1.1分类加法计数原理与分步计数乘法原理(3)
1.1 .1分类加法计数原理和分步乘法计数原理(同步教案)
1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理一、三维目标1.知识与技能：（1）理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；2.过程与方法：（1）通过对两个原理概念的学习培养学生的理解能力、归纳概括能力和类比分析能力；（2）通过对两个原理的应用，提高学生对数学知识的应用能力；3.情感态度与价值观：（1）了解学习本章的意义，激发学生的学习兴趣；（2）引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式.二、教学重点难点1.重点：理解两个原理,并能运用它们来解决一些简单的问题.2.难点：弄清楚“一件事”指的是什么，分清是“分类”还是“分步”三、教学过程1.引入新课生活中，我们常常会遇到一些需要计数的问题：（1）我从一中到韦曲有三种不同的公交车，两种不同的出租车可以乘坐，那么请同学们帮我算一下，我从一中到韦曲有多少种乘坐交通工具的方式？（2）从我们班上50名同学中推选出两名同学分别担任班长和团支书，有多少种不同的选法？（3）世界杯足球的比赛场次？（4）车牌号的编排？（5）运动会中运动员的选取？（6）买东西时付款的方式？回答这些问题，就要用到我们这章将要学习的计数知识.我们这节课先来研究分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.分类加法计数原理（1）实例分析问题1.从西安到北京，每天有3个航班的飞机，有4个班次的火车，有两个班次的汽车.那么，乘坐以上工具从西安到北京，在一天中一共有多少种选择呢？问题2.用一个大写英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？问题3.一个学生从3本不同的物理资料、4本不同的英语资料、6本不同的课外书中任取一本来学习，不同的选法有多少种？（2）提炼特点○1 完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n 类； ○2 每一类中的每一种方法都可以完成这件事； ○3 把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数. （3）抽象概况分类加法计数原理：完成一件事情，可以有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法.注意：○1 这个原理也称为“加法原理”；○2 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.（4）知识应用例1.集合{}1,2,3M =的子集共有_______个.例2.某同学逛书店，喜欢三本书，决定至少买其中的一本，购买方案有_______种.例3.一个包内有7本不同的小说，另一个包内有5本不同的教科书，从两个包内任取一本书的取法有___________种.（5）跟踪训练练习1.一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是＿ ;练习2. .在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如右图所示：如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？3.分步乘法计数原理（1）实例分析问题1. 从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路线有______________条．问题2.三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有多少种？问题3.有一项活动，需要在三名教师、五名男生和六名女生中各选一人参加，有多少种选法？（2）提炼特点○1 完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可； ○2 完成每一步有若干个方法； ○3 把每个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数. （3）抽象概括分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.注意：○1 这个原理也称“乘法原理”；○2 分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事（4）知识应用例4.某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，，则乘客下车的可能方式有多少种？ 例5.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为____个.例6.有四位同学参加三项不同的竞赛.○1 每位同学必须参加且能参加一项竞赛，有多少种不同的结果？ ○2 每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同的结果？ （5）跟踪训练练习1. 设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？练习2. 如图,要给地图A 、B 、C 、D 四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？4.课堂小结（1）知识小结：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.（2）数学思想：分类讨论思想（3）易错易误：5.作业布置：课本第5页A组5、6题四、教学反思我承认这节课备课扎实，内容详实，也从学生的实际生活出发，引导学生归纳特点，抽取概念.但是从教学效果来看，效果应该不理想，原因有以下几点：1.实例不够大量充实，导致有点接不上力的感觉.（1）如学生说的填报志愿，省内高校，省外高校；（2）口渴喝饮料，有果汁类和汽水类；（3）食堂吃饭一楼和二楼以及外边；（4）一节自习课完成作业理科类和文科类；（5）运动会接力赛的顺序安排；（6）乒乓球比赛运动员的选取；。
1.1 分类计数原理和分步计数原理
（3）有不同颜色的5件上衣与3件不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配 成一套,则不同的配法有多少种？ 分步问题 （4）从一个装有4个不同白球的盒子里或装有3个不同黑球的盒子里取1个球， 共有多少种不同的取法？ 分类问题 （5）从一个装有4个不同白球的盒子里和装有3个不同黑球的盒子里各取1个 球，共有多少种不同的取法？ 分步问题 （6）某商场有6个门，某人从其中的任意一个门进入商场，再从其他的门出去， 共有多少种不同的进出商场的方式？ 分步问题
问题剖析
小明要完成的一件事是什么
北京→重庆
完成这件事情要分几步
2步
每步中的任一方法能否独立完成这 件事
不能
每步方案中分别有几种不同的方法 4种 3种
完成这件事共有多少种不同的方法 4✕3=12种
想一想：
(1)用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以 A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的座 位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ (2)从班上30名男生、25名女生中选男生、女生各1名 担任数学课代表，一共有多少种不同的选法？
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画
事件1：从中任选一幅画布置房间 事件2：从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间 事件3：从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间
问题2：以上三个事件各有多少种不同的选法
1.解决计数问题的基本方法：
列举法、两个计数原理
2.选择两个原理解题的关键是： 根据题目，弄清完成一件事的要求至关重要， 只有这样才能正确区分“分类”和“分步”．
数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理
2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，分类 要做到类类独立，不重不漏。
【课件】分类加法计数原理与分步乘法计数原理(人教A版2019选择性必修第三册)
（2）在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？
[解析]（1）设购买笔支，笔记本本，则得将的取值分为三类：①当时，，因为为整数，所以可取，，，，共有4种方案.②当时，，因为为整数，所以可取，，共有2种方案.③当时，，因为为整数，所以只能取2，只有1种方案.由分类加法计数原理得不同的购买方案有（种）.
情境设置
新知生成
分步乘法计数原理完成一件事需要经过个步骤，缺一不可，做第一步有种方法，做第二步有种方法，，做第步有种方法.那么，完成这件事共有种方法.
新知运用
例2已知集合，表示平面上的点，问：
（1）可表示平面上多少个不同的点？
（2）可表示平面上多少个第二象限的点？
（3）可表示多少个不在直线上的点？
方法总结 利用两个计数原理解题时的三个注意点：
（1）当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法；类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律；混合型问题一般是先分类再分步.
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
1.计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个的数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“计数法”来提高效率呢？是什么计数法？
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
解法三（分类法）：完成涂色的方法分为两类， 2011高考导航 第一类：四个区域涂四种不同的颜色共有 ＝120种 第二类：四个区域涂三种不同的颜色，由于A、D不相 邻只能是A、D两区域颜色一样，将A、D看做一个区 域，共 ＝60种涂法． 由分类计数原理知共有涂法120＋60＝180(种)． 方法总结：对涂色问题，有两种解法： 法1是逐区图示法，注意不相邻可同色.
点也有2种染色方法. 则有5×4×3（1×3+2×2）=420种.
方法二、按所用颜色种数分类.
第一类，5种颜色全用，共有
A5
5
种不同的方法；
第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色 （A与C，或B与D），共有2× A 4 种不同的方法； 5
第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，
3 共有A 5 种不同的方法.
4、有无特殊条件的限制；
5、检验是否有重漏.
1.如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我
们称这样的图案为L型（每次旋转90°仍为L型图案）， 那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同 位置的L型图案的个数是（ ） A.16 C.48 B.32 D.64 C
解析、每四个小方格（2×2型）中有“L”型图案4个， 共 有 2×2 型 小 方 格 12 个 ， 所 以 共 有 “ L” 型 图 案 4×12=48个.
分类计数原理
与 分步计数原理
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么 完成这件事共有 N m1 m2 mn 种不同的方 法.
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的 方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件 事共有N m1 m2 mn 种不同的方法.
1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理(教案)
1 分类加法计数原理（1）问题 1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？（2）发现新知分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 n m N += 种不同的方法.（3）知识应用例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A 大学B 大学生物学 数学化学 会计学医学 信息技术学物理学 法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有( )种专业选择方法，在 B 大学中有( ) 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有变式：若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？ 一般归纳：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21 种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.例2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？ 练习1．填空：( 1 ）一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是 ;( 2 ）从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路线有 条．2 分步乘法计数原理（1）提出问题问题2.1：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以1A ,2A ,…，1B ,2B ,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可能的号码：我们还可以这样来思考：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6×9 = 54 个不同的号码．（2）发现新知分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 n m N ⨯=种不同的方法.（3）知识应用例1.设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第 l 步选男生．第2步选女生．解：第 1 步，从 30 名男生中选出1人，有 种不同选择；第 2 步，从24 名女生中选出1人，有 种不同选择．根据分步乘法计数原理，共有 种不同的选法．探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，做第3步有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情需要n 个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？ 一般归纳：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成. 例2 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步, m1 = 种,第二步, m2 = 种,第三步, m3 = 种,第四步, m4 = 种,所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有N =变式1，如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？2若颜色是2种，4种，5种又会什么样的结果呢？练习2．现有高一年级的学生3 名，高二年级的学生5 名，高三年级的学生4 名．( 1 ）从中任选1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？村去C 村，不同( 2 ）从3 个年级的学生中各选 1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？3 综合应用例1. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【分析】①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理.②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.③要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.123N m m m =++=4+3+2=9;例2. 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？例3.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字，并且 3 个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？1．乘积12312312345)()()a a a b b b c c c c c ++++++++（展开后共有多少项？2．某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不变的，后四位数字都是。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件
分类加法计数原理是计数原理中的一种，它基于分类的思想 ，将问题分成若干个互不重叠的部分，然后分别对每一部分 进行计数，最后将各部分的计数结果相加，得到完成整个任 务的方法总数。
分类加法计数原理的应用
应用场景
分类加法计数原理适用于将一个复杂问题分解成若干个简单子问题，然后分别 对每个子问题进行计数，最后将各个子问题的计数结果相加得到总的方法数。
03
题目：一个班级有30个学生，每个学生有2种颜色的笔可以选择。如 果每个学生选择一支笔，那么一共有多少种不同的选择方式？
04
答案：60种。
进阶练习题
总结词：复杂问题 总结词：多个原理应用
总结词：综合应用
进阶练习题
题目1
分类加法计数原理进阶练习
VS
题目
在一个音乐会上，有钢琴、吉他、小提琴 三种乐器。如果一个乐手随机选择一种乐 器，有多少种不同的选择方式？
基本概念
两者都涉及到计数问题，即计算完成 某件事情的方法数量。
基本思想
都基于组合数学的基本思想，即从不 同的元素中选取一定数量的元素进行 组合，形成不同的结果。
不同点比较
分类加法计数原理
强调的是将问题分成若干个互斥的子 问题，然后分别对每个子问题进行计 数，最后将各个子问题的计数结果相 加。
分步乘法计数原理
进阶练习题
答案：3种。
01
答案：12种。
输标02入题
题目2：分步乘法计数原理进阶练习
03
04
题目：一个电影院有3个放映厅，每个放映厅有2部电 影可以选择。如果一个观众随机选择一个放映厅和一 部电影，那么一共有多少种不同的选择方式？
综合练习题
总结词
高难度问题
分类加法计数原理分布乘法计数原理
分类加法计数原理和分布乘法计数原理一、回顾教材·知识梳理分类加法计数原理：完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有m 1种不同的方法，在第2类方案中有m 2种不同的方法，.....在第n 类方案中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.（对应微体验1、2）分布乘法计数原理:完成一件事需要n 个步骤，做第1步有N 1种不同的方法，做第2步有N 2种不同的方法，…做第n 步有N O 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.(对应微体验3、4)分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系都是完成一件事的不同方法种数的问题 区别 1、 分类2、 每类办法都是独立完成，并且只需一种方法就可完成这件事。
3、 互斥且独立1、 分步2、 “步步相依”即各个步骤是相互依存的，必须每步都完成了，才算做完这件事 注意分类要“不重不漏” 分步要“步骤完整” 二、基础检测·查漏补缺微体验1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 微体验2：在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到,",#两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表：问1：如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？问2：在微体验2中,如果数学也是A 大学的强项专业,则A 大学共有6个专业可以选择,B 大学共有4个专业可以选择,那么用分类加法计数原理,得到这名同学可能的专业选择种数为6+4=10.这种算法有什么问题?微体验3：用前6个大写的英文字母和1~9个阿拉伯数字，以"1，"2…"9，#1，#2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？微体验4：某班有男生30名，女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法?三、考点分类·全面突破考点一：分类加法计数原理的应用例1：在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为（ ）变式1：设a ，b ，c∈{1,2,3,4}，若以a ，b ，c 为三条边的长构成一个等腰三角形，则这样的三角形有 个。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法
有 ( )
AB．315种
D．153种
3．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日
参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星 期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 ( A．40种 B．60种 )
C．100种
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方
法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝ m×n 种不同的方法．
[思考探究] 在解决具体问题时，如何选择分类加法计数原理和分步乘法 计数原理？ 提示：如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件 事，应该用分类加法计数原理；如果每类办法中的每一种 方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数原理．
解析：由题意可列式为
D．120种
＝60(种)．
答案：B
4．若x、y∈N*，且x＋y≤6，则有序自然数对(x，y)共有 ________个． 解析：当x＝1,2,3,4,5时，y值依次有5,4,3,2,1个，由 分类计数原理，不同的数对(x，y)共有5＋4＋3＋2＋ 1＝15(个)． 答案：15
5．如图用6种不同的颜色把图中A、 B、C、D四块区域分开，若相
[特别警示]
在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，
有些题目在解决时需要进行分类讨论，分类时要适当地确
定分类的标准，按照分类的标准进行，做到不重不漏．
在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两 位数共有多少个？
[思路点拨]
[课堂笔记] 法一：根据题意，将十位数上的数字分别是
1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的 两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1 个． 由分类计数原理知：符合题意的两位数的个数共有：
1.1 第1课时 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 教案(北师大版选修2-3)
§1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理和分步乘法计数原理●三维目标1．知识与技能(1)理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．(2)会利用两个计数原理分析和解决一些简单的应用题．2．过程与方法(1)通过对两个原理的学习，初步培养学生的理解能力，归纳概括能力和类比分析能力．(2)通过对两个原理的应用，提高学生对数学知识的应用能力．3．情感、态度与价值观(1)了解学习本章的意义，激发学生的学习兴趣．(2)引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习习惯．●重点难点重点：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，根据具体的问题特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题．难点：正确理解“完成一件事情”的具体含义，根据具体问题特征，正确选择某个计数原理解决一些简单的实际问题．教学时要抓知识选择的切入点，从学生原有的认识水平(如列举法、树状图)和所需的知识(归纳推理、抽象概括、分类讨论思想)的特点入手．本节课内容中，两个原理是大量实践中总结出来的基本计数规律，它的表述通俗易懂，但通俗的语言，往往会掩盖其科学的，严谨的内涵．故教学处理时，仍以课本中两个简单的问题入手，问题一中引导学生归纳出分类计数原理；在问题二中，要分析清楚为什么将各步方法数相乘，再启发学生直接用类比方法得出分步计数原理．在此基础上，让学生分析两个原理的区别与联系，从而达到理解两个原理的目的．对于两个原理的简单应用，首先要让学生搞清“完成一件事情”的含义，然后确定是分类完成此事，还是分步完成此事，进而解决问题．教学中要适时激发学生的学习兴趣和探究精神，在教师的指导下，让学生自主探究与合作交流，从而加深对两个原理的理解与应用，从而突破了难点，也强化了重点．(教师用书独具)●教学建议本节课的教学中，学生可能遇到的问题是如何选择对应的原理解决具体问题，产生这一问题的原因是学生无法把具体问题的特征与两个计数原理的基本思想联系起来．要解决这一问题，在本节教学中，应让学生先明确两个原理的适用条件及方法，再通过例题，引导学生逐步体会两个原理在实际问题中如何应用．●教学流程提出问题，引入新课．通过两个具体实例的问题分析，点出本节所学内容．⇒观察归纳，形成概念．对于上面问题，引导学生弄清完成哪件事；按事情完成特点可分为多少类；每类包含的基本方法有哪些？总数是多少？⇒得出原理、知识应用．通过上面分析，得出加法原理，再通过例1及变式训练，巩固分类加法计数原理．⇒用同样的方法，通过例2、例3及变式训练引导学生学习分步乘法计数原理及两个原理的简单应用．⇒归纳小结，整理本节所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识.1．一个三层书架的上层放15本不同的数学书，中层放16本不同的语文书，下层放14本不同的化学书，某人从中取出一本书，则本题中要“完成的一件事”是做什么？【提示】 本题中要“完成的一件事”是“从书架上取一本书”．2．在问题1中，应该怎样从书架上取一本书(说一下位置即分几类办法)?【提示】 这本书既可以从上层取，也可以从中层取，还可以从下层取．3．在问题1中，共有多少种不同的取法？【提示】 由2可知，完成这件事可分为三类办法，即从上层、中层、下层中取一本书，而每一类办法中依次有15种、16种、14种办法．所以共有15＋16＋14＝45(种)办法．(1)定义：完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种方法．(也称加法原理)(2)特点特点完成一件事可以有n类办法把每一类办法中的方法数相加，就可以得到完成这件事的方法数每一类办法中的每一种方法都可以完成这件事1．有三个盒子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个，现从盒子里任取红、白、黄小球各一个，则本题中要“完成的一件事”是做什么？【提示】本题中“要完成的一件事”是“要从盒子里任取红、白、黄小球各一个”．2．在问题1中应该如何“完成这件事”(说一下过程)?【提示】“要完成这件事”应分三个步骤：第一步是从一个盒子选出一个红球，第二步是从另一个盒子里选出一个白球，第三步是从最后一个盒子里选出一个黄球，即分三步完成这件事．3．在问题1中，共有多少种不同的取法？【提示】由2知，第一步共有6种方法(但不能“完成这件事”)，第二步共有5种方法，第三步共有4种方法．共有6×5×4＝120(种)方法．(1)定义：完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种方法．(也称乘法原理)(2)特点特点完成一件事需要n个步骤，缺一不可把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的方法数完成每一步有若干种方法画、水彩画中只选一幅布置房间，有几种不同的选法？。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理优质课教案
1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理民权高中教材分析:（Ⅰ）两个基本计数原理是计数原理的开头课，学习它所需的先行知识与学生已熟知的数学知识联系很少，通常教师们或者感觉很简单，一带而过；或者感觉难以开头.中学数学课程中引进的关于排列、组合的计算公式都是以分类加法计数和分步乘法计数原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本计数原理，因此必须使学生学会正确地使用两个基本计数原理，学会正确地使用基本计数原理是这一章教学中必须抓住的一个关键.（Ⅱ）正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件.而原理中提到的分步和分类，学生不是一下子就能理解深刻的，这就需要教师引导学生，帮助他们分析，找到分类和分步的具体要求——类类互斥，步步独立.（Ⅲ）分类加法计数原理，分步乘法计数原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时必须做到既不重复，又不遗漏，找到分步的方法有时是比较困难的，这就要着重进行训练.课标要求：知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：培养学生的归纳概括能力；情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解授课类型：新授课课时安排：两课时，本节为第一课时实物投影仪教学过程：引入课题从狐假虎威的故事引入。
1 分类加法计数原理（1）提出问题问题1.1：狐狸从草地到小岛有几种逃生方法？问题1.2：你能举出类似的例子吗？探究：你能说说以上两个问题的特征吗？（2）发现新知分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有n m N +=种不同的方法.（3）知识应用例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A 大学B 大学生物学 数学化学 会计学医学 信息技术学物理学 法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有 5+4=9（种）.变式：若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.2 分步乘法计数原理（1）提出问题问题2.1：狐狸从草地到房子共有几种逃生方法？用列举法可以列出所有可能的路径。