不等式综合问题题型归纳总结

不等式综合问题题型归纳总结 题型1 不等式恒成立问题中秋参数的取值范围 思路提示

解答不等式恒成立问题的基本思想是借助函数思想，通过不同的角度构造函数，借助函数图像来解决，其方法大致有：

（1）借助函数图像或利用一元二次方程判别式来求解.将原不等式通过移项后转化为某个函数值恒正（或非负）、恒负（或非正）的问题，再借助图像或判别式来求解.

（2）分离自变量和参变量，利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题. （3）变更主元，利用函数与方程的思想求解.

（4）借助两个函数图像比较两函数值的大小.构造两个函数，并画出它们的图像，通过图像来比较两个函数值的大小，即用数形结合思想来解决恒成立问题. 一、利用一元二次方程根的判别式

有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化为二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到很好解决.

例7.33 对于x ∈R ，不等式2

230x x m -+-≥，求实数m 的取值范围.

解析 不妨设2

()23f x x x m =-+-，其函数图像是开口向上的抛物线，为了使()0f x ≥（x ∈R ），只需

0∆≤，即2(2)4(3)0m ---≤，解得2m ≤，故实数m 的取值范围(,2]-∞.

变式1 若对于x ∈R ，不等式2

230mx mx ++>，求实数m 的取值范围.

例7.34 已知函数2

()22f x x kx =-+在1x ≥-时恒有()f x k ≥，求实数k 的取值范围.

解析 令2()()22F x f x k x kx k =-=-+-，则()0F x ≥对一切1x ≥-恒成立，()F x 的图像是开口向上的抛物线，对称轴为x k =.

①当对称轴1x k =≤-时，()F x 在(1,)-+∞上单调递增，故只需(1)F -=122k ++

0k -≥，得31k -≤≤-；

②当对称轴1x k =>-时，()F x 在(1,)-+∞上的最小值为()F k ，故只需()F k =

22220k k k -+-≥，得11k -<≤.

由①②知k 的取值范围是[3,1]-.

评注 为了使()f x k ≥在[1,)-+∞上恒成立，构造一个新函数()()F x f x k =-是解题的关键，再利用二次函数的图像和性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决.

变式1 已知函数())f x x x =+，若不等式(3)(392)0x

x

x

f m f +--<⋅对任意x ∈R 恒成立，

求实数m 的取值范围.

二、分离自变量和参变量，利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题

通过等价变形，将变量与参变量从整体式中分离出来，转化为()(f x >或<，≥，)a ≤恒成立问题： （1）若()f x 在定义域内存在最大值m ，则()(())f x a f x a <≤恒成立a m ⇔>（或a m ≥）； （2）若()f x 在定义域内存在最小值m ，则()(())f x a f x a >≥恒成立a m ⇔<（或a m ≤）；

（3）若()f x 在定义域内不存在最值，只需找到()f x 在定义域上的最小上界（或最大下界）m ，即()

f x 在定义域上增大（或减少）时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的m ，只是等号均可取到.

例7.35 当(1,2)x ∈时，不等式2

40x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .

解析 解法一：构造函数2

()4f x x mx =++（[1,2]x ∈）.由于当(1,2)x ∈时，不等式2

40x mx ++<恒

成立，则(1)0f ≤，(2)0f ≤，即140m ++≤且4240m ++≤，解得5m ≤-.

解法二：分离参数法.(1,2)x ∈时，不等式2

40x mx ++<2

(4)mx x ⇔<-+⇔

21

x m x

+<-，令214()()x f x x x x +=-=-+，因为222

44()10x f x x x -''=-+=>在区间(1,2)上恒成立，故函数()f x 在区间(1,2)上单调递增，故5()4f x -<<-，所以5m ≤-，因此m 的取值范围是(,5]-∞-. 评注 若本题中的条件改为[1,2]x ∈，则m 的取值范围是(,5)-∞-，希望同学们认真、仔细地体会其中的不同.

变式1 设函数2

()1f x x =-对任意的3

[,)2x ∈-+∞，2(

)4()(1)x

f m f x f x m

-≤-+ 4()f m 恒成立，则实数m 的取值范围是 .

变式2 不等式2

|3||1|3x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A.(,1][4,)-∞-+∞U B. (2][5,)-∞-+∞U

C.[1,2]

D. (,1][2,)-∞-+∞U

变式3 若不等式lg(2)

1lg()

ax a x <+在[1,2]x ∈时恒成立，试求a 的取值范围.

变式4 已知不等式11112log (1)122123

a a n n n +++>-+++L 对于一切大于1的自然数都成立，试求实数a 的取值范围.

三、变更主元

例7.36 若不等式2

21(1)x m x ->-，对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求x 的范围.

分析 欲求x 的范围，将x 视为参数，将m 视为主元，那么关于x 的二次不等式转化为关于m 的一次不等式的形式进行求解，非常简捷.

解析 原不等式可化为2

(1)(21)0m x x ---<.

令2

()(1)(21)f m m x x =---(22)m -≤≤，它是关于m 的一次函数.

由题意知22

(2)2(1)(21)0(2)2(1)(21)0

f x x f x x ⎧-=----<⎨=---<⎩，解得x <<，所以x 的取值范围是

11(

22

-++. 评注 利用函数思想，确定主元，根据一次函数的性质求解.

变式1 对于满足04p ≤<的所有实数p ，使不等式2

43x px x p +>+-都成立的x 的取值范围是 （ ）

A.(,1)(3,)-∞-+∞U

B. (1][3,)-∞-+∞U