线线角、线面角-二面角(高考立体几何法宝)

线线角、线面角-二面角(高考立体几何法宝)

线线角、线面角、二面角的求法

1.空间向量的直角坐标运算律：

⑴两个非零向量与垂直的充要条件是

1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=r r

⑵两个非零向量a 与b 平行的充要条件是

a ·

b =±|a ||b |

2.向量的数量积公式

若a 与b 的夹角为θ(0≤θ≤π),且123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r

,则 （1）点乘公式： a ·b =|a ||b | cos θ

（2

）模长公式：则||a ==r

||b ==r

（3

）夹角公式：cos ||||a b

a b a b ⋅⋅==⋅r r

r r r r （4）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则

||AB u u u r

,A B

d =

①两条异面直线a 、b 间夹角0,2πα⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

在直线a 上取两点A 、B ，在直线b 上取两点C 、D ，若直线a 与b 的夹角为θ，

则cos |cos ,|AB CD θ=<>u u u r u u u

r

=

1

A 1

B 1

C 1

D B

C

D

E F

G

P

B

C

A

例1 (福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ） A ．5

15

arccos

B ．4

π C ．5

10arccos

D ．2

π （向量法，传统法）

例2 (2005年全国高考天津卷)如图，PA ⊥平面ABC ，

90ACB ∠=︒

且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所

成角的正切值等于_____．

解：（1）向量法

（2）割补法：将此多面体补成正方体

'''DBCA D B C P -，PB 与AC

所成的角的大小即此正方体

主对角线PB 与棱BD 所成角的大小，在Rt △PDB

中，即tan PD DBA DB

∠=．故填． 1

D 1

B 1

C P

D

B

C

A

点评：本题是将三棱柱补成正方体'''DBCA D B C P -

②直线a 与平面α所成的角0,2πθ⎛⎤

∈ ⎥⎝⎦

(重点讲述平行与垂直的证明)

可转化成用向量→

a 与平面α的法向量→

n 的夹角ω表示，由向量平移得：若

ππ（图）；若ππ

平面α的法向量→

n 是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.

求平面法向量的一般步骤：

(1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标

111222(,,),(,,)

a a

b

c b a b c ==r r

(2)设出平面的一个法向量为(,,)n

x y z =r

(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z 的方程组

(0a <<

图图

图

(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量。

1. (线线角,线面角).

为a的正方体

''''

ABCD A B C D

中，,E F分别是.

（1）求直线'AC DE

与所成角；

（2）求直线AD与平面'B EDF所成的角.

' D

A

B C D

E F G

'

A

'

B'C

x

y z

2.如图，底面ABCD 为直角梯形，

ο

90=∠ABC ，

⊥

PB 面

ABCD

，

2

2====CD BP BC BA ，E 为PD 的中点，求

1） 异面直线BD 与PA 所成角的余弦值；

2） 直线CP 与面ADP 所成角的正弦值；

B C D A

x

y z

③求二面角βα--λ的大小θ

1.范围：[0,]π

2.二面角的向量求法：

方法一：如图，若AB 、CD 分别是二面角α-l -β的两个面内与棱l 垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量

AB

u u u r 与

CD

uuu r 的夹角.

方法二:设,u

v r r

是二面角α-l-β的两个面α,β的法向量,则向量u r 与v r

的夹角(或其补角就是

二面角的平面角的大小.如图,设二面角的平面角的大小为θ,法向量的夹角为ϕ.

l

cos cos ||||

u v

u v θϕ==r r g r r

cos cos()cos ||||

u v

u v θπϕϕ=-=-=-r r g r r

注意:在用向量求二面角的大小时，我们是先求出两半平面的法向量所在直线的夹角ϕ，但二面角可能是钝角或锐角，因此在求出ϕ角后，应判断二面角的大小，再确定二面角就是两半平面的法向量所在直线的夹角ϕ或是其补角。 例：如图，PA ABC ⊥平面

，,1,AC BC PA AC BC ⊥===面角A PB C --的大小。

α

β

u

r

A

B

C

D

E

x

y

z