－⎝⎛⎭⎫4964-12＝________.解析：原式＝(0.14)-14＋(33)23－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫782-12 ＝0.1－1＋32－⎝⎛⎭⎫78－1＝10＋9－87＝1257. 答案：12573．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝________.解析：因为f (－2)＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝6，所以f (－2)＋f (log 212)＝9. 答案：9题型二 指数、对数函数的图象与性质 1．函数y ＝log 12(1－2x )的定义域为__________．解析：由题意得log 12(1－2x )≥0⇒0<1－2x ≤1⇒0≤x <12，因此所求定义域为⎣⎡⎭⎫0，12. 答案：⎣⎡⎭⎫0，12 2．函数f (x )＝a x －1＋3(a >0且a ≠1)的图象所经过的定点为________．解析：当x ＝1时，f (1)＝a 1－1＋3＝a 0＋3＝4，所以函数f (x )＝a x －1＋3的图象一定经过的定点为(1,4)．答案：(1,4) 3．若函数f (x )＝a |2x－4|(a >0，a ≠1)且f (1)＝9，则f (x )的单调递减区间是________．解析：由f (1)＝9得a 2＝9，所以a ＝3.因此f (x )＝3|2x －4|，又因为g (x )＝|2x －4|的递减区间为(－∞，2]，所以f (x )的单调递减区间是(－∞，2]．答案：(－∞，2]4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，log 2(－x )，x <0，若f (m )<f (－m )，则实数m 的取值范围是________．解析：因为f (x )为奇函数，图象如图所示，所以f (m )<f (－m )⇔f (m )<－f (m )⇔f (m )<0.所以m 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)5．若函数f (x )＝log 12|x －1|，则f ⎝⎛⎭⎫－12，f (0)，f (3)的大小关系为____________________． 解析：因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝log 1232，f (0)＝log 121，f (3)＝log 122，且y ＝log 12x 是定义域内的减函数，所以f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)． 答案：f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0) 题型三 函数与方程1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为________．解析：当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点为0.答案：02．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x <0，e x ，x ≥0，则函数g (x )＝f (x )－x －3的零点有________个．解析：作出函数y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x <0，e x ，x ≥0，与y ＝x ＋3的图象如图所示，由图可得函数f (x )的图象与函数y ＝x ＋3的图象有2个交点，故函数g (x )＝f (x )－x －3有2个零点．答案：23．已知函数f (x )＝|x 2－1|x －1－kx 无零点，则实数k 的取值范围是____________．解析：函数f (x )＝|x 2－1|x －1－kx 无零点，也就是|x 2－1|x －1＝kx 没有实数解，在平面直角坐标系中画出y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >1或x <－1，－x －1，－1≤x <1，与y ＝kx 的图象，如图．由图象可知k ∈[－2,0)． 答案：[－2,0)4．已知以T ＝4为周期的函数f (x )＝⎩⎨⎧m 1－x 2，x ∈(－1，1]，1－|x －2|，x ∈(1，3]，其中m ＞0.若方程3f (x )＝x 恰有5个实数解，则m 的取值范围为____________．解析：∵当x ∈(－1,1]时，将函数化为x 2＋y 2m2＝1(y ≥0)，∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当x ∈(1,3]时的图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象．由图易知直线 y ＝x 3与第二个椭圆(x －4)2＋y2m2＝1(y ≥0)相交，而与第三个半椭圆(x －8)2＋y 2m2＝1(y ≥0)无公共点时，方程恰有5个实数解．将y ＝x 3代入(x －4)2＋y 2m 2＝1(y ≥0)得，(9m 2＋1)x 2－72m 2x ＋135m 2＝0，令t ＝9m 2(t ＞0)，则(t ＋1)x 2－8tx ＋15t ＝0，由Δ＝(－8t )2－4×15t ×(t ＋1)＞0，得t ＞15，由9m 2＞15，且m ＞0得m ＞153. 同样由y ＝x 3与第三个椭圆(x －8)2＋y 2m 2＝1(y ≥0)得(9m 2＋1)x 2－144m 2x ＋567m 2＝0，令t ＝9m 2(t >0)， 则(t ＋1)x 2－16tx ＋63t ＝0， 由Δ＝(－16t )2－252t (t ＋1)<0， 得0<t <63，即得m ＜7， 综上可知m ∈⎝⎛⎭⎫153，7. 答案：⎝⎛⎭⎫153，7B 组——高考提速练1．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(9,3)，则α的值为________． 解析：代入点(9,3)，得3＝9α，所以α＝12.答案：122．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，log 2x ，x >0，那么f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫18的值为________． 解析：f ⎝⎛⎭⎫18＝log 218＝－3， f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫18＝f (－3)＝3－3＝127.答案：1273．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －4的定义域为__________． 解析：由题意得⎝⎛⎭⎫12x －4≥0⇒⎝⎛⎭⎫12x ≥4⇒x ≤－2，因此所求定义域为(－∞，－2]． 答案：(－∞，－2]4．已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为____________．解析：由f (x )为奇函数，知g (x )＝xf (x )为偶函数． 因为f (x )在R 上单调递增，f (0)＝0， 所以当x >0时，f (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )>0. 又a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)， 20．8<2＝log 24<log 25.1<log 28＝3， 所以b <a <c . 答案：b <a <c5．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是______________．解析：由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，所以1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.答案：(－2，－1)∪(1，2)6．对任意的非零实数a ，b ，若a ⊗b ＝⎩⎨⎧b －1a ，a <b ，a ＋1b ，a ≥b ，则lg 10 000⊗⎝⎛⎭⎫12－2＝________.解析：因为lg 10 000＝lg 104＝4，⎝⎛⎭⎫12－2＝4， 所以lg 10 000⊗⎝⎛⎭⎫12－2＝4＋14＝54. 答案：547．函数y ＝⎝⎛⎭⎫122x+2x-1的值域是________．解析：设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝⎝⎛⎭⎫12t .因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2，y ＝⎝⎛⎭⎫12t为关于t 的减函数， 所以0<y ＝⎝⎛⎭⎫12t ≤⎝⎛⎭⎫12－2＝4， 故所求函数的值域为(0,4]． 答案：(0,4]8．已知a >0，且a ≠1，若函数f (x )＝2a x －4在区间[－1，2]上的最大值为10，则a ＝________.解析：若a >1，则函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，当x ＝2时，f (x )取得最大值f (2)＝2a 2－4＝10，即a 2＝7，又a >1，所以a ＝7.若0<a <1，则函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，当x ＝－1时，f (x )取得最大值f (－1)＝2a －1－4＝10，所以a ＝17.综上所述，a 的值为7或17.答案：7或179．若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为____________．解析：由题意知，唯一零点为0，则02－m cos 0＋m 2＋3m －8＝0，解得m ＝－4或2. 答案：{－4,2}10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0满足f (0)＝1，且f (0)＋2f (－1)＝0，那么函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．解析：因为f (0)＝1，所以c ＝1. 又因为f (0)＋2f (－1)＝0，所以f (－1)＝－1－b ＋1＝－12，得b ＝12.所以当x >0时，g (x )＝2x －2＝0有唯一解x ＝1； 当x ≤0时，g (x )＝－x 2＋32x ＋1，令g (x )＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝－12，即g (x )＝0有唯一解．综上可知，g (x )＝f (x )＋x 有2个零点． 答案：211．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－2x ＋1，x ≥1，(a 2－1)e x －1，x <1在(－∞，＋∞)上单调，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＝0时，显然满足题意．当a >0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a ≤1，a 2－1>0，a －2＋1≥a 2－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1或a <0，a >1或a <－1，0≤a ≤1，无解．当a <0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a ≤1，a 2－1<0，a －2＋1≤a 2－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1或a <0，－1<a <1，a ≤0或a ≥1，所以－1<a <0.综上，实数a 的取值范围为(－1,0]． 答案：(－1,0]12．已知函数f (x )＝log 3x ＋1x －1，平行四边形ABCD 四个顶点都在函数f (x )的图象上，且A (2,1)，B ⎝⎛⎭⎫54，2，则平行四边形ABCD 的面积为__________．解析：奇函数f (x )＝log 3x ＋1x －1的对称中心为O (0,0)，也为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以平行四边形ABCD 的面积为三角形OAB 的面积的四倍，由cos ∠AOB ＝OA ―→·OB―→|OA ―→|·|OB ―→|＝18445⇒sin ∠AOB ＝11445⇒S △OAB ＝12|OA ―→|·|OB ―→|sin ∠AOB ＝118，从而平行四边形ABCD 的面积为112.答案：11213．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －x 2，x ≥0，3x ，x <0，若函数g (x )＝|f (x )|－3x ＋b有三个零点，则实数b 的取值范围为________．解析：令g (x )＝|f (x )|－3x ＋b ＝0，则b ＝3x －|f (x )|，因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －x 2，x ≥0，3x ，x <0，所以3x －f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧7x －x 2，x >4，x 2－x ，0≤x ≤4，3x ＋3x ，x <0，作出其函数图象如图所示，再作直线y ＝b ，使得它们有3个交点，由图知，实数b 的取值范围为(－∞，－6)∪⎝⎛⎦⎤－14，0. 答案：(－∞，－6)∪⎝⎛⎦⎤－14，0 14．已知a ＞0，函数f (x )＝(a ＋1)x 2－x ＋sin x ＋a －2，x ∈R.记函数f (x )的值域为M ，函数f (f (x ))的值域为N ，若M ⊆N ，则a 的最大值是____________．解析：因为f ′(x )＝2(a ＋1)x －1＋cos x ，[f ′(x )]′＝2(a ＋1)－sin x ＞0恒成立， 所以f ′(x )单调递增，又f ′(0)＝0，所以当x ＜0时，f ′(x )＜0；当x ＞0时，f ′(x )＞0. 即f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．所以f (x )的最小值为f (0)＝a －2，于是f (x )的值域为[a －2，＋∞)． 若a －2≤0，则f (f (x ))的值域为[f (0)，＋∞)， 即[a －2，＋∞)，此时M ⊆N 成立；若a －2＞0，则f (f (x ))的值域为[f (a －2)，＋∞)， 因为 f (a －2)＞f (0)＝a －2，故此时有[f (a －2)，＋∞)[a －2，＋∞)， 即NM ，不合题意．因此0＜a ≤2，所以a 的最大值是2. 答案：2。
江苏省2019高考数学二轮复习自主加餐的3大题型14个填空题综合仿真练六含解析
14个填空题综合仿真练(六)1．已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，M ＝{x |x 2－6x ＋5≤0，x ∈Z }，则∁U M ＝________. 解析：集合U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，M ＝{x |x 2－6x ＋5≤0，x ∈Z }＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z }＝{1,2,3,4,5}，则∁U M ＝{6,7}．答案：{6,7}2．已知复数z ＝2＋i 2－i(i 为虚数单位)，则z 的模为________． 解析：法一：z ＝2＋i 2－i ＝＋25＝35＋45i ， 则|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1. 法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋i 2－i ＝|2＋i||2－i|＝55＝1. 答案：13．用分层抽样的方法从某高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为________．解析：样本中高二年级抽45－20－10＝15人，设该校学生总数为n 人，则45n ＝15300，所以n ＝900.答案：9004．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为________． S ←1I ←1While I ≤8S ←S ＋I I ←I ＋2End WhilePrint S解析：模拟执行程序，可得S ＝1，I ＝1，满足条件I ≤8；S ＝2，I ＝3，满足条件I ≤8；S ＝5，I ＝5，满足条件I ≤8；S ＝10，I ＝7，满足条件I ≤8；S ＝17，I ＝9，不满足条件I ≤8；退出循环，输出S 的值为17.答案：175．设双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为__________．解析：双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的渐近线方程为y ＝±1a x ，则tan 30°＝1a，即a ＝3，则c ＝2，所以e ＝233. 答案：2336．100张卡片上分别写有1,2,3，…，100的数字．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是________．解析：从100张卡片上分别写有1,2,3，…，100中任取1张，基本事件总数n ＝100，所取这张卡片上的数是6的倍数包含的基本事件有：1×6,2×6，…，16×6，共有16个，所以所取这张卡片上的数是6的倍数的概率是P ＝16100＝425. 答案：4257．若一个圆锥的母线长为2，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为________．解析：由圆锥母线长2，可求底面半径为1，故高h ＝3，所以V ＝13×π×12×3＝3π3. 答案：3π38．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6S 3＝－198，a 4－a 2＝－158，则a 3的值为________． 解析：法一：设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，则S 6S 3＝1－q 61－q 3＝1＋q 3＝－198，所以q ＝－32，a 4－a 2＝a 1q 3－a 1q ＝－27a 18＋3a 12＝－158，所以a 1＝1，则a 3＝a 1q 2＝94. 法二：设等比数列{a n }的公比为q ，则S 6S 3＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝a 1＋a 2＋a 3＋a 1q 3＋a 2q 3＋a 3q 3a 1＋a 2＋a 3＝1＋q 3＝－198， 所以q ＝－32， 则a 4－a 2＝a 3q －a 3q ＝－3a 32＋2a 33＝－158， 所以a 3＝94答案：949．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x ln x ，则不等式f (x )<－e 的解集为________．解析：f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，且f (e)＝e ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ，因为f (x )为奇函数，所以f (－e)＝－f (e)＝－e ，故结合函数图象得f (x )<－e 的解集为(－∞，－e)．答案：(－∞，－e)10．若点(x ，y )位于曲线y ＝|2x －1|与y ＝3所围成的封闭区域内(包含边界)，则2x －y 的最小值为________．解析：作出曲线y ＝|2x －1|与y ＝3所围成的封闭区域内(包括边界)如图：设z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，平移直线y ＝2x －z ，由图象可知当直线y ＝2x －z 经过点A 时，直线y ＝2x －z 的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3，y ＝－2x ＋1，解得A (－1,3)，此时z ＝2×(－1)－3＝－5.答案：－511．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ，若f (x －φ)的图象关于y 轴对称⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2，则φ＝________.解析：因为f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x －φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π6.由f (x －φ)的图象关于y 轴对称得，－2φ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，所以－2φ＝π3＋k π(k ∈Z )．又0<φ<π2，所以φ＝π3. 答案：π312．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2＝2，直线x ＋by －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|OA ―→＋OB ―→|≥3|OA ―→－OB ―→|，则b 的取值范围为___________________．解析：设AB 的中点为M ，则|OA ―→＋OB ―→|≥3|OA ―→－OB ―→|⇒2|OM |≥3|2AM |⇒|OM |≥32|OA |＝62，又直线x ＋by －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，所以62≤|OM |<2，而|OM |＝21＋b 2，所以62≤21＋b 2<2⇒1<b 2≤53，解得1<b ≤153或－153≤b <－1，即b 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－153，－1∪⎝ ⎛⎦⎥⎤1，153. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－153，－1∪⎝⎛⎦⎥⎤1，153 13．设实数m ≥1，不等式x |x －m |≥m －2对∀x ∈[1,3]恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：当1≤m ≤2时，不等式x |x －m |≥m －2显然成立；当2<m <3时，令f (x )＝x |x －m |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x m －x ，1≤x <m ，x x －m ，m ≤x ≤3，f (x )min ＝f (m )＝0，故不等式x |x －m |≥m －2不恒成立；当m ≥3时，令f (x )＝x (m －x )，则f (1)＝m －1，f (3)＝3(m －3)，显然m －1>m －2恒成立，令3(m －3)≥m －2，解得m ≥72， 故m 的取值范围为[1,2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞. 答案：[1,2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ 14．在斜三角形ABC 中，若1tan A ＋1tan B ＝4tan C，则sin C 的最大值为________． 解析：由1tan A ＋1tan B ＝4tan C， 得cos A sin A ＋cos B sin B ＝4cos C sin C ， 即A ＋B sin A sin B ＝4cos C sin C， 化简得sin 2C ＝4sin A sin B cos C .由正、余弦定理得c 2＝4ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝2(a 2＋b 2－c 2)， 即3c 2＝2(a 2＋b 2)，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 26ab ≥2ab 6ab ＝13，当且仅当“a ＝b ”时等号成立． 所以cos C 的最小值为13，故sin C 的最大值为223. 答案：223。
2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练14个填空题专项强化练(十五) 推理与证明 Word版含解析
个填空题专项强化练(十五)推理与证明组——题型分类练题型一合情推理．已知不等式＋＜，＋＋＜，＋＋＋＜，照此规律总结出第个不等式为．解析：由已知，三个不等式可以写成＋＜，＋＋＜，＋＋＋＜，所以照此规律可得到第个不等式为＋＋＋…＋＋＜＝.答案：＋＋＋…＋＋＜．对于命题：若是线段上一点，则有))·＋))·＝. 将它类比到平面的情形是： 若是△内一点，则有△·＋△·＋△·＝.将它类比到平面的情形是：若是△内一点，则有△·＋△·＋△·＝.将它类比到空间的情形应该是：若是四面体内一点，则有．解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：若为四面体内一点，则有·＋·＋·＋·＝.答案：·＋·＋·＋·＝．观察下列等式：＋＝，×＝；＋＝，×＝；＋＝，×＝；…，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数的等式，这个等式可以表示为．解析：由归纳推理得＋(＋)＝＝，×(＋)＝，所以得出结论＋(＋)＝×(＋)(∈*)．答案：＋(＋)＝×(＋)(∈*)．已知圆的方程是＋＝，则经过圆上一点(，)的切线方程为＋＝.类比上述性质，可以得到过椭圆＋＝上一点(，)的切线方程为．解析：圆的性质中，经过圆上一点(，)的切线方程就是将圆的方程中的一个与分别用(，)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆＋＝类似的性质为：过椭圆＋＝上一点(，)的切线方程为＋＝.答案：＋＝题型二演绎推理．已知函数()＝＋，对于等差数列{}满足：(－)＝，(－)＝－，是其前项和，则＝.解析：因为函数()＝＋为奇函数，且在上单调递增，又因为(－)＝，(－)＝－，则－＝－(－)，即＋＝，即＋＝.则＝)(＋)＝.答案：.如图，在平面直角坐标系中，分别在轴与直线＝(＋)上从左向右依次取点，，＝，…，其中是坐标原点，使△都是等边三角形，则△的边长是．＋解析：因为△－是一个内角为的直角三角形，易得＝，且＝, 所以△的边长是以＝为首项，为公比的等比数列的第项，所以△的边长是×＝.答案：.如图，在平面斜坐标系中，∠＝θ，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若＝＋(其中，分别是轴，轴正方向上的单位向量)，则点的斜坐标为(，)，向量的斜坐标为(，)．给出以下结论：①若θ＝°，(，－)，则＝；②若(，)，(，)，则＋＝(＋，＋)；③若＝(，)，＝(，)，则·＝＋；④若θ＝°，以为圆心、为半径的圆的斜坐标方程为＋＋－＝.其中所有正确结论的序号是．解析：对于①，是两邻边长分别为，且一内角为°的平行四边形较短的对角线，解三角形可知＝，故①正确；对于②，若(，)，(，)，则＋＝(＋，＋)，故②正确；对于③，＝(，)，＝(，)，所以·＝(＋)·(＋)，因为·≠，所以·≠＋，故③错误；对于④，设圆上任意一点为(，)，因为＝，所以(＋)＝，所以＋＋－＝，故④正确．故填①②④.答案：①②④．在△中，已知＝，－＝，则的最大值是．解析：法一：以所在直线为轴，线段的中点为原点，建立平面直角坐标系如图所示，则(－)，()．设点坐标为(，)(＞)，由－＝，得(＋)＋－＝，即＝，所以.过作⊥，垂足为，所以∠＝，∠＝，所以＝∠＝(∠－∠)＝＝≤，当且仅当“＝，即＝”时取等号，所以的最大值为.法二：设△的内角，，所对的边分别为，，，则＝，－＝，所以－＝，由余弦定理得，＝＝＝≥，故≤.且当＝，＝，＝时，＝.所以的最大值为.答案：题型三直接证明与间接证明．用反证法证明命题：若＋＋为偶数，则“自然数，，恰有一个偶数”时应反设为．。
2018高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题专项强化练(九) 不 等 式 Word版含解析
14个填空题专项强化练(九) 不 等 式A 组——题型分类练 题型一 一元二次不等式1、已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0),若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x >3,则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是________、解析：法一：依题意可得f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －12(x －3)(a <0),则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)(a <0),由f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)>0可得12<e x <3,解得－ln 2<x <ln 3. 法二：由题知,f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <3, 令12<e x <3,得－ln 2<x <ln 3. 答案：{x |－ln 2<x <ln 3}2、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则不等式f (x )>3的解集为________________、 解析：当x >0时,2x －1>3,解得x >2,当x ≤0时,－x 2－4x >3,即x 2＋4x ＋3<0,解得－3<x <－1,所以所求不等式的解集为{x |x >2或－3<x <－1}、答案：{x |x >2或－3<x <－1}3、已知函数y ＝x 2－2x ＋a 的定义域为R,值域为[0,＋∞),则实数a 的取值集合为________、解析：由定义域为R,得x 2－2x ＋a ≥0恒成立、又值域为[0,＋∞),则函数y ＝x 2－2x ＋a 的图象只能与x 轴有1个交点,所以Δ＝4－4a ＝0,a ＝1.答案：{1}4、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≥0，－x 2＋1，x <0，则关于x 的不等式f (x 2)>f (2－x )的解集是________、解析：由x 2≥0,得f (x 2)＝－x 2＋1, 所以原不等式可转化为f (2－x )<－x 2＋1, 则当2－x ≥0,即x ≤2时,由－(2－x )＋1<－x 2＋1,得－2<x <1,所以－2<x <1； 当2－x <0,即x >2时,由－(2－x )2＋1<－x 2＋1,得x ∈∅.综上得,关于x 的不等式f (x 2)>f (2－x )的解集是{x |－2<x <1}、 答案：{x |－2<x <1} 题型二 基本不等式 1、若x >1,则x ＋4x －1的最小值为________、 解析：由x >1,得x －1>0,则x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1,即x ＝3时等号成立、故x ＋4x －1的最小值为5. 答案：52、已知0<x <1,则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________、 解析：由0<x <1,故3－3x >0,则x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34,当且仅当3x ＝3－3x ,即x ＝12时等号成立、答案：123、已知正数a ,b 满足1a ＋9b ＝ab －5,则ab 的最小值为________、 解析：因为正数a ,b 满足1a ＋9b ＝ab －5,所以ab －5≥21a ×9b,可化为(ab )2－5ab －6≥0,解得ab ≥6,即ab ≥36,当且仅当1a ＝9b ,即a ＝2,b ＝18时取等号、即ab 的最小值为36. 答案：364、已知正数x ,y 满足x 2＋4y 2＋x ＋2y ≤2－4xy ,则1x ＋1y 的最小值为________、 解析：由题意得(x ＋2y )2＋(x ＋2y )－2≤0,且x >0,y >0,所以0<x ＋2y ≤1,所以1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·1≥⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·(x ＋2y )＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22,当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2y x ＝xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－1，y ＝1－22时,1x ＋1y取得最小值3＋2 2. 答案：3＋2 25、已知a >0,b >0,且12a ＋b ＋1b ＋1＝1,则a ＋2b 的最小值是________、 解析：a ＋2b ＝2a ＋b ＋3(b ＋1)2－32,故a ＋2b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋b 2＋3(b ＋1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ＋1b ＋1－32＝12＋32＋2a ＋b2(b ＋1)＋3(b ＋1)2(2a ＋b )－32≥12＋22a ＋b 2(b ＋1)·3(b ＋1)2(2a ＋b )＝12＋3,当且仅当2a ＋b2(b ＋1)＝3(b ＋1)2(2a ＋b ),且12a ＋b ＋1b ＋1＝1时取等号、故a ＋2b 的最小值为12＋ 3.答案：12＋ 3题型三 简单的线性规划1、已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥0，则目标函数z ＝x －y 的最小值为________、解析：根据题意,画出可行域如图所示,易知当目标函数z ＝x －y 经过点A (1,4)时,取得最小值－3.答案：－32、设不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4，表示的平面区域为M ,若直线l ：y ＝kx －2上存在M 内的点,则实数k 的取值范围是________、解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示、因为直线l ：y ＝kx －2的图象过定点A (0,－2),且斜率为k ,由图知,当直线l 过点B (1,3)时,k 取最大值3＋21－0＝5,当直线l 过点C (2,2)时,k 取最小值2＋22－0＝2,故实数k 的取值范围是[2,5]、 答案：[2,5]3、已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，ax －y ≥0，x ≤1表示的平面区域为D ,若区域D 内至少有一个点在函数y ＝e x 的图象上,那么实数a 的取值范围为________、解析：由题意作出约束条件表示的平面区域及函数y ＝e x 的图象,结合函数图象知,当x ＝1时,y ＝e,把点(1,e)代入ax －y ≥0,则a ≥e.故实数a 的取值范围为[e,＋∞)、答案：[e,＋∞) B 组——高考提速练1、不等式x ＋1x <2的解集为______________、 解析：∵x ＋1x <2,∴x ＋1x －2<0, 即(x ＋1)－2x x＝1－xx <0, ∴1－xx <0等价于x (x －1)＞0,解得x ＜0或x ＞1, ∴不等式x ＋1x <2的解集为{x |x ＜0或x ＞1}、 答案：{x |x ＜0或x ＞1}2、若实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4，x ＋3y ≤7，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________、解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示、 由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋12z ,平移直线y ＝－32x ＋12z ,由图象可知当直线y ＝－32x ＋12z 经过点A 时,直线y ＝－32x ＋12z 的截距最大,此时z 最大、由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x ＋3y ＝7，解得A (1,2),代入目标函数z ＝3x ＋2y ,得z ＝3×1＋2×2＝7. 即目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值为7. 答案：73、若a ,b 均为大于1的正数,且ab ＝100,则lg a ·lg b 的最大值为________、 解析：因为a >1,b >1,所以lg a >0,lg b >0. lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b )24＝(lg ab )24＝1.当且仅当a ＝b ＝10时取等号, 故lg a ·lg b 的最大值为1. 答案：14、不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集,则实数a 的取值范围是________、 解析：因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集, 所以Δ＝a 2－4×4>0,即a 2>16. 所以a >4或a <－4. 答案：(－∞,－4)∪(4,＋∞)5、若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,m ),则m 的值为________、解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根,即a 2＋a －6＝0,解得a ＝2或a ＝－3,当a ＝2时,不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,2),符合要求；当a＝－3时,不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(－∞,－3)∪(1,＋∞),不符合要求,舍去、故m ＝2.答案：26、已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )＝1－log 2x ,则不等式f (x )<0的解集是________、解析：法一：当x <0时,f (x )＝－f (－x )＝log 2(－x )－1,f (x )<0,即log 2(－x )－1<0,得－2<x <0；当x >0时,f (x )＝1－log 2x ,f (x )<0,即1－log 2x <0,解得x >2.综上所述,不等式f (x )<0的解集是(－2,0)∪(2,＋∞)、法二：先作出函数f (x )在x >0时的图象,再根据奇函数f (x )的图象关于原点对称可得f (x )在R 上的图象,结合图象可知,不等式f (x )<0的解集是(－2,0)∪(2,＋∞)、答案：(－2,0)∪(2,＋∞)7、已知点P 是△ABC 内一点(不包括边界),且AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→,m ,n ∈R,则(m －2)2＋(n －2)2 的取值范围是________、解析：因为点P 是△ABC 内一点(不包括边界),且AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→,所以m ,n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＞0，m ＋n ＜1，作出不等式组所表示的平面区域如图所示、因为(m －2)2＋(n －2)2表示的是区域内的动点(m ,n )到点A (2,2)的距离的平方、因为点A 到直线m ＋n ＝1的距离为|2＋2－1|2＝32,故⎝⎛⎭⎫322＜(m －2)2＋(n －2)2＜OA 2,即(m －2)2＋(n －2)2的取值范围是⎝⎛⎭⎫92，8.答案：⎝⎛⎭⎫92，88、已知O 为坐标原点,A (1,2),点P 的坐标(x ,y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA ―→·OP―→的最大值为________、解析：如图作满足约束条件的可行域,z ＝OA ―→·OP ―→＝x ＋2y ,显然在B (0,1)处取得最大值,所以z max ＝2. 答案：29、已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a5,若存在两项a m ,a n 使得 a m a n ＝4a 1,则1m ＋4n的最小值为________、解析：设正项等比数列{a n }的公比为q ,由a 7＝a 6＋2a 5,得q 2－q －2＝0,解得q ＝2(q ＝－1,舍去)由a m a n ＝4a 1,即2m+n-22＝4,得2m ＋n －2＝24,即m ＋n ＝6.故1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝56＋16⎝⎛⎭⎫4m n ＋n m ≥56＋46＝32, 当且仅当4m n ＝nm 即m ＝2,n ＝4时等号成立, 即1m ＋4n 的最小值为32. 答案：3210、已知A ,B ,C 是平面上任意三点,BC ＝a ,CA ＝b ,AB ＝c ,则y ＝c a ＋b＋bc 的最小值是________、解析：y 要取最小值,则a 要最大,而a 的最大值是b ＋c ,所以y ＝c a ＋b ＋b c ≥c 2b ＋c＋bc ＝12⎝⎛⎭⎫b c ＋12＋⎝⎛⎭⎫b c ＋12－12≥ 2－12,当且仅当12⎝⎛⎫b c ＋12＝b c ＋12时取等号,即y 的最小值是2－12. 答案：2－1211、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a 不是最大边,已知a 2－b 2＝2bc sin A ,则tan A －9tan B 的最小值为________、解析：由余弦定理,a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 及a 2－b 2＝2bc sin A ,得c 2－2bc cos A ＝2bc sin A , 即c －2b cos A ＝2b sin A ,再由正弦定理,得sin C －2sin B cos A ＝2sin B sin A , 即sin(A ＋B )－2sin B cos A ＝2sin B sin A , 即sin A cos B －cos A sin B ＝2sin A sin B , 所以tan A －tan B ＝2tan A tan B . 所以tan B ＝tan A 2tan A ＋1,由题意知tan A >0,所以2tan A ＋1>0, 所以tan A －9tan B ＝tan A －9tan A2tan A ＋1＝12(2tan A ＋1)＋92(2tan A ＋1)－5 ≥212(2tan A ＋1)×92(2tan A ＋1)－5＝－2. 当且仅当12(2tan A ＋1)＝92(2tan A ＋1),即tan A ＝1时取“＝”、故tan A －9tan B 的最小值为－2. 答案：－212、已知a ,b 均为正数,且ab －a －2b ＝0,则a 24－2a ＋b 2－1b 的最小值为________、解析：因为ab －a －2b ＝0,所以2a ＋1b ＝1,因为a ,b 均为正数,所以b >1, 所以a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 24＋b 2－1＝b 2(b －1)2＋b 2－1,令x ＝b －1>0, 所以a 24－2a ＋b 2－1b ＝(x ＋1)2x 2＋(x ＋1)2－1＝x 2＋1x 2＋2x ＋2x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1, 因为x ＋1x ≥2x ·1x ＝2,当且仅当x ＝1时取等号,所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1≥22＋2×2－1＝7,即a 24－2a ＋b 2－1b 的最小值为7. 答案：713、若关于x 的不等式(ax －1)(ln x ＋ax )≥0在(0,＋∞)上恒成立,则实数a 的取值范围是________、解析：(ax －1)(ln x ＋ax )≥0⇔⎝⎛⎭⎫a －1x ⎝⎛⎭⎫a ＋ln x x ≥0⇔⎩⎨⎧a ≤1x ，a ≤－ln x x或⎩⎨⎧a ≥1x ，a ≥－ln xx.设函数f (x )＝1x ,g (x )＝－ln x x ,在同一平面直角坐标系内画出它们的图象如图所示,由图象可得实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－1e ∪{e}、 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－1e ∪{e} 14、已知a ＞0,b ＞0,c ＞2,且a ＋b ＝2,则ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为________、解析：考虑所求的结构特征,变形为⎝⎛⎭⎫a b ＋1ab －12c ＋5c －2,先求a b ＋1ab －12的最小值、a b ＋1ab －12＝a 2＋1a (2－a )－12＝1(2a ＋1)－(a 2＋1)a 2＋1－12＝12a ＋1a 2＋1－1－12, 令2a ＋1＝t ,则2a ＋1a 2＋1－1＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋1－1＝4t ＋5t －2－1≤42t ×5t －2－1＝5－12, 所以a b ＋1ab －12≥52,当且仅当2a ＋1＝52a ＋1,即a ＝5－12时等号成立,故ac b ＋c ab －c 2＋5c －2≥5c 2＋5c －2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫c －22＋1c －2＋1≥5⎝⎛⎭⎪⎪⎫2c －22×1c －2＋1＝5＋10.当且仅当(c －2)2＝2,即c ＝2＋2时等号成立、 答案：5＋10。
2019年高三二轮复习数学江苏专版 专题训练14个填空题专项强化练(四) 导数及其简单应用
14个填空题专项强化练(四) 导数及其简单应用A 组——题型分类练题型一 导数的概念与运算 1．y ＝ln xx的导数为________．解析：y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. 答案：1－ln xx 22．已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1.答案：13．若曲线y ＝a cos x ＋1在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线2x ＋y ＋3＝0垂直，则a ＝________. 解析：因为y ＝a cos x ＋1的导函数为y ′＝－a sin x ，所以曲线在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线的斜率为k ＝－a ，由于切线与直线2x ＋y ＋3＝0垂直，则(－a )·(－2)＝－1，即a ＝－12.答案：－124．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)，则f ′(5)＝________. 解析：对f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)求导，得f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)．令x ＝2，得f ′(2)＝－12.再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝6.答案：6 [临门一脚] 1．求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误． 2．利用导数求切线方程时，函数在某点处的切线斜率等于在该点的导数值，求导之后要注意代入的是切点横坐标，如果没有切点坐标，一般要设出切点坐标，再利用导数的几何意义求切线方程．题型二 导数与函数的单调性1．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为________．解析：函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，令f ′(x )<0，解得0<x <1，所以单调递减区间是(0,1)．答案：(0,1)2．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx 在区间(－∞，－3)和(2，＋∞)上是增函数，在(－3,2)上是减函数，则ab ＝________.解析：因为f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，由已知条件可得－3,2是f ′(x )＝0的两根，所以a ＝－32，b ＝－18，从而ab ＝27. 答案：273．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax ＋3a 在区间[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得，f ′(x )＝x 2＋2x －a ，根据题意知f ′(x )≥0，即x 2＋2x ≥a ，而x 2＋2x ＝(x ＋1) 2－1≥(1＋1) 2－1＝3，所以a ≤3.答案：(－∞，3]4．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝12x 2－9ln x ，所以f ′(x )＝x －9x (x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上f (x )是减函数，所以a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.答案：(1,2] [临门一脚]1．f ′(x )>0与f (x )为增函数的关系：f ′(x )>0能推出f (x )为增函数，但反之不一定．如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0，所以f ′(x )>0是f (x )为增函数的充分不必要条件．2．用导数研究含参函数单调性首先要求定义域，单调性的逆向问题应该解f ′(x )≥0或f ′(x )≤0的恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的运用．3．函数在给定区间上单调、不单调、存在单调区间这三类问题要区分清楚． 题型三 导数与函数的极值、最值 1．函数y ＝2x －1x 2的极大值是________．解析：y ′＝2＋2x 3，令y ′＝0，得x ＝－1.当x <－1时，y ′>0；当－1<x <0时，y ′<0. 所以当x ＝－1时，y 取得极大值－3.答案：－32．已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1,2)上有极值，则实数a 的取值范围为________．解析：因为函数f (x )在(1,2)上有极值，则需函数f (x )在(1,2)上有极值点．法一：令f ′(x )＝x 2＋2x －2a ＝0，得x 1＝－1－1＋2a ，x 2＝－1＋1＋2a ，因为x 1∉(1,2)，因此则需1<x 2<2，即1<－1＋1＋2a <2，即4<1＋2a <9，所以32<a <4，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，4.法二：f ′(x )＝x 2＋2x －2a 的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝－1，则f ′(x )在(1,2)上是单调递增函数，因此⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3－2a <0，f ′(2)＝8－2a >0，解得32<a <4，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，4.答案：⎝⎛⎭⎫32，43．(2018·镇江高三期末)函数y ＝cos x －x tan x 的定义域为⎣⎡⎦⎤－π4，π4，则其值域为________．解析：易知函数y ＝cos x －x tan x 为偶函数，所以只需研究函数在⎣⎡⎦⎤0，π4内的值域．由y ＝cos x －x sin x cos x ，得y ′＝－sin x －sin x cos x ＋x cos 2x ≤0，对x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4恒成立，所以y ＝cos x －x sin xcos x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递减，故函数的值域为⎣⎡⎦⎤22－π4，1. 答案：⎣⎡⎦⎤22－π4，14．已知函数f (x )＝a ln x －bx 2的图象在x ＝1处与直线y ＝－12相切，则函数f (x )在[1，e]上的最大值为________．解析：由题意知，f ′(x )＝ax－2bx ，因为函数f (x )＝a ln x －bx 2的图象在x ＝1处与直线y ＝－12相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝a －2b ＝0，f (1)＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12，即函数f (x )＝ln x －x 22.又当x ∈[1，e]时，f ′(x )＝1x －x ≤0，所以函数f (x )在[1，e]上单调递减， 其最大值为f (1)＝－12.答案：－12[临门一脚]1．导数法是求函数值域的重要方法，对于比较复杂的函数值域，一般应用导数研究函数的单调性、极值情况，同时要注意函数的定义域、零点情况．2．可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f ′(x 0)＝0是可导函数f (x )在x ＝x 0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y ＝x 3在x ＝0处有y ′|x＝0＝0，但x ＝0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点．3．函数在闭区间上的极值不一定是最值，需要和端点的函数值比较大小才能确定． 4．含有参数的恒成立问题优先考虑分参转化为不含参数的函数的最值问题，如果不能分参，再分类讨论处理．B 组——高考提速练1．曲线f (x )＝2x＋3x 在点(1，f (1))处的切线方程为________________．解析：因为f ′(x )＝－2x 2＋3，所以f ′(1)＝－2＋3＝1，又f (1)＝21＋3×1＝5，故切线方程为y －5＝1·(x －1)，即x －y ＋4＝0.答案：x －y ＋4＝02．已知函数f (x )＝4ln x ＋ax 2－6x ＋b (a ，b 为常数)，且x ＝2为f (x )的一个极值点，则a 的值为________．解析：由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， ∵f ′(x )＝4x＋2ax －6，∴f ′(2)＝2＋4a －6＝0，即a ＝1. 答案：13．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝________.解析：∵f ′(0)＝－a sin 0＝0， ∴g ′(0)＝2×0＋b ＝0，∴b ＝0，又m ＝1＝a ，∴a ＋b ＝1. 答案：14．已知y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1，且f ′(x )＝ln x ＋1，则函数f (x )的最小值为________．解析：因为f ′(x )＝ln x ＋1，设f (x )＝x ln x ＋C ，又因为f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1，故切点为(1,0)，切点在曲线f (x )＝x ln x ＋C 上，故C ＝0，故f (x )＝x ln x ．令f ′(x )＝ln x ＋1>0，解得x >1e ；令f ′(x )<0，解得0<x <1e .故f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，故当x ＝1e 时，函数f (x )取得最小值，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e. 答案：－1e5．已知曲线y ＝a ln x (a ＞0)在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a ＝________.解析：因为y ＝a ln x ，所以y ′＝ax ，所以在x ＝1处的切线的斜率k ＝a ，而f (1)＝a ln 1＝0，故切点为(1,0)，所以切线方程为y ＝a (x －1)．令y ＝0，得x ＝1；令x ＝0，得y ＝－a .所以三角形面积S ＝12×a ×1＝4，所以a ＝8.答案：86．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值为________．解析：求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.则f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x .由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以对m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.答案：－47．已知函数f (x )＝x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，∴函数f (x )的导函数f ′(x )＝1＋a ·cos x ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立．令cos x ＝t ，t ∈[－1,1]，问题转化为g (t )＝at ＋1≥0在t ∈[－1,1]上恒成立，即g (－1)≥0，g (1)≥0成立，所以－1≤a ≤1.答案：[－1,1]8．设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1，2]，都有f (x )>a ，则实数a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝3x 2－x －2， 令f ′(x )＝0，得3x 2－x －2＝0，解得x ＝1或x ＝－23，故f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－23，(1,2)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－23，1上单调递减，故f (x )在x ＝1处取得极小值，且f (1)＝72，f (－1)＝112，故f (x )min ＝72，所以a <72.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，72 9．f (x )＝13x 3－4x ＋m 的极小值为－43，则m 的值为________．解析：f ′(x )＝x 2－4，当f ′(x )＝0时，x ＝－2或x ＝2. 当f ′(x )<0时，－2<x <2. f ′(x )>0时，x <－2或x >2.∴f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，在(－2,2)上是减函数． ∴f (x )极小值＝f (2)＝13×23－4×2＋m＝－163＋m ＝－43.∴m ＝4. 答案：410．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )<x 2＋12的解集为________．解析：设F (x )＝f (x )－⎝⎛⎭⎫x 2＋12， 则F (1)＝f (1)－⎝⎛⎭⎫12＋12＝1－1＝0，F ′(x )＝f ′(x )－12，对任意x ∈R ，有F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减，则F (x )<0的解集为(1，＋∞)，即f (x )<x 2＋12的解集为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)11．已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0.若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，则m 的取值范围为________．解析：因为f (x )在x ＝－1处取得极值， 所以f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，所以a ＝1.所以f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1.故由f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合f (x )的图象(如图所示)可知，实数m 的取值范围是(－3,1)．答案：(－3,1)12．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )．若对任意的实数x ，都有2f (x )＋xf ′(x )<2恒成立，则使x 2f (x )－f (1)<x 2－1成立的实数x 的取值范围为________________________．解析：令G (x )＝x 2f (x )－f (1)－x 2＋1，所求不等式为G (x )<0，又G (1)＝f (1)－f (1)－1＋1＝0，故化为解不等式G (x )<G (1)．又f (x )为偶函数，则G (－x )＝G (x )，所以G (x )也为偶函数，G ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )－2x ＝x [2f (x )＋xf ′(x )－2]，而-16.67C(x )＋xf ′(x )<2，即2f (x )＋xf ′(x )－2<0，当x >0时，G ′(x )<0，G (x )在(0，＋∞)上单调递减，故由G (x )<G (1)，得x >1，同理当x <0时，由G (x )<G (1)＝G (－1)，得x <－1，所以x 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)13．设直线y ＝a 分别与曲线y 2＝x 和y ＝e x 交于点M ，N ，则当线段MN 取得最小值时a 的值为________．解析：由题意，a >0，M (a 2，a )，N (ln a ，a )，故MN 的长l ＝|a 2－ln a |，设f (a )＝a 2－ln a (a >0)，所以f ′(a )＝2a －1a ＝2a 2－1a＝2⎝⎛⎭⎫a ＋22⎝⎛⎭⎫a －22a ，令f ′(a )>0，得a >22，所以f (a )在⎝⎛⎭⎫22，＋∞上单调递增；令f ′(a )<0，得0<a <22，所以f (a )在⎝⎛⎭⎫0，22上单调递减，所以当a ＝22时，f (a )min ＝f ⎝⎛⎭⎫22＝12－ln 22>0，所以l ＝|a 2－ln a |＝a 2－ln a ＝f (a )，所以当a ＝22时，线段MN 的长取得极小值，也是最小值．答案：2214．若函数f (x )＝e x ＋x 3－12x －1的图象上有且只有两点P 1，P 2，使得函数g (x )＝x 3＋mx 的图象上存在两点Q 1，Q 2，且P 1与Q 1，P 2与Q 2分别关于坐标原点对称，则实数m 的取值集合是________．解析：设函数f (x )的图象上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则Q 1(－x 1，－y 1)，Q 2(－x 2，－y 2)，故有⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫e x 1＋x 31－12x 1－1＝－x 31＋m －x 1，－⎝⎛⎭⎫e x 2＋x 32－12x 2－1＝－x 32＋m －x2，即方程－⎝⎛⎭⎫e x ＋x 3－12x －1＝－x 3－m x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两解，即方程x e x －12x 2－x ＝m 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两解，即函数h (x )＝x e x －12x 2－x (x ≠0)的图象与y ＝m 的图象有两个交点，令h ′(x )＝(e x －1)(x ＋1)＝0得，x ＝0(舍去)或x ＝－1，作出函数h (x )图象知，当且仅当x ＝－1时有两解，所以m ＝h (－1)＝e －22e.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫e －22e。
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14个填空题综合仿真练(四)
1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中的元素的个数为________．
解析：集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则A∪B＝{1,2,3,4,5}，所以A∪B中元素的个数为
5.
答案：5
2．复数z＝21－i(其中i是虚数单位)，则复数z的共轭复数为________．
解析：z＝21－i＝21＋i1－i1＋i＝1＋i，则复数z的共轭复数为1－i.
答案：1－i
3．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值为________．
解析：阅读流程图，当k＝2,3,4,5时，k2－7k＋10≤0，一直进行循环，当k＝6时，k
2
－7k＋10＞0，此时终止循环，输出k＝6.
答案：6
4．在数字1,2,3,4中随机选两个，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为________．
解析：在数字1,2,3,4中随机选两个，基本事件总数n＝6，选中的数字中至少有一个是
偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，所以选中的数字中至少有一个是偶数的概率
为P＝1－16＝56.
答案：56
5．双曲线x25－y24＝1的右焦点与左准线之间的距离是____________.
解析：由已知得，双曲线的右焦点为(3,0)，左准线方程为x＝－53，所以右焦点与左准
线之间的距离是3－－53＝143.
答案：143
6．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：