基本不等式经典例题(学生用)
不等式练习题
不等式练习题一、基本不等式1. 已知a > b，求证：a + c > b + c。
2. 已知x > 3，求证：x^2 > 9。
3. 已知0 < x < 1，求证：x^3 < x。
4. 已知a, b均为正数，求证：a^2 + b^2 > 2ab。
5. 已知|x| > |y|，求证：x^2 > y^2。
二、一元一次不等式1. 解不等式：3x 7 > 2x + 4。
2. 解不等式：5 2(x 3) ≤ 3x 1。
3. 解不等式：2(x 1) 3(x + 2) > 7。
4. 解不等式：4 3(x 2) ≥ 2x + 5。
5. 解不等式：5(x 3) + 2(2x + 1) < 7x 9。
三、一元二次不等式1. 解不等式：x^2 5x + 6 > 0。
2. 解不等式：2x^2 3x 2 < 0。
3. 解不等式：x^2 4x + 4 ≤ 0。
4. 解不等式：3x^2 + 4x 4 > 0。
5. 解不等式：x^2 + 5x 6 < 0。
四、分式不等式1. 解不等式：x / (x 1) > 2。
2. 解不等式：1 / (x + 3) 1 / (x 2) ≤ 0。
3. 解不等式：(x 1) / (x + 1) < 0。
4. 解不等式：(2x + 3) / (x 4) ≥ 1。
5. 解不等式：(3x 2) / (x^2 5x + 6) > 0。
五、含绝对值的不等式1. 解不等式：|x 2| > 3。
2. 解不等式：|2x + 1| ≤ 5。
3. 解不等式：|3x 4| < 2。
4. 解不等式：|x + 3| |x 2| > 1。
5. 解不等式：|x 5| + |x + 1| < 6。
六、综合应用题1. 已知不等式组：$\begin{cases} 2x 3y > 6 \\ x + 4y ≤ 8 \end{cases}$，求x的取值范围。
基本不等式经典题目
基本不等式经典题目基本不等式：经典题目1. 证明柯西不等式：若 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 和 \(y_1, y_2, \dots, y_n\) 是两个 n 维实数序列，则有$$\left(\sum_{k=1}^n x_ky_k\right)^2 \le\left(\sum_{k=1}^n x_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^ny_k^2\right)$$2. 证明赫尔德不等式：若 \(p\) 和 \(q\) 是大于 \(1\) 的实数且满足\(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\)，则对于任意 n 维实数序列\(x_1, x_2, \dots, x_n\) 和 \(y_1, y_2, \dots, y_n\)，都有$$\left|\sum_{k=1}^n x_ky_k\right| \le\left(\sum_{k=1}^n |x_k|^p\right)^{1/p}\left(\sum_{k=1}^n|y_k|^q\right)^{1/q}$$3. 证明明可夫斯基不等式：对于任意p ≥ 1 和 n 维实数序列 \(x_1, x_2, \dots,x_n\)，都有$$\left(\sum_{k=1}^n |x_k|^p\right)^{1/p} \le\sum_{k=1}^n |x_k|$$4. 证明切比雪夫不等式：对于任意实数 \(a\) 和 n 维实数序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)，都有$$P(|X - E(X)| \ge a) \le \frac{V(X)}{a^2}$$其中 \(X\) 为序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 的随机变量，\(E(X)\) 为期望，\(V(X)\) 为方差。
5. 证明马尔科夫不等式：对于任意实数 \(a > 0\) 和 n 维非负实数序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)，都有$$P(X \ge aE(X)) \le \frac{E(X)}{a}$$其中 \(X\) 为序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 的随机变量。
基本不等式经典例题(学生用)
基本不等式知识点：1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2 (2)若*,Rb a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+a bb a(当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222ba b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值例：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
技巧二：凑系数例： 当时，求(82)y x x =-的最大值。
变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
技巧三： 分离换元 例：求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
例：求函数2y =的值域。
基本不等式经典题
基本不等式经典题在数学中，基本不等式是解决各种不等式问题的基础。
它们是我们在数学学习早期就需要掌握和运用的关键知识。
在本文中，我们将介绍一些经典的基本不等式题目，并结合具体例子进行分析和解答。
1. 题目一：证明：对于任意正实数 a 和 b，有(a+b)^2/4 ≥ ab。
解析：我们可以利用基本不等式中的平方差公式来解决这道题目。
首先，将(a+b)^2 展开，得到a^2 + 2ab + b^2。
观察等式两边的表达式，我们可以发现a^2 + b^2 是一个不小于零的数，而2ab 是两个正数的乘积，所以最小值为零。
因此，根据平方均值不等式，我们有(a+b)^2/4 ≥ ab。
2. 题目二：证明：对于任意正实数 a，b 和 c，有(a^3+b^3+c^3)/3 ≥ (a+b+c)/3。
解析：我们可以利用基本不等式中的均值不等式来解决这道题目。
首先，我们观察等式两边的表达式，可以发现a^3 + b^3 + c^3 是一个不小于零的数，而a+b+c 是三个正数的和，所以最小值为零。
因此，根据均值不等式，我们有(a^3 + b^3 + c^3)/3 ≥ (a+b+c)/3。
3. 题目三：已知 a 和 b 是正实数，并且满足 a+b=2，求证：a^2 +b^2 ≥ 2。
解析：我们可以利用基本不等式中的平方不等式来解决这道题目。
首先，我们观察等式两边的表达式，可以发现a^2 + b^2 是一个不小于零的数。
然后，我们利用平方不等式来证明这个不等式成立。
根据平方不等式，我们有(a+b)^2 ≥ 4ab。
代入 a+b=2，得到4 ≥ 4ab。
将等式两边同时除以4，得到1 ≥ ab。
由于 a 和 b 是正实数，所以ab≥ 0。
因此，我们有1 ≥ ab ≥ 0。
将其代入原始不等式中，得到 a^2 + b^2 ≥ 2。
通过以上三个例子，我们可以看出基本不等式在解决不等式问题中的重要性。
熟练掌握基本不等式的运用，不仅可以帮助我们解答各种数学题目，还能提升数学思维能力和解决实际问题的能力。
高中数学必修5基本不等式精选题目（附答案）
高中数学必修5基本不等式精选题目（附答案）高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤? ????a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <="">D ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数，求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：? ????1a －1? ????1b －1? ??1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<="">x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bc< p="">C.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lg< p="">a＋b2＝R.所以P<q<r.< p="">3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得? ????2b a ＋a 2b ＋? ????3c a ＋a 3c ＋? ????3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴? ????2b a ＋a 2b －1＋? ????3c a ＋a 3c －1＋? ????3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得? ????1a －1? ????1b －1? ????1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6，∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·?2x ＋3y 22＝16·? ????622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·? ??1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10，又∵x ＞0，y ＞0，∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立．由y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6? 2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6? ????2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6? ?5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ，＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，求得x ＝15，即铁栅的长是15米．练习：1.解析：选B A 中，当0<="">lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤?a ＋b 22≤? ??422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝? ????2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当 a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4? ??900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号，∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )? ????1x ＋3y ＝4＋? ????y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4，∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32.</q<r.<></lg<></bc<>。
基本不等式训练习题
基本不等式训练习题一、选择题1. 若a > b，则下列不等式中正确的是（）A. a b > 0B. a + b > 0C. a² > b²D. 1/a < 1/b2. 已知x > y，则下列不等式中一定成立的是（）A. x y > 0B. x² > y²C. 1/x < 1/yD. x + 1 > y + 13. 若a < b < 0，则下列不等式中正确的是（）A. a² < b²B. a b > 0C. ab > 0D. 1/a > 1/b二、填空题1. 若a > b，则a b __________ 0。
2. 已知x < y，且x, y均为正数，则1/x __________ 1/y。
3. 若a < b < 0，则a² __________ b²。
三、解答题1. 已知x > y，证明：x + 1 > y + 1。
2. 已知a > b，且a, b均为正数，证明：a² > b²。
3. 若a < b < 0，证明：ab > 0。
4. 已知x, y为实数，且x + y > 0，证明：x² + y² > 0。
5. 已知a, b为正数，且a > b，证明：1/a < 1/b。
四、综合题1. 已知x, y为实数，且x > y，求证：x² y² > 0。
2. 若a, b, c为实数，且a > b > c，证明：a c > b c。
3. 已知a, b为正数，且a > b，求证：a² + b² > 2ab。
4. 若x, y为实数，且x + y > 0，证明：x² + 2xy + y² > 0。
解不等式例题50道
解不等式例题50道一、一元一次不等式1. 解不等式：2x + 5>9- 解析：- 首先对不等式进行移项，将常数项移到右边，得到2x>9 - 5。
- 计算右边式子得2x>4。
- 两边同时除以2，解得x > 2。
2. 解不等式：3x-1<8- 解析：- 移项可得3x<8 + 1。
- 即3x<9。
- 两边同时除以3，解得x<3。
3. 解不等式：5x+3≤slant2x + 9- 解析：- 移项，把含x的项移到左边，常数项移到右边，得到5x-2x≤slant9 - 3。
- 计算得3x≤slant6。
- 两边同时除以3，解得x≤slant2。
4. 解不等式：4x-7≥slant3x+1- 解析：- 移项得4x - 3x≥slant1+7。
- 即x≥slant8。
5. 解不等式：(1)/(2)x+3>x - 1- 解析：- 移项可得(1)/(2)x-x>-1 - 3。
- 通分计算，((1)/(2)-(2)/(2))x>-4，即-(1)/(2)x>-4。
- 两边同时乘以 - 2，不等号变向，解得x < 8。
6. 解不等式：(2)/(3)x-1≤slant(1)/(3)x+2- 解析：- 移项得(2)/(3)x-(1)/(3)x≤slant2 + 1。
- 计算得(1)/(3)x≤slant3。
- 两边同时乘以3，解得x≤slant9。
7. 解不等式：2(x + 3)>3(x - 1)- 解析：- 先展开括号，得到2x+6>3x - 3。
- 移项得2x-3x>-3 - 6。
- 计算得-x>-9。
- 两边同时乘以 - 1，不等号变向，解得x < 9。
8. 解不等式：3(x - 2)≤slant2(x+1)- 解析：- 展开括号得3x-6≤slant2x + 2。
- 移项得3x-2x≤slant2+6。
- 计算得x≤slant8。
高中数学基本不等式练习题(含答案)
基本不等式【习题1】已知实数且, 则的最小值是.【习题2】若实数且, 则的最小值是, 的最小值是.【习题3】已知满足方程, 当时, 则的最小值为_______.【习题4】已知为实数, 且, 则的最小值为_______.【习题5】已知, , 则的取值范围为 .【习题6】已知, , 则的最小值为.【习题7】若实数满足, 则的范围是.【习题8】的三边成等差, 且, 则的取值范围是．【习题9】已知二次不等式对任意实数恒成立, 则的最小值为___________【习题10】实数满足, 设, 则 .【习题11】非零向量夹角为, 且, 则的取值范围为．【习题12】已知, 且, 若总成立, 则正实数的取值范围是_______.【习题13】正实数满足, 则的最小值为 .【习题14】已知实数满足则的最小值为, 的最小值为.【习题15】已知直线（其中）与圆相交于、两点, 为坐标原点, 且, 则的最小值为 .【习题16】设, 满足, 则的最小值是______．【习题17】已知正实数 , 满足: , 则 的最大值是 .【习题18】已知正数 满足 , 则 的最小值为________.【习题19】已知 , , 且 , 则 的最小值是_______, 此时 _______.【习题20】已知 , 且 , 则 的最小值是 ； 的最大值是 .【习题21】已知实数 , 满足 , 且 , 则 的最小值是 （ ）A. 33B. 26C. 25D. 21【习题22】若实数 满足 , 则 的最小值是 .【习题23】已知实数 , 满足: , 且 , 则 的取值范围是 .【习题24】实数 满足 , 则 的最小值是________.【习题25】已知实数 , 若 , 则 的值域为 .【习题26】设 为正实数, 则 的最小值为 .【习题27】若正数 满足 , 则 的最小值是 .【习题28】若存在正实数 , 使得 , 则实数 的最大值为_________.【习题29】若 , , 则 的最小值为___________.【习题30】已知正数 满足 , 则 的最大值为__________, 当且仅当___________.【习题31】已知,1,0=+>>b a b a 则bb a 214+-的最小值等于 . 【习题32】已知 , 则 的取值范围为__________.【习题33】已知实数 满足 , 则 的最小值为________, 的最小值为_______.【习题34】已知实数 满足 , 则 的取值范围是________.【习题35】已知 , , 且满足 , 则 的最小值为________.【习题36】已知非负实数 满足 ，则 的最大值.....【习题37】若 , , 则 的最大值为_______.【习题38】设正实数, 则的最小值为（）... A...... B...... C...... D.【习题39】已知均为正数, 且, , 则的最小值为_________.【习题40】设实数且满足, 则使不等式恒成立的的最大值为______.【习题41】若, 且, 则的取值范围是______.【习题42】已知正实数满足, 则的最小值为________.【习题43】已知实数满足, 则的取值范围是_________.【习题44】已知实数满足, 且, 则的最大值为___________.【习题45】若正数满足, 则的最小值为( )A. 1B. 6C. 9D. 16【习题46】若正实数满足, 且不等式恒成立, 则实数的取值范围是. 【习题47】已知为正实数, 若, 则的最小值为.【习题48】若正数满足, 则的最大值为_________.【习题49】若实数和满足,则的取值范围为__________________.【习题50】设, , 则的最小值是.基本不等式（答案）【习题1】已知实数 且 , 则 的最小值是 .【答案】1【习题2】若实数 且 , 则 的最小值是 , 的最小值是 .【答案】 ,【习题3】已知 满足方程 , 当 时, 则 的最小值为_______.【答案】8【习题4】已知 为实数, 且 , 则 的最小值为_______. 【答案】3322+【习题5】已知 , , 则 的取值范围为 . 【答案】]22,22[-【习题6】已知 , , 则 的最小值为 .【习题7】若实数 满足 , 则 的范围是 .【答案】]0,2[-【习题8】 的三边 成等差, 且 , 则 的取值范围是 . 【答案】]7,6(【习题9】已知 二次不等式 对任意实数 恒成立, 则 的最小值为___________【答案】8【习题10】实数 满足 , 设 , 则 . 【答案】85【习题11】非零向量 夹角为 , 且 , 则 的取值范围为 . 【答案】]3,1(【习题12】已知 , 且 , 若 总成立, 则正实数 的取值范围是_______.【答案】),1[+∞【习题13】正实数 满足 , 则 的最小值为 .【答案】36-【习题14】已知实数 满足 则 的最小值为 , 的最小值为 . 【答案】3627+；845【习题15】已知直线 （其中 ）与圆 相交于 、 两点, 为坐标原点, 且 , 则 的最小值为 .【答案】2【习题16】设 , 满足 , 则 的最小值是______. 【答案】332-【习题17】已知正实数 , 满足: , 则 的最大值是 . 【答案】3332+【习题18】已知正数 满足 , 则 的最小值为________. 【答案】222-【习题19】已知 , , 且 , 则 的最小值是_______, 此时 _______. 【答案】212+；2【习题20】已知 , 且 , 则 的最小值是 ； 的最大值是. 【答案】16；413-【习题21】已知实数 , 满足 , 且 , 则 的最小值是 （ ）A. 33B. 26C. 25D. 21【答案】C【习题22】若实数 满足 , 则 的最小值是 .【答案】2【习题23】已知实数 , 满足: , 且 , 则 的取值范围是 . 【答案】]23,12[-【习题24】实数 满足 , 则 的最小值是________. 【答案】224-【习题25】已知实数 , 若 , 则 的值域为 . 【答案】]716,0[【习题26】设 为正实数, 则 的最小值为 .【答案】222-【习题27】若正数 满足 , 则 的最小值是 .【答案】5【习题28】若存在正实数 , 使得 , 则实数 的最大值为_________. 【答案】51 【习题29】若 , , 则 的最小值为___________. 【答案】212- 【习题30】已知正数 满足 , 则 的最大值为__________, 当且仅当___________. 【答案】31；1=x 【习题31】已知,1,0=+>>b a b a 则b b a 214+-的最小值等于 . 【答案】9【习题32】已知 , 则 的取值范围为__________.【答案】)1,2[--【习题33】已知实数 满足 , 则 的最小值为________, 的最小值为_______.【答案】 , 1【习题34】已知实数 满足 , 则 的取值范围是________.【答案】]3,3[-【习题35】已知 , , 且满足 , 则 的最小值为________. 【答案】223+【习题36】已知非负实数 满足 , 则 的最大值..... 【答案】241+【习题37】若 , , 则 的最大值为_______. 【答案】51【习题38】设正实数 , 则 的最小值为（ ）... A...... B...... C...... D.【答案】A【习题39】已知 均为正数, 且 , , 则 的最小值为_________. 【答案】23【习题40】设实数 且满足 , 则使不等式 恒成立的 的最大值为______. 【答案】522+【习题41】若 , 且 , 则 的取值范围是______. 【答案】]4,34[ 【习题42】已知正实数 满足 , 则 的最小值为________.【答案】55【习题43】已知实数 满足 , 则 的取值范围是_________. 【答案】9[1,]8【习题44】已知实数 满足 , 且 , 则 的最大值为___________. 【答案】3097【习题45】若正数 满足 , 则 的最小值为( )A. 1B. 6C. 9D. 16【答案】B【习题46】若正实数 满足 , 且不等式 恒成立, 则实数 的取值范围是 .【答案】(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【习题47】已知 为正实数, 若 , 则 的最小值为 .【答案】222+【习题48】若正数 满足 , 则 的最大值为_________.【答案】432【习题49】若实数和满足,则的取值范围为__________________. 【答案】]2,1(【习题50】设, , 则的最小值是【答案】24。
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基本不等式
知识点：
1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”）
2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2
(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）
3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）
若0x <，则12x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）
若0x ≠，则1
1122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）
5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）
注意：
(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，
当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用
应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2
＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x
技巧一：凑项
例 已知54x <，求函数14245
y x x =-+
-的最大值。
技巧二：凑系数
例： 当
时，求(82)y x x =-的最大值。
变式：设2
30<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
技巧三： 分离换元
例：求2710(1)1
x x y x x ++=>-+的值域。
性。
例：求函数2
y=的值域。
技巧六：整体代换（“1”的应用）
多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
例：已知0,0
x y
>>，且19
1
x y
+=，求x y
+的最小值。
技巧七
例：已知x，y为正实数，且x 2＋y 2
2
＝1，求x1＋y2的最大值.
技巧八：
已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1
ab
的最小值.
技巧九、取平方
例: 求函数15
()22
y x <<的最大值。
应用二：利用均值不等式证明不等式
例：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。
求证：111
1118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
应用三：均值不等式与恒成立问题
例：已知0,0x y >>且1
91x y +=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若
)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .。